2019年广东省深圳市高考数学一模试卷1.pdf

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1、 2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1（5 分）已知集合 A x|1 x 2，B 1，2，3，则 A B（）A 1 B 2 C 1，2 D 1，2，3 2（5 分）设 z，则|z|（）A B 2 C D 3 3（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半 轴重合，若角 终边过点 P（2，1），则 sin（2）的值为（）A B C D 4（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最大值为（）A 7 B 9 C 13 D

2、15 5（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间（，0为增函数，且 f（3）0，则不等式 f（1 2x）0 的解集为（）A（l，0）B（1，2）C（0，2）D（2，+）6（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱 锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 64 B 68 C 80 D 109 7（5 分）已知圆锥的母线长为，底面半径为 2，则该圆锥的外接球表面积为（）A B 16 C 25 D 32 8（5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可 画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：第 1 页（

3、共 24 页）（l）取线段 AB 2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC AB 1，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画 弧，交 AB 于点 E则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点若在线段 AB 上随机取一点 F，则使得 BE AF AE 的概率约为、（参考数据：2.236）（）A 0.236 B 0.382 C 0.472 D 0.618 9（5 分）已知直线 是函数 f（x）与的图象的一条对称 轴，为了得到函数 y f（x）的图象，可把函数 y sin2x 的图象（）A 向左平行移动 个单位长

4、度 B 向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D 向右平行移动 个单位长度 10（5 分）在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AB 2，BC ，CC1 2，M 为 AA1 的 中点，则异面直线 AC 与 B1M 所成角的余弦值为（）A B C D 11（5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 的左，右焦点，过 F 2 的直线与椭圆 交于 P，Q 两点，PQ PF1，且|QF1|2|PF1|，则 PF1F2 与 QF 1F 2 的面积之比为 （）A 2 B 1 C +l D 2+12（5 分）已知函数，若 x 1 x2，且 f（x1）f（x2），则|x1 x2|的最 大值为

5、（）A 1 B C 2 D 2 第 2 页（共 24 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13（5 分）曲线 在点（1，f（1）处的切线的斜率为 14（5 分）已知平面向量，满足|2，|4，|2+|，则 与 的夹角为 15（5 分）已知 F 1，F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F 1F 2 为直径的圆与双曲线的两条渐 近线交于 A，B，C，D 四个点，若这四个点与 F 1，F2 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为 16（5 分）在 ABC 中，ABC 150，D 是线段 AC 上的点，DBC 30，若 ABC 的面积为，当 BD 取到最大值时，AC 三、解答题

6、：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和已知 a14，公差 d 0，a4 是 a2 与 a8 的等比中项 （1）求数列 an 的通项公式；（2）求数列 前 n 项和为 Tn 18（12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检 测，一共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次 数与指标 Y 有关，具体见表 质量指标 Y 9.4，9.8）9.8，10.2（10.2，10.6 频数 8 24 16 一年内所需维护 2 0 1 次数 （1）以每个区间的中点值作为每组指标的代

7、表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产 品，求这 2 件产品的指标 Y 都在 9.8，10.2 内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和 一年的维护支出之和称为消费费用 假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判 第 3 页（共 24 页）断消费者在购买每件产

8、品时是否值得购买这项维护服务？19（12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，PD DC，AD PC （1）求证：AC AP；（2）若平面 APD 平面 ABCD，ADC 120；，AD DC 4，求点 B 到平面 PAC 的 距离 2 20（12 分）设抛物线 C：y 4x，直线 l：x my 2 0 与 C 交于 （1）若|AB|4 ，求直线 l 的方程；（2）点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直，垂足为径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标 A，B 两点 N求证：以 MN 为直 x 21（12 分）已知函数 f（x）（ax+2）e x

9、2，其中 a 2 （1）当 a 0 时，求函数 f（x）在 1，0上的最大值和最小值；（2）若函数 f（x）为 R 上的单调函数，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B （1）求曲线 C 的

10、直角坐标方程；（2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 2 23设函数 f（x）|x+1|+|x 2|，g（x）x+mx+1 （1）当 m 4 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；第 4 页（共 24 页）（2）若不等式 f（x）g（x）在 2，上恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 24 页）2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1（5 分）已知集合 A x|1 x 2，B 1，2，3，则 A B（）A

11、 1 B 2 C 1，2 D 1，2，3 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A x|1 x 2，B 1，2，3；A B 1，2 故选：C 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算 2（5 分）设 z，则|z|（）A B 2 C D 3 【分析】利用商的模等于模的商求解 【解答】解：z，|z|故选：B 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题 3（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半 轴重合，若角 终边过点 P（2，1），则 sin（2）的值为（）A B C D 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 sin、cos 的值，再利用

12、二倍角的正弦公式 求得 sin2 的值 【解答】解：角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P（2，1），x 2，y 1，r|OP|，sin ，cos ，第 6 页（共 24 页）则 sin2 2sin cos 2?（?），sin（2）sin2 ，故选：A 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题 4（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最大值为（）A 7 B 9 C 13 D 15 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案 【解答】解：由 x，y 满足约束条件，作

13、出可行域如图，化目标函数 z 3x+y 为 y 3x+z，由图可知，当直线 y 3x+z 过 B（3，4）时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 有最大值为 3 3+4 13 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 5（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间（，0为增函数，且 f（3）0，则不等式 f（1 2x）0 的解集为（）A（l，0）B（1，2）C（0，2）D（2，+）【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 f（x）在 0，+）上为减函数，又由 f（3）0，分析可得 f（1 2x）0?f（1 2x）f（3）?|1 2

14、x|3，解可得 x 第 7 页（共 24 页）的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间（一，0 为增函数，则函数 f（x）在 0，+）上为减函数，又由 f（3）0，则不等式 f（1 2x）0?f（1 2x）f（3）?|1 2x|3，解可得：1 x 2，即不等式的解集为（1，2）；故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题 6（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱 锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 64 B 68 C 80 D 109 【分析】由已知中

15、的三视图可得：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，画出直观图，数形结合可得答案 【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示，底面正方形的边长为 4，高为 5 棱锥的高为 3，该几何体的体积为：64，故选：A 【点评】本题考查的知识点是棱锥、棱柱的体积，简单几何体的三视图，是基本知识的考查 第 8 页（共 24 页）7（5 分）已知圆锥的母线长为，底面半径为 2，则该圆锥的外接球表面积为（）A B 16 C 25 D 32 【分析】根据题意作出图形，找到轴截面三角形的外心，即为外接球的球心，求解容易 【解答】解：如图，CB ，BE 2，可得 CE 1，取 CB 中点 D，作 D

16、O CB 交 CE 延长线于 O，则 O 为 ABC 的外心，也即圆锥外接球的球心，设 OE x，则 OC 1+x，OB，（1+x）2 x2+4，得 x，外接球半径 R，25 故选：C 【点评】此题考查了圆锥的外接球面积，难度不大 8（5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可 画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 AB 2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC AB 1，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画 弧，交 AB 于点 E则点 E 即为线段

17、 AB 的黄金分割点若在线段 AB 上随机取一点 F，则使得 BE AF AE 的概率约为、（参考数据：2.236）（）第 9 页（共 24 页）A 0.236 B 0.382 C 0.472 D 0.618【分析】由勾股定理可得：AC ，CD 1，则 AD 1 1.236，则 AE 1.236，BE 2 AE 0.764，即 0.764 AF 1.236，由几何概型中的线段型可知：0.236，得解 【解答】解：由勾股定理可得：AC ，CD 1，则 AD 1 1.236，则 AE 1.236，BE 2 AE 0.764，所以 0.764 AF 1.236，由几何概型中的线段型可知：使得 BE

18、AF AE 的概率约为 0.236，故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的线段型及勾股定理，属简单题 9（5 分）已知直线 是函数 f（x）与的图象的一条对称 轴，为了得到函数 y f（x）的图象，可把函数 y sin2x 的图象（）A 向左平行移动 个单位长度 B 向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D 向右平行移动 个单位长度 第 10 页（共 24 页）【分析】由三角函数图象的性质可得：y f（x）sin（2x+）sin2（x+），由三角函数图象的平移可得：为了得到函数 y f（x）的图象，可把函数 ysin2x 的图象 向左平移 个单位长度，得解 【解答】解：令 2

19、x+k，由 x 是此方程的一个解，则 k+，又|，所以 ，即 y f（x）sin（2x+）sin2（x+），所以为了得到函数 y f（x）的图象，可把函数 y sin2x 的图象向左平移 个单位长度，故选：C 【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的平移，属中档题 10（5 分）在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AB 2，BC ，CC1 2，M 为 AA1 的 中点，则异面直线 AC 与 B1M 所成角的余弦值为（）A B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 AC 与

20、B1M 所成角的余弦值 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（，0，0），C（0，2，0），B1（，2，2），M（，0，），（，2，0），（0，2，），设异面直线 AC 与 B1M 所成角为，则 cos 异面直线 AC 与 B1M 所成角的余弦值为 故选：B 第 11 页（共 24 页）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 11（5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 的左，右焦点，过 F 2 的直线与椭圆 交于 P，Q 两点，P

21、Q PF1，且|QF1|2|PF1|，则 PF1F2 与 QF 1F 2 的面积之比为 （）A 2 B 1 C +l D 2+【分析】可设|PF1|t，|QF1|2|PF1|2t，运用椭圆的定义可得|PF 2|2a t，|QF 2|2a 2t，结合勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求比值 【解答】解：可设|PF 1 1 1|t，|QF|2|PF|2t，由椭圆的定义可得|PF 2 2|2a 2t，|2a t，|QF|PQ|4a 3t，由|PQ|2 1 2|QF 1 2，即（4a3t）2 2 4t2，+|PF|+t 即有 4a 3t t，解得 t a，则 PF1 F2 与 QF1 F2 的面积

22、之比为 2+，故选：D 第 12 页（共 24 页）【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 12（5 分）已知函数，若 x1 x2，且 f（x1）f（x2），则|x1 x2|的最 大值为（）A 1 B C 2 D 2 【分析】所求表达式的最值，转化为函数的图象的最值，转化函数的导数求解切线方程，平行线的距离 【解答】解：不妨设：x1x2，由 f（x1）f（x2），要使|x1 x2|最大，转化为：求解（x1 x2）max，问题转化为：（如图所示），A（x1，y1）到 yx+1（x 0）距离的最大值问题，此时需过 A 点的切线与 y x+1 平行，当 x 0 时

23、，f（x）lnx+1，令 f（x）1 则 x1 1，A（1，0）x2 1 所以|x1x2|最大值为：2，故选：C 第 13 页（共 24 页）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查数形结合以及转化思想的 应用 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13（5 分）曲线 在点（1，f（1）处的切线的斜率为 e+1 【分析】求出函数的导数，代入 x1，得到切线的斜率即可 【解答】解：曲线，可得 y，所以曲线 在点（1，f（1）处的切线的斜率为：e+1 故答案为：e+1 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力 14（5 分）已知平面向量，满足|2，|

24、4，|2+|，则 与 的夹角为 60 【分析】由向量的模的运算有所以 4，由数量积表示两个向量的夹角得：cos ，又 0，180，所以 60，得解 【解答】解：由向量的模的运算有：（2 +2 2 2 48，）4+4 又|2，|4，所以 4，设 与 的夹角为 ，则 cos ，又 0，180 ，所以 60，故答案为：60 【点评】本题考查了向量的模的运算，数量积表示两个向量的夹角，属简单题 15（5 分）已知 F 1，F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F 1F 2 为直径的圆与双曲线的两条渐 近线交于 A，B，C，D 四个点，若这四个点与 F 1，F2 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离

25、心率为 2 【分析】利用已知条件求出双曲线上的点的坐标，代入双曲线渐近线方程，然后求解离 第 14 页（共 24 页）心率即可 【解答】解：F 1，F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F 1F2 为直径的圆与双曲线的两条渐近 线交于 A，B，C，D 四个点，若这四个点与 F1，F2 两点恰好是一个正六边形的顶点，可 得第一象限内的点（，），代入双曲线渐近线方程可得：，2 2 可得：c 4a，e 1，故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 16（5 分）在 ABC 中，ABC 150，D 是线段 AC 上的点，DBC 30，若 ABC 的面积为，当 BD 取

26、到最大值时，AC 2 【分析】由题意利用三角形的面积公式可求 ac 4，设 BD x，由 SBCD+S ABD ax+cx，可得：x，利用基本不等式可求 BD 取到最大值时 a，解 得 a，c 的值，由余弦定理可得 AC 的值 【解答】解：由题意可得：S ABC acsin150 ac，解得：ac 4，设 BD x，则：S BCD+SABD ax+cx，可得：x 时 x 取得最大值，a 2 ，c2，由余弦定理可得：AC2AB2+BC 2 2AB?BC?cos ABC 22+（2 （）28，解得：AC 2 故答案为：2 ，当且仅当 a 2）2 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，

27、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 第 15 页（共 24 页）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和已知 a14，公差 d 0，a4 是 a2 与 a8 的等比中项 （1）求数列 an 的通项公式；（2）求数列 前 n 项和为 Tn 【分析】（1）由等比数列的性质结合已知列式求得 d，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列 an 的前 n 项和，再由裂项相消法求数列 前 n 项和为 Tn 【解答】解：（1）a4 是 a2 与 a8 的等比中项，即，（4+3d）2（4+d）（4+

28、7d），解得 d 4 或 d 0 d 0，d 4 数列 an 的通项公式为 an a1+（n 1）d 4n；（2），则 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法 求数列的前 n 项和，是中档题 18（12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检 测，一共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次 数与指标 Y 有关，具体见表 质量指标 Y 9.4，9.8）9.8，10.2（10.2，10.6 频数 8 24 16 一年内所需维护 2 0 1 次数 （1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，

29、用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产 第 16 页（共 24 页）品，求这 2 件产品的指标 Y 都在 9.8，10.2 内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和 一年的维护支出之和称为消费费用 假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判 断消费者在购买每件产品

30、时是否值得购买这项维护服务？【分析】（1）由样本数据能估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值指标（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标 Y 在 9.8，10.2 内的有 3 件，记为 A1，A2，A3，指标 Y 在（10.2，10.6 内的有 2 件，记为 B1，B2，指标 Y 在9.4，9.8）内的有 1 件，记为 C，从 6 件产品中，随机抽取 2 件产品，共有基本事件 15 个，由此能求出指标 Y 都在 9.8，10.2 内的概率 （3）不妨设每件产品的售价为 x 元，假设这 48 件样品每件都不购买该服务，则购买支 出为 48x 元，其中有 16 件产品一年内的维护费用为 300

31、元/件，有 8 件产品一年内的维护 费用为 600 元/件，由此能求出结果 【解答】解：（1）指标 Y 的平均值为：10.07 （2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标 Y 在 9.8，10.2 内的有 3 件，记为 A1，A2，A3，指标 Y 在（10.2，10.6 内的有 2 件，记为 B1，B2，指标 Y 在 9.4，9.8）内的有 1 件，记为 C，从 6 件产品中，随机抽取 2 件产品，共有基本事件 15 个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，

32、B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C），其中，指标 Y 都在 9.8，10.2 内的概率为 P （3）不妨设每件产品的售价为 x 元，假设这 48 件样品每件都不购买该服务，则购买支出为 48x 元，其中有 16 件产品一年内的维护费用为 300 元/件，有 8 件产品一年内的维护费用为 600 元/件，第 17 页（共 24 页）此时平均每件产品的消费费用为 （48x+16 300+8 600）x+200 元 假设为这 48 件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为 48（x+100）元，一年内只有 8 件产品要花费维护，需支出 8300 2400

33、 元，平均每件产品的消费费用：48（x+100）+8 300 x+150 元，该服务值得购买 【点评】本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19（12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，PD DC，AD PC （1）求证：AC AP；（2）若平面 APD 平面 ABCD，ADC 120；，AD DC 4，求点 B 到平面 PAC 的 距离 【分析】（1）取 PC 中点 M，连接 AM，DM 可得 DM PC AD PC PC 平面 ADM 即可得 PC AM由于 M 为 PC 中点，可得 AC

34、 AP；（2）过 P 作 PH 垂直 AD 延长线于点 H，连接 CH，设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由于 VP ABC VB ACP，可得 即可得点 B 到平面 PAC 的距离 【解答】（1）证明：取 PC 中点 M，连接 AM，DM PD DC，且 M 为 PC 中点，DM PC AD PC AD DM D PC 平面 ADM AM?平面 ADM PC AM M 为 PC 中点，AC AP；第 18 页（共 24 页）（2）过 P 作 PH 垂直 AD 延长线于点 H，连接 CH，平面 APD 平面 ABCD，平面 APD 平面 ABCD AD PH?平面 APD，PH AD，P

35、H平面 ABCD CH?平面 ABCD，PH CH PD CD，AD AD，AC AP，ADP ADC，ADC ADP 120 PH CH 2，PC 2 设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由于 VPABC VB ACP，可得 ，点 B 到平面 PAC 的距离为 【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定定理与性质定理、三角形面积计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 2 20（12 分）设抛物线 C：y 4x，直线 l：x my 2 0 与 C 交于 A，B 两点 （1）若|AB|4，求直线 l 的方程；第 19 页（共 24 页）（2）点 M 为

36、 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直，垂足为 N求证：以 MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标 【分析】（1）由，消去 x 并整理可得 y24my 8 0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据弦长公式即可求出 m 的值，（2）设 AB 的中点 M 的坐标为（xM，yM），根据中点坐标公式求出 M 的坐标，设 MN 为 直径的圆经过点 P（x0，y0），根据得?0，即可求出点 P 的坐标【解答】解：（1）由，消去 x 并整理可得 y2 4my 8 0，显然 16m2+32 0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2 4m，y1y2 8，|AB|?4

37、 4，m2 1，即 m 1，直线方程为 xy 2 0 或 x+y 2 0，（2）证明：设 AB 的中点 M 的坐标为（xM，yM），则 yM（y1+y2）2m，2 xM myM+2 2m+2，M（2m2+2，2m），由题意可得 N（0，2m），设 MN 为直径的圆经过点 P（x0，y0），（2m2+2 x0，2m y0），（x0，2my0），由题意可得?0，2 2 2 即（4 2x0）m 4y0m+x0+y0 2x00，由题意可得，解得 x0 2，y0 0，定点（2，0）即为所求 第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查的知识是直线和抛物线的关系，弦长公式，向量的数量积，是中档题 x 21

38、（12 分）已知函数 f（x）（ax+2）e x 2，其中 a 2（1）当 a 0 时，求函数 f（x）在 1，0上的最大值和最小值；（2）若函数 f（x）为 R 上的单调函数，求实数 a 的取值范围【分析】（1）代入 a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，结 合函数的单调性确定 a 的范围即可 【解答】解：（1）当 a0 时，f（x）2exx 2，f（x）2ex 1，由 f（x）0，解得：x ln2，由 f（x）0，解得：x ln2，故函数 f（x）在 1，ln 2递减，在 ln2，0递增

39、，故 f（x）min f（ln 2）ln2 1，f（1）1 0，f（0）0，f（x）max f（0）0；（2）令 g（x）f（x）（ax+a+2）ex 1，则 g（x）（ax+2a+2）ex，（i）当 a 0 时，由（1）知，与题意不符，（ii）当 a 0 时，由 g（x）0，解得：x（2+），由 g（x）0，解得：x（2+），故 g（x）min g（2）a 1 0，g（0）a+1 0，故此时函数 f（x）存在异号零点，与题意不符，（iii）当 2 a 0 时，由 g（x）0，解得：x（2+），由 g（x）0，解得：x（2+），故 g（x）在（，2）递增，在（2，+）递减 故 g（x）max

40、g（2 ）a 1，第 21 页（共 24 页）由题意得：a 10 恒成立，令 2 t，则上述不等式等价于 et+1，其中 t 1，易证，当 t0 时，et t+1+1，又由（1）的结论知，当 t（1，0时，et+1 成立，由 1 2 0，解得：2a 1，综上，当 2 a 1 时，函数 f（x）为 R 的单调函数且递减 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分 10 分）选

41、修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求 的取值范围 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 2cos，2 2 2x 0 转换为直角坐标

42、方程为：x+y （2）把直线 l 的参数方程为 2 2 （t 为参数），代入 x+y 2x 0，得到：t26cos t+8 0 由已知得：36cos2 32 0，故：，由于 cos21，第 22 页（共 24 页）所以：设方程的两实数根为 t1 和 t2，则由参数的几何意义可得：|PA|+|PB|t1+t2|6|cos|，|PA|PB|t1?t2|8 所以 ，由于，故：，即：【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修 4-5：不等

43、式选讲 2 23设函数 f（x）|x+1|+|x 2|，g（x）x+mx+1（1）当 m 4 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）在 2，上恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】（1）求出 f（x）的分段函数的形式，代入 m 的值，求出 g（x）的解析式，通过 讨论 x 的范围，解不等式求出不等式的解集即可；（2）问题等价于 g（x）3 恒成立，即 g（x）min 3，求出 m 的范围即可【解答】解：（1）f（x）|x+1|+|x 2|，f（x），当 m 4 时，g（x）x2 4x+1，2 当 x 1 时，原不等式等价于 x+2x 0，解得：2 x0，故 2x

44、 1；当 1 x 2 时，原不等式等价于 2 x+4x+2 0，解得：2 x 2+，第 23 页（共 24 页）故 1 x 2+；x 2 时，g（x）g（2）11，而 f（x）f（2）3，故不等式 f（x）g（x）的解集是空集；综上，不等式 f（x）g（x）的解集是（2，2+）；（2）当 2 x 1 时，f（x）g（x）恒成立等价于 mx x2 2x，又 x 0，故 m x 2，故 m 4；当 1 x 时，f（x），g（x）恒成立 等价于 g（x）3 恒成立，即 g（x）min 3，只需 即可，即，综上，m（，）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，转化思想以及分类讨论思想，是一道常规题 第 24 页（共 24 页）