【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版） .docx

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1、2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合P=xR|0x4,Q=xR|x|0” B “xR,x3-3x0”C “

2、x0R,x03-3x00” D “x0R,x03-3x00,|0且a1），（1）若a=2，解不等式fx0，都有f(x)0成立，求实数a的取值范围.好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学 答 案参考答案1B【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合Q,再利用并集的定义求PQ.【详解】由题意得，P=xR|0x4=0,4，Q=xR|x2=xR|-2x0”.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要

3、改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3D【解析】【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果.【详解】化简cos113 =cos4-3=cos-3=cos3=12，故选D.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4C【解析】【分析】利用排除法，当x=1时排除 B；当x=-1时，排除A；当x=1e时，排除D,从而可得结果.【详解】当x=1时，函数y=x2+lnxx=1，

4、所以选项B不正确；当x=-1时，函数y=x2+lnxx=1，所以选项A不正确；当x=1e时，函数y=x2+lnxx=1e2-e12，a与b夹角为60，故选C.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是ab=abcos，二是ab=x1x2+y1y2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos=abab （此时ab往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是abb；（3）a,b向量垂直则ab=0;(4)求向量ma+nb 的模（平方后需求ab）.8A【解析】【分析】先根据函数图象得到周期求出=2，然后带特殊点求值即可.【详解

5、】由图可知函数的周期为T=1312-12=，则=2.则f(x)=sin(2x+),将x=12代入解析式中得f(12)=sin(212+)=32,则6+=3+2k,kz或者6+=23+2k,kz，解得=6+2k,kz或者=2+2k,kz.因为0，判定函数在R上的增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数f(x)=x(ex+e-x)，则f(-x)=-x(e-x+ex)=-fx，所以函数fx为奇函数，又由f(x)=ex+e-x+x(ex-e-x)，当x0时，ex1,00且x(ex-e-x)0，即f(x)0，所以函数fx在0,+)为单调递增函数，又由函数fx为奇函数，所以函数fx为R上的增函数，故选A

6、.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.10D【解析】【分析】直接根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性逐一判断即可.【详解】对于A, 函数fx=sin2x+3的最小正周期为T=2=，故A错误；对于B，x=6时，fx=sin26+3=320，其图象不关于点6,0对称,故B错误；对于C,函数gx=sin2x的图象向左平移3个单位得sin2x+3=sin2x+23，故C错误；对于D，x-12,12时,2x+34,512，函数f

7、(x)在区间(-12,12)上是增函数,D正确，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数y=Asin(x+)可求得函数的周期为2；由x+=k+2可得对称轴方程；由x+=k可得对称中心横坐标.11C【解析】【分析】由余弦定理求得AC=3，可得ACBC，从而得AMAC= 23AC+CDAC=23AC2+23CDAC，进而可得结果.【详解】ABC中，已知AB=2,BC=1,ABC=60，由余弦定理可得AC2=1+4-21212=3,AC=3，所以BC2+AC2=AB2ACBC，设BC的中点为D，因为点M为ABC的重心，所以AM=23AD=23AC+CD，可得AMAC=

8、23AC+CDAC=23AC2+23CDAC=23AC2=233=2，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及余弦定理的应用，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）12D【解析】【分析】函数f(x)=exx-ax在R上有三个零点，转化为函数y=ex与y=ax2由三个交点，先判断a0，可得当x0恒成立，不合题意，所以a0，作函数

9、y=ex与y=ax2的图象如图，由图象可知，当x0时，两图象有两个交点，则ex=ax2有两个正根，即a=exx2有两个正根，y=a,y=exx2的图象在y轴右边由两个交点，记Fx=exx2,Fx=exx-2x3，Fx在0,2上递减，在2,+递增，故Fxmin=F2=e24，故ae24时，两图象有两个交点；故若函数fx=ex-ax2有三个不同零点，则ae24，a的取值范围是(e24,+)，故选D.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点

10、函数y=f(x)-g(x)在x轴的交点方程f(x)-g(x)=0的根函数y=f(x)与y=g(x)的交点.13【解析】试题分析：因为；所以由可得所以函数的递减区间为 。考点：三角函数的性质.14(1,2【解析】【分析】根据幂函数与对数函数的定义域列不等式可得结果.【详解】要使函数f(x)=log12(x-1)有意义，则log12x-10,即0x-11,即1x2,故函数的定义域为1,2,故答案为1,2.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的性质，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式

11、有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx的定义域由不等式agxb求出.1532【解析】【分析】由a1a4=8=a2a3，a2+a3=6求得a2，a3的值，从而可得公比，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】数列 an 是递增的等比数列， a1a4=a2a3=8，又 a2+a3=6，由得，a3=4a2=2q=a3a2=2，a6=a3q3=423=32，故答案为32.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若p+q=m+n=2r则apaq=aman=ar2.16【解析

12、】【分析】通过换底公式得到y=log12x=-log2x，由图象对称可判断正误；利用函数的奇偶性的定义判断即可；通过y=-1x的对称性与函数的平移变换即可判断；通过复合函数的性质以及最值判断正误即可.【详解】对于由于y=log12x=-log2x，则在同一坐标系中，y=log2x与y=log12x的图象关于x轴对称，故正确；对于y=log21-x1+x，函数的定义域x|-1x1，f-x=-log1-x1+x=-fx，函数是奇函数，故正确；对于，y=-1x的对称中心0,0，函数y=-1x，向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到y=x+1x+2=1-1x+2的图象对称中心-2,1，所以函数的图象

13、关于-2,1成中心对称，故正确；对于y=12-x2+1,-x2+11，函数是偶函数，x0时，函数是增函数，x=0时函数取得的最小值为12，故错误，故答案为.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17（1）1；（2）1,3.【解析】【分析】(1)由a+b)(a-b)=3,可得|a|2-|b|2=3，结

14、合|a|=2可得结果；（2）设b=(cos,sin)，则a-b=(2-cos,-sin)，可得|a-b|2=5-4cos 1,9，进而可得结果.【详解】(1)(a+b)(a-b)=3,|a|2-|b|2=3,|b|=1； （2）设b=(cos,sin)，则a-b=(2-cos,-sin)，|a-b|2=(2-cos)2+(-sin)2=5-4cos 1,9 |a-b|1,3.【点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，

15、对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.18（1）-32，12；（2）(0,13).【解析】【分析】(1)把a=2代入函数解析式，由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式求解；(2)内函数gx=1-ax为减函数，要使函数fx在区间0，3上是单调增函数，则外函数为减函数，且内函数在0，3上的最小值大于0，由此列不等式式即可求得常数a的取值范围.【详解】当a=2时，原不等式可化为log21-2x01-2x4， 解得-32x12， 原不等式的解集为-32，12. 设gx=1-ax，则函数gx为减函数，函数fx在区间(0,3上

16、是单调增函数，0a0， 解得0a13,实数a的取值范围(0,13).【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.19（1）0，x=k-3(kZ)；（2）k+6,k+23(kZ).【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数fx化为2sin(2x+6)+2，利用正弦函数的性质可得结果；（2）利

17、用正弦函数的单调性可得2k+22x+62k+32，解不等式可得到函数fx的递减区间.【详解】（1）原函数可化为f(x)=2sin(2x+6)+2， 当且仅当2x+6=2k-2,即x=k-3(kZ)时， f(x)取得最小值为0.（2）2k+22x+62k+32， 解得：k+6xk+23， 所以，函数f(x)的单调递减区间为k+6,k+23(kZ).【点睛】以三角恒等变换为手段，考查三角函数的图象与性质近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，不等要掌握三角函数的图象与性质，而且对两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公

18、式的各种变化形式要熟记于心.20（1）an=9-2n；（2）5.【解析】【分析】（1）根据等差数列an的公差为-2，且a1+2,a3,a4成等比数列列出关于公差d的方程，解方程可求得d的值，从而可得数列an的通项公式；（2）由（1）可知bn=2n-1-9+2n，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）a1+2,a3,a4成等比数列，(a1-4)2=(a1+2)(a1-6)，解得：a1=7，an=9-2n. （2）由题可知Sn=(20+21+22+2n-1)-(7+5+3+9-2n)，=1-2n1-2-(8n-n2) =2n+n2-8n-1， 显然当n4时，Sn0

19、,又因为n5时，Sn单调递增，故满足Sn0成立的n的最小值为5.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21（1）3+78；（2）2.【解析】【分析】(1)由b2=a2+c2-ac利用余弦定理可得B=3，再由正弦定理可得sinC=34，结合两角和的正弦公式，由三角形面积公式可得结果；（2）过点C作C

20、E/AB交BD的延长线于点E,则ABD DCE，可求得CE=1,BE=7,又因为ABC=60,所以BCE=120, 利用余弦定理可得结果.【详解】(1)由b2=a2+c2-ac可得，a2+c2-b2=ac，cosB=a2+c2-b22ac=12,B=3. 由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB,解得sinC=34,故cosC=74，sinA=sin(B+C)=3274+1234=3+218,SABC=12233+218=33+378, SBCD=13SABC=3+78， （2）过点C作CE/AB交BD的延长线于点E,则ABDDCE，又因为AB=2,BD=273，所以CE=1,BE=7,又因

21、为ABC=60,所以BCE=120, 利用余弦定理可得：BE2=BC2+CE2-2BCCEcosBCE,解得BC=2.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2-2bccosA；（2）cosA=b2+c2-a22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.22（1）当a0时，在0,+上，fx是减函数,当a0时，在0,1a上，fx是减函数,在1a,+上，fx是增函数；（2）1,+)【解析】【分析】求

22、出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可（2）对任意x0，都有f（x）0成立，转化为在（0，+）上f（x）min0，利用函数的导数求解函数的最值即可【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+）又f/(x)=2ax+(a-2)-1x=2ax2+(a-2)x-1x=(2x+1)(ax-1)x当a0时，在（0，+）上，f（x）0，f（x）是减函数当a0时，由f（x）=0得：x=1a或x=-12（舍）所以：在(0，1a)上，f（x）0，f（x）是减函数在(1a，+)上，f（x）0，f（x）是增函数（2）对任意x0，都有f（x）0成立，即：在（0，+）上f（x）min0由（1）知：当a0时，在（0，+）上f（x）是减函数，又f（1）=2a20，不合题意当a0时，当x=1a时，f（x）取得极小值也是最小值，所以：f(x)min=f(1a)=1-1a+lna令u(a)=f(1a)=1-1a+lna（a0）所以：u/(a)=1a2+1a在（0，+）上，u（a）0，u（a）是增函数又u（1）=0所以：要使得f（x）min0，即u（a）0，即a1，故：a的取值范围为1，+）【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）