圆的方程学案 高三数学一轮复习.docx

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1、59级高三数学课堂学案 圆的方程【学习目标】1. 求圆的标准方程与一般方程 2. 能用圆的方程解决一些简单的问题【重难点】重点： 求圆的标准方程与一般方程难点：能用圆的方程解决一些简单的问题【知识梳理】圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(xa)2(yb)2r2(r0)圆心为 半径为 一般式x2y2DxEyF0表示圆的充要条件： 圆心坐标： 半径r 思考1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？2点与圆的位置关系有几种？如何判断？已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上： (2)点在圆外： (3)点在圆

2、内：题型一求圆的方程1(2020全国卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A. B. C. D.2已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x7y80上，则圆C的方程为_3若不同的四点A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a,3)共圆，则a的值是_ 【跟踪训练】1圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_2半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_题型二与圆有关的轨迹问题例1已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中

3、点M的轨迹方程 跟踪训练1.圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y2102.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程题型三 与圆有关的最值问题例2已知实数x，y满足方程x2y24x10，（1）求的最大值和最小值（2）求yx的最大值和最小值.（3）求x2y2的最大值和最小值 例3设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2,0)，则的最大值为_跟踪训练1

4、(2021湖南师大附中模拟)已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求yx的最大值和最小值2(2020北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A4 B5C6 D7【当堂检测】1设A为圆x2y22x0上的动点，PA是圆的切线且|PA|1，则P点的轨迹方程是()A(x1)2y24 B(x1)2y22Cy22x Dy22x2已知实数x，y满足方程x2y22x4y0，则x2y的最大值是_，最小值是_圆的方程学案答案 1解析：选B因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)

5、在该圆上，所以可设该圆的方程为(xa)2(ya)2a2(a0)，所以(2a)2(1a)2a2，即a26a50，解得a1或a5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2xy30的距离为或，故选B.2解析：法一(几何法)：kAB1，即AB的垂直平分线的斜率k1.则AB的垂直平分线方程为yx，即xy10，联立方程解得即圆心为(3,2)(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)r，故圆C的方程为(x3)2(y2)213.法二(待定系数法)：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由题意可得解得故所求圆C的方程为(x3)2(y2)213.3解析四点共圆，设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解

6、得所以圆的方程为x2y24xy50，将D(a,3)代入得a24a210.解得a7或a3(舍) 跟踪训练 1解析：设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即 ，解得a2，圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y2102解析：由题意知圆心坐标为(3,3)或(3，3)，故所求圆的方程为(x3)2(y3)29或(x3)2(y3)29.二与圆有关的轨迹问题例1解(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y2

7、2x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24(y0)，即(x2)2y21(y0)因此动点M的

8、轨迹方程为(x2)2y21(y0)跟踪训练1.解析：由题意得P(x，y)，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P在6x8y210上.2.解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x0，y0)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x3)2(y4)24，除去

9、两点和例2解（1）原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.（2）解：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.（3）解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.例3由题意，

10、知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.跟踪训练1解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.直线MQ与圆C有交点，2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.(3)设yxb，则xyb0

11、.当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.yx的最大值为9，最小值为1.2解析：选A设该圆的圆心为(a，b)，则圆的方程为(xa)2(yb)21，该圆过点(3,4)，(3a)2(4b)21，此式子表示点(a，b)在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，则点(a，b)到原点的最小值为14，故选A.当堂检测1解析：选B圆x2y22x0可化为(x1)2y21，由题意可得圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x1)2y22.故选B.2解析原方程可化为(x1)2(y2)25，表示以(1，2)为圆心，为半径的圆设x2yb，即x2yb0，作出圆(x1)2(y2)25与一组平行线x2yb0，如图所示，当直线x2yb0与圆相切时，在y轴上的截距b取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离d，解得b10或b0，所以x2y的最大值为10，最小值为0.学科网（北京）股份有限公司