2019年全国统一高考数学试卷.pdf

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1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21,0,1,21ABx x，则AB（）A.1,0,1 B.0,1 C.1,1 D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 再求出交集

2、.【详解】由题意得，11Bxx，则1,0,1AB 故选 A【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若(1i)2iz，则z（）A.1 i B.1+i C.1 i D.1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1 i1 i1 i1 i 1 i)()z 故选 D【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A.16 B.14 C.13 D.12 【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同

3、学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12故选 D【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法，利用等价转化的思想解题 4.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.

4、7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过 西游记 的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为 70 100=0 7 故选 C【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题 5.函数()2sinsin2f xxx在 0,2的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】令()0f x，得sin0 x 或cos1x，再根据 x 的取值范围可求得零点.【详 解】由()2sinsin 22sin2sincos2sin(1cos)0f xxxxxx

5、xx，得s i n0 x 或 cos1x，0,2x，02x、或()f x在 0,2的零点个数是 3 故选 B【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题 6.已知各项均为正数的等比数列na的前 4 项和为 15，且53134aaa，则3a（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于1,aq的方程组，求出1,aq，再利用通项公式即可求得3a的值【详解】设正数的等比数列an的公比为q，则2311114211115,34aa qa qa qa qa qa，解得11,2aq，2314aa q，故

6、选 C【点睛】应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于 1，防止出错 7.已知曲线elnxyaxx在点 1,ae处的切线方程为2yxb，则（）A.,1ae b B.,1ae b C.1,1aeb D.1,1aeb 【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b【详解】详解：/ln1,xyaex/11|12xkyaeae 将(1,1)代入2yxb得21,1bb ，故选 D【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 8.如图，点N为正方形AB

7、CD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面,ABCD M是线段ED的中点，则（）A.BMEN，且直线,BM EN是相交直线 B.BMEN，且直线,BM EN是相交直线 C.BMEN，且直线,BM EN是异面直线 D.BMEN，且直线,BM EN是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】BDE，N为BD中点M为DE中点，BM，EN共面相交，选项 C，D 为错 作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F 连BF，平面CDE 平面ABCD,EOCD EO平面CDE，EO平面ABCD，MF 平面ABCE，MFB与EON均为直角三角形 设正方形边长为 2，

8、易知3,012EONEN，2395324,2724244MFBFBM BMEN，故选 B 【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A.4122 B.5122 C.6122 D.7122【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】11.0,0 1,0.01?2xSSx 不成立 110 1,0.01?24Sx 不成立 61110 1,0.00781250.01?22128Sx 成立 输出76711111212 1122212S ，故选 D【点睛】循环运算，何时满足精确

9、度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点 10.已知F是双曲线22:145xyC的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OPOF，则OPF的面积为（）A.32 B.52 C.72 D.92【答案】B【解析】【分析】设00,P x y，因为=OPOF再结合双曲线方程可解出0y，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点00,P x y，则2200145xy又453OPOF，22009xy由得20259y，即053y，0115532232OPFSOFy 故选 B【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与

10、化归和方程思想解题 11.记不等式组620 xyxy 表示的平面区域为D，命题:(,),29px yDxy；命题:(,),212qx yDxy.给出了四个命题：pq；pq；pq；pq，这四个命题中，所有真命题的编号是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域 D 为阴影部分，由2,6yxxy 得2,4xy即 A（2，4），直线29xy 与直线 212xy 均过区域 D，则 p 真 q假，有p假q真，所以真假故选 A 【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度不能准确画出平面区域导致不等式误判，根

11、据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假 12.设 f x是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则（）A.233251log224fff B.233281log224fff C.23325122log4fff D.23325122log4fff【答案】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log,2,24fff，转化为同一个单调区间上，再比较大小【详解】f x是 R 的偶函数，331loglog 44ff 3023log 4122，又 f x在(0，+)单调递减，23323log 422fff，23323122log4fff

12、，故选 C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量(2,2),(8,6)ab，则cos,a b_.【答案】210【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】详解：2222282 62cos,1022(8)6a ba ba b 【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键 14.记nS为等差数列na的前n项和，若375,13aa，则10S_.【答案】100【解析】【分析】根据题意可求出首项和

13、公差，进而求得结果.【详解】详解：317125,613aadaad 得11,2ad 10110 910 91010 12100.22Sad 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和 15.设12FF，为椭圆22:+13620 xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MF F为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】3,15【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.【详解】由已知可得2222236,36,16,4abc

14、abc，11228MFF Fc 122212,4MFMFaMF 设点M的坐标为0000,0,0 xyxy，则1 21200142MF FSF Fyy ，又1 222014824 15,44 152MF FSy ，解得015y，2201513620 x，解得03x（03x 舍去），M的坐标为 3,15【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,E F G H分别为所

15、在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为30.9/g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【答案】1188【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，四棱锥 O-EFGH的底面积为214 642 3122cm ，其高为点 O 到底面11BBC C的距离为 3cm，则此四棱锥的体积为21112 3123Vcm 又长方体1111ABCDABC D的体积为22466144Vcm ，所 以 该 模 型 体 积 为22114412132VVVcm，其 质 量 为0.9 13211

16、8.8g【点睛】此题牵涉到的是 3D 打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,A B两组，每组100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验

17、数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P C的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)0.35a，0.10b；(2)4.05，6.【解析】【分析】(1)由()0.70P C 可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得0.200.150.70a，解得0.35a，由0.050.151()10.70bP C ，解 得0.10b.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.20 30

18、.3040.20 50.1060.05 74.05 ，乙离子残留百分比的平均值为0.05 3 0.1040.15 50.35 60.20 70.15 86 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin2ACabA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围【答案】(1)3B;(2)33(,)82.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得3B.(2)根据三角形面积公式1sin2ABCSacB，又根据正弦定理和1225得

19、到ABCS关于C的函数，由于VABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2来计算C的定义域，最后求解()ABCSC的值域.【详解】(1)根据题意sinsin2ACabA由正弦定理得sinsinsinsin2A CABA，因为0A，故sin0A，消去sin A得sinsin2ACB。0B，02A C因为故2ACB或者2ACB，而根据题意ABC ，故2ACB 不成立，所以2ACB，又因为ABC ，代入得3B ，所以3B.(2)因为VABC是锐角三角形，又由前问3B，,62A C，ABC 得到23A C，故62C 又应用正弦定理sinsinacAC，1225，由三角形面积公式有222sin()111

20、sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC22sincoscossin33223333(sincotcos)cot4sin43388CCCCC.又因62C,故 333333cotcot88288682ABCS，故3382ABCS.故ABCS的取值范围是33(,)82【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.19.图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1,2ABBEBF，60FBC，将其

21、沿,AB BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2.（1）证明图 2 中的,A C G D四点共面，且平面ABC 平面BCGE；（2）求图 2 中的四边形ACGD的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，Rt ABC和菱形BFGC内部的夹角，所以/ADBE，/BFCG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)欲求四边形ACGD的面积，需求出CG所对应的高，然后乘以CG即可。【详解】(1)证：/ADBE，/BFCG，又因为E和F粘在一起./ADCG，A，C，G，D 四点共面.又,ABBE ABB

22、C.AB平面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证.(2)取CG的中点M，连结,EM DM.因为/ABDE，AB 平面 BCGE，所以DE 平面 BCGE，故DECG，由已知，四边形 BCGE 是菱形，且60EBC得EMCG，故CG 平面 DEM。因此DMCG。在RtDEM中，DE=1，3EM，故2DM。所以四边形 ACGD 的面积为 4.【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力.20.已知函

23、数32()22f xxax.（1）讨论()f x的单调性；（2）当03a时，记()f x在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围.【答案】(1)见详解；(2)8,2)27.【解析】【分析】(1)先求()f x的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论a的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得Mm的取值范围.【详解】(1)对32()22f xxax求导得2()626()3afxxaxx x.所以有 当0a 时，(,)3a区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)区间上单调递增；当0a 时，(,)区间上单调递增；当0a 时，(,0)区间上单调递增

24、，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a区间上单调递增.(2)若02a，()f x在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间0,1上最小值为()3af.而(0)2,(1)22(0)ffaf ，故所以区间0,1上最大值为(1)f.所以332(1)()(4)2()()2233327aaaaMmffaaa ，设函数3()227xg xx，求导2()19xgx 当02x 时()0g x 从而()g x单调递减.而02a，所以38222727aa .即Mm的取值范围是8,2)27.若23a，()f x在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间0,1上最小值为(

25、)3af而(0)2,(1)22(0)ffaf ，故所以区间0,1上最大值为(0)f.所以332(0)()2 2()()233327aaaaMmffa ，而23a，所以3812727a.即Mm的取值范围是8(,1)27.综上得Mm的取值范围是8,2)27.【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.21.已知曲线2:,2xC yD，为直线12y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为,A B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中

26、点，求该圆的方程.【答案】(1)见详解；(2)225()42xy或225()22xy.【解析】【分析】（1）可设11(,)A x y，22(,)B xy，1(,)2D t 然后求出A，B 两点处的切线方程，比如AD：1111()2yx xt，又因为BD也有类似的形式，从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立，再通过M为线段AB的中点，EMAB得出t的值，从而求出M坐标和EM的值，最后求出圆的方程.【详解】(1)证明：设1(,)2D t,11(,)A x y,则21112yx。又因为212yx，所以yx.则切线 DA 的斜率为1x，故

27、1111()2yx xt，整理得112210txy.设22(,)B xy，同理得112210txy.11(,)A x y,22(,)B xy都满足直线方程2210txy.于是直线2210txy 过点,A B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy.即2(21)0txy ，当20,210ty 时等式恒成立。所以直线AB恒过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB方程为2210txy，和抛物线方程联立得：2221012txyyx 化简得2210 xtx.于是122xxt,21212()121yyt xxt 设M为线段AB的中点，则21(,)2M t t 由于EMAB，而2(

28、,2)EMt t,AB与向量(1,)t平行，所以2(2)0tt t，解得0t 或1t .当0t 时，(0,2)EM，2EM 所求圆的方程为225()42xy;当1t 时，(1,1)EM 或(1,1)EM ，2EM 所求圆的方程为225()22xy.所以圆的方程为225()42xy 或225()22xy.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.如图，在极坐标系Ox中，(2,

29、0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD.（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且|3OP，求P极坐标.【答案】(1)2cos(0,)4,32sin(,)44,32cos(,)4,(2)(3,)6,(3,)3,2(3,)3,5(3,)6.【解析】【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.【详解】(1)由题意得

30、，这三个圆的直径都是 2，并且都过原点.1:2cos(0,)4M，23:2cos()2sin(,)244M,33:2cos()2cos(,)4M .(2)解方程2cos3(0,)4得6，此时 P 的极坐标为(3,)6 解方程32sin3(,)44 得3或23，此时 P 的极坐标为(3,)3或2(3,)3 解方程32cos3(,)4得56，此时 P 的极坐标为5(3,)6 故 P的极坐标为(3,)6,(3,)3,2(3,)3,5(3,)6.【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.选修 4-5：不等式选讲 23.设,x y zR，且1xyz .（1）求222

31、(1)(1)(1)xyz 的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza 成立，证明：3a或1a .【答案】(1)43；(2)见详解.【解析】【分析】(1)根据条件1xyz ，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3xyz，再讨论,x y z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,x y z代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.【详解】(1)22222222(1)(1)(1)(111)(1)(1)(1)(1)4xyzxyzxyz 故2224(1)(1)(1)3xyz 等号成立当且仅当111xyz 而又因1xyz ，解得 531313xyz 时等号成

32、立 所以222(1)(1)(1)xyz 的最小值为43.(2)因为2221(2)(1)()3xyza，所以222222(2)(1)()(111)1xyza .根据柯西不等式等号成立条件，当21xyza ，即22321323axayaza 时有22222222(2)(1)()(111)(21)(2)xyzaxyzaa 成立.所以2(2)1a 成立，所以有3a或1a .另解：用反证法.若3a或1a 不成立，那么13a 成立，则2(2)1a 而2222222(2)(1)()(111)(21)xyzaxyza 左面等号成立当且仅当21xyza ，又因为1xyz 所以2213axyza .故此时22222222(2)(1)()(111)(21)(2)1xyzaxyzaa ,即2221(2)(1)()3xyza，与原命题矛盾放【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.