第五章 三角函数.DOC

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1、第 269 页 共 269 页 51任意角和弧度制51.1 任 意 角知识点一任意角的概念(一)教材梳理填空(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形(2)角的表示如图，始边：射线的起始位置OA；终边：射线的终止位置OB；顶点：射线的端点O；记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”(3)角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角(二)基本知能小试1判断正误(1)小于90的角都是锐角. ()(2)终边与始边重合的角为零角()(3)大于90的角都是钝角()(4)将时钟拨快2

2、0分钟，则分针转过的度数是120.()答案：(1)(2)(3)(4)2下列说法正确的是()A最大的角是180B最大的角是360C角不可以是负的 D角可以是任意大小解析：选D有任意角的概念，知D正确3在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是_、_、_.解析：图(1)中的角是一个正角，390.图(2)中的角是一个负角、一个正角，150，60.答案：39015060知识点二平面直角坐标系中的任意角(一)教材梳理填空条件在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角轴线角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何

3、一个象限，可称为轴线角终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和(二)基本知能小试1判断正误(1)终边相同的角一定相等()(2)30是第四象限角()(3)第二象限角是钝角()(4)225是第三象限角()答案：(1)(2)(3)(4)2与610角终边相同的角表示为(其中kZ)()Ak360230Bk360250Ck36070 Dk180270解析：选B610360250，610与250角的终边相同，故选B.3与1 560角终边相同的角的集合中，最小正角是_，最大负角是_解析：与1 560角终边相同的角的集合

4、为|k360240，kZ，所以最小正角为240，最大负角为120.答案：240120题型一与任意角有关的概念辨析 学透用活解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字典例1(1)下列说法正确的是()A第一象限的角一定是正角B三角形的内角不是锐角就是钝角C锐角小于90D第二象限的角一定大于第一象限的角(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时从考试开始到考试结束分针转过了()A360B720C360 D720解析(1)355是第一象限的角，但不是正角，所以

5、A错误；三角形的内角可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45是第一象限角，200是第二象限角，但45200，所以D错误故选C.(2)因为分针转一圈(即1小时)是360，所以从考试开始到考试结束分针转过了720.故选D.答案(1)C(2)D判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可对点练清1设集合A|为锐角，B|为小于90的角，C|为第一象限角，D|为小于90的正角，则下列等式中成立的是()AABBBCCAC DAD解析：选D集合A中锐角满足090；而集合B中90，可

6、以为负角；集合C中满足k360k36090，kZ；集合D中满足090.故AD.2已知角在平面直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30，则的值为()A480 B240C150 D480解析：选D由角的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知为正角又旋转量为480，480.题型二终边相同的角的表示及应用 学透用活典例2已知1 845，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)360720之间的角解因为1 84545(5)360，即1 845角与45角的终边相同，所以与角终边相同的角的集合是|45k360，kZ(1)最小的正角为315.(2)最大的

7、负角为45.(3)360720之间的角分别是45，315，675.1确定在某范围内终边相同的角的基本思路求与已知角终边相同的角，先将这样的角表示成k360(kZ)的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定k的值，求出满足条件的角2与终边相同的角的有关结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍(2)终边在直线上的角之间相差180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍提醒表示终边相同的角时，kZ这一条件不能省略对点练清1变条件若本例条件“1 845”变为“10 030”，完成问题中(1)(2)解：与10 030角终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)(1)由

8、0k36010 030360得10 030k3609 670(kZ)，解得k27，故所求的最小正角为10 03027360310.(2)由360k36010 0300得10 390k36010 030(kZ)，解得k28，故所求的最大负角为10 0302836050.2变结论本例条件不变，指出所在象限及7201 080之间的角解：1 84545(5)360，在第四象限令72045k3601 080(kZ)，解得k3.在7201 080之间与其终边相同的角为4533601 035.3在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在yx(x0)上解：(1)在0360范围内

9、，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为|k360，kZ(2)在0360范围内，终边在yx(x0)上的角有一个：45.故终边在yx(x0)上的角的集合为|k36045，kZ题型三象限角与区间角的表示 学透用活典例3(1)420是第_象限的角(2)已知，如图所示分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解析(1)因为42036060，所以在0360范围内，与420角终边相同的角是60，它是第一象限的角答案：一(2)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在OB位置上的角的

10、集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZ1象限角的判定方法(1)根据图象判定利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360之间没有两个角终边是相同的2表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360.第三步：起始、终止边界对应角

11、，再加上360的整数倍，即得区域角集合对点练清1如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解：在0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150225，则所有满足条件的角为|k360150k360225，kZ2已知是第二象限角，试确定2，的终边所在的位置解：因为是第二象限角，所以k36090k360180，kZ.所以2k36018022k360360，kZ，所以2的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上因为k36090k360180，kZ，所以k18045k18090，kZ，当k2n，nZ时，n36045n36090，即的终边在第一象限；当k

12、2n1，nZ时，n360225n360270，即的终边在第三象限所以的终边在第一或第三象限课堂一刻钟巩固训练一、基础经典题1下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A45B90C180 D270解析：选B根据角的概念可知，90角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90，故其终边在y轴的非负半轴上2将885化为k360(0360，kZ)的形式是()A165(2)360 B195(3)360C195(2)360 D165(3)360解析：选B885195(3)360，0195360，故选B.3已知集合M锐角，N小于90的角，P第一象限的角，下列说法：PN；NMM；MP；(MN)P.其中正确的是_(

13、填序号)解析：因为锐角的范围为090，小于90的角为90包含负角，第一象限角为k360k36090，kZ，所以PN，错误；NMM，正确；MP，正确；(MN)P，错误答案：4射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270到达OC位置，则AOC_.解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和所以120(270)150.答案：150二、创新应用题5在与角1 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角解：因为1 0303602310，所以1 0302360310，所以与角1 030终边相同的角的集合为|k360310，kZ(1)故所求的最小正角为31

14、0.(2)取k1得所求的最大负角为50.课下双层级演练过关A级学考水平达标练1以下说法，其中正确的有()75是第四象限角；265是第三象限角；475是第二象限角； 315是第一象限角A1个 B2个C3个 D4个解析：选D由终边相同角的概念知：都正确，故选D.2若角的终边在y轴的负半轴上，则角150的终边在()A第一象限 B第二象限Cy轴的正半轴上 Dx轴的负半轴上解析：选B因为角的终边在y轴的负半轴上，所以k360270(kZ)，所以150k360270150k360120(kZ)，所以角150的终边在第二象限故选B.3下列各角中，与60角终边相同的角是()A300 B60C600 D1 38

15、0解析：选A与60角终边相同的角k36060，kZ，令k1，则300.4集合M|k90，kZ中，各角的终边都在()Ax轴正半轴上By轴正半轴上Cx轴或y轴上Dx轴正半轴或y轴正半轴上解析：选Ck1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又kZ，故选C.5.若角是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)()ABC D解析：选A是第三象限角，k360180k360270(kZ)，k18090k180135(kZ)当k2n(nZ)时，n36090n360135(nZ)，其终边在区域内；当k2n1(nZ)时，n360270n360315(n

16、Z)，其终边在区域内角的终边所在的区域为.6若时针走过2小时40分，则分针走过的角是_解析：2小时40分小时，分针是按顺时针方向旋转的，所以360960，故分针走过的角为960.答案：9607已知锐角，它的10倍与它本身的终边相同，则角_.解析：与角终边相同的角连同角在内可表示为|k360，kZ，因为锐角的10倍角的终边与其终边相同，所以10k360，kZ，即k40，kZ.又为锐角，所以40或80.答案：40或808.已知角的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么_.解析：在0360范围内，终边落在阴影内的角满足30150或210330，所以所有满足题意的角的集合为|k36030k3

17、60150，kZ|k360210k360330，kZ|2k180302k180150，kZ|(2k1)18030(2k1)180150，kZ|n18030n180150，nZ答案：|n18030n180150，nZ9如图所示，分别写出终边在阴影部分内的角的集合解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1)|150k360390k360，kZ(2)|45k18060k180，kZ10在0到360之间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们分别为第几象限角(1)1 15418.(2)2 428.解：(1)因为1 154183604余28542，所以1 15418436028542，相应28

18、542，从而1 15418为第四象限角(2)因为2 4283606余268，所以2 4286360268，相应268，从而2 428为第三象限角B级高考水平高分练1若与终边相同，则的终边落在()Ax轴的非负半轴上Bx轴的非正半轴上Cy轴的非负半轴上 Dy轴的非正半轴上解析：选Ak360，kZ，k360，kZ，其终边在x轴的非负半轴上2若角和的终边满足下列位置关系，试写出和的关系式：(1)重合：_；(2)关于x轴对称：_.解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：(1)k360(kZ)，(2)k360(kZ)答案：(1)k360(kZ)(2)k360(kZ)3已知315.(1)把改写成k360

19、(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且1 080360.解：(1)因为31536045.又045360，所以把写成k360(kZ,0360)的形式为36045(45)，它是第一象限角(2)与315终边相同的角为k36045(kZ)，所以当k3，2时，1 035，675，满足1 080360.即得所求角为1 035和675.4已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小解：由题意可知，280k360，kZ.，都是锐角，0180.取k1，得80.670k360，kZ，都是锐角，9090.取k2，得50.由，得15，65.

20、5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转已知P在1秒钟内转过的角度为(0180)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A.求，并判断所在象限解：根据题意知，14秒钟后，点P在角1445的终边上，所以45k3601445，kZ，即，kZ.又180245270，即67.5112.5，67.5112.5，kZ，k3或k4，所求的值为或.090，90180，在第一象限或第二象限51.2 弧 度 制知识点一角度制与弧度制(一)教材梳理填空(1)度量角的两种制度角度制：定义：用度作为单位来度量角的单位制；1度的角等于周角的.弧度制：定义：以

21、弧度作为单位来度量角的单位制；1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角(2)弧度数正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值|.(3)角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度3602_rad2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数(二)基本知能小试1判断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关()(3)1的角是周角的，1 rad的角是周角的. ()(4)1 rad的角

22、比1的角要大()答案：(1)(2)(3)(4)2下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D.化成度是15解析：选C对于A,6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.故C项错误3与角终边相同的角是()A. B.C. D.解析：选C与角终边相同的角的集合为，当k1时，2，故选C.知识点二扇形的弧长和面积公式(一)教材梳理填空设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.(二)基本知能小试1判断正误(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30，则扇形的弧长lr|13030(cm)(

23、)(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，扇形的面积不变()答案：(1)(2)2半径为2，圆心角为的扇形的面积是_解析：由扇形的面积公式可得，此扇形的面积是22.答案：题型一角度制与弧度制的互化 学透用活(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度典例1(1)将11230化为弧度为_；将 rad化为度为_(2)将下列各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式；315.解析(1)因为1 rad，所以11230112.5 ra

24、d rad.因为1 rad，所以 rad75.答案：75(2)6.3152.进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180 rad，充分利用1 rad和1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad；nn.对点练清设1510，2750，1，2.(1)将1，2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将1，2用角度表示出来，并在360360范围内找出与它们终边相同的所有的角解：(1)1 rad，1510510，2750750.1的终边在第二象限，2的终边在第四象限(2)1144.设1k360144(kZ)3601360，360k360144360.k

25、1或k0.在360360范围内与1终边相同的角是216.2330.设2k360330(kZ)3602360，360k360330360.k0或k1.在360360范围内与2终边相同的角是30.题型二用弧度表示有关的角 学透用活1用弧度表示与终边相同的角2k(kZ)的注意点(1)2k是2(一周角的大小)的整数倍，而不是的整数倍；(2)角度制与弧度制不能混用，如602k(kZ)是错误的2象限角的表示例如：第一象限角的集合为.3轴线角的表示例如：终边在坐标轴上的角的集合为.典例2用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)解(1)以OA为终边的角

26、为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)阴影部分内的角的集合为.(2)以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1，M2.阴影部分所表示的集合为M1M2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并对点练清1与角的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45，kZBk360，kZCk360315，kZ Dk，kZ解析：选C弧度和角度不能出现在同一个表

27、达式中，故选项A、B错误k，kZ表示的角是第一、三象限角，是第一象限角，故选C.2若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是()A.B.C.D.(kZ)解析：选D阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以的取值范围是(kZ)题型三扇形的弧长与面积公式 学透用活(1)灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题(2)公式的变形|lr|，r；Slrr，l；S|r2|，r .典例3已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10，求扇形的弧长及该弧所

28、在弓形的面积；(2)若扇形的周长是定值C(C0)，当|为多少弧度时，该扇形的面积最大？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60，R10，l，S弓S扇S1010250.(2)扇形周长C2Rl，lC2R，S扇RlR(C2R)R2RC2，当R时，S扇有最大值且为，此时lC2R，|2.故|2时，该扇形的面积最大1扇形问题的计算技巧涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解2弧长、面积的最值问题利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积，利用函数知识求最值，一般多利用二次函数的最值求解对点练清1利用公式求圆心

29、角的弧度数已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数为_解析：设扇形的半径为r cm，圆心角所对的弧长为l cm.由题意得解得或8或.又02，.答案：2利用公式求扇形的半径若扇形圆心角为216，弧长为30，则扇形半径为_解析：216216，lrr30，r25.答案：253利用公式求扇形面积的最值及弧长已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时的弧长解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l2r10得l102r，Slr(102r)r2，当且仅当102r2r，即r时，S取得最大值，这时l1025，故该扇形的面积的最大

30、值为 cm2，及取得最大值时的弧长为5 cm.课堂一刻钟巩固训练一、基础经典题1已知，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B因为，所以角的终边在第二象限2下列各对角中，终边相同的是()A.和2k(kZ) B和C和 D.和解析：选C在弧度制下，终边相同的角相差2的整数倍3某扇形的半径为1 cm，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角为_解析：由题意可得扇形的弧长为4212(cm)，则扇形的圆心角为2.答案：24135化为弧度为_，化为角度为_解析：135135；180660.答案：660二、创新应用题5已知集合A|2k(2k1)，kZ，B|55，求AB.解：由题意知

31、，A|2|0|23，又B|55，两集合在数轴上的表示如图所示AB|5或00)利用函数单调性的定义可以证明：当05时，函数y2r是增函数当r5时，y取得最小值20，此时l10，圆心角2.即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值5如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积解：所在的圆的半径是2 dm，所对的圆心角为，所在的圆的半径是1 dm，所对的圆心角为，所在的圆的半径是 dm，所对的圆心角是.点A走过的路程是3段圆弧长之和，即21(dm)；3段弧所对应的扇形总面积为21(dm2)52三角函数的概念52.1三角函数的