2016届中考数学真题类编-知识点038.pdf

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1、一、选择题 1.(2016 山东威海，17，3)如图，直线 y=12x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，BOC与BOC 是以点 A为位似中心的位似图形，且相似比为 1:3，则点 B的对应点 B的坐标为 .【答案】(4，3)或(-8，-3)【逐步提示】先分别求得点 A、B 的坐标，再以点 A为位似中心画出BOC的位似图形BOC，有两种情况，再根据位似图形的特征确定点 B的纵坐标，进而求得点 B的对应点 B的坐标。【详细解答】解：由题意得点 A(-2，0)，点 B(0，1)。又BOC与BOC 的相似比为 1:3，点 B(x，3)或(x，-3)。点 B(x，3)或(x，-3)在直线

2、y=12x+1 上，B坐标为(4，3)或(-8，-3)，故答案为(4，3)或(-8，-3).【解后反思】【关键词】一次函数；位似图形；相似比；分类讨论；2.（2016 山东东营，8，3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(3，6)、B(9，3)，以原点 O 为位似中心，相似比为13，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A 的坐标是（）A(1，2)B(9，18)C(9，18)或(9，18)D(1，2)或(1，2)【答案】D【逐步提示】本题考查位似与坐标，明确有两种情况，然后分别求出坐标【详细解答】解：分情况讨论：若点 A 与其对应点 A 在 O 的同侧，则点 A 的坐标为（3 13，6 1

3、3），即 A（1,2）；若点 A 与其对应点 A 在 O 的两侧，则点 A 的坐标为（31()3，61()3），即 A（1,2）故选 D 【解后反思】解答本题易出现两处错误：一是漏解，忽视两种情况的存在；二是用反相似比一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点坐标为(kx，ky)或(kx，ky)【关键词】位似与坐标 3.（2016 山东菏泽，7，3 分）如图，ABC 与A B C 都是等腰三角形，且 AB=AC=5，A B=A C=3，若BB=90，则ABC 与A B C 的面积比为

4、（）A25:9 B5:3 C5:3 D55:33 【答案】A【逐步提示】由等腰三角形ABC 与A B C 的底角互余，启发我们作出它们底边上的高，可得两对相似三角形，进而利用相似三角形的性质可求ABC 与A B C 的面积比【详细解答】解：分别作 ADBC 于点 D，A D B C 于点 D，则ADB=A D B=90，BBAD=90 又BB=90，BAD=B，ABDB A D，SABD:SB A D=AB2:A B2=25:9，SABD=925SB A D AB=AC，A B=A C，B=C，B=C，CC=90 同理，可得ACDC A D，SACD:SCA D=AC2:A C2=25:9，S

5、ACD=925SC A D于是 SABC=SABDSACD=925SB A D925SC A D=925SAB C，SABC:SA B C=25:9，故选择 A 【解后反思】（1）求两个三角形的面积比，常用的方法是：若两个三角形相似，那么它们的面积比等于相似比的平方；两个三角形对应底上的高相同或相等，则根据三角形的面积公式可得面积比等于底之比（2）两角互余或互补的性质，直角三角形的角的特征，三角形的外角性质，以及与圆有关的角的性质，是我们构造相似三角形解决相关问题的重要依据【关键词】直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质 4.（2016 山东泰安，20，3 分）如图，正ABC 的边长为 4，

6、点 P 为 BC 边上的任意一点（不与点 B、C 重合），且APD60，PD 交 AB 于点 D设 BPx，BDy，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）A D B P C 第 20 题图 A B C A B C A B C A B C D D 【答案】C 【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数图象，解题的关键是通过相似三角形的性质得出关于 x 的解析式 由正ABC 可知，BC60，又知道APD60，可以看出是“一线三等角”的类型 所以可以通过两角对应相等来证明BPDCAP，得到对应线段成比例，因而可以得到 y 与 x 的函数关系式，通过关系式并结合所给图象作出选择【详细解答】

7、解：ABC 为等边三角形，BC60BPDAPDCPAC，BPDPAC，BPDCAP，PBBDACPCBPx，BDy，PC4x，44xyx，214yxx（0 x4）由函数关系式可知该函数是二次函数，故 A 和 B 选项错误，又a140，抛物线的开口向下，故 D 选项错误故答案为 C.【解后反思】本题是一道代几综合题，考查的是相似三角形中“一线三等角”的类型这类题型一般都是通过两角对应相等来证明相似的，推导角等的时候借助于三角形外角的性质写比例式时要注意找准对应边另外还有熟悉我们所学过的几种函数图象的特征：正比例函数和一次函数图象是一条直线，反比例函数图象是两条双曲线，二次函数的图象是一条抛物线【

8、关键词】相似三角形的判定和性质；二次函数的图象 5.（2016 山东省烟台市，7，3 分）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为（）A（3，2）B（3，1）C（2，2）D（4，2）【答案】A【逐步提示】直接利用坐标原点为位似中心的位似图形的性质求出 AD 的长，然后OADOBG，求出 AO的长，即可确定 C 点的坐标【详细解答】解：正方形 BEFG 的边长是 6，BE=EF=6，O x y 2 4-1 A D O x y 2 4-1 B O x

9、 y 2 4 1 2 4 O x y 1 C 两正方形的相似比为 1:3，163CBCBEF,AB=BC=CD=AD=2，根据位似图形的性质可知，31OBOA,即3122OB,OB=3，C 点坐标为（3,2），故选择 A.【解后反思】本题考查了坐标系中位似图形的坐标的确定，解题的关键是掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的性质.解答这类问题要注意如下的问题：1.认真观察图形，把握图形中的隐含条件。2.图形的位似就是特殊的相似，位似图形的对应点和位似中心在同一直线上。3.位似图形有以下性质：（1）任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比：（2）当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（

10、x,y）,位似图形与原图形的位似比为 k,则位似图形上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【关键词】点的坐标；相似比；位似图形；正方形；数形结合的思想；6.（2016 山东淄博，11，4 分）如图，直线 l1l2l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3上，ACB=90，AC 交 l2于点 D已知 l1与 l2的距离为 1L2与 l3的距离为 3则ABBD的值为（）A.4 25 B.345 C.5 28 D.20 223 【答案】A【逐步提示】本题考查勾股定理，全等三角形，相似的有关知识，解题关键是添加辅助线，将问题转化为常规几何图形问题解

11、决.如图添加辅助线，证得BECCFA，即可找到解题思路.【详细解答】解：如图，作 BFl3，AEl3，垂足分别为 F、E.ACB=90，BCF+ACE=90.BCF+CFB=90，ACE=CBF.BFC=CEA=90，BC=CA，ACECBF.CE=BF=3，CF=AE=4.l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为 3，AG=1，BG=EF=CF+CE=7.AB=22BGAG=5 2.l2l3，DGAGCEAE=14.DG=34.BD=BGDG=734=254.ABBD=5 2254=4 25.故选择 A.【解后反思】将等腰直角三角形置于平行线中，添加辅助线构造全等三角形是解题突破口.【

12、关 键词】勾股定理，全等三角形，相似 7.(2016 新疆建设兵团，7，5 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，下列说法中不正确的是（）ADE=12BC BADAEABAC CADEABC DSADESABC=12 【答案】D【逐步提示】本题考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形面积比与相似比的关系先根据 D、E 是中点，得到 DEBC，然后可得ADEABC，然后利用相似的性质分别进行判断【详细解答】解：D、E 分别是 AB、AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，DE=12BC ADE=B，A=A，ADEABC，AD

13、AEABAC，2211()()24ADEABCSADSAB，故选择 D.【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为相似三角形的面积比等于相似比而错选；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；【关键词】相似三角形的判定；相似三角形的性质；中位线；8.(2016 浙江杭州，2，3 分)如图，已知 abc，直线 m 分别交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 分别交直线 a，b，c 于点 D，E，F若BCAB21，则EFDE()A31 B21 C32 D1 【答案】B【逐步提示】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是能利用平

14、分线分线段成比例定理找到对应线段，列出比例式即可【解析】abc，直线 m 分别交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 分别交直线 a，b，c 于点 D，E，F，EFDEBCAB21故选择 B【解后反思】此类问题容易出错的地方是因找不准对应关系而出错根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系：如下图，已知 abc，直线 m 分别交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 分别交直线 a，b，c 于点 D，E，F，则有DFDEACAB，DEEFABBC，DEDFABAC，EFDFBCAC，EFBCDEAB等等 FEDCBAnmcba【关.键词】图形的相似；

15、平行线分线段成比例 9(2016 重庆 A，8，4 分)ABC 与DEF 的相似比为 1：4，则ABC 与DEF 的周长比为()A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：16 【答案】C 【逐步提示】根据相似三角形的周长之比等于相似比直接判断.【解析】ABC 与DEF 相似，且相似比为 1：4，ABC 与DEF 的周长比=相似比=1：4，故选择 C.【解后反思】在相似三角形中，对应边的比等于相似比，对应中线、对应高、对应角平分线的比等于相似比，对应周长的比也等于相似比，而相似三角形面积的比等于相似比的平方.【关键词】相似三角形的性质 10.（2016 四川省巴中市，6，3 分）如图，点 D、

16、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的中点，则ADE 的面积与四边形 BCED 的面积的比为（）A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:1 FEDCBAnmcba第 2 题图 第 3 题图 某市2016年四月份每日的最低气温统计图1412108642018171615141312气温（）天数第 4 题图 【答案】B【逐步提示】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定及性质.由三角形中位线定理，可得ADEABC，再由相似三角形的性质可得ADE 与ABC 的面积之比，从而得到ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比【详细解答】解：点 D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的中点，D

17、E 为ABC 的中位线，则 DEBC，且 DE=12BC，ADEABC，ADE 与ABC 的面积之比为 1:4，从而ADE 的面积与四边形 BCED 的面积的比为 1:3，故选择 B.【解后反思】三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；平行线截三角形两边，截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方.【关键词】三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；11.（2016 四川省绵阳市，11，3 分）如图，点 E，点 F 分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且 AEDF，BF交 DE 于点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若AFDF2，则HFBG

18、的值为 （）A23 B712 C12 D512【答案】B【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定和性质由菱形 ABCD 知 ABCD，ADBC，可知图中存在多个相似三角形中的基本图形：“A”型“与”X“型由基本图形得HFFBDFAF12，所以 HF13HB类似地，HD12AB，又 BE23AB，所以HDBE34由基本图形得BGHGBEHD43，所以 BG47HB，由可求HFBG的比值【详细解答】解：设菱形 ABCD 的边长为3a因为四边形 ABCD 是菱形，AFDF2，AEDF，所以 AEDFa，AFBE2a，ABCD，所以HFFBHDABDFAF12，所以 HD12AB32a，HF13HB因为

19、 ABCD，所以BGHGBEHD232aa43，所以 BG47HB所以HFBG1347HBHB712，故答案为 B【解后反思】（1）求线段的比通常利用平行线或相似三角形得到比例线段，然后再进行转化得到所求两线段的比（2）遇到平行线，要联想到以下两个常用的基本图形（“A”型“与”X“型）ECDFGHAB【关键词】菱形的性质；相似三角形的判定；转化思想 12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题 1.(2016 山东临沂，17，3 分)如图，在ABC中，点 D，E

20、，F分别在 AB，AC，Bc上，DE BC，EFAB 若 AB=8，BD=3，BF=4，则 FC的长为_ 【答案】125【逐步提示】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质等 先证明ADE EFC，E图6DCBA得出比例式；然后证明四边形 BDEF是平行四边形，得出 EF的长；最后将相关数据代入比例式求出 FC的长【详细解答】解：DE BC，EFAB，FEC=A，AED=C，ADE EFC，ADEF=DEFC又DE BC，EFAB，四边形 BDEF是平行四边形，EF=BD=3，DE=BF=4，AB=8，BD=3，AD=5，53=4FC，FC=125 故答案为125.【解

21、后反思】相似三角形的判定方法有：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）对应角相等，对应边成比例，两三角形相似（定义法）；（5）平行与三角形一边的直线和其它的两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（平行法）【关键词】平行线的性质；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质 2.(201（2016 四川乐山，13，3 分）如图 6，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且 DEBC，若ADE 与ABC 的周长之比为 2：3，AD=4，则 DB=_ _ 【答案】2【逐步提示】由 DEBC 得

22、ADEABC，AD：AB=2：3，再由 AD=4 获解【详细解答】解：DEBC，ADEABC，AD：AB=2：3AD=4，AB=6，DB=AB-AD=6-4=2，故答案为 2【解后反思】(1)利用相似三角形对应边成比例的性质是求线段长的重要方法.运用相似求线段的长时，要首先根据相似三角形的判定条件找出相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，通过比例式沟通已知线段与要求线段之间的关系；(2)相似三角形的基本图形，常见的有 6 种，图形及其关系如图所示 【关键词】相似三角形的判定；相似三角形的性质 3.（2016 四川省广安市，15，3 分）如图，三个正方形的边长分别为 2，6，

23、8，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】21【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积公式等，解题的关键是能发现阴影部分的面积应直接用梯形的面积公式去求，而不是“大减小”、“小拼大”之类的转化法如图，先证ACP 与EFP 全等，得 PFPC，故 PC12CF4，进而得 GP642再努力求出 HM的长即大功告成由题意，易知ABM 与ACP 相似，故ABBMACPC，代入已知数据，可求得 BM，进而求得HM，再由直角梯形的面积公式求得结果 【详细解答】解：由已知，在ACP 与EFP 中，AC268EF，APCEPF，ACPEFP90，ACPEFP（

24、AAS）PFPCPC12CF4GP642BMCP，ABMACPABBMACPC2264BMBM1HM615图中阴影部分的面积为12(PGHM)GH12(25)621，故答案为 21.【解后反思】阴影部分是直角梯形，本题关键是求出阴影部分的上底和下底,利用全等推求上底，利用相似推求下底，难度中等本题的已知数据设置巧妙，隐藏着证全等需要的条件是一个不错的题目【关键词】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形的面积公式 4.（2016 四川省凉山州，17，4 分）如图，ABC的面积为 122cm，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为 _2cm.A D E

25、 B C（第 17 题图）【答案】9【逐步提示】DF 为 ABC 的中位线，可知 DEAB 且12DEAB，可知 ADEABC 且相似比为12，可求出 ADE 的面积，用 ABC 的面积减去ADE 的面积即为梯形 DBCE 的面积.【详细解答】解：D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEAB 且，12DEAB；ADEABC，214ADEABCSDESBC，即1112344ADEABCSS （cm），1239ABCADEDBCESSS 梯形（cm）故答案为 9.【解后反思】面积法的依据是图形整体面积都与各个部分面积之和 5.（2016 四川省绵阳市，16，3 分）OAB 三个顶点的坐标分别为 O

26、（0，0），A（4，6），B（3，0），以 O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，得到OA B，则点 A的对应点 A 的坐标为_【答案】（2，3）或（2，3）【逐步提示】本题考查了位似的性质由OAB 缩小为原来的12，可知相似比为12，利用位似图形点的坐标规律求解【详细解答】解：因为OAB 缩小为原来的12，所以相似比为12，所以点 A（4，6）的对应点 A 的坐标为（124，126）或（124，126），即（2，3）或（2，3），故答案为（2，3）或（2，3）【解后反思】以原点为位似中心的两个位似图形中，如果相似比为k，那么点（a，b）的对应点的坐标为（ka，kb）（两位似图形在原点的

27、同侧）或（ka，kb）（两位似图形在原点的两侧）【关键词】在坐标系中求解几何图形中点的坐标；位似图形 6 新疆，13，5 分)如图所示，ABC 中，E、F 分别是边 ABAC 上的点，且满足12AEAFEBFC，则AEF 与ABC 的面积比是_.【答案】1:9【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质由已知的比例式可得两个三角形的对应边成比例，从而得到两个三角形相似，并且得到相似比，再由相似三角形的性质得到两个三角形的面积比【解析】12AEAFEBFC 31ACAFABAE A=A，AEFABC 且相似比为 1:3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平

28、方 得AEF 与ABC 的面积比是 1:9，故答案为 1:9.【解后反思】1.(1)要证明两个三角形相似，最常用的方法是根据两个角对应相等来证明，然后再考虑两边对应成比例且夹角相等，最后考虑三边对应成比例.(2)通常情况下，当题目中出现平行线时，经常会用到相似三角形的A E F B C 相关知识.2.相似三角形的对应线段、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方【关键词】相似；相似三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质；7.(2016 浙江金华，15，4 分)如图，RtABC 纸片中，C=90，AC=6，BC=8，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将ABD 折叠得到ABD,AB 与

29、边 BC 交于点 E.若DEB 为直角三角形，则 BD 的长是 .【答案】2 或 5【逐步提示】认真读题，根据图形分析要使DEB 为直角三角形，可以画出如下两种情况的图形，再分别求得BD 的长.【解析】因为C=90，AC=6，BC=8，由勾股定得得 AB=10要使DEB 为直角三角形，可以画出两种情况的图形：当EDB=90时(左图)，BAC=B=B，设 BD=DB=4x,则 ED=3x,tanBAC=tanB=CE:AC=6:8=CE:6,解得 CE=72,所以72+4x+3x=8,解得 x=2;当 E 与 C 重合时，即当DCB=90时(右图)，法一：设 BD=x,则 DE=CD=8-x,E

30、B=CB=AB-AC=AB-AC=4，在 RtCDB中，CD2+CB 2=D B2，所以 42+(8-x)2=x2，解得 x=5 法二：CB=EB=AB-AC=AB-AC=4,tanB=tanB=6:8=CD：CB=CD：4,解得 CD=3,所以 BD=5,故答案为 2 或 5.【解后反思】折叠前后的两个图形全等，根据题意画出满足条件的两个图形，再根据相似三角形的知识或三角函数知识求得相关线段的长度【关键词】相似三角形；分类讨论；三角函数 8.(2016 浙江舟山，15，4 分)如图，已知ABC 和DEC 的面积相等，点 E 在 BC 边上，DEAB 交 AC 于点 F，AB=12，EF=9，

31、则 DF 的长是 .【答案】7【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定方法及其性质的应用，解题的关键是正确求出SCFESCDE的值.由 DEAB得CFECAB，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得SCFESCAB的值，结合已知条件，可转化为SCFESCDE的值，注意到CFE、CDE 属于同高的两个三角形，它们的面积之比等于相应的底之比，由此可求出 DE 的长，进而求出 DF 的长.【解析】DEAB，CFECAB，SCFESCAB=(EFAB)2=(912)2=916.ABC 和DEC 的面积相等，SCFESCDE=916.又CFE、CDE 在 DE 边上的高相同，结合三角形的面积公式，得E

32、FDE=916.EF=9，DE=16，从而 DF=DEEF=109=7.故答案为 7.【解后反思】解决本题的两个要点：一是关注到相似三角形中的基本图形“A 型”的运用；二是将相似三角形的面积之比结合已知条件转化为同高的两个三角形的面积之比.【关键词】相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形的面积公式.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题 1.（2016 山东东营，24，10 分）如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=A

33、C，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分别在边 AD、AF 上，此时 BD=CF,BD CF 成立.（1）当ABC 绕点 A 逆时针旋转（0 90）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45 时，如图 3，延长 DB 交 CF 于点 H.求证：BDCF；当 AB=2,AD=32时，求线段 DH 的长.【逐步提示】(1)证明ABDACF，可得 BD=CF(2)由ABDACF，得出HFN=ADN，在由对顶角相等得出HNF=AND，得出NHF=NAD=90；连接 DF，延长 AB 到 M，与 DF 交于点 M，先证明BMD

34、=90，求出 MD=3，MB=1，由勾股定理求出 BD 的长；再证明BMD FHD，得出比例式，代入相关数值求出 DH 的长 【详细解答】解：（1）BD=CF 成立.1 分 证明：AC=AB;CAF=BAD=；AF=AD，ABDACF，BD=CF.3 分（2）证明：由（1）得，ABDACF，HFN=AND，在HFN 与AND 中，HFN=AND；HNF=AND，NHF=NAD=90，HDHF,即 BDCF.5 分 解：如图，连接 DF，延长 AB 到 M,与 DF 交于点 M，在MAD 中，MAD=MDA=45，BMD=90.6分 在 RtBMD 与 RtFHD 中，MDB=HDF,BMD F

35、HD.7 分 AB=2,AD=32，四边形 ADEF 是正方形，MA=MD=3 22=3，MB=32=1，DB=221310，8 分 MDBDHDFD，即3106HD，9 分 DH=9 105.10 分【解后反思】本题难点在于将 DH 与 AB，AD 相联系，连接 DF，延长 AB 到 M，与 DF 交于点 M 是解题的关键，由 AD 的长求出 FD 和 MD 的长，由 AB 的长求出 MB 的长，再由勾股定理求出 BD 的长，进而利用相似解决问题【关键词】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 2.（2016 山东聊城，24,10 分）（本题满分/10 分）如

36、图，以 RtABC的直角边 AB为直径作O，交斜边 AC于点D，点 E为 OB的中点，连接 CE并延长交O于点 F，点 F恰好落在弧 AB的中点，连接 AF并延长与 CB的延长线相交于点 G，连接 OF.（1）求证：OF=12BG（2）若 AB=4，求 DC的长.【逐步提示】（1）第一步用圆周角定理证出AOF=BOF，第二步利用邻补角定义求出AOF=BOF=90，第三步结合ABC=ABG=90求得AOF=ABG，第四步用“同位角相等，两直线平行”得出 FOBG，第五步结合 AO=BO 证出 AF=FG 从而证出 FO 是ABG 的中位线，第六步由三角形中位线定理得出 CF=12BG；（2）第七

37、步利用 ASA 证出FOECBE,从而得出 BC=FO，第八步利用半径和直径的关系求出 BC=2,第九步利用勾股定理求出 AC 的长，第九步利用例“两角对应相等的两个三角形全等”证出BCDACB，第十步用相似三角形性质求出 DC 的长.【详细解答】解：（1）因为点 F 是弧 AB 的中点 所以弧 AF=弧 BF 所以AOF=BOF,因为AOF+BOF=180,所以AOF=BOF=90,因为ABC=ABG=90,所以AOF=ABG 所以 FOBG，因为 AO=BO 所以 AF=FG 所以 FO 是ABG 的中位线，所以 OF=12BG.（2）解：在FOE 和CBE 中,CEBOEFBEEOCBE

38、FOE 所以FOECBE（ASA）,所以 BC=FO 因为 AB=4 所以 BC=FO=12AB=2,所以5222BCABAC 连接 DB,因为 AB 是O的直径，所以ADB=90，所以ADB=ABC,因为BCD=ACB,BCDACB 所以BCCDACBC 所以2522CD 所以 CD=552【解后反思】考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识.解决与圆有关的角度的相关时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，能应用垂径定理的图形中往往隐含着图形中存在着的相等弧、相等的角证明图形中角的和差问题，一般可用三角形外角的性质;

39、同弧所对的圆周角相等，为图形中构造三角形相似架设了桥梁.在同圆或等圆中，相等的弧往往隐含着相等的角或者相等的线段；当图形中有两个或两个以上中点时，往往构造三角形的中位线，揭示图形中隐含的线段之间的数量关系、角与角之间的相等关系。【关键词】圆周角定理及推论；全等三角形的判定；全等三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；方程思想.3.（2016 山东青岛，24，12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，对角线 AC，BD 交于点 O.点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s;同时，点 Q、从点 D 出发，沿 DC 方向匀速

40、运动，速度为 1cm/s;当一个点停止运动时，另一个 点也停止运动.连接 PO 并延长，交 BC 于 点 E，过点 Q 作 QF/AC，交 BD 于点 F.设运 动时间为 t（s)(0 t6),解答下列问题：(1)当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？(2)设五边形 OECQF 的面积为 S(cm2),试确定 S 与 t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S五边形OECQF:SACD=9:16?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP?若存在，求出 t 的值；若不存 在，请说明理由.【逐步提示】（1

41、）分 AP=OP，AP=AO，AO=OP 三种情况分类讨论；（2）将五边形 OECQF 分割为四边形 FOCQ和OCE 求解；（3）根据 S五边形OECQF:SACD=9:16 及（2）中所求函数关系式列出方程求解；（4）假设存在某一时刻 t 使 OD 平分COP，根据角平分线的性质定理作辅助线求解.【详细解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ABC=90.在 RtABC 中，AB=6，BC=8，AC=226+8=10，AO=BO=CO=DO=5.根据题意，得 AP=DQ=1t=t.AOP 是等腰三角形，有以下三种可能：当 AP=OP 时，过点 P 作 PGAO 于 G，AG=12AO=5

42、2，AGP=ADC=90.又PAG=CAD，PAGCAD，PAAGACAD，即52108t，解得 t=258.当 AP=AO 时，t=5；当 AO=PO 时，点 P 与点 D 重合，此时 t=86，不合题意，舍去.故当 t=258或 5 时，AOP 是等腰三角形.（2）QFAC，DFQDOC.2DFQDOCSDQSDC，即236DFQDOCStS.SCOD=14S矩形ABCD=1468=12.SDFQ=21236t=23t，S四边形FOCQ=1223t.ADBC，PAO=ECO，APO=CEO.又AO=CO，APOCEO，CE=AP=t.过点 O 作 OHBC 于 H，OH=12CD=126=

43、3.SCEO=12t3=32t.S=S四边形FOCQ+SCEO=1223t+32t=23t+32t+12.（3）存在.SACD=12ADCD=1286=24.当 S五边形OECQF:SACD=9:16 时，23129322416tt，整理，得 2t2-9t+9=0，解得 t1=3，t2=32.故当 t=3 或32时，S五边形OECQF:SACD=9:16.（4）存在.如图，过 D作 DM AC于 M，DN AC于 N.POD=COD，DM=DN=245.ON=OM=22ODON=222455 =75.OP DM=3PD，OP=3 83245tPDDM=5-58t.PM=（5-58t）-75=1

44、85-58t.在 RtPDM 中，根据勾股定理，得 PD2=PM2+DM2，即（8-t）2=（185-58t）2+（245）2，解得 t1=62039（不合题意，舍去），t2=11239.当 t=11239时，OD平分COP 【解后反思】1.对于动点问题，往往存在多种可能的情形，故需要分类求解；2.对于不规则图形的面积问题，往往将其分割为三角形或四边形求解；3.存在性问题的求解思路是：先对结论作出肯定的假设,然后由这个假设出发，结合已有条件或挖掘隐含条件,辅以方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等进行正确地计算、推理,再对得出的结果进行分析、验证，判断是否与题设、公理、定理等相吻合.若无矛盾，

45、说明结论正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.【关键词】动点问题；等腰三角形；分类讨论思想；二次函数；相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；角平分线的性质；平行线的性质；勾股定理；存在性问题 4.（2016 四川乐山，25，12 分）如图 14，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是（5，2），点 P 是 CB 边上一动点（不与点 C、点 B 重合），连结 OP、AP，过点 O作射线 OE 交 AP 的延长线于点 E，交 CB 边于点 M，且AOP=COM，令 CP=x，MP=y.（1）当 x 为何值时，

46、OPAP？（2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）在点 P 的运动过程中，是否存在 x，使OCM 的面积与ABP 的面积之和等于EMP 的面积.若存在，请求 x 的值；若不存在，请说明理由.OABCPEMy图14x 【逐步提示】（1）若 OPAP 可得OPCPAB，根据相似三角形的性质列出比例式得到方程求解；（2）寻找OCM PCO，这样建立关系 x、y 的比例式，从而得到 y 与 x 的函数关系式；（3）过 E 作 EDOA于点 D，交 MP 于点 F，根据题意得到EOA 的面积=矩形 OABC 的面积，求出 ED 的长，根据相似三角形的性质求出 PM，由（2）的解

47、析式计算即可【详细解答】解：（1）如图所示，由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，B=OCM=90，BCOA，OPAP，OPC+APB=APB+PAB=90，OPC=PAB，OPCPAB，CPOCABPB，即225xx，解得 x1=4，x2=1（不合题意,舍去）.当 x=4 时，OPAP；（2）如图所示，BCOA，CPO=AOP.AOP=COM，CPO=COM.OCM=PCO，OCM PCO，CMCOCOCP，即22xyx，y=x-4x，x 的取值范围是 2x5；（3）假设存在 x 符合题意.如图所示，过 E 作 EDOA 于点 D，交 MP 于点 F，则 DF=AB=2.OCM 与ABP

48、 的面积之和等于EMP，SOEA=S 矩形 OABC=2 5=125ED，ED=4，EF=2.PMOA，EMPEOA，EFMPEDOA，即245y，解得52y.由（2）y=x-4x得，x-4x=52，解得12589589,44xx（不合题意舍去）.在点 P的运动过程中，存在5894x，使OCM 与ABP 的面积之和等于EMP 的面积.【解后反思】（1）本题是一道存在型问题，解决问题的关键是先假设结论成立，然后探索结论成立的条件；（3）证明三角形相似，常用的判定方法是“两角对应相等的两三角形相似”，其次是“两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似”，有时候也会用到“三边对应成比例的两三角形相似”.

49、【关键词】矩形的性质；相似三角形的判定和性质；一元二次方程；动点题型 5.（2016 山东泰安，27，10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，ADAE （1）求证：2ACCDBC；（2）过 E 作 EGAB，并延长 EG 至点 K，使 EKEB 若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FHGH；若B30，求证：四边形 AKEC 是菱形 【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握有关图形的性质及判定并灵活应用（1）将乘积式化成比例式，可以看出只要证明A

50、CDBCA 就可以，由已知 AC 平分BCD 得到一组角相等，又因为DAECAB90，可得DAC 与EAB 相等，因为E 是斜边 BC 中点，利用斜边中线等于斜边一半，得到EABABC，从而找到另一组等角（2）连接 AH，由（1）可知ADC90，由对称性可以知道AHC90，这样ACH 和ABH 均为直角三角形，因为 EGAB，且 AEBE，可得 G 为 AB 中点，因为 F 为 AC 的中点，分别得到 GHAG，AFFH，通过等边对等角，再进行等量代换就可以得到FHG90（3）由 EGAB，ACAB，能够知道 EKAC，因为B30，得到 AC12BCCE，所以只需再证明 EKAC，就可以证出四