中考数学精创专题资料----高频考点训练--四边形综合题.docx

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1、 中考数学高频考点训练-四边形综合题1问题探究：（1）如图1，ABC中，AB=BC，ABC=90，BD是高，求证：BD=AD=CD.（2）如图2，在（1）条件下，E、F分别是AB和BC上的点，且EDF=90，如果BD=2，那么四边形EDFB的面积是 ；（3）如图3，四边形ABCD中，BD平分ABC，ABC=60，ADC=120，BD=4，求AB+BC的值.2反比例函数y= kx (x0) 的图像经过矩形ABCD的顶点A、C，AC的垂直平分线分别交AB、CD于点P、Q； 已知点B坐标为(1，2)，矩形ABCD的面积为8。 （1）求k得值； （2）求直线PQ的解析式： （3）连接PC、AQ， 判断

2、四边形APC Q的形状，并证明。 3如图1，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）设P点的横坐标为x，如图2，连接PC，PO记ySOPC+SOPB，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积4如图（1）问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（发现证

3、明）小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论.（2）（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD.（3）（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=40（ 3 1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： 2 =1.41， 3 =1.7

4、3）5如图，在平行四边形ABCD中，A60，对角线BDAD，AB8，点P从点C出发沿CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PEDC交折线CBBA于点E，以PE为边作等边三角形PEQ，点Q、B在PE的同侧，设点P的运动时间为t秒（1）求PE（用含t的代数式表示）（2）当点Q落在BC上时，求t的值（3）若PQE与平行四边形ABCD重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式（4）点P关于直线QC的对称点P，当PQAB时，直接写出t的值6定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”（1）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135AEB180

5、，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF试判定EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD4，BC8，请直接写出边AB长的最小值7综合与实践背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关健实践

6、操作：如图1，在RtABC中，B90，BC2AB12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为问题解决：（1）当0时， AEBD ；当180时， AEBD （2）试判断：当0a360时， AEBD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明 （3）当EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为 8在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD3，CD5，cosC 35 （如图）M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F （1）设CE 185 ，求证：四边形AMCD是平行四边形；

7、 （2）联结EM，设FMBEMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，D与M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M的半径长9问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系（1）（发现证明）小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论 （2）（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD（3）（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道

8、围成四边形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=40（ 3 1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： 2 =1.41， 3 =1.73）10如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且ABAM.AE为ABM边BM的中线，AFAB，EGGD，延长FO交AB于点N.（1）若BM4，MC6，AC10，求AM的长度：（2）若ACB45，求证：AN+AF2FG.11综合与探究问题情境在RtABC中，BAC90，ABAC，点D是射线BC上一

9、动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90至AE，连接DE，CE（1）探究发现如图1，BDCE，BDCE，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；（3）探究拓广当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系12如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至 CEFD ，旋转角为 . （1）当点 D 恰好落在EF边上时，求旋转角 的值； （2）如图2，G为BC的中点，且0 90，求证： GD=ED ； （3）

10、小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， DCD 与 CBD 能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能，说明理由. 13如图，在四边形ABCD中，DA=DC，ADC=B=90，过点D作DEAB于E.（1）求证：DE=BE.（2）连结AC交DE于点F，若tanADE=12，AD=15，求DF的长.14如图，在矩形ABCD中，AB6 5 ，BC3 5 动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动.过点P（不与点A、C重合）作EFAC，交AB或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒. （1）AC .当点F在AD上时，用含t的代数

11、式直接表示线段PF的长 . （2）当点F与点D重合时，求t的值. （3）设方形EFGH的周长为l，求l与t之间的函数关系式. （4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值. 15如图，在等腰直角三角形ABC中， ACB=90,AC=BC=4 D是AB的中点，E，F分别是AC，BC.上的点(点E不与端点A，C重合)，且 AE=CF 连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使 GO=OD ，连接DE，DF，GE，GF （1）求证:四边形EDFG是正方形; （2）直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少? 16菱形、矩形与

12、正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”（1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n若我们将菱形的“接近度”定义为|mn|（即“接近度”|mn|），于是|mn|越小，菱形就越接近正方形若菱形的“接近度” ，菱形就是正方形；若菱形的一个内角为60，则“接近度” （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为mn（即“接近度”mn）若矩形的“接近度” ，矩形就是正方形；若AOD45，求矩形的“接近度”答案解析部分1【答案】（1）证明：AB=B

13、C，BD是高， AD=CD=12AC，ABC=90，BD=12AC，BD=AD=CD.（2）2（3）解：延长BA，过点D作DEBA于点E，过点D作DFBC于点F，如图所示： 则BED=BFD=DFC=90，BD平分ABC，ABC=60，DBE=DBF=12ABC=30，DF=12BD=2，BF=BD2DF2=23，BD平分ABC，DEBA，DFBC，DE=DF，在RtBDE和RtBDF中DE=DFBD=BD，RtBDERtBDF(HL)，BE=BF=23， BAD+C=360ABCADC=180，BAD+EAD=180，EAD=C，在ADE和CDF中AED=CFDEAD=CDE=DF，ADEC

14、DF(AAS)，AE=CF，AB+BC=AB+BF+CF=AB+AE+BF=BE+BF=43.2【答案】（1）解：设BC=x，AB=y，由矩形面积可知，xy=8A点的坐标为（1，2+y），点C的坐标为（1+x，2）由点A和点B在反比例函数图象上即可得到，2+y=2（x+1）xy=82+y=2（x+1），解得，x=2，y=4k=16=6.（2）解：根据（1）可得，AB=4，BC=2AC=25由三角形相似可得，54=AP25，解得，AP=52，即点P的坐标为（1，72），同理可得点Q的坐标为（3，92），设PQ的解析式为y=kx+b，则有72=k+b92=3k+b，解得k=12，b=3PQ的解析式

15、为y=12x+3（3）解：菱形，连接PC和AQ，根据（2）中点P以及点Q的坐标可得AP=CQ，APCQ四边形APCQ为平行四边形由线段垂直平分线的性质可得，AP=PC平行四边形APCQ为菱形。3【答案】（1）解：将B、C两点的坐标代入得：16+4b+c=0c=4，解得：b=3c=4；所以二次函数的表达式为：y=x23x4；（2）解：设P点的横坐标为x，点P是直线BC下方的抛物线上一动点0x4，纵坐标为x23x4，且x23x40由题意可得，OC=OB=4由图形可得，SOPC=12OC|xP|=2x，SOPB=12OP|yP|=2(x23x4)=2x2+6x+8y=SOPC+SOPB=2x+(2x

16、2+6x+8)=2x2+8x+8故答案为：y=2x2+8x+8，0x4；（3）解：由图形可得，四边形ABPC的面积为SOPC+SOPB+SAOC，因为SAOC为定值，所以四边形ABPC的面积最大值就是SOPC+SOPB的最大值，将y=0代入函数解析式得，x23x4=0，解得x1=1，x2=4点A(1，0)，即OA=1，SAOC=12AOOC=2，由（2）得y=SOPC+SOPB=2x2+8x+820，开口向下，当x=2时，y最大，即SOPC+SOPB最大，为16，x23x4=6，即点P(2，6)四边形ABPC的面积为16+2=18即点P的坐标为(2，6)时，四边形ABPC的面积最大，为184【

17、答案】（1）解：如图（1）， ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAF=45，即DAF+BEA=EAF=45，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AG=AE，GAF=FAE，AF=AF，AFGAFE（SAS）.GF=EF.又DG=BE，GF=BE+DF，BE+DF=EF.（2）BAD=2EAF（3）解：如图3，把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，连接AF. BAD=150，DAE=90，BAE=60.又B=60，ABE是等边三角形，BE=AB=80米.根据旋转的性质得到：ADG=B=60，又ADF=120，GDF=180，即点G在CD的延长线上.易得，ADGABE，A

18、G=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAG=BAD=150，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AG=AE，GAF=FAE，AF=AF，AFGAFE（SAS）.GF=EF.又DG=BE，GF=BE+DF，EF=BE+DF=80+40（ 3 1）109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米.5【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，A=60，BDAD，AB=8，AB=CD=8，A=C=60，ABD=30，AD=BC=12AB=4，过点B作BFCD于点F，CBF=30，CF=12BC=2，BF= CFtan60=23，当0t1时，如图：PC=2t，C=60，PEDC，PE= PC

19、tan60=23t；当1t4时，如图：PEDC，同理，PE=23，综上，PE=23t(0t1)23(1t4)；（2）解：点Q落在BC上，只有2t4时，满足题意，如图：PQE为等边三角形，PEDC，PQ=PE=23，EPQ=60，QPC=30，PQC=180-30-60=90，PC=PQsin60=2332=4，t=42=2，点Q落在BC上时，t的值为2；（3）解：当0t1时，过点Q作QGPE于点G，如图：PE= PQ=23t；QG= PQsin60=3t，S=12PEQG=33t2；当1t2时，如图：同理可知PNC=MNQ=90，Q=60，PE= PQ=23，PC=2t，PN=3t，NQ=23

20、3t，MN=3(233t)，S=SPQE- SMNQ=33123(233t)(233t)=332t2+63t33；当2t4时，如图：同理，S=33，综上，S=33t2(0t1)332t2+63t33(1t2)33(2t4)；（4）解：当PQAB时，t的值为1秒或3秒6【答案】（1）解：如图，延长BE，DG交于点H， 四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，AB=AD，AE=AG，BAD=EAG=90BAE=DAGABEADG（SAS）BE=DG，ABE=ADGABD+ADB=90，ABE+EBD+ADB=DBE+ADB+ADG=90，即EBD+BDG=90，BHD=90BEDG又BE=DG，

21、四边形BEGD是“等垂四边形”（2）解：EFG是等腰直角三角形 理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，ABCD，AB=CD，HBC+HCB=90点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，EF 12 AB，GF 12 CD，EFAB，GFDC，BGF=C，EFD=HBD，EF=GF，EFG=EFD+DFG=ABD+DBC+FGB=ABD+DBC+C=HBC+HCB=90EFG是等腰直角三角形（3）解：延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F连接HE，EF，HF， 则EFHFHE 12 BC 12 AD422，由（2）可知AB 2 EF2 2

22、 ，AB最小值为 22 7【答案】（1）52；52（2）解：如图2， ，当0360时， AEBD 的大小没有变化证明如下：ECD=ACB，ECA=DCB，又ECCD=ACBC=52 ，ECADCB，AEBD=ECCD=52 问题再探：（3）6 5 或 18558【答案】（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MGCD于G，则EGCG 95 ， 在RtCGM中， CM=CGcosC=9535=3 ，ADCM，ADCM，四边形AMCD是平行四边形（2）解：如图2中，过点E作EHBC于H，过点M作MTEC于T MEMC，MTEC，CTET，cosC =CTCM=35 ，设EC6k，则CTET3k，M

23、CME5k，在RtCEH中，EH 45 CE 245 k，CH= 35 EC= 185 k，MHCMCH 75 k，tanEMH 247 ，FMBEMC，tanFMB =ABBM=4BM=247 ，BM 76 ，CMBCBM 296 5k，（BC=6的求解过程见（3）小题）CE6k 295 （3）解：如图31中，当公共弦经过点A时，过点D作DPBC于P，则四边形ABPD是矩形 ADBP3，在RtCDP中，cosC =PCCD=35 ，CD5，PC3，ABPD4，BC3+36，设CMAMx，在RtABM中，则有x242+（6x）2，解得x 133 ，M的半径为 133 如图32中，当公共弦经过点

24、D时，连接MD，MP，过点M作MNAD于N设CMMEMPx，则DNx3，DM2MN2+DN2MP2DP2，42+（x3）2x232，x 173 ，综上所述，满足条件的M的半径为 133 或 173 9【答案】（1）解：如图（1）， ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAF=45，即DAF+BEA=EAF=45，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AG=AE，GAF=FAE，AF=AF，AFGAFE（SAS）GF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，BE+DF=EF（2）解：BAD=2EAF 理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ABC+D=180，

25、ABC+ABM=180， D=ABM， 在ABM和ADF中， AB=AD，ABM=D，BM=DF， ABMADF（SAS）， AF=AM，DAF=BAM， BAD=2EAF， DAF+BAE=EAF， EAB+BAM=EAM=EAF， 在FAE和MAE中， AE=AE，FAE=MAE，AF=AM， FAEMAE（SAS）， EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即EF=BE+DF 故答案是：BAD=2EAF（3）解：如图3，把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，连接AF BAD=150，DAE=90，BAE=60又B=60，ABE是等边三角形，BE=AB=80米根据旋转的性质得到：ADG=B

26、=60，又ADF=120，GDF=180，即点G在CD的延长线上易得，ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAG=BAD=150，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AG=AE，GAF=FAE，AF=AF，AFGAFE（SAS）GF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，EF=BE+DF=80+40（ 3 1）109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米10【答案】（1）解：BM4，ABAM，AE为ABM边BM的中线， BEME2，ECEM+MC2+68，AE AC2EC2=10064=6 ，AM AE2+EM2=36+4=210 ；（2）解：如图，过点E作EHAF于

27、H， ABCD，AFAB，BAOFCO，ANOCFO，AFCD，点O是对角线AC的中点，AOCO，ANOCFO（AAS），ANCF，ACB45，AEEC，AEEC，EHAF，EGGD，AFCD，四边形EHFG是矩形，HEGAEC90，AEHCEG，又AHEEGC90，AEHCEG（AAS），AHGC，EHEG，四边形EHFG是正方形，HFFG，AN+AFFC+AH+HFFC+CG+FG2FG.11【答案】（1）解：由题意得，BAC=DAE=90 BAD+CAD =CAE+CADBAD=CAE线段AD绕点A逆时针旋转90至AEAD=AE又AB=AC，BADCAEBD=CE，B=ACE=45ECD

28、=90，BDCE（2）解：由（1）得：BADCAE BD=CE，B=ACE=45CD=13BC ，BD2DC，即 BD=23BC ,BD=CE=23BC ，AD=AE DE=AD2+AE2=2ADB=ACB=45BCE=ACB+ACE =90CD2+CE2=DE2，即 (13BC)2+(23BC)2=2AD2 ，AD=106BC ；（3）解：如图，过点A作 AMBC 交 BC 于点M BAC90，ABACBM=CM=12BCAM=BM=CM=12BCAM=12BC=12(BDCD) ， DM=CM+CD=12BC+CD=12(BD+CD)AM2+DM2=AD212(BDCD)2+12(BD+C

29、D)2=AD2BD2+CD2=2AD2 12【答案】（1）解：长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD， CE=CH=1，CEH为等腰直角三角形，ECH=45，=30；（2）证明：G为BC中点 CG=1CG=CE长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFDDCE=DCE=90，CE=CE=CGGCD=DCE=90+在GCD和ECD中CD=CD，GCD=DCE，CG=CEGCDECD（SAS）GD=ED；（3）能 理由如下：四边形ABCD为正方形CB=CDCD=CDBCD与DCD为腰相等的两等腰三角形，当BCD=DCD时，BCDDCD，当BCD与DCD为钝角三角形时，则旋转角=（360-90）2=1

30、35当BCD与DCD为锐角三角形时，BCD=DCD= 12 BCD=45，则=360902=315即旋转角a的值为135或315时，BCD与DCD全等13【答案】（1）证明：作CGDE垂足为G，则CGD=90DEAB，DEA=90又B=90四边形BCGE是矩形CG=BEDEA=90，DAE+ADE=90ADC=90，CDG+ADE=90CDG=DAE又DA=DC，DEA=CGD=90DAECDGDE=CGDE=BE（2）解：tanADE=AEDE=12，可设AE=x，则DE=BE=2x，在RtDAE中，AD=15，DEA=90，AE2+DE2=AD2，即x2+(2x)2=152，解得x=35A

31、E=35，DE=BE=2x=65， DAECDG，AE=DG=35，GE=35CGDE，DEAB，CG/AB，AEFCGF，EFFG=AECG=AEBE=AEDE=12，EF=13GE=5， DF=BEEF=655=5514【答案】（1）15；8t（2）解：当点F与点D重合时，如图1所示： APDADC90，PADDAC，APDADC，APAD=ADAC ，即 4t35=3515 ，解得：t 34（3）解：分情况讨论： 当0t 34 时，如图2所示：由（1）得：PF8t，同理：PE2t，EF10t，l4（8t+2t）40t；当 34 t3时，如图3所示：EF10t 152 ，l4 152 30

32、.当3t 154 时，如图4所示：同（1）得：CPFABCEPC，PFBC=CPAB,PEAB=CPBC即 PF35=154t65,PE65=154t35 ，解得：PF 12 （154t），PE2（154t），EFPF+PE 52 （154t），l4 52 （154t）40t+150（4）解：如图3所示：对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时， 则PE：PF1：2，或PF：PE1：2，PE：PF1：2时，EF 152 ，PF 23 EF5，同理可证：CPFCDA，PFAD=CPCD ，即 PF35=154t65 ，解得：PF 12 （154t），12 （154t）

33、5，解得：t 54 ；PF：PE1：2时，PF 13 EF 52 ，则 12 （154t） 52 ，解得：t 52 ；综上所述，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值为 54 或 52 .15【答案】（1）证明：证明:连接CD，如图1所示. ABC 为等腰直角三角形， ACB=90 ，D是AB的中点，A=DCF=45,AD=CD在 ADE 和 CDF 中 AE=CFA=DCFAD=CD ，ADECDF(SAS) ，DE=DF,ADE=CDF , ADE+EDC=90 ，EDC+CDF=EDF=90 ，EDF 为等腰直角三角形. O为EF的中点， GO=OD

34、，GDEF ，且 GD=2OD=EF ，四边形EDFG是正方形; （2）解：过点D作 DEAC 于E，如图2所示. ABC 为等腰直角三角形， ACB=90,AC=BC=4 ，DE=2,AB=42 ，点E为AC的中点，2DE22 (点E与点E重合时取等号).4S四边形BDFG=DE28当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为416【答案】（1）0；232（2）解：1AODOABOBA45，OAOB，OABOBA22.5如图，在AB上取点E，使BCBE，连接CE，可得CEB45，ACECEBOAB22.5，AECE设BCa，可得BEa，由勾股定理可得EC=2a，AB=（21）a，mn=ABBC=（21）aa=21 学科网（北京）股份有限公司