专题1二次函数与等腰三角形问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.docx

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1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题1 二次函数与等腰三角形问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合

2、思想进行准确的分类. 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果ABAC，直接列方程；如图2，如果BABC，那么；如图3，如果CACB，那么图1 图2 图3 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的

3、式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来，然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算.【例1】（2022百色）已知抛物线经过A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F（1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOFBDF；（3）是否存在点M，使MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【分析】（1）把A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入yax2+bx+c，即可得解；（2）根据正方形的性质得出OBCDBC，BDOB，再由BFB

4、F，得出BOFBDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出BOM30，类比解答即可【解答】（1）解：设抛物线的表达式为yax2+bx+c，把A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）证明：正方形OBDC，OBCDBC，BDOB，BFBF，BOFBDF，BOFBDF；（3）解：抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，令y3，则3x2+2x+3，解得：x10，x22，E（2，3），如图，当M在线段BD的延长线上时，BDF为锐角，FD

5、M为钝角，MDF为等腰三角形，DFDM，MDFM，BDFM+DFM2M，BMOC，MMOC，由（2）得BOFBDF，BDF+MOC3M90，M30，在RtBOM中，BM，MEBMBE32；如图，当M在线段BD上时，DMF为钝角，MDF为等腰三角形，MFDM，BDFMFD，BMOBDF+MFD2BDF，由（2）得BOFBDF，BMO2BOM，BOM+BMO3BOM90，BOM30，在RtBOM中，BM，MEBEBM2，综上所述，ME的值为：32或2【例2】（2022河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：yax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线L1的

6、函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EFx轴于点F，设EFm，问：当m为何值时，BFE与DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点T首先证明DCB90，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次

7、函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M（6，3）设P（5，m），分三种情形：当BPBM3时，当PBPM时，当BMPM时，分别构建方程求解即可【解答】解：（1）yax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），抛物线的解析式为yx2+2x+3，y（x1）2+4，抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点TC（0，3），B（3，0），D（1，4），BC3，CD，BD2，BC2+CD2BD2，BCD90，CDCBBDCH，CH，EFx轴，DTx轴，EFDT，BEm，BFm，BFE与DEC的面积之和S（2m）+

8、mm（m）2+，0，S有最小值，最小值为，此时m，m时，BFE与DEC的面积之和有最小值解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值求出四边形OCEF的面积的最大值即可（3）存在理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M（6，3）设P（5，m），当BPBM3时，22+m2（3）2，m，P1（5，），P2（5，），当PBPM时，22+m212+（m+3）2，解得，m1，P3（5，1），当BMPM时，（3）212+（m+3）2，解得，m3，P4（5，3+），P5（5，3），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，），P3（5，1），P4（5，3+），

9、P5（5，3）【例3】（2022山西）综合与探究如图，二次函数yx2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m过点P作直线PDx轴于点D，作直线BC交PD于点E（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线lAC，交y轴于点F，连接DF试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CEFD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由yx2+x+4得，A（2，0），B（8，0），C（0，4

10、），用待定系数法可得直线BC解析式为yx+4，（2）过C作CGPD于G，设P（m，m2+m+4），可得PDm2+m+4，DGOC4，CGODm，PGPDDGm2+m，而CPCE，CGPD，即得GEPGm2+m，证明CGEBOC，可得，即可解得P（4，6）；（3）过C作CHPD于H，设P（m，m2+m+4），根据PFAC，设直线PF解析式为y2x+b，可得直线PF解析式为y2xm2m+4，从而F（0，m2m+4），OF|m2m+4|，证明RtCHERtDOF（HL），可得HCEFDO，即得FDOCBO，tanFDOtanCBO，故，可解得m22或m4【解答】解：（1）在yx2+x+4中，令x0得

11、y4，令y0得x8或x2，A（2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为ykx+4，将B（8，0）代入得：8k+40，解得k，直线BC解析式为yx+4；（2）过C作CGPD于G，如图：设P（m，m2+m+4），PDm2+m+4，CODPDOCGD90，四边形CODG是矩形，DGOC4，CGODm，PGPDDGm2+m+44m2+m，CPCE，CGPD，GEPGm2+m，GCEOBC，CGE90BOC，CGEBOC，即，解得m0（舍去）或m4，P（4，6）；（3）存在点P，使得CEFD，理由如下：过C作CHPD于H，如图：设P（m，m2+m+4），由A（2，0），C（0，4）可得直

12、线AC解析式为y2x+4，根据PFAC，设直线PF解析式为y2x+b，将P（m，m2+m+4）代入得：m2+m+42m+b，bm2m+4，直线PF解析式为y2xm2m+4，令x0得ym2m+4，F（0，m2m+4），OF|m2m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，CHOD，CEFD，RtCHERtDOF（HL），HCEFDO，HCECBO，FDOCBO，tanFDOtanCBO，即，m2m+4m或m2m+4m，解得m22或m22或m4或m4，P在第一象限，m22或m4【例4】（2022贺州）如图，抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；

13、（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得SBCMSBCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；（2）设P（1，m），根据PBPC列出方程，进而求得点P坐标；（3）作PQBC交y轴于Q，作MNBC交y轴于N，先求出PQ的解析式，进而求得MN的解析式，进一步求得结果【解答】解：（1）由题意得：y（x+1）（x3），yx2+2x+3；（2）设P（1，m），PB2PC2，（31）2+m21+（m3）2，m1，P（1，1）；（3）假设存在M

14、点满足条件，作PQBC交y轴于Q，作MNBC交y轴于N，PQ的解析式为yx+2，Q（0，2），C（0，3），SBCMSBCP，N（0，4），直线MN的解析式为：yx+4，由x2+2x+3x+4得，x，M点横坐标为或1（2022春丰城市校级期末）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）根据平

15、行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，解得，这个二次函数的表达式yx22x3；（2）设BC的解析式为ykx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，解得，BC的解析式为yx3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM（n3）（n22n3）n2+3n（n）2+，当n时，PM最大，线段PM的最大值；解法一：当PMPC时，（n2+3n）2n2+（n22n3+3）2，解得n1n20（不符合题意，舍），n32，n22n33，P（2，3）当PMM

16、C时，（n2+3n）2n2+（n3+3）2，解得n10（不符合题意，舍），n23，n33+（不符合题意，舍），n22n324，P（3，24）综上所述：P（3，24）或（2，3）解法二：当PMPC时，BC：yx3，ABC45，PHAB，BMHCMP45，PMPC时，CPM为等腰直角三角形，CPx轴，设P（n，n22n3），则CPn，MPn2+3n，nn2+3n，解得n0（舍去）或n2，P（2，3），当PMCM时，设P（n，n22n3），则n2+3n，n2+3n，n0，nn2+3n，解得n3，P（3，24），综上所述：P（3，24）或（2，3）2（2022岚山区一模）已知抛物线yax2+bx+8与

17、x轴交于A（3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若PQDBED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式

18、为yx+8（0x8），设P（m，m+8），则D（m，m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；（3）分三种情况：当MBMD时，当MBBD时，当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+8与x轴交于A（3，0），B（8，0）两点，解得，抛物线的解析式为yx2+x+8；（2）抛物线的解析式为yx2+x+8，令x0，y8，C（0，8），设直线BC的解析式为ykx+m，解得：，直线BC的解析式为yx+8（0x8），设P（m，m+8），则D（m，m+8），E（m，0），BD（8m），又PDm+8（m+8）m，PQDBE

19、D，PDBD，（8m）m，解得，m13，m28（舍去），m的值为3；（3）由（2）可知直线BC的解析式为yx+8，向下平移5个单位得到yx+3，当y0时，x3，M（3，0），当x0时，y3，N（0，3），由题意得PDMB，MB835，D（m，m+3），MD2（m3）2+（m+3）2，BD2（8m）2+（m+3）2，若BMD是等腰三角形，可分三种情况：当MBMD时，（m3）2+（m+3）225，解得m13+，m23，当MBBD时，（8m）2+（m+3）225，解得，m13（舍去），m28（舍去），当MD+BD时，（8m）2+（m+3）2（m3）2+（m+3）2，解得，m5.5综上所述，m的值为3

20、+或3或5.5时，BMD是等腰三角形3（2022淮阴区校级一模）如图，抛物线y2x2+bx+c过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（1，n），由两点间距离公式可得：BC2OB2+OC232+6245，BD

21、2（13）2+（n0）2n2+4，CD2（01）2+（6n）2n2+12n+37，分两种情况：当CBD90时，当BCD90时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，作BCO关于直线BC对称的BCG，CG交抛物线于点E，利用三角函数和面积法可求得G（，），运用待定系数法求得直线CG的解析式为yx6，联立方程组可得E（，），再根据轴对称可求得点E的坐标；（4）由题意可知BMN为等边三角形，分两种情况讨论：当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方，连接BM，RN证出BAMBRN，可得AN垂直平分BR，则L点在直线AN上，可求出直线AN的解析式，当点N在x轴的下方时，点M在x轴下方同理可

22、求出另一直线解析式【解答】解：（1）抛物线y2x2+bx+c过A（1，0）、B（3，0）两点，解得：，该抛物线的表达式为y2x24x6，x1，抛物线对称轴为直线x1；（2）设D（1，n），抛物线y2x24x6交y轴于点C，C（0，6），B（3，0），BC2OB2+OC232+6245，BD2（13）2+（n0）2n2+4，CD2（01）2+（6n）2n2+12n+37，当CBD90时，则BC2+BD2CD2，45+n2+4n2+12n+37，解得：n1，D（1，1）；当BCD90时，则BC2+CD2BD2，45+n2+12n+37n2+4，解得：n，D（1，）；所有符合条件的点D的坐标为（1，

23、1）或（1，）；（3）如图2，作BCO关于直线BC对称的BCG，CG交抛物线于点E，S四边形BOCG2SBCO23618，在RtBCO中，BC3，OGBC，BCOG18，OG，GHOGsinGOHOGsinBCO，OHOGcosGOHOGcosBCO，G（，），设直线CG的解析式为ykx+d，则，解得：，直线CG的解析式为yx6，解得：（不符合题意，舍去），E（，），点E与点E关于BC对称，CECE，CE，6+，E（0，）；（4）在抛物线对称轴上取点R（1，2），连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，则S（1，0），tanRAS，RAS60，ARBR，ABR是等边三角形，当点N在x轴上方时，点

24、M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，BMN，BAR为等边三角形，BMBN，BABR，MBNABR60，ABMRBN，ABMRBN（SAS），AMRN，点M在抛物线对称轴上，AMBM，RNBMBN，AN垂直平分BR，LRLBLA，设L（1，m），则LSm，ALBLRL2m，2m+m2，解得：m，L（1，），设直线AN的解析式为yk1x+d1，则，解得：，直线AN的解析式为yx+；当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，BMN，BAR为等边三角形，BMBN，BABR，MBNABR60，ABNRBM，BRMBAN（SAS），BANBRM，ARBR，RSAB，

25、BRMARB30，BAN30，设AN与y轴交于点Q，在RtAOQ中，OQOAtanBANOAtan301，Q（0，），设直线AN的解析式为yk2+d2，则，解得：，直线AN的解析式为yx综上所述，直线AN的解析式为yx+或yx4（2022仁寿县模拟）如图，直线ykx+n（k0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线yax2+bx+4与x轴交于点C，且C（1，0），A（4，0）（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使PAB的面积

26、最大？若存在求出PAB的最大面积；若不存在，试说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得B点的坐标，将A、B两点代入直线ykx+n即可得直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB4，分两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可；（3）设P（x，x2+3x+4）（0x4），过点P作PDy轴交直线AB于点D，则D（x，x+4），可得PDyPyDx2+4x，即得SPABPDOA2（x2）2+8，根据二次函数的最值即可求解【解答】解：（1）过A，B两点的抛物线yax2+bx+4与x轴交于点C，且C（1，0），A（4，0），解得，抛物线解析式为yx2+3x+4，令x0，得y4，B（0

27、，4），直线ykx+n（k0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，解得，直线AB的解析式为yx+4；（2）如图，A（4，0）B（0，4），AB4，当ABMB时，点M与点A（4，0）关于y轴对称，故M（4，0）符合题意；当ABAM时，AMAB4，M（44，0）、M（4+4，0）综上所述，点M的坐标为（4，0）或（44，0）或（4+4，0）；（3）存在，理由如下：设P（x，x2+3x+4）（0x4），如图，过点P作PDy轴交直线AB于点D，则D（x，x+4），PDyPyD（x2+3x+4）（x+4）x2+4x，SPABPDOA4x2+4x2（x2）2+8，20，当x2时，PAB的面积最大，最大面积是8

28、，存在点P，使PAB的面积最大，最大面积是85（2022徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为yx22x+3，令y0，可求得A（3，0），把点A的坐标代入

29、ykx+3，即可求得直线AB的解析式为yx+3；（2）设P（m，m+3），且3m0，则M（m，m22m+3），可得PMm23m，运用两点间距离公式可得PBm，根据PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MPPB或MPMB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系数法可求得经过点D（1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式yx+5，联立，得x+5x22x+3，可得点G的横坐标为2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故2m1【解答】解：（1）直线ykx+3交y轴于点B，B（0，3），抛物线yx2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），解得：，抛物线的解析式为yx22

30、x+3，令y0，得x22x+30，解得：x13，x21，A（3，0），把点A的坐标代入ykx+3，得3k+30，解得：k1，直线AB的解析式为yx+3；（2）点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，P（m，m+3），且3m0，过P作y轴的平行线交抛物线于M，M（m，m22m+3），PMm22m+3（m+3）m23m，PB2（m0）2+（m+33）22m2，且3m0，PBm，PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），MPPB或MPMB，OAOB3，AOB90，AOB是等腰直角三角形，ABO45，PMOB，BPM45，当MPPB时，m23mm，解得：m0（舍去）或m3+，P（3+，）；当MPM

31、B时，则PBMBPM45，BMP90，BMx轴，即点M的纵坐标为3，m22m+33，解得：m10（舍去），m22，P（2，1），综上所述，点P的坐标为（3+，）或（2，1）；（3）yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的顶点D（1，4），设经过点D（1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为yx+n，如图2，则1+n4，解得：n5，yx+5，联立，得x+5x22x+3，解得：x11，x22，点G的横坐标为2，顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，m的取值范围为：2m16（2022沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2

32、+2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DEy轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记ADC的面积为S1，AEO的面积为S2，求S1S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标【分析】（1）令y0，即可求A点坐标；（2）延长DE交x轴于点K，求出直线AC的函数表达式为yx3，设D（t，t2+2t3），其中3t0，则

33、E（t，t3），K（t，0），即可求S1S2t2t（t+t26t）（t+2）2+，当t2时，S1S2取得最大值，最大值为，此时点D的坐标为（2，3）；（3）由题意可求抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y（x1）2+2，可求M（0，3），设N（1，n），分两种情况当AMAN时，9+94+n2，得到N（1，）或N（1，）；当AMMN时，9+91+（3n）2，得到N（1，3+）或N（1，3）【解答】解：（1）抛物线yx2+2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），令y0，得x2+2x30，解得x13，x21，点A在点B的左侧，点A的坐标为（3，0）；（2

34、）如图，延长DE交x轴于点K，抛物线yx2+2x3与y轴交于点C，C（0，3），设直线AC的函数表达式为ykx+n（k0），A（3，0），C（0，3），解得，直线AC的函数表达式为yx3，设D（t，t2+2t3），其中3t0，E（t，t3），K（t，0），DEt23t，S1SADCDEOA（t23t）t2t，S2SAEOEKOA（t+3）t+，S1S2t2t（t+t26t）（t+2）2+，当t2时，S1S2取得最大值，最大值为，此时点D的坐标为（2，3）；（3）C（0，3），B（1，0），抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，平移后的抛物线解析

35、式为y（x+12）24+6（x1）2+2，当x0时，y3，M（0，3），原抛物线的对称轴为直线x1，设N（1，n），当AMAN时，9+94+n2，n，N（1，）或N（1，）；当AMMN时，9+91+（3n）2，n3+或n3，N（1，3+）或N（1，3）；综上所述：N点坐标为（1，）或（1，）或（1，3+）或（1，3）7（2022春北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：yx2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，

36、与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MNy轴交线段DE于点N，连接ON，记EMD的面积为S1，EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足PECEFO直接写出P点坐标；是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）设EP与x轴交于点H，利用相

37、似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论【解答】解：（1）点在抛物线C1：yx2+bx+c上，c该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，b0，b240b抛物线C1的解析式为yx+（2）yx+，又抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，抛物线C2的解析式为yx+2，令x0，则y2，E（0，2）OE2令y0，则x+20，解得：x1或3，C（1，0），D（3，0）OC1，OD3，CD2点M在抛物线C2上，设M（m，m+2），设直线ED的解析式为ykx

38、+n，解得：，直线ED的解析式为yx+2MNy轴交线段DE于点N，N（m，m+2），点M在线段ED的下方，MNx+2（m+2）+2m，SEMDSEMN+SDMNMNODm2+3m，OEmm，S1+2S2m2+2m+2mm2+4m（m2）2+4，10，当m2时，S1+2S2有最大值4；（3）点P的坐标为（，），理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，抛物线C2的解析式为y，抛物线的对称轴为直线x2，F（2，0）OF2OC1，CFOFOC1EC，PECEFO，PECPEF+CEF，EFOPEF+G，CEFGECFGCE，ECFGCE，CE2CFCG，CG5，OGOC+CG6，G（6，0）设直线EG的

39、解析式为yax+2，6a+20，a直线EG的解析式为yx+2，解得：或，P（，）；在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG抛物线对称轴与点G，PHx轴于点H，连接PD，如图，P（，），OK，PK，DKOKOD，PGKFOKOF，DP1，DF1，抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HDDP，HPPD；当HPHD时，设H（2，h），则HFh，过点P作PG抛物线对称轴与点G，如图，则PGKFOKOF，GF，HPHD，12+h2+，解得：h，H（2，）综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）8（2022兴宁区校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN2t，MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【分