2022年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题 (1).pdf

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1、高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 1 页 共 11 页20222022 年高考数学解题技巧及规范答题年高考数学解题技巧及规范答题 三角函数大题三角函数大题【规律方法】【规律方法】1、正弦定理、余弦定理：、正弦定理、余弦定理：正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问

2、题是高考高频考点，其解题方法主要有：（1）化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：，等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：，或等（2）化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断 注意：注意：（1）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能（2）在变形过程中要注意角 A，B，C 的范围对三角函数值的影响 2、三角恒等、三角恒等变换综变换综合合应应用的解用的解题题思路思路(1)将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式；(2)构造

3、；(3)和角公式逆用，得(其中 为辅助角)；(4)利用研究三角函数的性质；2 sinaRA2222cosabcabCsinsinABABsin2sin2ABAB2ABsin2aAR222cos2bcaAbc222222()(sincos)abf xabxxabab22()sin()f xabx22()sin()f xabx高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 2 页 共 11 页(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 【核心素养】【核心素养】以三角形为载体，以正弦定理、余弦

4、定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型，考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”【典例】【2020 年全国 II 卷】中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC.（1）求 A；（2）若 BC=3，求周长的最大值.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，.（2）由余弦定理得：，即.ABCABCcos AA29ACABAC ABACAB222BCACABAC AB2221cos22ACABBCAAC AB 0,A23A22

5、2222cos9BCACABAC ABAACABAC AB29ACABAC AB高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 3 页 共 11 页（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.【解题方法与步骤解题方法与步骤】1、解三角形、解三角形问题问题的技巧：的技巧：（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 应用正弦定理求角时

6、容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断(2)三角形解个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断 2、三角恒等、三角恒等变换变换要遵循的要遵循的“三看三看”原原则则:一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式;二看“函数名称”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”;三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“

7、遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.3、解三角形与三角函数、解三角形与三角函数综综合合问题问题一般步一般步骤骤：第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题；第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角22ACABAC ABACAB22223924ACABACABAC ABACABACAB 2 3ACABACABABC32 3LACABBCABC32 3的的高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 7

8、32599440 第 4 页 共 11 页关系的互化；第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等.【好题演练】【好题演练】1.（2021河南中原高三模拟）在中，所对的角分别为，已知.（1）求；（2）若，为的中点；且，求的面积.【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；（2）法 1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理ABCabcABC3 cos3abAcsin B3a DAC3BD ABCsin3sincos3

9、sinABACsin3sincosAABsin0A1cos3B sin BABC221936cbcABDBCD2234cos3bcADBb2394cos3bCDBbcosADB cosDB0C高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 5 页 共 11 页化简的出 边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.法 2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出 边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以

10、，因为，所以，所以，因为，所以.（2）法 1：在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，c1sin2ABCSacB12BDBA BC213294ccc1sin2ABCSacB3 cos3abAcsin3sincos3sinABACsinsinsincoscossinCABABABsin3sincosAAB0,Asin0A1cos3B 0,B2212 2sin1 cos133BBABC222cos2acbBac221936cbcABD2234cos3bcADBbBCD2394cos3bCDBbADBCDB 22233944033bbcbb高考高中资料无水印无广告

11、 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 6 页 共 11 页即，所以，整理得，解得：或（舍去），所以.法 2：因为为的中点，所以，两边平方得，即，即，解得或（舍），所以.2.记中内角，的对边分别为，.已知，.（1）求；（2）点，位于直线异侧，.求的最大值.【分析】（1）由已知条件可得，利用正弦定理化边为角结合 利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角；（2）结合（1）化角为边可得，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.2262bc222296219366cccbcc

12、2230c+c1c 3c 112 2sin3 12223ABCSacB DAC12BDBA BC222124BBDBBACBCA213294cc2230c+c1c 3c 112 2sin3 12223ABCSacB ABCABCabc3a 33cossincBbAAADBCBDBC1BD AD33 cossincaBbAsinsin()CABtan AA3sin3sincossinsinCABBA33 cossincaBaBsin3coscBBABD2AD高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 73259

13、9440 第 7 页 共 11 页【详解】（1）因为，所以.由正弦定理得：.因为，所以，所以，所以，又因为，所以，可得：，因为，所以；（2）由（1）知，由正弦定理可得，即，由余弦定理得 ，所以当且仅当时，取得最大值，所以取得最大值.3.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求 A；33cossincBbA3a 33 cossincaBbA3sin3sincossinsinCABBAABC,(0,)A B Csinsin()sincoscossinCABABAB3sincos3coss3sincossinsiinnABABABBA3cossinsinsinABBAsin0B3cossinAAta

14、n3A 0A3A3sin3sincossinsinCABBA33 cossincaBaBsincossin3cos3aBcaBBB2222cosADcBDc BDABD2sin3cos1 2 sin3cossinBBBBB 222sin3cos3sin212sin3sin2BBBBB 42 3sin2B4B 2AD242 331AD31ABC、ABC,a b c2 sincosbAB2sincbB高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 8 页 共 11 页（2）若，求周长 的取值范

15、围.【分析】（1）由正弦定理得，化简得，利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得，所以，所以 ，因为，所以，2 3a l2sinsincos2sinsinsinBABCBB1cos2A A4sin,4sinbB cC4 sinsin2 3 lBCB2sinsincos2sinsinsinBABCBB0Bsin0B2sincos2sinsinABCB2sincos2sincos2sincossinABABBAB1cos2A 0A3A4sinsinsinabcABC4sin,4

16、sinbB cC24 sinsin2 3=4 sinsin2 33lBCBB33314sincos2 3=4 3sincos2 32222BBBB4 3sin2 36B20,3B5,66 6B高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 9 页 共 11 页所以，所以.4.（2021天津高考）在，角所对的边分别为，已知，（I）求 a 的值；（II）求的值；（III）求的值 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再

17、由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.1sin,162B4 3,6 3lABC,A B C,a b csin:sin:sin2:1:2ABC 2b cosCsin 26C:2:1:2a b c 2Csin:sin:sin2:1:2ABC:2:1:2a b c 2b 2 2,2ac2228243cos242 2 22abcCab3cos4C 27sin1 cos4CC733 7sin22sincos2448CCC291cos22cos121168CC sin 2sin2coscos2sin666CCC3 73113 21 18

18、28216高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 10 页 共 11 页 5.（2021南京市中华中学）在中，分别为内角的对边，且满足（1）求的大小；（2）从，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题 问题：已知_，_，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件，正弦定理计算边，两角

19、和的正弦计算，可求面积；若选择条件，由大边对大角可知三角形不存在.【详解】（1）因为，由正弦定理可得 因为 所以即 因为 所以 因为即 ABC,a b c,A B Ccos13sinbBaAB2ac2b 4AABCABCABCac、asinCcos13sinbBaAsincos1sin3sinBBAAsin0A3sincos1BB1sin()62B0B5666B66B=3B高考高中资料无水印无广告 word 版不加密群 559164877高考数学高中数学资料群 562298495；新高考资料全科总群 732599440 第 11 页 共 11 页（2）若选择条件，由余弦定理 可得，解得，故，所以 若选择条件 由正弦定理可得，可得 所以 若选择条件 这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，所以，所以，所以 又因为 所以与矛盾，所以这样的三角形不存在.2222cosbacacB222442ccc2 33c 4 33a 114 32 32 3sinsin223333ABCSacBsinsinabABsin2 6sin3bAaB112 633sin2sin223343ABCSabC ABC43AB，53412CACac2acacac