2018年全国统一高考数学试卷+.pdf

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1、2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5.00 分）i（2+3i）=（）A32i B3+2i C32i D3+2i 2（5.00 分）已知集合 A=1，3，5，7，B=2，3，4，5，则 AB=（）A3 B 5 C 3，5 D1，2，3，4，5，7 3（5.00 分）函数 f（x）=的图象大致为（）A B C D 4（5.00 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4 B3 C2 D0 5（5.00 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社

2、区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为（）A0.6 B 0.5 C 0.4 D 0.3 6（5.00 分）双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x 7（5.00 分）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则 AB=（）A4 B C D2 8（5.00 分）为计算 S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4 9（5.00 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与CD所成角的正切值为（）A B C D 10（5.00 分）若 f（

3、x）=cosxsinx 在0，a 是减函数，则 a 的最大值是（）A B C D 11（5.00 分）已知 F1，F2是椭圆 C的两个焦点，P是 C上的一点，若 PF1PF2，且PF2F1=60，则 C的离心率为（）A1 B2 C D1 12（5.00 分）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50 B0 C2 D50 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5.00 分）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 14（5.00 分）若 x，y 满足约束条

4、件，则 z=x+y 的最大值为 15（5.00 分）已知 tan（）=，则 tan=16（5.00 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 30若SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12.00 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn的最小值 18（12.00 分）如图是某地区 2000

5、 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12.00 分）如图，在三棱锥 PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC

6、=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M在棱 BC上，且 MC=2MB，求点 C到平面 POM 的距离 20（12.00 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F且斜率为 k（k0）的直线l 与 C交于 A，B两点，|AB|=8 （1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程 21（12.00 分）已知函数 f（x）=x3a（x2+x+1）（1）若 a=3，求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：

7、坐标系与参数方程（10 分）22（10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为，（为参数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）求 C和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x）=5|x+a|x 2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

8、符合题目要求的。1（5.00 分）i（2+3i）=（）A32i B3+2i C32i D3+2i【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=3+2i 故选：D【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 2（5.00 分）已知集合 A=1，3，5，7，B=2，3，4，5，则 AB=（）A3 B 5 C 3，5 D1，2，3，4，5，7【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 A=1，3，5，7，B=2，3，4，5，AB=3，5 故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集

9、定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 3（5.00 分）函数 f（x）=的图象大致为（）A B C D【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数 f（x）=f（x），则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，当 x=1 时，f（1）=e0，排除 D 当 x+时，f（x）+，排除 C，故选：B【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键 4（5.00 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4 B3 C2 D0【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量，

10、满足|=1，=1，则 （2）=2=2+1=3，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 5（5.00 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为（）A0.6 B 0.5 C 0.4 D 0.3【分析】（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 C32=3 种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C，则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共 10 种，其中全是女生为

11、 AB，AC，BC共 3 种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 C32=3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3，（适合文科生），设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C，则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共 10 种，其中全是女生为 AB，AC，BC共 3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3，故选：D【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题 6（5.00 分）双曲线=

12、1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为 e=，则=，即双曲线的渐近线方程为 y=x=x，故选：A【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键 7（5.00 分）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则 AB=（）A4 B C D2【分析】利用二倍角公式求出 C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC中，cos=，cosC=2=，BC=1，AC=5，则 AB

13、=4 故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力 8（5.00 分）为计算 S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=N T，由此知空白处应填入的条件【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是 S=N T=（1）+（）+（）；累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2 故选：B【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题 9（5.00 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与CD所成角

14、的正切值为（）A B C D【分析】以 D为原点，DA为 x 轴，DC为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AE与 CD所成角的正切值【解答】解以 D为原点，DA为 x 轴，DC为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 2，则 A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（2，2，1），=（0，2，0），设异面直线 AE与 CD所成角为，则 cos=，sin=，tan=异面直线 AE与 CD所成角的正切值为 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等

15、基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 10（5.00 分）若 f（x）=cosx sinx 在0，a 是减函数，则 a 的最大值是（）A B C D【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由+2kx+2k，kZ，得+2kx+2k，kZ，取 k=0，得 f（x）的一个减区间为，结合已知条件即可求出 a 的最大值【解答】解：f（x）=cosx sinx=（sinx cosx）=sin（x），由+2kx+2k，kZ，得+2kx+2k，kZ，取 k=0，得 f（x）的一个减区间为，由 f（x）在0，a 是减函数，得 a 则 a 的最大值是 故选：C【点评】本题考查了两角和与差

16、的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题 11（5.00 分）已知 F1，F2是椭圆 C的两个焦点，P是 C上的一点，若 PF1PF2，且PF2F1=60，则 C的离心率为（）A1 B2 C D1【分析】利用已知条件求出 P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF2，且PF2F1=60，可得椭圆的焦点坐标 F2（c，0），所以 P（c，c）可得：，可得，可得 e48e2+4=0，e（0，1），解得 e=故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 12（5.00 分

17、）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50 B0 C2 D50【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则 f（x+2）=f（x），则 f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，

18、则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5.00 分）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x2 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1 的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：

19、y=2lnx，y=，当 x=1 时，y=2 曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x2 故答案为：y=2x2【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 14（5.00 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 9 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过 A时，z 取得最大值，由，解得 A（5，4），目标函数有最大值，

20、为 z=9 故答案为：9 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15（5.00 分）已知 tan（）=，则 tan=【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可【解答】解：tan（）=，tan（）=，则 tan=tan（+）=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键 16（5.00 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 30若SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为 8 【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高然后求解体积即

21、可【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SAB的面积为 8，可得：，解得 SA=4，SA与圆锥底面所成角为 30可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V=8 故答案为：8【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12.00 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2

22、）求 Sn，并求 Sn的最小值【分析】（1）根据 a1=7，S3=15，可得 a1=7，3a1+3d=15，求出等差数列an的公差，然后求出 an即可；（2）由 a1=7，d=2，an=2n9，得 Sn=n28n=（n4）216，由此可求出 Sn以及 Sn的最小值【解答】解：（1）等差数列 an中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得 a1=7，d=2，an=7+2（n1）=2n9；（2）a1=7，d=2，an=2n9，Sn=n28n=（n4）216，当 n=4 时，前 n 项的和 Sn取得最小值为 16【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的

23、和公式，属于中档题 18（12.00 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【分析】（1）根据

24、模型计算 t=19 时 的值，根据模型计算 t=9 时 的值即可；（2）从总体数据和 2000 年到 2009 年间递增幅度以及 2010 年到 2016 年间递增的幅度比较，即可得出模型的预测值更可靠些【解答】解：（1）根据模型：=30.4+13.5t，计算 t=19 时，=30.4+13.5 19=226.1；利用这个模型，求出该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1 亿元；根据模型：=99+17.5t，计算 t=9 时，=99+17.59=256.5；利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元；（2）模型得到的预测值更可靠；

25、因为从总体数据看，该地区从 2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些，从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些，所以，利用模型的预测值更可靠些【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题 19（12.00 分）如图，在三棱锥 PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M在棱 BC上，且 MC=2MB，求点 C到平面 POM 的距离 【分析】（1）证明：可得 AB2+BC2=AC2，即ABC是直角三角形，又 POA POB POC，可得

26、POA=POB=POC=90，即可证明 PO 平面 ABC；（2）设 点C到 平 面POM 的 距 离 为d 由VPOMC=VCPOM，解得 d 即可【解答】（1）证明：AB=BC=2，AC=4，AB2+BC2=AC2，即ABC是直角三角形，又 O为 AC的中点，OA=OB=OC，PA=PB=PC，POA POB POC，POA=POB=POC=90，PO AC，PO OB，OB AC=0，PO 平面 ABC；（2）解：由（1）得 PO 平面 ABC，PO=，在COM 中，OM=S=，SCOM=设点 C到平面 POM 的距离为 d由 VPOMC=VCPOM，解得 d=，点 C到平面 POM 的

27、距离为【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题 20（12.00 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F且斜率为 k（k0）的直线l 与 C交于 A，B两点，|AB|=8 （1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程【分析】（1）方法一：设直线 AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得 k 的值，即可求得直线 l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线 AB的倾斜角，即可求得直线 l 的斜率，求得直线 l 的方程；（2）根据过 A，B分别向准线 l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点

28、坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线 AB的方程为：y=k（x1），设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x1；方法二：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）由（

29、1）可得 AB的中点坐标为 D（3，2），则直线 AB的垂直平分线方程为 y2=（x3），即 y=x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）2=16 或（x11）2+（y+6）2=144 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题 21（12.00 分）已知函数 f（x）=x3a（x2+x+1）（1）若 a=3，求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果（2）分离参数后求导，先找点确

30、定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x）=x3a（x2+x+1），所以 f（x）=x26x3 时，令 f（x）=0 解得 x=3，当 x（，32），x（3+2，+）时，f（x）0，函数是增函数，当 x（32时，f（x）0，函数是单调递减，综上，f（x）在（，32），（3+2，+），上是增函数，在（32上递减（2）证明：因为 x2+x+1=（x+）2+，所以 f（x）=0 等价于，令，则，仅当 x=0 时，g（x）=0，所以 g（x）在 R上是增函数；g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点 又因为 f（3a1）=6a2+2a=6（a）20，f

31、（3a+1）=0，故 f（x）有一个零点，综上，f（x）只有一个零点【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用 考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22（10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为，（为参数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）求 C和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进

32、行转化（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果【解答】解：（1）曲线 C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线 l 的参数方程为（t 为参数）转换为直角坐标方程为：sin xcos y+2cos sin=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1 整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t 8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，当直线的斜率不存时，x=1 当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，则：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直线 l 的斜率为2【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲

33、线的位置关系的应用，中点坐标的应用 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x）=5|x+a|x 2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x2|4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=5|x+1|x 2|=当 x1 时，f（x）=2x+40，解得2x1，当1x2 时，f（x）=20 恒成立，即1x2，当 x2 时，f（x）=2x+60，解得 2x3，综上所述不等式 f（x）0 的解集为 2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x 2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|=|x+a|+|2x|x+a+2 x|=|a+2|，|a+2|4，解得 a6 或 a2，故 a 的取值范围（，6 2，+）【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题