2016年中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习.doc.pdf

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1、北京市西城区重点示范中学 2016 年 3 月九年级数学中考复习 相似、解直角三角形复习建议及练习 一、2016 年北京考试说明（一）图形的性质 1.相似三角形：A.了解相似三角形的性质定理与判定定理；B.能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。2.锐角三角函数及解直角三角形 A.理解锐角三角函数(sinA，cosAtanA)的概念；知道 30、45、60角的三角函数值，理解（2015 年是“了解”）解直角三角形的概念；B.能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（2015 年是“某些”）简单的实际问题；C运用直角三角形的有关内容解决有关问题

2、。（二）图形的变化 3.图形的相似：A.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；B.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（2015 年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。（三）图形与坐标 4.坐标与图形运动：A.在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；B.在平面直角坐标系中，能写

3、出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；C.运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。二、复习建议 1按照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的 A级知识点适当安排、不漏过、不随意拔高难度；2B 级的知识要落实到位；C 级知识要达到灵活运用；3注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；4教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题；5.逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；6.去模式化，重知识，重思想；7.重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。8.课时安排：相似 约

4、 2 课时 解直角三角形 约 2 课时 三、具体内容 相似三角形的性质与判定 落实一：能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题 落实二：掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 落实三：会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 落实四：能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化 例1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并 延长与BA的延长线交于点F，若2AEED，则FAFB的值是_.例2.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点（DECE），连接 AE，并过点 E 作 AE的垂线交 BC

5、于点 F,若 AB=9,BF=7,求 DE 长.例 3.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，则旗杆的高度为 米 例 4.如图，点 A的坐标为（3，2），点 B 的坐标为（3，0）作如下操作：以点 A为旋转中心，将ABO 顺时针方向旋转 90，得到AB1O1；C A B D E F EC以点 O 为位似中心，将ABO 放大，得到A2B

6、2O，使相似比为 12，且点 A2在第三象限（1）在图中画出AB1O1和A2B2O；（2）请直接写出点 A2的坐标：_ 例 5.（ZFX/P70 例 4）已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD=12,点 E 是边 CD 上的动点（点 E 不与端点 C、D 重合），AE 的垂直平分线 FP 分别交 AD、AE、BC 于点 F、H、G，交 AB的延长线于点 P.（1）设 DE=m(0m12)，试用含 m 的代数式表示HGFH 的值；（2）在（1）的条件下，当21HGFH时，求 BP 的长.例6.含30 角的直角三角板ABC中，A=30.将其绕直角顶点C 顺时针旋转角（0o90o），得到 RtA

7、B C，A C边与 AB 所在直线交于点 D，过点 D 作 DEA B交CB边于点 E，连接BE.求证：CBE=30.练习：1.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，则 DE：EC=2.如图，点 A，B，C，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD，AC 交 BD 于点 E，CE=4，CD=6，则 AE 的长为 3.某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自 然得体如图，若舞台 AB 的长为 20m，C 为 AB 的一个黄金分割点（ACBC），则 AC 的长为_.（结果精确到 0.1m）

8、4.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A、C 分别在 x，y轴的正半轴上点 Q 在对角线 OB 上，且 QO=OC，连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P则点 P 的坐标为 5.（ZFX/P69 例 2）已知：如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BRHGFEDCBAP分别交 AC，CD 与点 P，Q.（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 的除外）；（2）求 BP:PQ:QR 的值.6.（ZFX/P69 例 3）已知：如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=3cm,BC=7cm,B=6

9、0,P 为下底 BC 上一点（不与 B、C 重合）.连接 AP，过 P 点作 PE 交 DC 于 E，使得APE=B (1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2)当点 P 在底边 BC 上自点 B 向 C 移动过程中，是否存在一点 P，使得 DE:EC=5:3，如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由.7.在矩形 ABCD 中，DC=2，CFBD 分别交 BD、AD 于点 E、F，连接 BF（1）求证：DECFDC；（2）当 F 为 AD 的中点时，求 sinFBD 的值及 BC 的长度 8.如图，在 Rt ABC 中，C=90，翻折C，使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处，

10、折痕为 EF（点 E、F 分别在边 AC、BC 上）（1）若CEF 与ABC 相似 当 AC=BC=2 时，AD 的长为 ；当 AC=3，BC=4 时，AD 的长为 ；（2）当点 D 是 AB 的中点时，CEF 与 ABC 相似吗？请说明理由 9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）请画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1（2）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点 A2，B2，C2，请画出A2B2C2（3）求A1B1C1与A2B2C2的面积比，即：=（不写解答过程，直接写出结果）EPDCB

11、A 相似的综合应用 1.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数xmy 的图像过点6,1A（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线与反比例函数xmy 图像的另一个交点为B，与x轴交于点P，若PBAP2，求点P的坐标 2.在矩形 ABCD 中，边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处（如图 1）图 1 图 2（1）如图 2，设折痕与边 BC 交于点 O，连接,OP、OA已知OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB的长；（2）动点 M 在线段 AP 上（不与点 P、A重合），动点 N 在线段 AB的延长线上，且 BN=PM，连接 MN、PB，交于点

12、F，过点 M 作 MEBP 于点 E 在图 1 中画出图形；在OCP 与PDA 的面积比为 1：4 不变的情况下，试问动点 M、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？请你说明理由 3.如图 1，点 O 在线段 AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且BOC=60，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从点 O 出发，沿射线 OC 做匀速运动，设运动时间为 t 秒.（1）当 t=21秒时，则 OP=，S ABP=；（2）当 ABP 是直角三角形时，求 t 的值；（3）如图 2，当 AP=AB 时，过点 A 作 AQBP，并使得QOP=B，求证：AQ BP=3.为了证明 AQ B

13、P=3，小华同学尝试过 O 点作 OEAP 交 BP 于点 E。试利用小华同学给我们的启发补PDABCPDBACO全图形并证明 AQ BP=3 4.已知：如图，AB为O的直径，G为 AB上一点，过G作弦ABCE，在上取一点D，分别作直线EDCD、，交直线AB于点MF、，分别连结 OE，CO，CM.(1)若 G为 OA的中点.COA=，FDM=；FD OMDMCO求证：.(2)如图，若G为半径OB上任意一点(不与点 O、B重合)，过G作弦ABCE，点D在上，仍作直线EDCD、，分别交直线AB于点MF、，分别连结 OE，CO，CM.依题意补全图形；此时仍有 FD OM=DMCO成立.请写出证明 F

14、D OM=DMCO的思路.（不写出证明过程）5已知：ABC，DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD，BE.（1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 BE 的数量关系和位置关系；（2）ABC 固定不动，将图 1 中的DEF 绕点 M 顺时针旋转（o0o90）角，如图2 所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；图 1 备用图 图 2 解直角三角形 落实一：锐角三角函数的定义 例 1：（1）.在 RtABC 中，90C，2ABBC，那么sin A的值为_.（2）在 RtABC中，C=90，BC=1，那么

15、 AB的长为_.（3）在ABC 中，C=90，cos A=1715，求 sinA、tan A的值.（4）如图，AB是O 的直径，C、D 是圆上的两点.若 BC=8，2cos3D，则 AB 的长为().A8 133 B163 C24 55 D12（5）已知：如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求 tanADC 的值.（6）（ZFX P74 例(5)）如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 的正切值是，则 sin的值为_.落实二：特殊角的三角函数值 例 2：（1）.如果A是锐角，且 sin

16、A=21，那么=A_（2）计算：图2 备用图 图1 AOBCDBCA1.10)81(45sin218)3(o 2.2sin2tan+costan 3.24cos 45tan608(1)4.1012sin 60320152 5.60tan345tan60cos245sin2 落实三：解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形 例 3：如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=32，求 AB 的长.例 4：如图，在四边形 ABCD 中，C=120，B=75，CD=4，BC=232，cosA=53.求 AD 的长.例 5：如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点E，90453

17、02BACCEDDCEDE ，2 2BE 求CD的长和四边形ABCD的面积 例 6：（ZFX/P75 例 5）在ABC 中，A=30，BC=3，AB=33，求BCA 的度数和 AC 的长。练习：1.如图，已知O 的半径为 1，锐角ABC 内接于O，BDAC 于点 D，OMAB 于点 M，则 sinCBD 的值等于（）AOM 的长 B2OM 的长 CCD 的长 D2CD 的长 2.如图，已知 l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin的值是（）A B C D 3.把两块含有 300的相同的直角尺按如图所示摆放，使点 C、B、E 在同

18、一条直线上，连结 CD，若 AC=6cm，则 BCD的面积是 _ 。4如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cosA=，BE=4，则 tanDBE 的值是 5如图，矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 P，且 AD=，BP=，以点 P 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段 DC，线段 BC 于点 E，F，连接 EF，则 tanPEF=6.如图，在 RtABC 中，C=90，点 D 在 AC 边上若 DB=6，AD=12CD，sinCBD=23，求 AD 的长和 tanA的值 7.（ZFX/P75 例 3）如图，在ABC 中，C=90，A=30，E 为 AB 上一点，且 AE：E

19、B=4:1，EFAC 于点 F，连接 FB.求 tanCFB 的值.8.（ZFX/P75 例 4）（1）如图，在ABC 中，ACB=105，A=30，AC=8，求 AB 和 BC 的长？（2）在ABC 中，ABC=135，A=30，AC=8，求 AB 和 BC 的长？（3）在ABC 中，AC=17，AB=26，锐角 A 满足 sinA=1312，求 BC 的长及ABC 的面积？若AC=3，其他条件不变呢？解直角三角形的实际应用 落实一：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 落实二：会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 A C B D E ABCABCEF落实三：能综合运用直

20、角三角形的性质解决有关的问题 例 1：如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 PQ 的高度他们采取的方法是：先在地面上的点 A处测得杆顶端点 P 的仰角是 45，再向前走到 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60 和 30，这时只需要测出 AB的长度就能通过计算求出电线杆 PQ 的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路.例 2：如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆 AB，已知距电线杆 AB 水平距离 14 米处是观景台，即 BD14 米，该观景台的

21、坡面 CD 的坡角CDF 的正切值为 2，观景台的高 CF为 2 米，在坡顶 C 处测得电线杆顶端 A的仰角为 30，D、E 之间是宽 2 米的人行道，如果以点 B 为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域请你通过计算说明在拆除电线杆 AB 时，人行道是否在危险区域内？(73.13,41.12)例 3：在一次数学实践活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度（参考数值：3tan315）例 4：如图，在电线杆上的

22、C处引拉线 CE、CF固定电线杆，拉线 CE和地面成 60 角，在离电线杆 6 米的 B处安置测角仪，在 A处测得电线杆上 C处的仰角为 30，已知测角仪高 AB为 1.5 米，求拉线 CE的长（结果保留根号）练习：1、两个城镇 A、B 与两条公路 ME，MF 位置如图所示，其中 ME 是东西方向的公路现电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路ME，MF 的距离也必须相等，且在FME 的内部（1）那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设 AB 的垂直平分线交 ME 于

23、点 N，且 MN=2（+1）km，在 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60 方向，在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45 方向，求点 C 到公路 ME 的距离 2、如图：我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速 航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60 方向的我国 某传统渔场捕鱼作业若渔政 310 船航向不变，航行半 小时后到达 B 点，观测到我渔船 C 在东北方向上问：渔政 310 船再按原航向航行多长时间，离渔船 C 的距离 最近？（渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值）3、如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：平面镜；

24、皮尺；长为 2 米的标杆；高为 1.5m 的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选 用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路 4、如图，小明在大楼 30 米高（即 PH=30米）的窗口 P处进行 观测，测得山坡上A处的俯角为15，山脚B处的俯角为60，已知该山坡的坡度i（即tanABC）为 1：3，点 P，H，B，C，A在同一个平面上，点 H、B、C在同一条直线上，且 PH丄 HC （1）山坡坡角（即ABC）的度数等于 度；（2）求 A、B两点间的距离（结果精确到 0.1 米，参考数据：31.732）5、如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60，测得 B 的方位角为南偏东 45，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在 B 处测得小岛A 在小岛 B 的正北方向 求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：1.41，2.45）