专题6二次函数与平行四边形存在性问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）（解析版）.docx

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1、下载来源：初中数学资料群：795399662，其他科资料群：729826090挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1. 平面直角坐标系中，点

2、 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是.2. 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、，则，.3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022娄底）如图，抛物线yx22x6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0m6）在抛物线上，当m取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值（3）点F是抛物线上的动点，作FEAC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若

3、不存在，请说明理由【分析】（1）将x0及y0代入抛物线yx22x6的解析式，进而求得结果；（2）连接OP，设点P（m，2m6），分别表示出SPOC，SBOP，计算出SBOC，根据SPBCS四边形PBOCSBOC，从而得出PBC的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为ACFE和ACEF的情形当ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果【解析】（1）当x0时，y6，C（0，6），当y0时，x22x60，x16，x22，A（2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，2m6），SPOCxP3m，SBOP

4、|yP|+2m+6），SBOC18，SPBCS四边形PBOCSBOC（SPOC+SPOB）SBOC3m+3（+2m+6）18（m3）2+，当m3时，SPBC最大；方法二：如图2，作PQAB于Q，交BC于点D，B（6，0），C（0，6），直线BC的解析式为：yx6，D（m，m6），PD（m6）（2m6）+3m，SPBC（m3）2+，当m3时，SPBC最大；（3）如图3，当ACFE时，AECF，抛物线对称轴为直线：x2，F1点的坐标：（4，6），如图4，当ACEF时，作FGAE于G，FGOC6，当y6时，x22x66，x12+2，x222，F2（2+2，6），F3（22，6），综上所述：F（4，6

5、）或（2+2，6）或（22，6）【例2】（2022毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出

6、点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可【解析】（1）抛物线yx2+bx+c的顶点为D（2，1），抛物线的表达式为：y（x2）2+1x2+4x3（2）由（1）知，抛物线的表达式为：yx2+4x3，令x0，则y3，C（0，3）；令y0，则x1或x3，A（1，0），B（3，0）直线BC的解析式为：yx3设平移后的抛物线的解析式为：y（x2）2+1h，令（x2）2+1hx3，整理得x23x+h0，该抛物线与直线B

7、C始终有交点，94h0，hh的最大值为（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x2，E（2，1），DE2，设点M（m，m2+4m3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：当DE为边时，DEMN，则N（m，m3），MN|m2+4m3（m3）|m2+3m|，|m2+3m|2，解得m1或m2（舍）或m或mN（1，2）或（，）或（，）当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t3），解得m或（舍），N（3，0）综上，点N的坐标为N（1，2）或（，）或（，）或（3，0）【例3】（2022聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于

8、A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x1，顶点为点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图所示，求证：DACBCO；（3）如图，延长DC交x轴于点M，平移二次函数yx2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD12CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出

9、DAC和BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是MNQP和MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果【解答】（1）解：由题意得，二次函数的表达式为：yx22x+3；（2）证明：当x1时，y12（1）+34，D（1，4），由x22x+30得，x13，x21，A（3，0），B（1，0），AD220，C（0，3），CD22，AC218，AC2+CD2AD2，ACD90，tanDAC，BOC90，tanBCO，DACBCO；（3）解：如图，作

10、DEy轴于E，作D1Fy轴于F，DEFD1，DECD1FC，FD12DE2，CF2CE2，D1（2，1），y1的关系式为：y（x2）2+1，当x0时，y3，N（0，3），同理可得：，OM3，M（3，0），设P（2，m），当MNQP时，MNPQ，PQMN，Q点的横坐标为1，当x1时，y（12）2+18，Q（1，8），当MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x5时，y（52）2+18，Q（5，8），综上所述：点Q（1，8）或（5，8）【例4】（2022郴州）已知抛物线yx2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平

11、移，得到过原点O的直线MN点D是直线MN上任意一点当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）方法一：求出直线CD的解析式为y4x3，当y0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD3，证明DEOCEB，由相似三角形的性质得出，设OEx，则BE3x，列出方程求出x的值，则可得出答案；分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性

12、质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可【解析】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）由（1）可知，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+m，将C（0，3），B（3，0）代入得，直线BC的解析式为yx3，直线MN的解析式为yx，抛物线的对称轴为x1，把x1代入yx，得y1，D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为yk1x+b1，将C（0，3），D（1，1）代 入得，解得，直线CD的解析式为y4x3，当y0时，4x30，x，E（，0），OE方法二：由勾股定理得OD，BC3，BCMN，DEOCEB，设OEx，则BE3x，解

13、得x，OE存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形理由如下：（）若平行四边形以BC为边时，由BCFD可知，FD在直线MN上，点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DFBC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），BCMN，OBCDOB，GDx轴，GDFDOB，OBCGDF，又BOCDGF90，DGFBOC（AAS），GDOB，GFOC，GDt1，OB3，t13，t4，D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DFCB，同理可证DKFCOB（AAS），KDOC，KD1t，OC

14、3，1t3，t2，D（2，2）；（）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证DHCBPF（AAS），DHBP，HCPF，DHt，BP312，HCt（3）t+3，PF0nn，D（2，2），F（1，5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（2，2）；当点F的坐标为（1，5）时，点D的坐标为（2，2）声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/5 16:33:11；用户：账号1；邮箱

15、：yzsysx1；学号：256700251（2021滨城区一模）如图，抛物线yax2+bx5（a0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为ykx+b（k0）（1）求抛物线的解析式（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值（3）过点A作AMBC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐

16、标【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入yax2+bx5计算出a，b的值即可；（2）作EDx轴于D，表示出ED，从而表示出SBEP，利用二次函数求最值；（3）过A作AEy轴交直线BC于E点，过N作NFy轴交直线BC于点F，则NFAE4，设N（m，m2+6m5），则F（m，m5），从而有NF|m2+5m|4，解方程即可求出N的横坐标【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入yax2+bx5得：，解得，抛物线yx2+6x5，（2）作EDx轴于D，由题意知：BP4t，BE2t，B（5，0），C（0，5），OBOC5，OBC45，EDsin452t，SBEP，当t 时，SBEP最大为2

17、当t2时，SBEP最大为2（3）过A作AEy轴交直线BC于E点，过N作NFy轴交直线BC于点F，则NFAE4，设N（m，m2+6m5），则F（m，m5），NF|m2+5m|4，m25m+40或m25m40，m11（舍），m24，或m3，m4，点N的横坐标为：4或或2（2021九龙坡区模拟）如图1，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PNBC，交BC于点N（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大

18、值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线yax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程【分析】（1）将点A（3，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为yx+4，设P（m，m2+m+4），Q（m，m+4），由面积SBCPBCPNPQOB，可得PN（m2）2+，所以当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移

19、，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y+t，再由新抛物线y过原点，可求t2，则可求新的抛物线解析式为yx2+x，联立x2+xx2+x+4，求出D（3，2），由点E在y上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：当AE与DF为平行四边形的对角线时，3+n+3，得F（，）；当AF与ED为平行四边形对角线时，3+n3+，得F（，）；当AD与EF为平行四边形对角线时，3+3n+，得F（，）【解析】（1）将点A（3，0），B（4，0）代入yax2+bx+4，得：，解得

20、：，yx2+x+4；（2）抛物线与y轴交于点C，C（0，4），设直线BC的解析式为ykx+d，将点B与点C代入可得，解得，yx+4，点P的横坐标为m，PMx轴，P（m，m2+m+4），Q（m，m+4），SBCPBCPNPQOB，B（4，0），C（0，4），BC8，8PN（m2+m+4+m4）4，PN（m2）2+，当m2时，PN有最大值，P（2，）；（3）yx2+x+4+，抛物线沿着射线CB的方向平移，设抛物线沿x轴正方向平移t（t0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y+t，新抛物线y过原点，0+t，解得t2或t6（舍），y+x2+x，点D为原抛物线y与新抛物线y的交点，

21、联立x2+xx2+x+4，x3，D（3，2），yx2+x+4的对称轴为直线x，E点的横坐标为，点F为新抛物线y上一动点，设F点横坐标为n，当AE与DF为平行四边形的对角线时，3+n+3，n，F（，）；当AF与ED为平行四边形对角线时，3+n3+，n，F（，）；当AD与EF为平行四边形对角线时，3+3n+，n，F（，）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（，）或（，）或（，）3（2021碑林区校级模拟）如图，抛物线M：yax2+bx+ba经过点（1，3）和（4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线

22、N：y（xh）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值【解析】（1）将（1，3），（4，12）代入yax2+bx+ba，得，解得，抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为（2）存在，当x0时，y2，当y0时，解得x11，x24，C（0，2），B（4，0），设，当四边形BCFE是平行

23、四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则得m+n2h1，（+）2得，（）2得，将，代入得h，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则得m+n2h1，（+）2得，（）2得，将，代入得h或，当h时，mh+8，nh4，E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或4（2021本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E（1）填空：ABC的形状是 直角三角形（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛

24、物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标【分析】（1）由tanACO，故ACO30，同理可得，BCO60，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；当ED为对角线时，由中点坐标公式得：m+n且4+2n2+n+3+3，即可求解【解析】（1）由抛物线的表达

25、式知，c3，OC3，则tanACO，故ACO30，同理可得，BCO60，故ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为yx2+x+3；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为yx+3，则设直线lBC，则设直线l的表达式为：yx+c，当PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立并整理得：x2+x+3c0，则（）24（）（3c）0，解得：c，将c的值代入式并解得x，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），直线BC的表达式为yx+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，m+3），点N的坐标为（n，n

26、2+n+3），当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），则mn且m+32n2+n+3，解得：m（舍去）或2或；当ED为对角线时，由中点坐标公式得：m+n且4+2n2+n+3m+3，解得m（舍去）或0，综上，m0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）5（2021深圳模拟）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，3a），对称轴是直线x1，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为

27、平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线yx+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由【分析】（1）因为抛物线经过点（2，3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可

28、以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CPAN，使CPAN，由于AN2，所以可以得到P（2，3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用yx+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得DOB是等腰直角三角形，同理可以证得BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得AEFAFE45，所以AEF是等腰直角三角形【解析】（1）抛物线经过点（2，3a），4a+2b33a，又因为抛物线对称为x1，联立，解得，抛物线对应的函数表达式为yx22x3；（2）如图1，y（x1）24，M（1，4），令x0，则yx22x33，

29、C（0，3），设直线MC为ykx3，代入点M得k1，直线MC为yx3，令y0，则x3，N（3，0），令y0，则x22x30，x1或3，A（1，0），B（3，0），过C作CPAN，使CPAN，则四边形ANCP为平行四边形，CPAN1（3）2，P（2，3），P的坐标满足抛物线解析式，P（2，3）在抛物线上，即P（2，3）；（3）如图2，令x0，则yx+33，D（0，3），OBOD3，又DOB90，DBO45，同理，ABC45，同弧所对的圆周角相等，AEFABC45，AFEDBO45，AEFAFE45，AEF为等腰直角三角形6（2021铜梁区校级一模）已知抛物线yax2+bx+3与x轴交于A、B两点

30、（点A在点B的左侧）与y轴交于点C其中OCOB，tanCAO3（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线yM为新抛物线y的顶点D为新抛物线y上任意一点，N为x轴上一点当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标并选择一个你喜欢的N点写出求解过程【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标

31、公式即可求出相应的点【解析】（1）抛物线解析式为yax2+bx+3，令x0得y3，点C坐标为（0，3），OGOB3，B坐标为（3，0），tanCAO3，3，OA1，点A坐标为（1，0），设解析式为ya（x+1）（x3），代入（0，3）得a1，y（x+1）（x3），（x22x3）x2+2x+3（x1）2+4，抛物线解析式为：y（x1）2+4；（2）Q为线段PB中点，SCPQSCPB，当SCPB面积最大时，CPQ面积最大设P坐标（a，a2+2a+3），过点P作PHy轴交BC于点H，H坐标为（a，a+3），PH（a2+2a+3）（a+3）a2+2a+3+a3a2+3a，SCPBPH（xBxC）PH3

32、PH（a2+3a）（a23a+）（a）2+，当a时，即P坐标为（，）时，最大SCPQSCPB，P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，新抛物线解析式为y（x3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），yD1，则1（x3）2+21（x3）2，（x3）21，x31，x4或2，xD4或xD2，xN7，或，xN5，N坐标为（7，0）或（5，0），或，得yD1，则1（x3）2+2，（x3）23，x+3，xD3或xD3+，即xN或，N坐标为（，0）或（，0）7（2021盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（4

33、，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OAOB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sinABO的值；连接OC若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（4，0），C（2，6）代入yx2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OAOB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为ykx+b，将

34、A（4，0）、B（0，4）代入可求得AB为yx+4，RtAOB中，可得sinABO，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQx轴于Q，过C作CHx轴于H，分两种情况：当SAOP：SCOP1：2时，PQ：CH1：3，可求PQ2，从而求得P坐标，当SCOP：SAOP1：2时，SAOP：SAOC2：3，同理可求P坐标；（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可【解析】（1）将A（4，0），C（2，6）代入yx2+bx+c得：，解得，抛物线的解析式为yx2+2x，对称轴x2，当x2时，y4+2（2）2，

35、顶点M的坐标为（2，2）；（2）A（4，0），OA4，OAOB，OB4，B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为ykx+b，将A（4，0）、B（0，4）代入得：，解得，直线AB的函数解析式解析式为yx+4，RtAOB中，AB4，sinABO，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQx轴于Q，过C作CHx轴于H，分两种情况：当SAOP：SCOP1：2时，如图：SAOP：SCOP1：2，SAOP：SAOC1：3，PQ：CH1：3，而C（2，6），即CH6，PQ2，即yP2，在yx+4中，令y2得2x+4，x2，P（2，2）；当SCOP：SAOP1：2时，

36、如图：SCOP：SAOP1：2，SAOP：SAOC2：3，PQ：CH2：3，CH6，PQ4，即yP4，在yx+4中，令y4得4x+4，x0，P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，A（4，0）、O（0，0），C（2，6），AN的中点为（，），OC中点为（，），解得，N（6，6），以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，N（2，6），以AO、CN为对角线，

37、此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，N（6，6），综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（2，6）或（6，6）8（2021海州区一模）如图，抛物线yax2+bx3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MNAC交直线l于点N，是否存在点M，使

38、以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A，B坐标代入yax2+bx3中，利用待定系数法可求；（2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBFSCEF+SBEFEFOP+BPFEOB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，过M作MEy轴于E，过N作NFME于F，通过说明AOCMFN，得出NF3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用

39、相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GFNF3，列出方程，解方程，点M坐标可求；利用中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx3中得：解得：该抛物线的函数表达式为：yx22x3（2）设直线l的解析式为ykx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：解得：直线l的解析式为：yx+3点P（m，0），EFx轴，E点坐标为（m，m22m3），点F的坐标为（m，m+3）EFm+3m2+2m+3m2+m+6B（3，0），OB3S四边形CEBFSCEF+SBEFEFOP+BPEFFEOB，0，当m时，S四边形

40、CEBF有最大值即：当m时，四边形CEBF面积的最大值为（3）存在当点M在直线BD的下方时，如图，令x0，则y3C（0，3）OC3A（1，0），OA1过M作MEy轴于E，过N作NFME于F，交x轴于点G，四边形ACMN为平行四边形，ACMN，ACMNNFME，MEOE，NFOEACOMNF在AOC和MFN中，AOCMFN（AAS）NFOC3，MFOA1设M（h，h22h3），则MEh，GFOEh2+2h+3OGEFMEMFh1N（h1，h+4）NGh+4，NG+GFNF3，h+4h2+2h+33解得：h（负数不合题意，舍去）hM（）当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NEy轴于E，过M作MFNE于F，交x轴于点G，由知：MNFCAO（AAS），可得NFOA1，MFOC3设M（h，h22h3），则OGFEh，GMh22h