专题11二次函数与单线段最值问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

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1、下载来源：初中数学资料群：795399662，其他科资料群：729826090挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题11二次函数与单线段最值问题 【例1】（2022襄阳）在平面直角坐标系中，直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线yx2+2mxm2+2与y轴交于点C（1）如图，当m2时，点P是抛物线CD段上的一个动点求A，B，C，D四点的坐标；当PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，求m的取值范围；求线段BC长度的最大值【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；当m2时，代

2、入上述坐标即可得出结论；过点P作PEy轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，t2+4t2），E（t，2t4）根据三角形的面积公式可得PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；根据中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论【解答】解：（1）直线ymx2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，A（2，0），B（0，2m）；y（xm）2+2，抛物线的顶点为D

3、（m，2），令x0，则ym2+2，C（0，m2+2）当m2时，2m4，m2+22，B（0，4），C（0，2），D（2，2）由上可知，直线AB的解析式为：y2x4，抛物线的解析式为：yx2+4x2如图，过点P作PEy轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，P（t，t2+4t2），E（t，2t4）PEt2+4t2（2t4）t2+2t+2，PAB的面积为：（20）（t2+2t+2）（t1）2+3，10，当t1时，PAB的面积的最大值为3此时P（1，1）（2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当mm2+22m时，可得m1+，当

4、mm2+22m时，可得3m1，m的取值范围为：m1+或3m1当m1+时，BCm2+2（2m）m2+2m+2（m1）2+3，当m1时，BC的最大值为3；当mm2+22m时，即3m1，BC2m（m2+2）m22m2（m1）23，当m3时，点M与点C重合，BC的最大值为13当m1时，BC的最大值为3；当m3时，BC的最大值为13【例2】（2022湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D（1）求点A，B，C的坐标；求b，c的值（2）若点P是边BC上的一个动点，

5、连结AP，过点P作PMAP，交y轴于点M（如图2所示）当点P在BC上运动时，点M也随之运动设BPm，CMn，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值【分析】（1）根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明MCPPBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论【解答】解：（1）四边形OABC是边长为3的正方形，A（3，0），B（3，3），C（0，3）；把A（3，0），C（0，3）代入抛物线yx2+bx+c中得：，解得：；（2）APPM，APM90，APB+CPM90，BAPB+BAP90，BAPCPM，BPCM90，MCPPBA，即，3nm（

6、3m），nm2+m（m）2+（0m3），0，当m时，n的值最大，最大值是【例3】（2021青海）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线yax2+bx+c经过点A，B，C（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b1 ）x+c2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点当PQ时，求P点的坐标【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PEx轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位

7、置分三种情况分别计算出P点的坐标即可【解答】解：（1）当x0，y0+22，当y0时，x+20，解得x2，A（2，0），B（0，2），把A（2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，得，解得，该抛物线的解析式为：yx2x+2；（2）方法一：ax2+（b1 ）x+c2，即x22x+22，当函数yx22x+22时，解得x0或x2，由图象知，当2x0时函数值大于2，不等式ax2+（b1 ）x+c2的解集为：2x0；方法二：ax2+（b1 ）x+c2，即x2x+2x+2，观察函数图象可知当2x0时yx2x+2的函数值大于yx+2的函数值，不等式ax2+（b1 ）x+c2的解集为：2x0；（3

8、）作PEx轴于点E，交AB于点D，作PQAB于Q，如图1，当P在AB上方时，在RtOAB中，OAOB2，OAB45，PDQADE45，在RtPDQ中，DPQPDQ45，PQDQ，PD1，设点P（x，x2x+2），则点D（x，x+2），PDx2x+2（x+2）x22x，即x22x1，解得x1，此时P点的坐标为（1，2），如图2，当P点在A点左侧时，同理可得PD1，设点P（x，x2x+2），则点D（x，x+2），PD（x+2）（x2x+2）x2+2x，即x2+2x1，解得x1，由图象知此时P点在第三象限，x1，此时P点的坐标为（1，），如图3，当P点在B点右侧时，在RtOAB中，OAOB2，OAB

9、45，PDQDPQ45，在RtPDQ中，DPQPDQ45，PQDQ，PD1，设点P（x，x2x+2），则点D（x，x+2），PD（x+2）（x2x+2）x2+2x，即x2+2x1，解得x1，由图象知此时P点在第一象限，x1，此时P点的坐标为（1，），综上，P点的坐标为（1，2）或（1，）或（1，）【例4】（2022雅安）已知二次函数yax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，3）（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使ACE为Rt，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，

10、满足PAPD，求线段PB的最小值【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为CAE90，ACE90及AEC90，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；（3）根据APD90确定点P在以AD的中点为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：ya（x+1）（x3），a（3）3，a1，y（x+1）（x3）x22x3（x1）24，D（1，4）；（2）存在点E，使ACE是直角三角形，过程如下：设点E（1，m），A（1，0），C（0，3），AC210，AE24+m2，CE2

11、1+（m+3）2，当EAC90时，AE2+AC2CE2，14+m21+（m+3）2，m，E1（1，），当ACE90时，AC2+CE2AE2，11+（m+3）24+m2，m，E2（1，），当AEC90时，AE2+CE2AC2，5+m2+（m+3）210，m1或2，E3（1，1），E4（1，2），综上所述：点E（1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）；（3）设AD的中点为I，A（1，0），D（1，4），AD2，I（0，2），PAPD，ADP90，点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，BI，PB最小1（2020河北模拟）已知抛物线C：yax2+bx+c（a0，c0）的对称轴为x4，C为顶点，且

12、A（2，0），C（4，2）【问题背景】求出抛物线C的解析式【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C，连接BC，作直线xk交BC于点M，交抛物线C于点N连接ND，若四边形MNDC是平行四边形，求出k的值当线段MN在抛物线C与直线BC围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（3，0），H（3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形HGOE，连接AC，若矩形HGOE与直线AC和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x4，则点B（6，0），则抛物线

13、的表达式为：ya（x2）（x6），将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】四边形MNDC是平行四边形，则MNDC2，即|k24k+6（k+6）|2，解得：k3或3，MN（k+6）（k24k+6）k2+3k，即可求解；【拓展延伸】（）当t2时，矩形过点A，此时矩形HGOE与直线AC和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（）当HE与对称轴右侧抛物线有交点时，此时yHE4，即x24x+64，解得：x4（舍去42），即可求解【解答】解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：ya（x2）（x6），将点C的坐标代入上式得：2a（42）（46），解得：a，故抛物线的表

14、达式为：；【尝试探索】点C（4，2），由点B、C的坐标可得，直线BC的表达式为：yx+6，四边形MNDC是平行四边形，则MNDC2，设点N的坐标为：（x，k24k+6），则点M（k，k+6），即|k24k+6（k+6）|2，解得：k3或3，故k的值为：；联立并解得：x0或6，故抛物线C与直线BC围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0k6，MN（k+6）（k24k+6）k2+3k，0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C的坐标得，直线AC表达式为：yx2，联立并解得：x2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2x8，（）当t2时，矩形过点A，此时矩形HGOE与直线AC和抛物线C围成的封

15、闭图形有公共部分，（）当HE与对称轴右侧抛物线有交点时，此时yHE4，即x24x+64，解得：x4（舍去42），即x4+2，则t3+4+27+2，故t的取值范围为：2t2（2018秋宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（3m1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线

16、段EF最长【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C（2）连接BC，交DH于点M，使ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x1，求得M（1，2）；（3）由题意得出E（m，m22m+3），F（m，m+3），据此可知EFEPFPm22m+3（m+3），再根据二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（1，4）可设其解析式为ya（x+1）2+4，将点C（3，0）代入，得：4a+40，解得a1，则抛物线解析式为y（x+1）2+4x22x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时ABM的周长最小，当y0时，（x+1）2+40，解得x3或x1，则A（1，0），

17、C（3，0），当x0时，y3，则B（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b，将B（0，3），C（3，0）代入得，解得：，直线BC解析式为yx+3，当x1时，y1+32，所以点M坐标为（1，2）；（3）由题意知E（m，m22m+3），F（m，m+3），则EFEPFPm22m+3（m+3）m23m（m+）2+，当m时，线段EF最长3（2021桥西区模拟）如图1，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，且COBO，连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物

18、线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使CDEPCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可；（3）根据CDEPCF，DEPF，可得：，设点P坐标为（t，t2+2t+3），点F坐标为（t，t+3），建立关于t的方程求解即可【解答】解：（1）在抛物线yax2+bx+3中，令x0，得y3，C（0，3），CO3，COBO，BO3，B（3，0），A

19、（1，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，B（3，0），C（0，3），解得：，直线BC的解析式为yx+3，抛物线yx2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），当x1时，y1+32，E（1，2），DE2；（3）PFDE，CEDCFP，当时，PCFCDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE，DE422，设点P坐标为（t，t2+2t+3），点F坐标为（t，t+3），PFt2+2t+3（t+3）t2+3t，CFt，t0，t2，当t2时，t2+2t+322+22+33，点P坐标为（2，3）4（2022和平区二模）如图，在平面

20、直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作ACx轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D作DEx轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长【分析】（1）设该抛物线解析式为ya（x+2）2+4（a0），把点（0，0

21、）代入，即可求解；（2）根据题意得OC2，AC4，设点D（x，x24x），则DE|x24x|，OEx，根据ACODEO90，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，AOCODE或AOCDOE，分两种讨论，即可求解；（3）求出直线BD的解析式yx+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为yx+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为yx+，联立方程组，得到点FG的坐标，即可求解【解答】解：（1）抛物线顶点的坐标为（2，4），设抛物线解析式为ya（x+2）2+4（a0），把点（0，0）代入得：0a（x+2）2+4解得：a

22、1，抛物线解析式为y（x+2）2+4x24x令y0，则x24x0，解得：x14，x20，点B（4，0），抛物线解析式为yx24x点B（4，0）；（2）ACx轴，点A （2，4），点C（2，0），OC2，AC4，ACODEO90，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，AOCODE或AOCDOE，设D（x，x24x），当AOCODE时，AOCODE，如图：AOCODE，tanAOCtanODE，2，2，x2（x2+4x）或x2（x2+4x），x10（舍去），x2或x30（舍去），x4，点D的坐标为（，）或（，）；当AOCDOE时，AOCDOE，如图：AOCDOE，tanA

23、OCtanDOE，2，2，2xx2+4x或2xx2+4x，x10（舍去），x26或x30（舍去），x42（舍去），点D的坐标为（6，12）；点D（6，12）；综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（6，12）或（，）或（，）；（3）在（2）的条件下，点D在第二象限，点D的坐标为（，），直线BD的解析式ykx+m，解得，直线BD的解析式yx+14，直线BD与y轴交于（0，14），过点A平行于BD的直线AM的解析式为yx+11，交y轴于（0，11），点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，直线FG的的解析式为yx+，联立得，解得，F（，），G（5，

24、5），FG5（2022鹿城区校级二模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EFAD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FGx轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长【分析】（1）把点A（1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE3，DE9，在RtEAD中，tanEAD3，再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tanEFHtanEAD3，设HFm，EH3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，3m）

25、代入yx24x5，求出m即可【解答】解：（1）把点A（1，0），B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，yx24x5（x2）29，抛物线解析式为yx24x5，顶点D坐标为（2，9）；（2）延长FG交y轴于点I，A（1，0），E（2，0），D（2，9），AE3，DE9，在RtEAD中，EFAD，FGx轴，四边形AGFE是平行四边形，tanEFHtanEAD3，在RtEHF中，EH3HF，设HFm，EH3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，3m）代入yx24x5，得，3m（m+2）24（m+2）5，解得：或m（舍去），6（2021南岗区模拟）如图，抛物线yax2+bx4交x轴于点A（

26、3，0），B（4，0），交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQPE，连接DQ交PE于点F，若PE3PF，求QN的长【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t，t2t4），则G（1t，t2t4），利用tanGCH，求出CN，即可得出答案

27、；（3）过点P作PTx轴于点T，可证得PDHPBT（AAS），过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，再证得DRFQKF（ASA），过点Q作QWPD，可证得DPFQWF（AAS），过点Q作QZPE于点Z，再证明EQZEPT（AAS），再利用HL证明RtQWZRtPBT，设EBm，运用勾股定理建立方程求解即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx4交x轴于点A（3，0），B（4，0），解得：，抛物线的解析式为；（2）如图1，设P（t，t2t4），抛物线的对称轴为直线，PGx轴，点G与点P是抛物线上的一对对称点，G（1t，t2t4），设PG与y轴交于点H，则

28、H（0，t2t4），在抛物线中，令x0，得y4，C（0，4），OC4，又CHt2t4（4）t2t，GHt1，tanGCH，解得：，d与t之间的函数解析式为d；（3）如图2，过点P作PTx轴于点T，DPBPHOHOBPTOPHD90，四边形PHOT为矩形，HPT90，DPHBPT，PDPB，PDHPBT（AAS），DHBT，PHPT，解得：t16，t22（舍），P（6，6），T（6，0），DHBT2，ONd2，过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，PE3PF，EF2PF，cosPFMcosEFK，FK2FM，MPTPTKTKM90，四边形PMKT为矩形，

29、MKPT6，FM2，FK4，同理四边形DHMR为矩形，DHRM2，RFFK4，RFKQ90，DFRKFQ，DRFQKF（ASA），DFQF，过点Q作QWPD，DPFQWFDFPWFQ，DFFQ，DPFQWF（AAS），DPQWPB，PFWF，过点Q作QZPE于点Z，EZQPTE90，PETQEZ，EPEQ，EQZEPT（AAS），PTQZ，EZET，QWPB，RtQWZRtPBT（HL），WZBT，EWEB设EBm，则EWWFFPm，EP3m，BT2，ETm+2，PT6，在RtEPT中，PE2ET2+PT2，（3m）2（m+2）2+62，解得：，m22（舍），BQ2BE5，OB4，OQ9，ON

30、2，QNOQ+ON117（2021凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OAOC3OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）判断ADC的形状并且求ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PEAC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OAOC3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出

31、直线AC的解析式，过点P作PHy轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可【解答】解：（1）B点坐标为（1，0），OB1，又OAOC3OB，OAOC3，A（3，0），C（0，3），将A，B，C三点代入解析式得，解得，抛物线的解析式为：yx2+2x3；（2）由（1）知抛物线的解析式为yx2+2x3，对称轴为直线x1，当x1时，y（1）2+2（1）34，D点的坐标为（1，4），|AD|2，|AC|3，|CD|，|AD|2|AC|2+|CD|2，ACD是直角三角形，SABC|AC|CD|3；（3）设直线AC的解析式为ysx+t，代入A，C点坐标，得，解得

32、，直线AC的解析式为yx3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC，OACOCA45，PHy轴，PHEOCA45，设点P（x，x2+2x3），则点H（x，x3），PHx3（x2+2x3）x23x，PEPHsinPHE（x23x）（x+）2+，当x时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（，）8（2022无锡二模）已知抛物线ymx22mx+3（m0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB3OA（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且BCN的面积总小于BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的

33、一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EFOC，求点P的坐标【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），因为OB3OA，所以x23x1，又由于x1，x2是方程mx22mx+30的两根，所以x1+x22，从而求出x1的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即可解决问题；（2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，设M（a，a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到G（a，a+3），从而得的MGa2+3a，利用SMBCSMGC+SMGB，得到SMBC，当a时，MBC面积最大，从而求得M点坐标；（3）由EF得EF1，过D作DQy轴

34、交BP于Q点，设出P点坐标，求出D点坐标和直线BP解析式，从而表示出DQ的长度，由PEFPQD，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，列出方程，即可解决【解答】解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），OB3OA，x23x1，令y0，则mx22mx+30，x1与x2是方程的两根，x1+x22，又x23x1，x11，x23，A（1，0），B（3，0），将x1代入到方程中得m1，抛物线的函数表达式为：yx2+2x+3；（2）令x0，则yx2+2x+33，C（0，3），设直线BC解析式为ykx+3，代入点B的坐标得，k1，直线BC的解析式为：yx+3，设M（a，a2+2a+3），如图1，过M作

35、MGy轴交直线BC于G点，则G（a，a+3），MGa2+3a，SMBCSMGC+SMGB，当a时，MBC面积最大，此时BCN的面积总小于BCM的面积，M（）；（3）如图2，由（1）可得，OC3，EF，设P（t，t2+2t+3），B（3，0），直线BP的解析式为y（t+1）（x3），y（x1）2+4，D（1，4），过D作y轴的平行线交直线BP于Q点，Q（1，2t+2），DQ22t，DQy轴，PEFPQD，P（）9（2021乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的

36、顶点，连接AM，CM，求AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）AMC的面积SMHC+SMHAMHOA，即可求解；（3）点D在直线AC上，设点D（m，m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EFOD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解【解答】解：（1）设抛物线的表达式为ya（xx1）（xx2）a（x5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：a（05）（0+1），解得a，故抛物线的表达式为y（x5）（x

37、+1）x2+2x+；（2）由抛物线的表达式得顶点M（2，），过点M作MHy轴交AC于点H，设直线AC的表达式为ykx+t，则，解得，故直线AC的表达式为yx+，当x2时，y，则MH3，则AMC的面积SMHC+SMHAMHOA35；（3）点D在直线AC上，设点D（m，m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EFOD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，则EF2OD2m2+（m+）2m2m+，0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m1，故点D（1，2），点P、D的纵坐标相同，故2x2+2x+，解得x2，故点P的坐标为（2，2）或（2，2）10（2021河池）在平面直角坐标系中，抛物

38、线y（x1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线xm与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DGCA于点G，若E为GA的中点，求m的值（3）直线ynx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1x2若x2x13且y2y10，结合函数图象，探究n的取值范围【分析】（1）由y（x1）2+4中，得A（3，0），B（1，0），C（0，3），利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为yx+3；（2）根据直线xm与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得D（m，（m1）2+4），且0m3，E

39、（m，m+3），F（m，0），从而AF3m，DEm2+3m，而EAF是等腰直角三角形，可得AEAF3m，DEG是等腰直角三角形，即可列m2+3m（3m），解得m2或m3（舍去）；（3）由得或，若3n1，即n4，根据x2x13且y2y10，可得3n（1）3，且n2+4n00，即解得0n1；若3n1，即n4，可得：1（3n）3且0（n2+4n）0，即解得n7【解答】解：（1）在y（x1）2+4中，令x0得y3，令y0得x1或3，A（3，0），B（1，0），C（0，3），设直线CA的解析式为ykx+b，则，解得，直线CA的解析式为yx+3；（2）直线xm与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，D（m，（m1）2+4），且0m3，E（m，m+3），F（m，0），AF3m，DE（m1）2+4（m+3）m2+3m，A（3，0），C（0，3），EAF45，EAF是等腰直角三角形，AEAF3m，DEGAEF45，DEG是等腰直角三角形，DEGE，E为GA的中点，GEAE3m，m2+3m（3m），解得m2或m3，m3时，D与A重合，舍去，m2；（3）由得或，若3n1，即n4，如图：x2x13且y2y10，3n（1）3，且n2+4n00，解得