2023年全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理.pdf
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1、 全国各地高考数学试题精析圆锥曲线部分整理 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除2 2004 年全国各地高考数学试题精析(圆锥曲线部分)一、选择题 1.(2004 全国 I,理 7 文 7)椭圆x24+y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则2|PF=()A32 B 3 C72 D4【答案】C.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识.一般地,过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦长,叫做圆锥曲线的通径.椭圆、双曲线的通径长为2b
2、2a.本题中|PF1|=b2a=12,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF2|=4-12=72.2.(2004 全国 I,理 8 文 8)设抛物线 y2=8x的准线与 x轴交于点 Q,若过点 Q的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是()A-12,12 B-2,2 C-1,1 D-4,4【答案】C.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及解析几何的基本思想.Q(-2,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程,消去 y整理得:k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由=(4k2-8)2-4 k2 4k2=64(1-k2)0,解得
3、 -1 k1.3.(2004 全国 III、广西,理 7 文 8)设双曲线的焦点在 x轴上,两条渐近线为y=12x,则该双曲线的离心率 e=()A5 B 5 C52 D54 【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识.双曲线的焦点在 x轴上,两条渐近线为 y=12x,ba=12,即 a=2b,c=a2+b2=5b,故该双曲线的离心率 e=ca=52.为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解析本小题主要考查直线与抛物线在轴上两条渐近线为则该双曲
4、线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除3 4.(2004全国 IV,理 8)已知椭圆的中心在原点,离心率 e=12,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为()A.x24+y23=1 B.x28+y26=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=1 【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆、抛物线的方程与几何性质.抛物线焦点为(-1,0),c=1,又 e=12,a=2,b2=a2-c2=3,故椭圆方程为x24+y23=1
5、.5.(2004 江苏,5)若双曲线x28-y2b2=1的一条准线与抛物线 y2=8x的准线重合,则双曲线的离心率为()A.2 B.22 C.4 D.42【答案】A.【解析】本小题主要考查双曲线、抛物线的方程与几何性质等基本知识.抛物线 y2=8x的准线方程为 x=2,双曲线x28-y2b2=1的一条准线方程为x=88+b2,2=88+b2,解得 b2=8,c=a2+b2=4 e=ca=42 2=2.6.(2004 天津,理 4 文 5)设 P 是双曲线22219xya上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.1
6、 或 5 B.6 C.7 D.9【答案】C.【解析】本小题主要考查双曲线的概念、方程与几何性质.双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,a2=4.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=4,|PF1|=3,|PF2|=7.7.(2004 广东,8)若双曲线 2x2-y2=k(k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则 k=()A.6 B.8 C.1 D.4 【答案】A.为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解析本小题主要考查直线与抛物线在轴上两条渐近线为则该
7、双曲线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除4【解析】本小题主要考查双曲线的方程与几何性质等基本知识.双曲线方程化为标准方程为 x2 k2-y2k=1,a2=k2,b2=k,c2=3k2.焦点到准线的距离 2=c-a2c,即 2=k3k2,解得 k=6.8.(2004 福建,理 4 文 4)已知 F1、F2是椭圆的两个焦点,过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是()A.33 B.23 C.
8、22 D.32【答案】A.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质,以及基本量的运算.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,则过 F1且与椭圆长轴垂直的统弦 AB=2b2a.若ABF2是正三角形,则 2c=2b2a32,即 3a2-2ac-3c2=0,(a-3c)(3a-c)=0,e=ca=33.9.(2004 福建,理 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C
9、修建公路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是()A.(27-2)a 万元 B.5a 万元 C.(27+1)a 万元 D.(23+3)a 万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为 y万元,则 y=a MB+2 a MC 河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.,曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2.过 M 作双曲线的焦点 B 对应的准线 l 的垂线,垂足为 D(如图).由双曲线的第二定义,得MBMD=e,即 MB=2MD.B A
10、 Q P C M 东 北 E G H D 为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解析本小题主要考查直线与抛物线在轴上两条渐近线为则该双曲线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除5 y=a 2MD+2 a MC=2 a(MD+MC)2 a CE.(其中 CE 是点 C 到准线 l 的垂线段).CE=GB+BH=(c
11、-a2c)+BC cos600=(2-12)+212=52.y5a(万元).10.(2004 福建,文 12)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地在 B 地的北偏东 300方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从M 到 B、C 两地修建公路的费用都 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是()A.(7+1)a 万元 B.(27-2)a 万元 C.2 7a 万元 D.(7-1)a 万元【答案】B.【解析】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考
12、查考生运用所学知识解决实际问题的能力.设总费用为 y万元,则 y=a(MB+MC)河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km.,曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2.由双曲线第一定义,得 MA-MB=2a,即 MB=MA-2,y=a(MA+MC-2)a AC.以直线 AB为 x轴,中点为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(-2,0),C(3,3).AC=(3+2)2+(3)2=2 7,故 y(2 7-2)a(万元).11.(2004 湖北,理 6)已知椭圆x216+y29=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F
13、2是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x轴的距离为()A95 B3 C9 77 D94【答案】D.【解析】本小题主要考查椭圆的几何性质.注意!P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点时,要考虑直角顶点的确定.若 P 为直角顶点,则PF12PF22=F1F22,即 PF12PF22=(27)2,又 PF1PF2=2a=8,PF1 PF2=18.在 RtB A Q P C M 东 北 为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解析本小题主要考查直线与抛物线在轴上
14、两条渐近线为则该双曲线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除6 PF1F2中,P 到 x 轴的距离 h=182 7=9 77,但9 77b=3,不合题意,舍去.由对称性,F1、F2之一为直角顶点(不妨设 F2为直角),则 PF2=b2a=94.12.(2004 浙江,文 6 理 4)曲线 y2=4x关于直线 x=2 对称的曲线方程是()A.y2=8 4x B.y2=4x 8 C.y2=16 4x D.y2=4x 16【答案】C【解析】设所求曲线上
15、的任意一点的坐标为P(x,y),其关于 x=2对称的点的坐标为 Q(4-x,y),把它代入 y2=4x并化简,得 y2=16 4x 13.(2004 浙江,理 9)若椭圆12222byax(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 53 的两段,则此椭圆的离心率为()A.1617 B.4 1717 C.45 D.2 55【答案】D.【解析】抛物线 y2=2bx 的焦点为 F(2b,0),F1(c,0),F2(c,0),|F1F|:|FF2|=5:3,5232bcbc,化简,得 c=2b,即222cac,两边平方并化简得 4a25c2,22245c
16、ea,2 55e 14.(2004 年浙江,文 11)若椭圆12222byax(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段 F1F2被点(2b,0)分成 53 的两段,则此椭圆的离心率为()A.1617 B.4 1717 C.45 D.2 55【答案】D【解析】见上题 15.(2004 湖南,文 4 理 2)如果双曲线1121322yx上一点 P 到右焦点的距离等于13,那么点 P 到右准线的距离是()A513 B13 为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解
17、析本小题主要考查直线与抛物线在轴上两条渐近线为则该双曲线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除7 C5 D135【答案】A【解析】考查双曲线线的基本量的运算 解:a=13,5c,由双曲线的第二定义,得13513ceda ,d=135.16.(2004 重庆,文理 10)已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左,右焦点分别为12,F F,点 P 在双曲线的右支上,且12|4|PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为()A43 B53 C2
18、D73【答案】A【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m-n=2a,m=4n,m=83a,n=23a,又 m-n2cm+n,即 2a2c103a,1e=ac53,所以 e的最大值为53 17.(2004 辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足2PA PBx,则点 P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【答案】D【解析】PA=(x+2,y),PB=(x-3,y),PAPB=(x+2)(x-3)+y2=x2,化简,得 y2=x+6.18.(2004 辽宁,9)已知点)0,2(1F、)0,2(2F,动点 P 满足2|12PFPF.当点 P 的纵坐标是21
19、时,点 P 到坐标原点的距离是()A26 B23 C3 D2【答案】A【解析】由题意知,P点的轨迹是双曲线的左支,c=2,a=1,b=1,双曲线的方程为x2-y2=1,把 y=12代入双曲线方程,得x2=1+14=54,|OP|2=x2+y2=54+14=64,|OP|=62.二、填空题 为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解析本小题主要考查直线与抛物线在轴上两条渐近线为则该双曲线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料
20、内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除8 19.(2004全国 II,理 15 文 15)设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2 y2=1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .【答案】x22+y2=1.【解析】本小题主要考查椭圆、双曲线的方程与几何性质.在双曲线 2x2-2y2=1 中 a2=21,b2=21,c2=1,则其焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0),离心率 e1=2.所以椭圆的离心率为21,c=1,a=2,则 b=a2-c2=1.故椭圆的方程是x22+y2=1.20.(2004 全
21、国 III、广西,理 16)设 P 是曲线 y2=4(x-1)上的一个动点,则点P 到点(0,1)的距离与点 P 到 y轴的距离之和的最小值为 .【答案】5.【解析】本小题主要考查抛物线的方程与几何性质等基本知识,以及数形结合的思想方法.抛物线的顶点为 A(1,0),p=2,准线方程为 x=0,焦点 F坐标为(2,0),所以点 P 到点 B(0,1)的距离与点 P 到 y轴的距离之和等于|PB|+|PF|,如图,|PB|+|PF|BF|,当 B、P、F 三点共线时取得最小值,此时|BF|=(0-2)2+(1-0)2=5.21.(2004 年天津,理 14 文 15)如果过两点 A(a,0)和
22、B(0,a)的直线与抛物线y=x2-2x-3 没有交点,那么实数 a 的取值范围是 .【答案】(-,-134).【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系等基本知识.直线 AB的方程是 x+y=a,由x+y=ay=x2-2x-3,得 x2-x-3-a=0.若直线 AB 与该抛物线没有交点,则=(-1)2-4(-3-a)=13+4a0,故 a0 时,|FP1|71,|FPn|71,d=1|1nFPFPn21n,n21,1010d,同理,当 d0 时,1010d 故 d11,0)(0,1010 26.(2004 湖南,文 15)F1,F2是椭圆 C:14822xx的焦点,在 C 上满足 PF1P
23、F2的点 P 的个数为_.【答案】2【解析】2 2a,2c,22e,设 P00(,)xy,则|PF1|=2 2+022x,|PF2|=2 2-022x,PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(2 2022x)2(2 2-022x)2=16,解得0 x=0,故在椭圆上存在两点即短轴的两顶点使 PF1PF2 27.(2004 重庆,理 16)对任意实数 k,直线:ykxb与椭圆:32cos(02)14sinxy 恒有公共点,则 b 取值范围是 .【答案】-1,3 为则答案解析本小题主要考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义等基本知识一般地过圆锥曲线的焦点作垂直于对称轴的的准线与轴交
24、于点若过点的直线与抛物线有公共点则直线的斜率的取值范围是答案解析本小题主要考查直线与抛物线在轴上两条渐近线为则该双曲线的离心率答案解析本小题主要考查双曲线的几何性质等基本知识双曲线的焦点在轴上资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除 资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除10【解析】直线ykxb过定点(0,b),所以对任意的实数 k,它与椭圆22(3)(1)416xy1 恒有公共点的充要条件是(0,b)在椭圆上或其内部,22(03)(1)1416b,解得13k .28.(2004北京春,理文 14)若直线 mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,
25、则m,n 满足的关系式为_;以(m,n)为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆x27+y23=1的公共点有_个.【答案】0m2+n2 3,解得0m2+n23.m27+n23 m23+n230)的准线方程为 x=-p2.30.(2004 上海春,4)过抛物线 y2=4x的焦点 F 作垂直于 x轴的直线,交抛物线于 A、B 两点,则以 F 为圆心、AB 为直径的圆方程是_.【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】本小题主要考查抛物线的概念与几何性质,圆的概念与方程等基础知识,以及运算能力.解题中要注意一些特殊结论的应用,对于抛物线而言,过焦点垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛 物线的通径,其长度等
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