2015年上海市高考数学试卷.pdf
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1、2015 年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律零分)1(4 分)函数 f(x)=13sin2x 的最小正周期为 2(4 分)设全集 U=R,若集合 A=1,2,3,4,B=x|2 x3,则 AB=3(4 分)若复数 z 满足 3z+=1+i,其中 i 是虚数单位,则 z=4(4 分)设 f1(x)为 f(x)=的反函数,则 f1(2)=5(4 分)若线性方程组的增广矩阵为解为,则 c1c2=6(4 分)若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 16,则 a=7(4 分)抛物线
2、y2=2px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则p=8(4 分)方程 log2(9x15)=log2(3x12)+2 的解为 9(4 分)若 x,y 满足,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 10(4 分)在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示)11(4 分)在(2x+)6的二项式中,常数项等于 (结果用数值表示)12(4 分)已知双曲线 C1、C2的顶点重合,C1的方程为y2=1,若 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍,则 C2的方程为 13(4 分)已知平面
3、向量、满足 ,且|,|,|=1,2,3,则|+|的最大值是 14(4 分)已知函数 f(x)=sinx 若存在 x1,x2,xm满足 0 x1x2xm6,且|f(x1)f(x2)|+|f(x2)f(x3)|+|f(xm 1)f(xm)|=12(m 2,m N*),则 m的最小值为 二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律零分.15(5 分)设 z1、z2C,则“z1、z2均为实数”是“z1z2是实数”的()A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 16(5
4、 分)下列不等式中,与不等式2 解集相同的是()A(x+8)(x2+2x+3)2 Bx+82(x2+2x+3)C D 17(5 分)已知点 A的坐标为(4,1),将 OA绕坐标原点 O逆时针旋转至OB,则点 B的纵坐标为()A B C D 18(5 分)设 Pn(xn,yn)是直线 2xy=(nN*)与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点,则极限=()A1 B C1 D2 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(12 分)如图,圆锥的顶点为 P,底面圆为 O,底面的一条直径为 AB,C 为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已
5、知 PO=2,OA=1,求三棱锥 PAOC的体积,并求异面直线 PA和 OE所成角的大小 20(14 分)已知函数 f(x)=ax2+,其中 a 为常数(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若 a(1,3),判断函数 f(x)在1,2 上的单调性,并说明理由 21(14 分)如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从 O地出发匀速前往 Q地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f(t)(单位:千米)甲的路线是 OQ,速度为 5 千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为 8 千米/小时,乙到达 Q地后在原地等待设
6、t=t1时乙到达 P 地,t=t2时乙到达 Q地(1)求 t1与 f(t1)的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米,当 t1t t2时,求 f(t)的表达式,并判断 f(t)在t1,t2 上的最大值是否超过 3?说明理由 22(16 分)已知椭圆 x2+2y2=1,过原点的两条直线 l1和 l2分别与椭圆交于点 A、B和 C、D,记AOC的面积为 S(1)设 A(x1,y1),C(x2,y2),用 A、C的坐标表示点 C到直线 l1的距离,并证明 S=|;(2)设 l1:y=kx,S=,求 k 的值;(3)设 l1与 l2的斜率之积为 m,求 m的值,使得无论 l1和 l2如何
7、变动,面积 S保持不变 23(18 分)已知数列an与bn满足 an+1an=2(bn+1bn),nN*(1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求an的通项公式;(2)设an的第 n0项是最大项,即 an0an(nN*),求证:bn的第 n0项是最大项;(3)设 a1=30,bn=n(nN*),求 的取值范围,使得对任意 m,nN*,an0,且 2015 年上海市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律零分)1(4 分)函数 f(x)=13sin2x 的最小正周期为 【
8、分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【解答】解:函数 f(x)=13sin2x=13=+cos2x,函数的最小正周期为=,故答案为:【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题 2(4 分)设全集 U=R,若集合 A=1,2,3,4,B=x|2 x3,则 AB=2,3 【分析】由 A与 B,找出两集合的交集即可【解答】解:全集 U=R,A=1,2,3,4,B=x|2 x3,AB=2,3,故答案为:2,3【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 3(4 分)若复数 z 满足 3z+=1+i,其中 i 是虚
9、数单位,则 z=【分析】设 z=a+bi,则=abi(a,bR),利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解:设 z=a+bi,则=abi(a,bR),又 3z+=1+i,3(a+bi)+(abi)=1+i,化为 4a+2bi=1+i,4a=1,2b=1,解得 a=,b=z=故答案为:【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题 4(4 分)设 f1(x)为 f(x)=的反函数,则 f1(2)=【分析】由原函数解析式把 x 用含有 y 的代数式表示,x,y 互换求出原函数的反函数,则 f1(2)可求【解答】解:由 y=f(x)=,得,x,y 互换可得,即 f1(x)=故答案为:【
10、点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题 5(4 分)若线性方程组的增广矩阵为解为,则 c1c2=16 【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可【解答】解:由题意知,是方程组的解,即,则 c1c2=215=16,故答案为:16【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键 6(4 分)若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 16,则 a=4 【分析】由题意可得(aasin60)a=16,由此求得 a 的值【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形,面积为aasin60,正棱柱的高为 a,(aasin60)a=16,
11、a=4,故答案为:4【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题 7(4 分)抛物线 y2=2px(p0)上的动点 Q到焦点的距离的最小值为 1,则 p=2 【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论【解答】解:因为抛物线 y2=2px(p0)上的动点 Q到焦点的距离的最小值为 1,所以=1,所以 p=2 故答案为:2【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础 8(4 分)方程 log2(9x15)=log2(3x12)+2 的解为 2 【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可【解答】解:log2(9x15)=log2(3x12)
12、+2,log2(9x15)=log24(3x12),9x15=4(3x12),化为(3x)2123x+27=0,因式分解为:(3x3)(3x9)=0,3x=3,3x=9,解得 x=1 或 2 经过验证:x=1 不满足条件,舍去 x=2 故答案为:2【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力,属于基础题 9(4 分)若 x,y 满足,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 3 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z的最大值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)由 z=x+2y 得 y=x+z,平移直线 y=x+z
13、,由图象可知当直线 y=x+z 经过点 B时,直线 y=x+z 的截距最大,此时 z 最大 由,解得,即 B(1,1),代入目标函数 z=x+2y 得 z=21+1=3 故答案为:3 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法 10(4 分)在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 120(结果用数值表示)【分析】根据题意,运用排除法分析,先在 9 名老师中选取 5 人,参加义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况;即可得
14、答案【解答】解:根据题意,报名的有 3 名男老师和 6 名女教师,共 9 名老师,在 9 名老师中选取 5 人,参加义务献血,有 C95=126 种;其中只有女教师的有 C65=6 种情况;则男、女教师都有的选取方式的种数为 1266=120 种;故答案为:120【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法(间接法),可以避免分类讨论,简化计算 11(4 分)在(2x+)6的二项式中,常数项等于 240(结果用数值表示)【分析】写出二项展开式的通项,由 x 的指数为 0 求得 r 值,则答案可求【解答】解:由(2x+)6,得=由 63r=0,得 r=2 常数项等于 故答案为:240【点评
15、】本题考查了二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与运用,是基础题 12(4 分)已知双曲线 C1、C2的顶点重合,C1的方程为y2=1,若 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍,则 C2的方程为 【分析】求出 C1的一条渐近线的斜率,可得 C2的一条渐近线的斜率,利用双曲线 C1、C2的顶点重合,可得 C2的方程【解答】解:C1的方程为y2=1,一条渐近线的方程为 y=,因为 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍,所以 C2的一条渐近线的方程为 y=x,因为双曲线 C1、C2的顶点重合,所以 C2的方程为 故答案为:【点评】本题考查双曲线的
16、方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础 13(4 分)已知平面向量、满足 ,且|,|,|=1,2,3,则|+|的最大值是 3+【分析】分别以所在的直线为 x,y 轴建立直角坐标系,分类讨论:当|,|=1,2,|=3,设,则 x2+y2=9,则+=(1+x,2+y),有|=的最大值,其几何意义是圆 x2+y2=9 上点(x,y)与定点(1,2)的距离的最大值;其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行比较即可【解答】解:分别以所在的直线为 x,y 轴建立直角坐标系,当|,|=1,2,|=3,则,设,则 x2+y2=9,+=(1+x,2+y),|=的最大值,其几何意义是圆 x2+y2=9 上点(
17、x,y)与定点(1,2)的距离的最大值为=3+;且|,|=1,3,|=2,则,x2+y2=4,+=(1+x,3+y)|=的最大值,其几何意义是圆 x2+y2=4 上点(x,y)与定点(1,3)的距离的最大值为 2+=2+,|,|=2,3,|=1,则,设,则 x2+y2=1 +=(2+x,3+y)|=的最大值,其几何意义是在圆 x2+y2=1 上取点(x,y)与定点(2,3)的距离的最大值为 1+=1+,故|+|的最大值为 3+故答案为:3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外取一点,使得其到圆上点的距离的最大值:r+d(r 为该圆的半径,d 为该点与圆心的距
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