探究型问题.docx

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1、中考数学二轮复习重要考点精析探究型问题 一、中考专题诠释 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类 二、解题策略与解法精讲 由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式

2、或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律 2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用 三、中考考点精讲考点一：

3、条件探索型： 此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件例1 如图1，点A是线段BC上一点，ABD和ACE都是等边三角形（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将ABD绕点A顺时针旋转得到ABD当旋转角为 60度时，边AD落在AE上；在的条件下，延长DD交CE于点P，连接BD，CD当线段AB、AC满足什么数量关系时，BDD与CPD全等？并给予证明思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=60，然后求出BAE=DAC，再利用“边角边”证明BAE和DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）求出DAE，即可得到旋转角度数；当AC=2A

4、B时，BDD与CPD全等根据旋转的性质可得AB=BD=DD=AD，然后得到四边形ABDD是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得ABD=DBD=30，菱形的对边平行可得DPBC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，ACE=60，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出PCD=ACD=30，从而得到ABD=DBD=BDD=ACD=PDC=30，然后利用“角边角”证明BDD与CPD全等解答：（1）证明：ABD和ACE都是等边三角形AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=60，BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=DAC，在BAE和DAC中，BAEDAC（SAS），BE=CD；（2）解：BAD=CA

5、E=60，DAE=180-602=60，边AD落在AE上，旋转角=DAE=60；当AC=2AB时，BDD与CPD全等理由如下：由旋转可知，AB与AD重合，AB=BD=DD=AD，四边形ABDD是菱形，ABD=DBD=ABD=60=30，DPBC，ACE是等边三角形，AC=AE，ACE=60，AC=2AB，AE=2AD，PCD=ACD=ACE=60=30，又DPBC，ABD=DBD=BDD=ACD=PCD=PDC=30，在BDD与CPD中，BDDCPD（ASA）故答案为：60点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质

6、与全等三角形的判定是姐提到过对应训练1如图，ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F（1）求证：AOECOF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，ABCDE=F又AOE=COFAOECOF（ASA）；（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知AOECOF，OE=OF，AO=CO，四边形AECF是平行四边形，EF=AC，四边形AECF是矩形考点二：结论探究型： 此类问题给定条件但无明确结论或

7、结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论例2 已知ACD=90，MN是过点A的直线，AC=DC，DBMN于点B，如图（1）易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CECB于点C，与MN交于点EACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE四边形ACDB内角和为360，BDC+CAB=180EAC+CAB=180，EAC=BDC又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB=CB（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证

8、明（2）MN在绕点A旋转过程中，当BCD=30，BD=时，则CD= 2，CB= +1思路分析：（1）过点C作CECB于点C，与MN交于点E，证明ACEDCB，则ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB-AE即可证得；（2）过点B作BHCD于点H，证明BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角BCH中，利用直角三角形中30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得解：（1）如图（2）：AB-BD=CB证明：过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，ACE=90-DCE，BCD=90-ECD，BCD=ACEDBMN，CAE=90-AFC，D=90-BFD，AFC

9、=BFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AB-AE，BE=AB-BD，AB-BD=CB如图（3）：BD-AB=CB证明：过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，ACE=90+ACB，BCD=90+ACB，BCD=ACEDBMN，CAE=90-AFB，D=90-CFD，AFB=CFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AE-AB，BE=BD-AB，BD-AB=CB（2）如图（2），过点B作BHCD于点H，ABC=45，DBMN，CBD=

10、135，BCD=30，CBH=60，DBH=75，D=15，BH=BDsin45，BDH是等腰直角三角形，DH=BH=BD=1，BCD=30CD=2DH=2，CH=，CB=CH+BH=+1；点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等对应训练2如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 DEAC；设BDC的面积为S1，AEC的面积

11、为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长解：（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90-B=90-30=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB

12、，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=180-90=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF=SBDE， 过点D作DF2

13、BD，ABC=60，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180-30=150，CDF2=360-150-60=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或考点三：规律探究型： 规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来

14、探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例3 观察方程：x+=3，方程：x+=5，方程：x+=7（1）方程的根为： x1=1，x2=2；方程的根为： x1=2，x2=3；方程的根为： x1=3，x2=4；（2）按规律写出第四个方程： =9；此分式方程的根为： x1=4，x2=5；（3）写出第n个方程（系数用n表示）： =2n+1；此方程解是： x1=n，x2=n+1思路分析：先计算出方程的根，再根据根的变化规律求出方程的一般形式及根的变化规律解：（1）两边同

15、时乘以x得，x2-3x+2=0，方程根：x1=1，x2=2；两边同时乘以x得，x2-5x+6=0，方程根：x1=2，x2=3；两边同时乘以x得，x2-7x+12=0，方程根：x1=3，x2=4；（2）方程：x+=9；方程根：x1=4，x2=5（3）第n个方程：x+=2n+1此方程解：x1=n，x2=n+1点评：本题考查了分式方程的解，从题目中找出规律是解题的关键对应训练3如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（

16、5，1），按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是 （2019，2）3（2019，2）考点四：存在探索型： 此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例4 如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，AEP=90，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1） 的值为 ；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由思路分析：（1）由正方形的性质可得：B=C=90，由同角的余角相等，可证得：BAE=CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在B

17、A边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到AKE=ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合KAE=CEP，证明AKEECP，于是结论得出；（3）作DMAE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DMEP，由已知条件证明ADMBAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出解：（1）四边形ABCD是正方形，B=D，AEP=90，BAE=FEC，在RtABE中，AE=，sinBAE=sinFEC=，=，（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，B=90，BK=BE，BKE=45，AKE=135，CP平分外角，DCP=45，ECP=135，AKE=ECP，A

18、B=CB，BK=BE，AB-BK=BC-BE，即：AK=EC，易得KAE=CEP，在AKE和ECP中， AKEECP（ASA），AE=EP；（3）答：存在证明：作DMAE于AB交于点M，则有：DMEP，连接ME、DP，在ADM与BAE中，ADMBAE（AAS），MD=AE，AE=EP，MD=EP，MDEP，MD=EP，四边形DMEP为平行四边形点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择对应训练4问题探究：（1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图，M是正方

19、形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由问题解决：（3）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由解：（1）如图1所示，（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EFOM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等份，理由是：点O是正方形ABCD的对称中心，AP=CQ，EB=DF，在AOP

20、和EOB中AOP=90-AOE，BOE=90-AOE，AOP=BOE，OA=OB，OAP=EBO=45，AOPEOB，AP=BE=DF=CQ，设O到正方形ABCD一边的距离是d，则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM，直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，理由是：如图，连接BP并延长交CD的延长线于点E，ABCD，A=EDP，在ABP和DEP中，ABPDEP（ASA），BP=EP，连接CP，BPC的边BP和EPC的边EP

21、上的高相等，又BP=EP，SBPC=SEPC，作PFCD，PGBC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，由三角形面积公式得：PF=PG，在CB上截取CQ=DE=AB=a，则SCQP=SDEP=SABPSBPC-SCQP+SABP=SCPE-SDEP+SCQP即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，BC=AB+CD=a+b，BQ=b，当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分四、中考演练1如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则A的度数是 121122如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC

22、的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由解：（1）BD=CD理由如下：AFBC，AFE=DCE，E是AD的中点， AE=DE，在AEF和DEC中，AEFDEC（AAS），AF=CD，AF=BD，BD=CD；（2）当ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AF=BD，四边形AFBD是平行四边形，AB=AC，BD=CD，ADB=90，AFBD是矩形3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）（1）求抛物线的解

23、析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把C（0，-3）代入得：3a=-3，解得：a=-1，故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3，y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上4如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F（1）求

24、证：ADEBFE；（2）若DF平分ADC，连接CE试判断CE和DF的位置关系，并说明理由解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC又点F在CB的延长线上，ADCF，1=2点E是AB边的中点，AE=BE在ADE与BFE中，ADEBFE（AAS）；（2）解：CEDF理由如下：如图，连接CE由（1）知，ADEBFE，DE=FE，即点E是DF的中点，1=2DF平分ADC，1=3，3=2，CD=CF，CEDF5先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）解：在抛物线y=-x2+2

25、x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A（-1，3），再向下平移2个单位得到A（-1，1）；点B向左平移1个单位得到B（0，4），再向下平移2个单位得到B（0，2）设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c则点A（-1，1），B（0，2）在抛物线上可得：，解得：所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式解：在直线y=2x-3上任取一点A（0，-3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A（3，-2），设平移后的解析式为y=2x+

26、b，则A（3，-2）在y=2x+b的解析式上，-2=23+b，解得：b=-8，所以平移后的直线的解析式为y=2x-86分别以ABCD（CDA90）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，ABE，CDG，ADF（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由解：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，DAB+ADC=180，ABE，CDG，ADF都是等腰直角三角形，DG=CG=AE=B

27、E，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45，GDF=GDC+CDA+ADF=90+CDA，EAF=360-BAE-DAF-BAD=270-（180-CDA）=90+CDA，FDG=EAF，在EAF和GDF中，EAFGDF（SAS），EF=FG，EFA=DFG，即GFD+GFA=EFA+GFA，GFE=90，GFEF；（2）GFEF，GF=EF成立；理由：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，DAB+ADC=180，ABE，CDG，ADF都是等腰直角三角形，DG=CG=AE=BE，DF=AF，CDG=ADF=BAE=45，BAE+FDA+EAF+ADF+FDC=180，EAF+CDF=45，

28、CDF+GDF=45，FDG=EAF，在EAF和GDF中，EAFGDF（SAS），EF=FG，EFA=DFG，即GFD+GFA=EFA+GFA，GFE=90，GFEF7在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PEAB，交AD于E，连结CE，CP已知A=60；（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，CPE的面积最大，并求出面积的最大值（2）试探究当CPECPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，CPE的面积为y，四边形ABCD为平行四边形，AB=DC=6，AD=BC=8，RtAPE，A=60，PEA=30，AE=2x，

29、PE=x，在RtDEF中，DEF=PEA=30，DE=AD-AE=8-2x，DF=DE=4-x，ABCD，PFAB，PFCD，SCPE=PECF，即y=x（10-x）=-x2+5x，配方得：y=-（x-5）2+，当x=5时，y有最大值，即AP的长为5时，CPE的面积最大，最大面积是；（2）当CPECPB时，有BC=CE，B=PEC=120，CED=180-AEP-PEC=30，ADC=120，ECD=CED=180-120-30=30，DE=CD，即EDC是等腰三角形，过D作DMCE于M，则CM=CE，在RtCMD中，ECD=30，cos30=，CM=CD，CE=CD，BC=CE，AB=CD，

30、BC=AB，则当CPECPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB8如图，已知AB是O直径，BC是O的弦，弦EDAB于点F，交BC于点G，过点C作O的切线与ED的延长线交于点P（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长（1）证明：连结OC，如图，PC为O的切线，OCPC，OCG+PCG=90，EDAB，B+BGF=90，OB=OC，B=OCG，PCG=BGF，而BGF=PGC，PGC=PCG，PC=PG；（2）解

31、：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BOBF理由如下：连结OG，如图，点G是BC的中点，OGBC，BG=CG，OGB=90，OBG=GBF，RtBOGRtBGF，BG：BF=BO：BG，BG2=BOBF，CG2=BOBF；（3）解：连结OE，如图，由（2）得BGBC，OG=，在RtOBG中，OB=5，BG=2，由（2）得BG2=BOBF，BF=4，OF=1，在RtOEF中，EF=2，ABED，EF=DF，DE=2EF=49如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EFAB，交BO于F；（1）求EF的长；（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线

32、BC交于点H、G；根据上述语句，在图1上画出图形，并证明；过点G作直线GDAB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值（1）解：解法一：在正方形OABC中，FOE=BOA=COA=45EFAB，FEO=BAO=90，EFO=FOE=45，又E（-2，0），EF=EO=2解法二：A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），OA=AB=6，EO=2，EFAB，即，EF=6=2（2）画图，如答图1所示：证明：四边形OABC是正方形，OHBC，OFHBFG，；EFAB，；证明：半圆与GD交于点P，OP=OH由得：，又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，=通过操作、观察可得，4BG12（3）解：由（2）可得：=，2OP+PM=BG+PM如答图2所示，过点M作直线MNAB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，NK=BG2OP+PM=BG+PM=NK+PMNK+KM，当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立又NK+KMMN=8，当点K在线段MN上时，等号成立当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8