函数零点问题的几种常见题型.pdf

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1、第4朝 高中数学教与学 函数零点问题的几种常见题型 沈丽群 (云南省绿春县第一 中学，6 6 1 1 0 0)函数的零点是高 中数学新增 内容之一，也是新课程高考 的一大亮点和热点 诸如方 程的根的问题、存在性 问题与交点问题等都 可以转化为零点 问题进行处理，因而函数的 零点成为了近年来高考新的生长点与热点而 备受青睐 近几年的数学高考中频频出现零 点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导 数知识密不可分 下面笔者就近几年高考 中 零点 问题归 类解 析 如 下，希 望对 大 家 有所 帮 助 一、函数零点 的分布 例 1 设 函数)=一I n ，则 Y=，()()(A)在 区 间 ，1 1

2、，(1，e)内 均 有 零 点 (B)在 区 间 ，1 ，(1，e)内 均 无 零 点 (c)在 区 间【，1 上 有 零 点，在 区 间(1，e)内无零点(D)在区间I，1 I 上无零点，区间(1，e)L J 内有零 点，y=l n j (：一1 1 i -6 l x o 2 e 3 4 1 图 1 解 N S f(1)0，e)=号一 1 0，浦 仕宏 段学武 (云南师范大学附属蒙 自中学，6 6 1 1 0 0)所 以由零点存在定理知，()在(1，e)有零点 另一方面如图 1 可 知，函数在 0 及 1)0 认 为 在 k，1 1 上 无 零 、e，L J 点 这时可考虑用二分法继续求证，

3、或如上述 解法那样，通过作图观察 函数 图象交点所在 的大致 区间范 围解题 二、函数零点 的个数 1 通过 图象确 定零 点个数 例 2 函数，()=I l g I C O 8 在(0，+)内零点的个数是()(A)3(B)4(C)6(D)8 ，1 1 0o，l 1 D 1 2 1 T 霄 l O 一j 、J 图 2 解 当0 1 时，由图2 易知，()有 1 个零点；当：1 0时，l g ：1，函数 Y=I l g I 过点(1 0，1)，而函数Y=I l g l 在(1，+)上是增函数，故当 1 1 0时，函数Y =l l g I 1，必然和 Y=1 2 0 8 有 3 个交点 综 上，选

4、 B 变式 设定义在R上的函数，()是最小 正周期为 2 a t 的偶函数()是，()的导函 数 若当 0，耵时0 )0，则 函 数Y：，()一s i n 在 一2 竹，2 霄 上的零点个 数为()(A)2(B)4(C)5(D)8 解 由 条 件 易 知 1 0，iT)时 ()0，()为增函数 又 E 0，霄 时，0 )0，判断-厂()的零点个数，只 需 判 断函 数g()=x l n 一 号+号的 零 点 e c 个数 由于 Y=e 在(0，+o。)上为下凸函数，Y=e 的图象整体在其：1 处的切线Y=e 的上方，故得不等式 e e 由此有 g()l 一 +旦f 当 且 仅 当 ：时 取 等

5、 号1 C C 、C ，1 0 而对 于 h(x)=l n 一上+旦，由()=I n +1 知h()在 0，I 上单调递减，在 l，+l上单调递增，故 h()()=一 一 i1+詈 o(当 且 仅 当 =_1 时取等号 1 故g()h()0，上述两个不 等式 至少有一个取不到等号，从而 g()0 综上，g()在(0，+)上无零 点，也 即 函 数，()=ln 一 专+的 零 点 个 数 为 0 评 注 本例求解 的关键策 略为等价变形 和放缩替换，通过 这两种策 略 的使 用，使 问题 多次进行等 价 转换，最 终 将不 易 画 图的 复杂 函数转化为相对简单的结构，简洁而利索 三、已知零点个

6、数。求参数范 围 例 4 已知)是定义在 R上且周期 为 3的函数，当 0，3)时，)=I 一 2 x+1 若Y=)一n 在区间 3，4 上有1 0 个零点，则实数 n的取值范围是 _ 解 先画出 0，3 上Y=一 2 x+的 图象，再将 轴下方 的图象反射到上方，利用 周期为 3与平移可得)在 一3，4 上的图 象 由此易发现若，()图象要与Y=a 有1 0 个 不同的 交点，则o 0，1)评注 遇到此类题(函数与 轴有交点 可视 为函数 与 Y=0有交 点)，首 先要通 过运 用函数 与方 程 的思 想进 行 等价 转 化，转化 为 两个更简单 的函数，画 出函数 图象，结 合交点 个数

7、确定参数范 围 四、用其他 函数 的零点。估计所求 函数 的 零点 例5 若函数，()的零点与g()=4 +2 x一2的零点之差的绝对值不超过 0 2 5，则，()可以是()(A)4 x一1 (B)(1)第 4期(D)ln(一 )解(A)、(B)、(c)、(D)四个选项 中，1 相应函数)的零点依次为 1、1 0、-4-，现在 我们来估算 g()=4 +2 x一2的零点 因为 g(o)=一 1，g(1)=1，所以g(x)有零点 、二，1 、f 0，l，又函 数)的 零点与g(x)=4 +2 x 、二，一2的零点之差的绝对值不超过 0 2 5，只有 厂()=4 x一1的零点适合 评注 此类题 型

8、应该先用二分法估 计参 照 函数零点 所 在 的范 围，又 由于此类 题 型 主 要出现在选择题 中，所 以可以由各选项 中所 对应函数的零点出发，再进行综合分析 五、解决方程根 的个数 侈 4 6 已知 函娄 厂()：I+3 x l，R 若方程)一a I 一1 I=0 恰有 4个互异的 实数根，则实数 n的取值范围为 y=l x +，=一 l1 1 _ 43 2一 1 2 3 一2 -3 图 4 解 在同一坐标系中画出厂()=l+3 和 g()=0 I 一1 I 的图象，问题转化 为)与 g(x)图象恰有 4个交点的问题 当 Y=n(，一1)与 Y=七3 x(或 Y=一。(一1)与 Y=一(

9、+3 )相切时 ()与g()图象恰有3 个交点 把Y=a(x一1)代 人 Y=+3 ，得+3 x=0(一1)，即+f 3一a)x+。=0 由 =0，解得 口=1 或 0=9，又 当 8=0时)与 g()仅两个交点，从而可得。(0，1)U(9，+)变式 已知 函数 高中数学教与学 rI l g x I(0 IUD)l 一 +O L J，若口，b，c 互不相等 a)=b)=c)，则a b c 的取值范围是 简解 由图 5可知，n)=I l g a I=一l g 0 (b)=I l g b I=l g b (c)=一 c+6 由厂(口)=，(b)，得 一l g ：l g b，即l g a b=0，a

10、 b=1；由0，(C)1，得 1 0c1 2，所 以 a b c=c(1 0，1 2、)图 5 评注 遇到此类题时，应该先作出函数 图象，利用数 形 结合 将 问 题转 化 为 函数 图象 交点 的问题，根 据 交点 所 处 的位 置来 确 定参 数的取值范围 六、利用导数研究 函数 的零点 侈 4 7 设函数，()=一 +6 x 一 口，二 若方程)=0 有且仅有一个实根，求。的取 值范 围 解 f ()=3 x 一 9 x+6：3(一1)(一2)当 0；当1 2 时，()2时()0 所以当=C 1 时)取极大值 1)=一 a；二 当=2时)取极小值，(2)=2一口 故当 2)0或 1)0时

11、，方程)：0 仅有一个实根，解得口 二 变式 已知二次函数 Y=g()的导 函数 的图象与直线 Y=2 x平行，且 Y=g()在=一1 处取得极小值 m一1(m0)设，()=，当(j R)如何取值时，函数y=Ax)一 存在零点，并求出零点 1 1 高中数学教与学 2 0 1 5釜 构建函数螟 型巧证 不等式 崔 磊 (江苏省如东县平潮高级中学，2 2 6 3 6 1)构建函数模型证明不等式是近年来高考 中的热点题型之一 构建函数的 目的是为 了 利用函数单调性和有界性解决问题，达到解 题 目标 对一些简单的函数不等式问题，只要 直接作差构建函数，再利用导数就能解决 问 题；而对一些 复杂 问题

12、，则 需通 过变换 后才 能 构建函数模型 一、作差构 建函数模 型 当遇 到 含 有 两 个 函数 不 等 式 问题 证 明 时，作差构建新 函数模型是通法；再利用求 导、函数单调性或有界性可使问题获证 例 1 已知定义在正实数集上的函数，()1 =I_ +2 a x，g(x)=3 口 2 I n +b，其中口 o 设 二 两曲线Y=，()，Y=g()在公共点(，)处的 切线相同，求证)g(x)(0)分析 本题求证目标是关于两个函数的不 等式，可通过作差构建新 函数模型来证 明 由于 两个函数各含有一个不同的参数，因此，需利用 题设条件找出两个参数的关系，再行求解 -一 解 设 g(x)=口

13、 +6 +c(口0)，贝 0 g ()=2 a x+b 依题意可得a=1，所以g()=+6 +c，g ()=2 x+b Y=g(x)在=一1 处取得极小值 m一 1(m 0)，f g (一1)=0，L g(一1)=玑 一1，、即 r 2+=0，L 1一 b+c：r n 一 1 解 得 I b=2，LC：r a 所 以 g()=+2 +t，()：+旦+2(0)令 函数()=)一k x=(1 一 )+旦+2(0)，且令 h()=0，整 理可得(1一Ij)+2 +m=O(x0)函数h(x)存在零点，等价于方程 有非零 实数根，由m0可知，方程 不可能有零棍 1 2 当k=1 时，方程 有唯一实数根 一 m，即()存在唯一的零点=一 ；当 k 1时，令 ：0，解得 k：1一一 I，易知 此 时 函数 h()存 在唯 一 的零 点 令 A0，得 m(1 一 )0时，解得 k1一一 1；当 m 0时，解得 k1一一 1 以上两种情况下，方程 都有两个不相 等的实数根 一1+,1一m(1一k)_=一，一一1一,1一m(1一k)=它们就是 函数 h()的两个零 点