第五讲-密码学的数学基础(第二部分)ppt课件.ppt

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1、从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。第五讲第五讲 密码学数学基础密码学数学基础从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本章授课提纲本章授课提纲（1 1 1 1）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法（2 2 2 2）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的

2、欧几里）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里德算法德算法德算法德算法（3 3 3 3）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理（4 4 4 4）模的幂、模）模的幂、模）模的幂、模）模的幂、模n n n n逆矩阵、模逆矩阵、模逆矩阵、模逆矩阵、模n n n n平方根平方根平方根平方根（5 5 5 5）有限域理论）有限域理论）有限域理论）有限域理论（6 6 6 6）素数判定和因数分解）素数判定和因数分解）素数判定和因数分解）素数判定和因数分解从使用情况来看

3、，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本讲授课提纲本讲授课提纲（1 1 1 1）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法（2 2 2 2）有限域）有限域）有限域）有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的代数运算上的代数运算上的代数运算上的代数运算从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本讲授课提纲本讲授课提纲（1 1

4、1 1）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法（2 2 2 2）有限域）有限域）有限域）有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的代数运算上的代数运算上的代数运算上的代数运算从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念群的概念群的概念群（群（群（群（GG）：定义了二元运算（表示为）：定义了二元运算（表示为）：定义了二元运算（表示为）：定义了二元运算（表示为.）的集合）的集合）的集合）

5、的集合（a,ba,b）(a.b)(a.b)满足：满足：满足：满足：封闭性封闭性封闭性封闭性(A1):a.b(A1):a.b属于属于属于属于GG 结合律结合律结合律结合律(A2):a.(b.c)=(a.b).c(A2):a.(b.c)=(a.b).c 单位元单位元单位元单位元(A3):(A3):存在存在存在存在e e 使得使得使得使得 a.e=e.a=a a.e=e.a=a 逆元逆元逆元逆元(A4):(A4):存在存在存在存在 a a 使得使得使得使得 a.a=a.a=e a.a=a.a=e从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程

6、施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念交换群的概念交换群的概念交换群就是满足交换律的群交换群就是满足交换律的群交换群就是满足交换律的群交换群就是满足交换律的群交换律交换律交换律交换律(A5)(A5)(A5)(A5)：a.b=b.a a.b=b.a a.b=b.a a.b=b.a交换群例子：交换群例子：交换群例子：交换群例子：加法运算下的整数集合（，加法运算下的整数集合（，加法运算下的整数集合（，加法运算下的整数集合（，0 0）；）；）；）；乘法运算下的非零实数集合；乘法运算下的非零实数集合；乘法运算下的非零实数集合；乘法运算下的非零实数集合；从使用情况来看，闭胸式的使用比较广

7、泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念域的概念域的概念域的概念域的概念若一集合若一集合若一集合若一集合F F在已定义的两个运算在已定义的两个运算在已定义的两个运算在已定义的两个运算“+”“+”和和和和“.”“.”中，具有中，具有中，具有中，具有下列性质者，则下列性质者，则下列性质者，则下列性质者，则F F称为一个域。称为一个域。称为一个域。称为一个域。（1 1）F F在运算在运算在运算在运算“+”“+”中为一交换群，且具有单位元素中为一交换群，且具有单位元素中为一交换群，且具有单位元素中为一交换群，且具有

8、单位元素0 0（2 2）F F非零的元素在非零的元素在非零的元素在非零的元素在“.”“.”中也为交换群（注意：交换中也为交换群（注意：交换中也为交换群（注意：交换中也为交换群（注意：交换 群有逆元存在）群有逆元存在）群有逆元存在）群有逆元存在）（3 3）F F中中中中“.”“.”对对对对“+”“+”运算满足分配律，即对运算满足分配律，即对运算满足分配律，即对运算满足分配律，即对F F中的所有中的所有中的所有中的所有 a,b,c a,b,c满足满足满足满足a.(b+c)=a.b+a.ca.(b+c)=a.b+a.c从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，

9、但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。定义定义定义定义2:2:有限群、无限群、交换群、循环群；有限群、无限群、交换群、循环群；有限群、无限群、交换群、循环群；有限群、无限群、交换群、循环群；群的阶：一个有限群的元的个数。群的阶：一个有限群的元的个数。群的阶：一个有限群的元的个数。群的阶：一个有限群的元的个数。定义定义定义定义3 G3 G中元素中元素中元素中元素g g的阶为的阶为的阶为的阶为 的最小正整数的最小正整数的最小正整数的最小正整数mm的值的值的值的值.定理定理定理定理1 1 假设假设假设假设GG是一个阶为是一个阶为是一个阶为是一个阶为n n的乘法群的乘法群的乘法群的乘

10、法群,G,G中元素中元素中元素中元素g g的的的的阶整除阶整除阶整除阶整除n.n.定理定理定理定理2 2 如果如果如果如果p p是素数是素数是素数是素数,则则则则 是一个循环群是一个循环群是一个循环群是一个循环群.定义定义定义定义4 4如果如果如果如果p p是素数是素数是素数是素数,g,g是是是是 中阶为中阶为中阶为中阶为p-1p-1的元的元的元的元,则称则称则称则称g g为模为模为模为模p p的本原元或生成元的本原元或生成元的本原元或生成元的本原元或生成元.从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明

11、。一般地一般地一般地一般地,如果如果如果如果a a的阶的阶的阶的阶mm等于等于等于等于(n)(n)，则称，则称，则称，则称a a为为为为n n的本原根。的本原根。的本原根。的本原根。如果如果如果如果a a是是是是n n的本原根，则的本原根，则的本原根，则的本原根，则a,a2,a(n)在在在在mod nmod n下互不相同且都与下互不相同且都与下互不相同且都与下互不相同且都与n n互素。互素。互素。互素。特别地，如果特别地，如果特别地，如果特别地，如果a a是素数是素数是素数是素数p p的本原根，则的本原根，则的本原根，则的本原根，则a,a2,ap-1在在在在 mod p mod p下都不相同。

12、下都不相同。下都不相同。下都不相同。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例如：例如：n=9，则，则(n)=6，考虑，考虑2在在mod 9下的幂下的幂21 mod 92,22 mod 9423 mod 98,24 mod 97，25 mod 95,26 mod 91。即。即2的阶为的阶为(9)，所以，所以2为为9的本原的本原根根从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念本质上说

13、：本质上说：本质上说：本质上说：域就是一个集合，可以在其上进行加法、减法、乘法域就是一个集合，可以在其上进行加法、减法、乘法域就是一个集合，可以在其上进行加法、减法、乘法域就是一个集合，可以在其上进行加法、减法、乘法和除法而不脱离该集合。和除法而不脱离该集合。和除法而不脱离该集合。和除法而不脱离该集合。域的概念域的概念域的概念域的概念例子例子例子例子:有理数集合，实数集合，复数集合有理数集合，实数集合，复数集合有理数集合，实数集合，复数集合有理数集合，实数集合，复数集合这些都是无限域这些都是无限域这些都是无限域这些都是无限域从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部

14、敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念一个域，如果其元素个数为无限个，则称为无限域一个域，如果其元素个数为无限个，则称为无限域一个域，如果其元素个数为无限个，则称为无限域一个域，如果其元素个数为无限个，则称为无限域反之，如果域的元素个数为有限个，则称为有限域反之，如果域的元素个数为有限个，则称为有限域反之，如果域的元素个数为有限个，则称为有限域反之，如果域的元素个数为有限个，则称为有限域有限域的概念有限域的概念有限域的概念有限域的概念有限域的例子：模有限域的例子：模有限域的例子：模有限域的例子：模p p的同余运算中，它的完全剩余的同余运算中

15、，它的完全剩余的同余运算中，它的完全剩余的同余运算中，它的完全剩余集构成一个域，通常用集构成一个域，通常用集构成一个域，通常用集构成一个域，通常用GF(p)GF(p)表示。表示。表示。表示。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。例如：例如：n=19，a=3在在mod 19下的幂分别为下的幂分别为3，9，8，5，15，7，2，6，18，16，10，11，14，4，12，17，13，1。即即3的阶为的阶为18=(19)，所以，所以3为为19的本原根。的本原根。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞

16、开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本原根不惟一。可验证除本原根不惟一。可验证除3外，外，19的本原根还有的本原根还有2，10，13，14，15。注意并非所有的整数都有本原根，只有以下形式的注意并非所有的整数都有本原根，只有以下形式的整数才有本原根：整数才有本原根：2,4,p,2p其中其中p为奇素数。为奇素数。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。离散对数设设p是素数，是素数，a是是p的本原根，即的本原根，即a1,a2,ap-1在在

17、mod p下产下产生生1到到p-1的所有值，所以对的所有值，所以对b 1,p-1，有惟一的，有惟一的i 1,p-1使得使得bai mod p。称。称i为模为模p下以下以a为底为底b的离的离散对数，记为散对数，记为ilogab(mod p)。当当a、p、i已知时，用平方和乘法可比较容易地求出已知时，用平方和乘法可比较容易地求出b，但，但如果已知如果已知a、b和和p，求，求i则非常困难。目前已知的最快的求离则非常困难。目前已知的最快的求离散对数算法其时间复杂度为：散对数算法其时间复杂度为：所以当所以当p很大时，该算法也是不可行的。很大时，该算法也是不可行的。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞

18、开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。离散对数问题的算法离散对数问题的算法首先回忆一下一般对数的概念，指数函数首先回忆一下一般对数的概念，指数函数y=ax(a0,a1)的逆函数称为以的逆函数称为以a为底为底x的对数，记为的对数，记为y=logax。对数函数有以下性质：。对数函数有以下性质：loga1=0,logaa=1,logaxy=logax+logay,logaxy=ylogax在模运算中也有类似的函数。设在模运算中也有类似的函数。设p是一素数，是一素数，a是是p的的本原根，则本原根，则a,a2,ap-1产生出产生出1到到p-1之

19、间的所有值，之间的所有值，且每一值只出现一次。因此对任意且每一值只出现一次。因此对任意b 1,p-1，都，都存在惟一的存在惟一的i(1ip-1)，使得，使得bai mod p。称。称i为模为模p下以下以a为底为底b的离散对数，记为的离散对数，记为i=logab。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。离散对数有以下性质：离散对数有以下性质：loga1=0。logaa=1。分别由以下关系得出：分别由以下关系得出：a0 mod p=1 mod p=1,a1 mod p=a。以上假定模数以上假定模数p是

20、素数，对于非素数也有类似的结是素数，对于非素数也有类似的结论。论。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示数学家已经证明，一个有限域数学家已经证明，一个有限域数学家已经证明，一个有限域数学家已经证明，一个有限域GF(k)GF(k)GF(k)GF(k)，其，其，其，其k k k k必为必为必为必为p p p p或者或者或者或者p p

21、p pm m m m(p(p(p(p为素数为素数为素数为素数)，其它的，其它的，其它的，其它的k k k k将不能构成有限域。将不能构成有限域。将不能构成有限域。将不能构成有限域。p p p pm m m m(p(p(p(p为素数为素数为素数为素数)的完全剩余集的每一个元素，可以使的完全剩余集的每一个元素，可以使的完全剩余集的每一个元素，可以使的完全剩余集的每一个元素，可以使用用用用m m m m位的位的位的位的p p p p进制数来表示，并进而可以使用多项式进制数来表示，并进而可以使用多项式进制数来表示，并进而可以使用多项式进制数来表示，并进而可以使用多项式来表示。来表示。来表示。来表示。从

22、使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示令令令令a a a aGF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)，则，则，则，则a a a a可表示成如下阶数为可表示成如下阶数为可表示成如下阶数为可表示成如下阶数为m-1m-1m-1m-1的多项式的多项式的多项式的多项式其中的系数其中的系数其中的系数其中的系数a a a ai i i i

23、为模为模为模为模p p p p的整数，该表达式实质上是把一的整数，该表达式实质上是把一的整数，该表达式实质上是把一的整数，该表达式实质上是把一个整数用个整数用个整数用个整数用m m m m位的位的位的位的p p p p进制数来表示，系数进制数来表示，系数进制数来表示，系数进制数来表示，系数a a a ai i i i就是每一位的就是每一位的就是每一位的就是每一位的具体数字。具体数字。具体数字。具体数字。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念有限域有限域有限域有限域GF(p

24、GF(pGF(pGF(pm m m m)上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示有限域中的每一个元素有限域中的每一个元素有限域中的每一个元素有限域中的每一个元素a a a a，都是模，都是模，都是模，都是模f(x)f(x)f(x)f(x)的一个余数，的一个余数，的一个余数，的一个余数，f(x)f(x)f(x)f(x)为一阶数为为一阶数为为一阶数为为一阶数为m m m m在模在模在模在模p p p p中的不可分解的多项式。所中的不可分解的多项式。所中的不可分解的多项式。所中的不可分解的多项式。所谓谓谓谓“模模模模p p p p的不可分解的多项式的不可分解的多项式的

25、不可分解的多项式的不可分解的多项式”，意味着，意味着，意味着，意味着f(x)f(x)f(x)f(x)不可分不可分不可分不可分解为阶数小于解为阶数小于解为阶数小于解为阶数小于m m m m的多项式的乘积。例如的多项式的乘积。例如的多项式的乘积。例如的多项式的乘积。例如f(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=x3 3 3 3+x+1+x+1+x+1+x+1在在在在GFGFGFGF(2(2(2(2n n n n)中为不可分解多项式。中为不可分解多项式。中为不可分解多项式。中为不可分解多项式。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工

26、程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域的概念有限域的概念有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示上元素的多项式表示举例：在举例：在举例：在举例：在GF(3GF(3GF(3GF(33 3 3 3)，即，即，即，即GF(27)GF(27)GF(27)GF(27)中，中，中，中，表示表示表示表示3 3 3 3位位位位3 3 3 3进制数进制数进制数进制数212212212212，它转换成十进制数为，它转换成十进制数为，它转换成十进制数为，它转换成十进制数为232323232 2 2 2+13+13+13+131

27、1 1 1+2+2+2+223232323从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本讲授课提纲本讲授课提纲（1 1 1 1）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法）有限域及其元素的多项式表示法（2 2 2 2）有限域）有限域）有限域）有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的代数运算上的代数运算上的代数运算上的代数运算从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很

28、少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算多项式的加减乘除运算多项式的加减乘除运算多项式的加减乘除运算多项式的加减乘除运算从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算令令令令a,ba,ba,ba,bGF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)，有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的加法和减法上的加法和减法上的加法和减法上的加法和减法那么那么那么那么其中其中其中其中从

29、使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算举例：在举例：在举例：在举例：在GF(3GF(3GF(3GF(33 3 3 3)中，若中，若中，若中，若a=2xa=2xa=2xa=2x2 2 2 2+x+2+x+2+x+2+x+2，b=2xb=2xb=2xb=2x2 2 2 2+2x+2+2x+2+2x+2+2x+2有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的加法和减法上的加法和减法上的加法和减法上的加法和减法那么，那

30、么，那么，那么，c=a+b=xc=a+b=xc=a+b=xc=a+b=x2 2 2 2+1+1+1+1从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算在有限域内，把减法看作加法对待在有限域内，把减法看作加法对待在有限域内，把减法看作加法对待在有限域内，把减法看作加法对待举例：在举例：在举例：在举例：在GF(3GF(3GF(3GF(33 3 3 3)中，若中，若中，若中，若a=2xa=2xa=2xa=2x2 2 2 2+x+2+x+2+x+2+x+2

31、，b=2xb=2xb=2xb=2x2 2 2 2+2x+2+2x+2+2x+2+2x+2那么那么那么那么c=a-b=xc=a-b=xc=a-b=xc=a-b=x有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的加法和减法上的加法和减法上的加法和减法上的加法和减法从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的乘法和除法上的乘法和除法上的乘法和除法上

32、的乘法和除法若若若若a,ba,ba,ba,bGF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)，a a a a与与与与b b b b的乘积与一般的多项式乘积的乘积与一般的多项式乘积的乘积与一般的多项式乘积的乘积与一般的多项式乘积相同。其差别为，若其积的阶数等于或比相同。其差别为，若其积的阶数等于或比相同。其差别为，若其积的阶数等于或比相同。其差别为，若其积的阶数等于或比m m m m大时，大时，大时，大时，必须以不可分解多项式必须以不可分解多项式必须以不可分解多项式必须以不可分解多项式f(x)f(x)f(x)f(x)除之。除之。除之。除之。举例：在举例：在举例：在举例：在GF(3GF(3GF(3

33、GF(33 3 3 3)中，若中，若中，若中，若a=2xa=2xa=2xa=2x2 2 2 2+x+2+x+2+x+2+x+2，b=2xb=2xb=2xb=2x2 2 2 2+2x+2+2x+2+2x+2+2x+2求求求求d=abd=abd=abd=ab从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的乘法和除法上的乘法和除法上的乘法和除法上的乘法和除法举例：在举例：在举例：

34、在举例：在GF(3GF(3GF(3GF(33 3 3 3)中，若中，若中，若中，若a=2xa=2xa=2xa=2x2 2 2 2+x+2+x+2+x+2+x+2，b=2xb=2xb=2xb=2x2 2 2 2+2x+2+2x+2+2x+2+2x+2求求求求d=abd=abd=abd=ab(1)(1)(1)(1)先求先求先求先求ab:2 1 2ab:2 1 2ab:2 1 2ab:2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 +1 2 1+1 2 1+1 2 1+1 2 1 1 0 1

35、0 1=x 1 0 1 0 1=x 1 0 1 0 1=x 1 0 1 0 1=x4 4 4 4+x+x+x+x2 2 2 2+1+1+1+1从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算有限域有限域有限域有限域GF(pGF(pGF(pGF(pm m m m)上的乘法和除法上的乘法和除法上的乘法和除法上的乘法和除法举例：在举例：在举例：在举例：在GF(3GF(3GF(3GF(33 3 3 3)中，若中，若中，若中，若a=2xa=2xa=2xa=2

36、x2 2 2 2+x+2+x+2+x+2+x+2，b=2xb=2xb=2xb=2x2 2 2 2+2x+2+2x+2+2x+2+2x+2求求求求d=abd=abd=abd=ab(2)(2)(2)(2)再除以再除以再除以再除以f(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=x3 3 3 3+2x+1+2x+1+2x+1+2x+1x x x x4 4 4 4+x+x+x+x2 2 2 2+110101+110101+110101+110101x x x x3 3 3 3+2x+11021+2x+11021+2x+11021+2x+11021二者相除，得到的余数是二者相除，得到的余数是二者相除，得到的

37、余数是二者相除，得到的余数是221221221221即最终结果为即最终结果为即最终结果为即最终结果为2x2x2x2x2 2 2 2+2x+1+2x+1+2x+1+2x+1从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算有限域有限域有限域有限域GF(2GF(2GF(2GF(2m m m m)上的代数运算上的代数运算上的代数运算上的代数运算 有限域有限域有限域有限域GF(2GF(2GF(2GF(2m m m m)上的代数运算，是密码学里最为上的代数运算

38、，是密码学里最为上的代数运算，是密码学里最为上的代数运算，是密码学里最为关心的，因为现代密码学系统中绝大部分数据都是关心的，因为现代密码学系统中绝大部分数据都是关心的，因为现代密码学系统中绝大部分数据都是关心的，因为现代密码学系统中绝大部分数据都是01010101这样的比特。这样的比特。这样的比特。这样的比特。加、减运算是异或，加无进位，减无借位，乘加、减运算是异或，加无进位，减无借位，乘加、减运算是异或，加无进位，减无借位，乘加、减运算是异或，加无进位，减无借位，乘法运算是法运算是法运算是法运算是“与与与与”，除法运算只要位数够长即可进行。，除法运算只要位数够长即可进行。，除法运算只要位数够

39、长即可进行。，除法运算只要位数够长即可进行。从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算有限域有限域有限域有限域GF(2GF(2GF(2GF(2m m m m)上的代数运算举例上的代数运算举例上的代数运算举例上的代数运算举例从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。有限域有限域GF(pGF(pmm)上的代数运算上的代数运算有限域有限域有限域有限域GF

40、(2GF(2GF(2GF(23 3 3 3)上的代数运算举例上的代数运算举例上的代数运算举例上的代数运算举例从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本章授课提纲本章授课提纲（1 1 1 1）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法（2 2 2 2）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里）模运算、同余、乘法逆元素

41、、扩展的欧几里德算法德算法德算法德算法（3 3 3 3）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理（4 4 4 4）模的幂、模）模的幂、模）模的幂、模）模的幂、模n n n n逆矩阵、模逆矩阵、模逆矩阵、模逆矩阵、模n n n n平方根平方根平方根平方根（5 5 5 5）有限域理论）有限域理论）有限域理论）有限域理论（6 6 6 6）素数判定和因数分解）素数判定和因数分解）素数判定和因数分解）素数判定和因数分解从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在

42、近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本讲授课提纲本讲授课提纲（1 1 1 1）素数判定概述）素数判定概述）素数判定概述）素数判定概述（2 2 2 2）米勒拉宾素数判定）米勒拉宾素数判定）米勒拉宾素数判定）米勒拉宾素数判定（3 3 3 3）因数分解概述）因数分解概述）因数分解概述）因数分解概述从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。本讲授课提纲本讲授课提纲（1 1 1 1）素数判定概述）素数判定概述）素数判定概述）素数判定概述（2 2 2 2）米勒拉宾素数判定）米勒拉宾素数判定）米勒

43、拉宾素数判定）米勒拉宾素数判定（3 3 3 3）因数分解概述）因数分解概述）因数分解概述）因数分解概述从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。素数判定概述素数判定概述素数在公钥密码体制中的重要性素数在公钥密码体制中的重要性 公开密钥密码体制中需要大的素数，如基于因数公开密钥密码体制中需要大的素数，如基于因数公开密钥密码体制中需要大的素数，如基于因数公开密钥密码体制中需要大的素数，如基于因数分解困难性的分解困难性的分解困难性的分解困难性的RSARSARSARSA体制的密钥就是两个非常大的素体制的密钥

44、就是两个非常大的素体制的密钥就是两个非常大的素体制的密钥就是两个非常大的素数的乘积，如果素数选择过小，则分解它们是容易数的乘积，如果素数选择过小，则分解它们是容易数的乘积，如果素数选择过小，则分解它们是容易数的乘积，如果素数选择过小，则分解它们是容易的，因而整个的，因而整个的，因而整个的，因而整个RSARSARSARSA密码体制系统就不安全。密码体制系统就不安全。密码体制系统就不安全。密码体制系统就不安全。ElGamalElGamalElGamalElGamal是基于离散对数求解困难的公钥密码体制，同样需是基于离散对数求解困难的公钥密码体制，同样需是基于离散对数求解困难的公钥密码体制，同样需是

45、基于离散对数求解困难的公钥密码体制，同样需要产生非常大的素数，以保证密码体制的安全。要产生非常大的素数，以保证密码体制的安全。要产生非常大的素数，以保证密码体制的安全。要产生非常大的素数，以保证密码体制的安全。这种非常大的素数通常也叫这种非常大的素数通常也叫这种非常大的素数通常也叫这种非常大的素数通常也叫强素数强素数强素数强素数从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。素数判定概述素数判定概述 在长度为在长度为在长度为在长度为512512512512位或略短一些的数中，有超过位或略短一些的数中，有超

46、过位或略短一些的数中，有超过位或略短一些的数中，有超过10101010151151151151个个个个素数。宇宙中仅有素数。宇宙中仅有素数。宇宙中仅有素数。宇宙中仅有1010101077777777个原子，如果宇宙中从诞生到个原子，如果宇宙中从诞生到个原子，如果宇宙中从诞生到个原子，如果宇宙中从诞生到现在为止，每一微秒都需要现在为止，每一微秒都需要现在为止，每一微秒都需要现在为止，每一微秒都需要10101010亿个新的素数，那么总亿个新的素数，那么总亿个新的素数，那么总亿个新的素数，那么总共需要共需要共需要共需要10101010109109109109个素数，现在仍然剩下约个素数，现在仍然剩下

47、约个素数，现在仍然剩下约个素数，现在仍然剩下约10101010151151151151个个个个512512512512位的位的位的位的素数。素数。素数。素数。素数有多少个呢？素数有多少个呢？从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。素数判定概述素数判定概述素数定理给出一种估计素数个数的方法：素数定理给出一种估计素数个数的方法：素数定理给出一种估计素数个数的方法：素数定理给出一种估计素数个数的方法：设设设设(x)(x)(x)(x)是小于是小于是小于是小于x x x x的素数的个数，则的素数的个数，则的

48、素数的个数，则的素数的个数，则(x)x/lnx(x)x/lnx(x)x/lnx(x)x/lnx应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：64646464位二进制表示的素数的个数为位二进制表示的素数的个数为位二进制表示的素数的个数为位二进制表示的素数的个数为2 2 2 264646464/ln2/ln2/ln2/ln264646464-2-2-2-263636363/ln2/ln2/ln2/ln2636363632.05102.05102.05102.051017171717个个个个素数定理素数定理从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地

49、下工程施工中已很少使用，在此不再说明。素数判定概述素数判定概述（1 1 1 1）素数分布极不规则）素数分布极不规则）素数分布极不规则）素数分布极不规则（2 2 2 2）素数越大，其分布越稀疏。因为整数越）素数越大，其分布越稀疏。因为整数越）素数越大，其分布越稀疏。因为整数越）素数越大，其分布越稀疏。因为整数越大，比它小的素数也越多，从而被比它小的素大，比它小的素数也越多，从而被比它小的素大，比它小的素数也越多，从而被比它小的素大，比它小的素数也越多，从而被比它小的素数整除的概率也越大。数整除的概率也越大。数整除的概率也越大。数整除的概率也越大。平均而言，在平均而言，在平均而言，在平均而言，在6

50、4646464，128128128128，256256256256位中任选约位中任选约位中任选约位中任选约23232323，46464646，92929292次奇数，即可获得一素数。次奇数，即可获得一素数。次奇数，即可获得一素数。次奇数，即可获得一素数。素数的分布特点素数的分布特点从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。素数判定概述素数判定概述欧拉定理是素数判定的必要非充分条件欧拉定理是素数判定的必要非充分条件欧拉定理：欧拉定理：欧拉定理：欧拉定理：对于任何互素的两个整数对于任何互素的两个整数对于