专题09二次函数与正方形存在性问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)(原卷版).docx
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1、下载来源:初中数学资料群:795399662,其他科资料群:729826090挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用) 专题09二次函数与正方形存在性问题 二次函数与正方形存在性问题1.作为特殊四边形中最特殊的一位,正方形拥有更多的性质,因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样,从判定的角度来说,可以有如下:(1)有一个角为直角的菱形;(2)有一组邻边相等的矩形;(3)对角线互相垂直平分且相等的四边形依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法,即可确定所求的点坐标2.对于二次函数与正方形的存在性问题,常见的处理思路有:思路1:从判定出发若已知菱形,则加有一个角为直角或对角线相等
2、;若已知矩形,则加有一组邻边相等或对角线互相垂直;若已知对角线互相垂直或平分或相等,则加上其他条件思路2:构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性,则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个,必是等腰直角三角形,若已知两定点,则可通过构造三垂直全等来求得第3个点,再求第4个点3.示例:在平面直角坐标系中,已知A、B的坐标,在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形 如图,一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形【例1】(2022齐齐哈尔)综合与探究如图,某一次函数与二次函数yx2+mx+n的图象交点为A(1,0),B(4,5)(1)求抛物线的解析
3、式;(2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为 ;(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DEx轴,交线段AB于点E,求线段DE长度的最大值;(4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐标【例2】(2022扬州)如图是一块铁皮余料,将其放置在平面直角坐标系中,底部边缘AB在x轴上,且AB8dm,外轮廓线是抛物线的一部分,对称轴为y轴,高度OC8dm现计划将此余料进行切割:(1)若切割成正方形,要求一边在底部边缘AB上且面积最大,求此正方形的面积
4、;(2)若切割成矩形,要求一边在底部边缘AB上且周长最大,求此矩形的周长;(3)若切割成圆,判断能否切得半径为3dm的圆,请说明理由【例3】(2022海南)如图1,抛物线yax2+2x+c经过点A(1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)在第一象限的抛物线上,AP交直线BC于点D(1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积;(3)点Q在抛物线上,当的值最大且APQ是直角三角形时,求点Q的横坐标;(4)如图2,作CGCP,CG交x轴于点G(n,0),点H在射线CP上,且CHCG,过GH的中点K作KIy轴,交抛物线于点I,连接IH,以IH
5、为边作出如图所示正方形HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时,请直接写出点G的坐标【例4】(2022长春)在平面直角坐标系中,抛物线yx2bx(b是常数)经过点(2,0)点A在抛物线上,且点A的横坐标为m(m0)以点A为中心,构造正方形PQMN,PQ2|m|,且PQx轴(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)若点B是抛物线上一点,且在抛物线对称轴左侧过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C,连结BC当BC4时,求点B的坐标;(3)若m0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时,或者y随x的增大而减小时,求m的取值范围;(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点,且交点的纵坐标之差为
6、时,直接写出m的值1(2020乐平市一模)如图,抛物线ya(xh)2+k(a0)的顶点为A,对称轴与x轴交于点C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为美丽抛物线,正方形ABCD为它的内接正方形(1)当抛物线yax2+1是美丽抛物线时,则a ;当抛物线y+k是美丽抛物线时,则k ;(2)若抛物线yax2+k是美丽抛物线时,则请直接写出a,k的数量关系;(3)若ya(xh)2+k是美丽抛物线时,(2)a,k的数量关系成立吗?为什么?(4)系列美丽抛物线ynan(xn)2+kn(n为小于7的正整数)顶点在直线yx上,且它们中恰有两条美丽抛物线内
7、接正方形面积比为1:16求它们二次项系数之和2(2016秋西城区校级期中)我们规定:在正方形ABCD中,以正方形的一个顶点A为顶点,且过对角顶点C的抛物线,称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线(1)在平面直角坐标系xOy中,点在轴正半轴上,点C在y轴正半轴上如图1,正方形OABC的边长为2,求以O为顶点的对角抛物线;如图2,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为a,其以O为顶点的对角抛物线的解析式为yx2,求a的值; (2)如图3,正方形ABCD的边长为4,且点A的坐标为(3,2),正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q,直接写出四边形MPNQ的形状和四边
8、形MPNQ的对角线的交点坐标3(2022陇县二模)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(2,0),两点,且与y轴交于点C,点B是该抛物线的顶点(1)求抛物线L1的表达式;(2)将L1平移后得到抛物线L2,点D,E在L2上(点D在点E的上方),若以点A,C,D,E为顶点的四边形是正方形,求抛物线L2的解析式4(2022临潼区二模)在平面直角坐标系中,已知抛物线L1:yax2+bx+c经过A(2,0),B(1,)两点,且与y轴交于点C,点B是该抛物线的顶点(1)求抛物线L1的表达式;(2)将L1平移后得到抛物线L2,点D,E在L2上(点D在点E的上方),若以点A,C,D,E为顶点的四边形是正方形,
9、求抛物线L2的解析式5(2022松阳县一模)如图,抛物线与x轴,y轴分别交于A,D,C三点,已知点A(4,0),点C(0,4)若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB3:1(1)求抛物线的解析式和点D的坐标;(2)若线段OA,OC上分别存在点E,F,使EFFG已知OEm,OFt当t为何值时,m有最大值?最大值是多少?若点E与点R关于直线FG对称,点R与点Q关于直线OB对称问是否存在t,使点Q恰好落在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由6(2022香坊区校级开学)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴正半轴上,四边形OABC是正方形,抛物线yx2+b
10、x+c经过点B、C,OA18(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点D是OA的中点,经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F,连接BD,若EDA2ABD,求直线DE的解析式;(3)如图3,在(2)的条件下,点G在OD上,连接GC、GE,点P在AB右侧的抛物线上,点Q为BP中点,连接DQ,过点B作BHBP,交直线DP于点H,连接CH、GH,若GCGE,DQPQ,求CGH的周长7(2021咸丰县一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l,P是该抛物线上一动点,其横坐标为m,过点P作PQl于点Q,M是直线l上的一点,其纵坐
11、标为以PQ,QM为边作矩形PQMN(1)求抛物线的解析式;(2)当点Q与点M重合时,求m的值;(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值;(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,求m的取值范围8(2021云南模拟)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,且经过点D(5,6)(1)求抛物线的解析式及点A,B的坐标;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在点P,使APD是等腰直角三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AD下方,作正方形ADE
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