第四章 指数函数与对数函数.DOC

《第四章 指数函数与对数函数.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章 指数函数与对数函数.DOC（153页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 153 页 共 153 页 41指数41.1 n次方根 与分数指数幂1理解n次方根和根式的概念，掌握根式的性质、根式与分数指数幂之间的相互转化 2.通过对有理数指数幂a(a0且a1；m，n为整数且n0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 3.掌握分数指数幂的运算性质知识点一根式的概念及其性质(一)教材梳理填空(1)n次方根定义一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*个数n是奇数a0x0x仅有一个值，记为a0x0n是偶数a0x有两个值，且互为相反数，记为a0x不存在(2)根式定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数性质：(n1，且nN*)()na；(二)基本知

2、能小试1判断正误(1)任意实数的奇次方根只有1个()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数()(3) 3.()答案：(1)(2)(3)2若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.B.C. D.解析：选D当a0时，a的偶次方根无意义3当x0时，x_.解析：原式x|x|xx11.答案：1知识点二分数指数幂的意义(一)教材梳理填空分数指数幂正分数指数幂规定：a(a0，m，nN*，n1)负分数指数幂规定：a(a0，m，nN*，n1)性质0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义(二)基本知能小试1判断正误(1) .()(2)aa.()(3)用分数指数幂表示 (ab)为(ab).()答案：(1

3、)(2)(3)2. 可化为()Aa BaCa Da解析：选Aa.33可化为()A. B.C. D.解析：选C3.知识点三有理数指数幂的运算性质(一)教材梳理填空(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(二)基本知能小试1判断正误(1)(a4b2)(ab2)3a7b8.()(2)(a2b3)3(ab2)3a3b3.()(3)(a3)2(b2)3a6b6.()(4)(a3)2(b2)33a18b18.()答案：(1)(2)(3)(4)2化简()2的结果是()A B.C.D 解析：选C原式3.3计算：022_.解析：原

4、式11.答案：题型一根式的化简与求值 学透用活根式化简的思想是利用乘法公式将被开方数变形为幂的形式，用根式的性质将根式化简，解题时要注意公式的适用范围，特别是在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围典例1化简：(1) (x，nN*)；(2) .解(1)x，x0，当n为偶数时， |x|x；当n为奇数时， x.综上， (2) .a，2a10. 12a.根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式(2)被开方数是带分数的要化成假分数(3)被开方数中不能含有分母；使用(a0，b0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式对点练清1根式的概念在，(nN，aR)各式

5、中，一定有意义的是()ABC D解析：选B(4)2n0，故有意义；(4)2n10，故无意义；显然有意义；当a0时，a50，此时无意义，故不一定有意义2根式的性质化简得()A6 B2xC6或2x D6或2x或2x解析：选C原式|x3|(x3)，当x3时，原式6；当x3时，原式2x，故选C.3带条件的根式的化简若nm0，则 等于()A2m B2nC2m D2n解析：选C原式|mn|mn|，nm0，mn0，mn0.故原式2m.题型二根式与分数指数幂的互化 学透用活根式的运算中，常把根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算法则进行计算，最后将结果化为根式解题时一般认为字母取正数，若允许字母取负数时，要注意

6、将分数指数幂的底数化为正数才能运用运算法则典例2将下列根式化成分数指数幂形式(1)；(2) ；(3)； (4)()2.解(1)aaa.(2)原式aaaa.(3)原式aaa.(4)原式(a)2abab.在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a和a，其中字母a要使式子有意义对点练清1用根式的形式表示下列各式(x0，y0)：(1)x；(2)x；(3)xy.解：(1)x.(2)x .(3)xy.2用分数指数幂表示下列各式：(1)(a0)；(2) (b0)；(3)(x0)解：(1)原式a(a) (a)(a)(a)(a0)(2)原式b(b)(b0)(3)原式x.题型三分

7、数指数幂的运算 学透用活典例3计算下列各式(式子中字母都是正数)：(1)(0.027)0.5；(2)62.解(1)(0.027)0.52 0.09.(2)原式ab.指数幂的一般运算步骤(1)有括号先算括号里的；无括号先做指数运算(2)负指数幂化为正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号(4)底数是小数，先要化成分数(5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质对点练清化简(a，b为正数)的结果是()A BabC Da2b解析：选C原式ab.故选C.课堂一刻钟巩固训练一、基础经典题1已知：nN，n1，那么 等于()A5B5C5或5 D不能确定解析：选A5

8、.2已知xy0，且 2xy，则有()Axy0Cx0，y0 Dx0，y0解析：选A|2xy|.2xy，|2xy|2xy.又xy0，xy3，则 |2x|_.解析： |2x|2x|x3|2x|x3(x2)1.答案：1二、创新应用题5已知ab，求 的值解：因为ab.所以a，b，所以a0，b0，所以ab0，所以原式|ab|ab(ab)ab0.课下双层级演练过关A级学考水平达标练1若xna(x0)，则下列说法中正确的个数是()当n为奇数时，x的n次方根为a；当n为奇数时，a的n次方根为x；当n为偶数时，x的n次方根为a；当n为偶数时，a的n次方根为x.A1B2C3 D4解析：选B当n为奇数时，a的n次方根

9、只有1个，为x；当n为偶数时，由于(x)nxna，所以a的n次方根有2个，为x.所以说法是正确的，选B.2计算： ()Ax BxCx Dx解析：选C由已知，得x30，所以x0，所以 |x|x，选C.3将 化为分数指数幂为()A2 B2C2 D2解析：选D2.4已知a0，将 表示成分数指数幂，其结果是()Aa BaCa Da解析：选Ca2aa，故选C.5下列式子中，错误的是()A(27a3)0.3a110a2B.abC.1D.解析：选C对于A，原式3a0.3a110a2，A正确；对于B，原式ab，B正确；对于C，原式(32)2(32)2(32)(32)1.这里注意32，a(a0)是正数，C错误；

10、对于D，原式 a，D正确6化简：()2_.解析：由()2知a10，a1.故原式a1|1a|1aa1.答案：a17计算：(0.008 1) 10(0.027)_.解析：原式33.答案：8化简：(1a)_.解析：要使原式有意义，需a10.(1a)(1a)(a1) (a1)(a1)(a1).答案：9写出使下列各式成立的实数x的取值范围(1) ；(2) (5x).解：(1)由于根指数是3，故x只需使有意义即可，此时x30，即x3.故实数x的取值范围是x|x3(2)(5x)，5x5.实数x的取值范围是x|5x510计算或化简：(1) (0.002) 10(2)1()0；(2) .解：(1)原式(1) 1

11、50010(2)11010201.(2)原式(aa)(a5) (a)13(a0)(aa)(a4)a2.B级高考水平高分练1下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是()A(x)(x0)B.y(y0)Cxy(x0，y0)Dx(x0)解析：选C对于A，x，故A错误；对于B，当y0时，0，y0，故B错误；对于C，xy(x0，y0)，故C正确；对于D，x(x0)，故D错误2化简下列各式(1)；(2)(xyz1)(x1yz3)；(3)2(1.03)0.解：(1)原式xyxy.(2)原式(xyz1)(xyz1)xyz11xz2.(3)原式()252.3化简 (3x3)解：原式|x1|x3|.3x3，4x

12、12,0x36.当4x10，即3x1时，|x1|x3|1x(x3)2x2；当0x12，即1x0且a1.(二)基本知能小试1判断正误(1)yx2是指数函数()(2)指数函数yax中，a可以为负数()(3)y2x1是指数函数()答案：(1)(2)(3)2函数y(a2)ax是指数函数，则()Aa1或a3Ba1Ca3 Da0且a1解析：选C若函数y(a2)ax是指数函数，则a21，解得a3，故选C.3已知函数f(x)若ff(1)4，则a()A BC1D2解析：选D由题得ff(1)f2(1)f(2)a24，又a0，且a1，所以a2，故选D.4我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到

13、2020年底我国人口总数是()AM(1p)8 BM(1p)9CM(1p)10 DM(1p)11解析：选C从2010到2020年一共增长了10次题型一指数函数的概念 学透用活指数函数有四个特点(1)定义域必须是实数集R；(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y5ax(a0且a1)不是指数函数；(4)底数a的范围必须是a0且a1.典例1(1)下列各函数中，是指数函数的为()Ayx3 By(4)xCy5x1 Dy52x(2)若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A(0,1)(1，) B0,1)(1，)

14、C(1，) D解析(1)A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但40，不满足“底数大于0”这个条件，故不是指数函数；C中，指数是x1，故不是指数函数；D中，y52x25x恰好符合指数函数的定义，故是指数函数(2)依题意得2a10，且2a11，解得a，且a1，故选C.答案(1)D(2)C判断一个函数是指数函数的方法(1)需判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征(2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数对点练清1下列是指数函数的是()Ay3xBy2Cyax Dyx解析：选D根据指数函数的特征知，A，B，C不

15、满足，故选D.2若函数y(a23a3)ax是指数函数，则a的值为_解析：由指数函数的定义知由得a1或2，结合得a2.答案：2题型二指数函数的解析式及应用 学透用活典例2(1)指数函数yf(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)()A8 B16C32 D64(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(1)的值解析(1)选D指数函数yf(x)ax(a0，且a1)的图象经过点，可得a2，解得a2，函数的解析式为：y2x，f(4)f(2)242264，故选D.(2)设f(x)ax(a0，且a1)，将点(2,9)代入，得a29，解得a3或a3(舍去)所以f(x)3x.所以f(

16、1)31.(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式对点练清1若函数f(x)ax是指数函数，则f的值为()A2 B2C2 D2解析：选B函数f(x)ax是指数函数，a31，a0，a1，解得a8，f(x)8x，f2，故选B.2已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(x)_.解析：设f(x)ax(a0，且a1)，由f，得a55，a5，f(x)5x.答案：5x题型三指数函数的实际应用 学透用活1指数增长模型设原有量为N，

17、每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)2指数减少模型设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则yN(1p)x(xN)3指数型函数把形如ykax(k0，a0，且a1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型典例3某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米解(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量

18、为：2002005%200(15%)经过2年后木材蓄积量为：200(15%)200(15%)5%200(15%)2.经过x年后木材蓄积量为：200(15%)x.yf(x)200(15%)x.函数的定义域为xN*.(2)作函数yf(x)200(15%)x(x0)图象见下图.x0123y200210220.5231.5作直线y300与函数y200(15%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值8x09，则取x9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米(1)涉及单位

19、时间内变化率一定的问题可用公式ya(1)x来计算，其中a为初始值，为变化率，x为自变量，xN*，y为x年变化后的函数值(2)作函数的图象应先列表再作出图象，从左向右看，若图象上升，则函数是增函数；若图象下降，则函数是减函数其实可总结出当a0，0时，ya(1)x是增函数对点练清1指数增长类型某城市房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A1 B1C50%D600元解析：选A这6年间平均每年的增长率为x，则1 200(1x)64 800，解得x11.故选A.2指数减少类型若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过

20、x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()Ay(0.957 6) By(0.957 6)100xCyx Dy1(0.042 4)解析：选A由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y(0.957 6).3指数型函数应用某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系ycmt(c，m为常数)求c，m的值解：由题意可得解得故c，m的

21、值分别为128，.课堂一刻钟巩固训练一、基础经典题1下列函数中指数函数的个数是()y2x；yx2；y2x1；yxx；y(6a3)x.A0B1C2 D3解析：选C只有是指数函数；底数不是常数，故不是指数函数；y2x122x是2与指数函数y2x的乘积；中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义故选C.2碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为()A B5 730CD14解析：选C设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则m5 730，解得m，所以碳14的年衰变率为.3已知函数f(x)为指数函数，且f，则f(2)_.解析：设f(x)ax(a0，且a1)，则a，即a3，a3，f(x)3x.故

22、f(2)32.答案：二、创新应用题4已知指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，求ff的值解：设f(x)ax(a0，且a1)，f(x)过点(2,4)，4a2.又a0且a1，a2，f(x)2x.ff22.课下双层级演练过关A级学考水平达标练1函数f(x)(2a3)ax是指数函数，则f(1)()A8 BC4D2解析：选D函数f(x)(2a3)ax是指数函数，2a31，解得a2.f(x)2x，f(1)2.故选D.2函数f(x)ax(a0且a1)，对于任意实数x，y都有()Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y)解析：选Cf(

23、xy)axyaxayf(x)f(y)故选C.3已知函数y2ax11(a0且a1)恒过定点A(m，n)，则mn()A1 B3C4 D2解析：选C由题意知，当x1时，y3，故A(1,3)，mn4.4若点(a,27)在函数y()x的图象上，则的值为()A. B1C2 D0解析：选A点(a,27)在函数y()x的图象上，27()a，即333，3，解得a6，.故选A.5某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为()Aa(1p%)元Ba(1p%)元C元 D元解析：选C设现在成本为x元，则x(1p%)3a，x.6已知函数f(x)ax，a为常数，且函数的图象过点(1,2)，则a_，若g(x)

24、4x2，且g(x)f(x)，则x_.解析：因为函数的图象过点(1,2)，所以a2，所以a1，所以f(x)x，g(x)f(x)可变形为4x2x20，解得2x2，所以x1.答案：117已知f(x)2x，若f(a)5，则f(2a)_.解析：因为f(x)2x，f(a)5，则f(a)2a5.所以f(2a)22a(2a)222223.答案：238某厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为_万元解析：2018年产值为a，增长率为7%.2019年产值为aa7%a(17%)(万元)2020年产值为a(17%)a(17%)7%a(17%)2(万元)2022年的产值为a(17%)4万元答案：a(17%)49已知函数f(x)(a2a5)ax是指数函数(1)求f(x)的表达式；(2)判