中考数学精创专题资料----高频考点突破--二次函数与最值.docx

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1、 中考数学高频考点突破-二次函数与最值1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx3(a0) 交y轴于点A，交x轴于点 B(3，0) 和点 C(1，0) . （1）求此抛物线的表达式.（2）若点P是直线 AB 下方的抛物线上一动点，当 ABP 的面积最大时，求出此时点P的坐标和 ABP 的最大面积. （3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线 AB 上确定一点H，使 DHP 为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标 .2（1）【问题提出】 如图1，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且AEEF，若BE2，CF=43，求AB的长；（2）【问题解决】市政府要规划一个形如梯形ABCD的花园，

2、如图2，BC90，BC40米园林设计者想在该花园内设计一个四边形AEFD区域来种植花卉，其他区域种植草皮，已知种植花卉的费用为每平方米100元要求E、F分别位于BC、CD边上，AEAD，且AD2AE，DF32米为了节约成本，要使得种植花卉所需总费用尽可能的少，即种植花卉的面积尽可能的小，请根据相关数据求出种植花卉所需总费用的最小值以及此时BE的长3如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DEy轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记ADC

3、的面积为S1，AEO的面积为S2，求S1S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移210个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.4已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合），在同一平面内，把线段AP、BP分别折成等边CDP和EFP，且D、P、F三点共线，如图所示 （1）若DF=2，求AB的长； （2）若AB=18时，等边CDP和EFP的面积之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此时P点位置，若没有最大值，说明理由 5如图，在矩形ABCD中，AB=

4、6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQBC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒(0t0，当xyC ，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可） （3）当 1x3 时，函数y的最小值等于6，求m的值 答案解析部分1【答案】（1）解：由题意，将点 B(3，0)，C(1，0) 代入 y=ax2+bx3 得： 9a3b3=0a+b3=0 ， 解得 a=1b=2 ，则此抛物线的表达式为 y=x2+2x3 ；（2）解：对于 y=x2+2x3 ， 当 x=0 时， y=3 ，即 A(0，3

5、) ，设直线AB的函数解析式为 y=kx+c ，将点 A(0，3)，B(3，0) 代入得： c=33k+c=0 ，解得 k=1c=3 ，则直线AB的函数解析式为 y=x3 ，如图，过点P作 PFx 轴于点F，交AB于点E，设点P的坐标为 P(m，m2+2m3) ， ABP 的面积为S，则点E坐标为 E(m，m3) ，PE=m3(m2+2m3)=m23m ， 点P是直线 AB 下方的抛物线上一动点，3m0 ，A(0，3)，B(3，0)，P(m，m2+2m3) ，BEP 的PE边上的高为 m+3 ， AEP 的PE边上的高为 m ，S=SBEP+SAEP ，=12(m23m)(m+3)+12(m2

6、3m)(m) ，=32(m23m) ，=32(m+32)2+278 ，由二次函数的性质可知，在 3m0 内，当 m=32 时， S 取最大值，最大值为 278 ，此时 m2+2m3=(32)2+2(32)3=154 ，故点P的坐标为 P(32，154) ， ABP 的最大面积为 278 ；（3）H(1324，5924)2【答案】（1）解：AEEF，四边形ABCD是正方形，AEF=90，B=C=90，BAE+AEB=90，FEC+AEB=90， BAE=FEC，ABEECF，ABBE=ECFC，AB2=AB243，AB=6；（2）解：如图2， 作AGDC，连接ED，设AE=x，AD=2AE=2x

7、，AGC=90，B=C=90，四边形ABCG为矩形，AG=BC=40，BAE+EAG=EAG+DAG=90，BAE=DAG，ABEAGD，ABAE=AGAD，又AD=2AE，AG=40AB=20，BE=AE2AB2=x2400，EC=40x2400，S四边形AEFD=SAED+SFED=12x2x+1232(40x2400)=x2+64016x2400=(x2400)+104016x2400，设x2400=a，S四边形AEFD=y，则y=a216a+1040=(a8)2+976，10，当a=8时，y有最小值是976，即BE=8米时，四边形AEFD的最小面积是976米2，种花卉所需总费用的最小值

8、为：976100=97600（元），种花卉所需总费用的最小值是97600元，此时BE的长为8米3【答案】（1）解：抛物线y=x2+2x3，与x轴交于A、B两点， 令y=0，得x2+2x3=0，解得x1=3，x2=1，点A在点B的左侧，点A的坐标为（3，0）；（2）解：如图1， 延长DE交x轴于点K，抛物线与y轴交于点C，C（0，3），设直线AC的函数表达式为y=kx+n（k0），A(3，0)，C(0，3)，n=33k+n=0，解得n=3k=1，直线AC的函数表达式为y=x3，设D(t，t2+2t3)，K(t，o)，其中3t0，E(t，t3)，DE=t23t，S1=SADC=DEOA2=32(t

9、23t)=32t292t，S2=SAEO=EKOA2=32(t+3)=32t+92，S1S2=32t292t(32t+92)=32t26t92=32(t+2)2+32，当t=2时，S1S2取得最大值，最大值为32，此时点D的坐标为(2，3)；（3）解：C(0，3)，B(1，0)， OBOC=13，抛物线沿射线CB方向平移210个单位长度，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，平移后的抛物线解析式为y=(x+12)24+6=(x1)2+2，当x=0时，y=3，M(0，3)，原抛物线的对称轴为直线x=1，设N(1，n)，当AM=AN时，9+9=4+n2，n=14，N(1，14)或N(1

10、，14)；当AM=MN时，9+9=1+(3n)2，n=3+17或n=317，N(1，3+17)或N(1，317)；综上所述：N点坐标为(1，14)或(1，14)或(1，3+17)或(1，317).4【答案】（1）解：CDP和EFP是等边三角形， CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF，DF=PD+PF=2，AB=AP+BP=3DF=32=6（2）解：没有最大值，理由如下： 设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF= 13 （183x）=6x，作CMPD于M，ENPF于N，则DM= 12 PD= 12 x，PN= 12 PF= 12 （6x），CM= 3 DM= 32

11、x，EN= 32 （6x），CDP的面积= 12 PDCM= 34 x2，EFP的面积= 34 （6x）2，等边CDP和EFP的面积之和S= 34 x2+ 34 （6x）2= 32 x23 3 x+9 3 ，32 0，S有最小值，没有最大值5【答案】（1）76（2）解：FQC=90，B=90，FQC=B，PQAB，CPQCAB，PQAB=QCBC，即PQ6=t8，PQ=34t，SEPC=12ECPQ，s=12(82t)34t=34t2+3t=34(t2)2+3，340，s有最大值，当t=2时，s的最大值为3（3）解：分两种情况讨论：如图1中，点E在Q的左侧当EPQACD时，可得PQCD=EQA

12、D，即34t6=83t8，解得t=2当EPQCAD时，可得PQAD=EQCD，即34t8=83t6，解得t=12857如图2中，点E在Q的右侧0t4，点E不能与点C重合，只存在EPQCAD可得PQAD=EQCD，即34t8=3t86，解得t=12839，故若EPQ与ADC相似，则t的值为2或12857或128396【答案】（1）解：由题意，得 0=16a8a+c4=c解得 a=12c=4所求抛物线的解析式为：y= 12 x2+x+4（2）解：设点Q的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G由 12 x2+x+4=0，得x1=2，x2=4点B的坐标为（2，0）AB=6，BQ=m+2QEACBQE

13、BACEGCO=BQBA即 EG4=m+26EG=2m+43SCQE=SCBQSEBQ= 12 BQCO 12 BQEG= 12 （m+2）（4 2m+43 ）= 13m2+23m+83= 13 （m1）2+3又2m4当m=1时，SCQE有最大值3，此时Q（1，0）（3）解：存在在ODF中（）若DO=DFA（4，0），D（2，0）AD=OD=DF=2又在RtAOC中，OA=OC=4OAC=45度DFA=OAC=45度ADF=90度此时，点F的坐标为（2，2）由 12 x2+x+4=2，得x1=1+ 5 ，x2=1 5此时，点P的坐标为：P（1+ 5 ，2）或P（1 5 ，2）（）若FO=FD，

14、过点F作FMx轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12 OD=1AM=3在等腰直角AMF中，MF=AM=3F（1，3）由 12 x2+x+4=3，得x1=1+ 3 ，x2=1 3此时，点P的坐标为：P（1+ 3 ，3）或P（1 3 ，3）（）若OD=OFOA=OC=4，且AOC=90AC= 42点O到AC的距离为 22 ，而OF=OD=2 22 ，与OF2 2 矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ 5 ，2）或P（1 5 ，2）或P（1+ 3 ，3）或P（1 3

15、 ，3）7【答案】（1）解：把(2，3)代入yax24ax3a，得34a8a3a， 解得： a15 ，函数y的表达式y 15x245x35（2）解：抛物线得对称轴为直线x 4a2a2 ，a0， 抛物线开口向上，当x2时，二次函数y随x的增大而减小，x m3 时，此二次函数y随着x的增大而减小，m32 ，即m6（3）解：由题意得：ya(x2)2a， 二次函数在3x1时有最大值3当a0 时，开口向上当x1时，y有最大值8a，8a3，a38 ；当a0 时，开口向下，当x2时，y有最大值a，a3，a3，综上， a38 或a38【答案】（1）解：将x=0代入y=2x24x6，得：y=6，点C的坐标为(0

16、，6)，y=2x24x6=2(x1)28，抛物线的顶点M的坐标为(1，8)；（2）解：如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP，根据轴对称的性质可得：PA=PB，PA+PC=PB+PC=BC，两点之间线段最短，此时PA+PC最小，将y=0代入y=2x24x6，得： 2x24x6=0，解得：x1=3，x2=1点B的坐标为(3，0)，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3，0)，C(0，6)代入，得：3k+b=0b=6，解得：k=2b=6，直线BC的解析式为y=2x6，顶点M的坐标为(1，8)，抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入y=2x6，得y=4，点P的坐标为（1，4）；P

17、A+PC=BC=OB2+OC2=32+62=35故此时PA+PC的最小值为35.（3）解：过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：设N点坐标为(n，2n24n6)，则Q点坐标为(n，2n6)，其中0n3，QN=(2n6)(2n24n6)=2n2+6n，SBCN=SNQC+SNQB=12QN(xQxC)+12QN(xBxQ)=12QN(xQxC+xBxQ)=12QN(xBxC)=12(2n2+6n)3=3n2+9n=3(n32)2+274，a=30，0n3，当n=32时，SBCN有最大值为274，将n=32代入2n24n6，得：2n24n6=152，BCN面积的最大值为2

18、74，此时点N的坐标为(32，152).9【答案】（1）解：抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) 、 B(5,0) 两点 将 A(1,0) 、 B(5,0) 两点代入 y=x2+bx+c ，得： 1b+c=025+5b+c=0b=4c=5抛物线的解析式为： y=x2+4x+5 （2）解：直线 y=34x+3 与y轴交于点C，与x轴交于点D 点C的坐标为 (0,3) ，点D的坐标为 (4,0)0m4点P的横坐标为m点P的坐标为 (m,m2+4m+5) ，点E的坐标为 (m,34m+3)PE=(m2+4m+5)(34m+3)=m2+194m+2=(m198)2+48964a=1

19、0 ， 01980164a+b04a216b0 且1 2a8 2，4a8，a是整数，a=5 或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解当a=6时，代入不等式组，不等式组无解当a=7时，代入不等式组，不等式组无解综上所述，不存在整数a、b，使得1x12和1x22同时成立11【答案】（1）解：把 A(1，0) ， C(0，5) 代入 y=x2+bx+c ， 得 1b+c=0c=5 ，解得 b=4c=5 这个抛物线的解析式为： y=x2+4x+5 ，令 y=0 ，则 x2+4x+5=0 ，解得 x1=5 ， x2=1 ，B(5，0) ，m=5 ；（2）解： 抛物线的解析式为： y=x2+4x+

20、5=(x2)2+9 ， 对称轴为 x=2 ，设 D(x，x2+4x+5) ，DE/x 轴，E(4x，x2+4x+5) ， 过点 D 作 x 轴的平行线交抛物线于点 E ，作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G ，过点 E 作 EFx 轴， 四边形 DEFG 是矩形， 四边形 DEFG 的周长 =2(x2+4x+5)+2(x4+x)=2x2+12x+2=2(x3)2+20 ， 当 x=3 时，四边形 DEFG 的周长最大， 当四边形 DEFG 的周长最大时，点 D 的坐标为 (3，8) ；（3）解：过点 C 作 CH 对称轴于 H ，过点 N 作 NKy 轴于 K ， NKC=MHC=90 ，由翻

21、折得 CN=CM ， BCN=BCM ，B(5，0) ， C(0，5) OB=OC ，OCB=OBC=45 ，CH 对称轴于 H ，CH/x 轴，BCH=45 ，BCH=OCB ，NCK=MCH ，MCH NCK(AAS) ，NK=MH ， CK=CH ， 抛物线的解析式为： y=x2+4x+5=(x2)2+9 ， 对称轴为 x=2 ， M(2，9) ，MH=95=4 ， CH=2 ，NK=MH=4 ， CK=CH=2 ，N(4，3) ，设直线 BN 的解析式为 y=mx+n ，4m+n=35m+n=0 ，解得 m=13n=53 ， 直线 BN 的解析式为 y=13x+53 ，Q(0，53)

22、，设 P(2，p) ，PQ2=22+(p53)2=p2103p+619 ，BP2=(52)2p2=9+p2 ，BQ2=52+(53)2=25+259 ，分两种情况： 当 BQP=90 时， BP2=PQ2+BQ2 ，9+p2=p2103p+619+25+259 ，解得 p=233 ， 点 P 的坐标为 (2，233) ； 当 QBP=90 时， PQ2=BP2+BQ2 ，p2103p+619=9+p2+25+259 ，解得 p=9 ， 点 P 的坐标为 (2，9) 综上，所有符合条件的点 P 的坐标为 (2，233) ， (2，9) 12【答案】（1）解：在y=x2+2x+3中，令x=0可得y

23、=3，C（0，3），令y=0，可得x2+2x+3=0，解得x=3或x=1，A（1，0），B（3，0）（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 3k+b=0b=3 ，解得 k=1b=3 ，直线BC的解析式为y=x+3设P（t，t+3），则M（t，t2+2t+3），PM=（t2+2t+3）（t+3）=t2+3tSBCM= 12 PM（ON+BN）= 12 PMOB= 12 3（t2+3t）= 32 （t 32 ）2+ 278 ， 32 0，当t= 32 时，BCM的面积最大，此时P点坐标为（ 32 ， 32 ）（3）解：y=x2+2x+3=（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x=1，设Q（

24、1，m），且C（0，3），N（ 32 ，0），CN= 32+(32)2 = 352 ，CQ= 1+(m3)2 = m26m+10 ，NQ= (132)2+m2 = 14+m2 ，CNQ为直角三角形，分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况：当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2=NQ2，即（ 352 ）2+（m26m+10）= 14 +m2，解得m= 72 ，此时Q点坐标为（1， 72 ）；当点Q为直角顶点时，则有NQ2+CQ2=CN2，即（m26m+10）+ 14 +m2=（ 352 ）2，解得x= 3+112 或x= 3112 ，此时Q点坐标为（1， 3+112 ）或（1，

25、 3112 ）；当点N为直角顶点时，则有NQ2+CN2=CQ2，即（ 352 ）2+ 14 +m2=m26m+10，解得m= 14 ，此时Q点坐标为（1， 14 ）；综上可知Q点的坐标为（1， 72 ）或（1， 3+112 ）或（1， 3112 ）或（1， 14 ）13【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a(x+1)(x3)，将点D坐标代入上式并解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x22x3；（2）解：设直线PD与y轴交于点G，设点P(m，m22m3)，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得，直线PD的表达式为：y=mx32m，则OG=3+2m，SPOD=12OG(xDxP

26、)=12(3+2m)(2m)=m2+12m+3，10，故SPOD有最大值，当m=14时，其最大值为4916；（3）解：OB=OC=3，OCB=OBC=45，ABC=OBE，故OBE与ABC相似时，分为两种情况：当ACB=BOQ时，AB=4，BC=32，AC=10，过点A作AHBC与点H，SABC=12AHBC=12ABOC，解得：AH=22，CH2则tanACB=2，则直线OQ的表达式为：y=2x，联立并解得：x=3，故点Q(3，23)或(3，23)；BAC=BOQ时，tanBAC=OCOA=31=3=tanBOQ，则直线OQ的表达式为：y=3x，联立并解得：x=1132，故点Q(1+132，

27、33132)或(1132，3+3132)；综上，点Q(3，23)或(3，23)或(1+132，1132)或(1132，3+3132).14【答案】（1）解：（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），把A（1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得： ab+c=025a+5b+c=0c=2 ，解得 a=25b=85c=2 ；y=25x2+85x+2 ；（法二）设抛物线的解析式为y=a（x5）（x+1），把（0，2）代入解析式得：2=5a，a=25 ；y=25(x+1)(x5) ，即 y=25x2+85x+2（2）解：过点F作FDx轴于D，当点P在原点左侧时，BP=6t，O

28、P=1t；在RtPOC中，PCO+CPO=90，FPD+CPO=90，PCO=FPD；POC=FDP，CPOPFD，FDPO=PFPC ；PF=PE=2PC，FD=2PO=2（1t）；SPBF= 12BPDF =t27t+6（0t1）；当点P在原点右侧时，OP=t1，BP=6t；CPOPFD，FD=2（t1）；SPBF= 12BPDF =t2+7t6（1t6）；当0t1时，S=t27t+6；此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：当t=0时，Smax=070+6=6；当1t6时，S=t2+7t6；由于13.56，故当t=3.5时，Smax=3.53.5+73.5+6=6.25；综上

29、所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25（3）解：能；若F为直角顶点，过F作FDx轴于D，由（2）可知BP=6t，DP=2OC=4，在RtOCP中，OP=t1，由勾股定理易求得CP2=t22t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t22t+5）；在RtPFB中，FDPB，由射影定理可求得PB=PF2PD=t22t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6t，联立两式可得t22t+5=6t，即t= 1+52 ，P点坐标为（ 512 ，0），则F点坐标为：（ 5+72 ， 5 1）B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，PFBCPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OBBP=1

30、，此时t=2，P点坐标为（1，0）FD=2（t1）=2，则F点坐标为（5，2）15【答案】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25， 0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25， y=-0.25（x-5）2+6.25；（2）解：当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，10-32=4， 42=2， x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=4， 4-3.5=0.5， 隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；（3）解：I假设AO=x，可得AB=1

31、0-2x， AD=-0.25（x-5）2+6.25；矩形ABCD的周长为l为：l=20.25(x5)2+6.25+2(102x)=0.5x2+x+20，l的最大值为： 4acb24a=4(12)2012=20.5 II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q POA=OPA=45， Q点的纵坐标为5， 5= m2+10m 4 ， 解得：m=55， 所以P(55，55)或(5+5，5+5)当P3NQ3=90时，过点Q3作Q3K1对称轴，当NQ3K1为等腰直角三角形时，NP3Q3为等腰直角三角形， Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3=14x2+52xx， Q3K1=5-x， Q点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4=x(14x2+52x)， Q4K2=x-5，14x272x+10=0， 解得：x1=4，x2=10， P3（4，4），P4（10，10） 使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： (55，55)或(5+5，5+5)或（4，4）或（10，10）16【答案】（1）解：抛