第三章-解线性方程组的直接法ppt课件.ppt

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1、第三章第三章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第三章第三章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法n n引言引言n nGauss消元法消元法n n列主元素消元法列主元素消元法n n矩阵三角分解法矩阵三角分解法n n向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数n n误差分析误差分析病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3.1 引言引言n小行星轨道问题：小行星轨道问题：天文学家要确定一小行星的轨道，在轨道平面建天文学家要

2、确定一小行星的轨道，在轨道平面建立以太阳为原点的直角坐标系。在坐标轴上取天文测立以太阳为原点的直角坐标系。在坐标轴上取天文测量单位量单位(一天文单位为地球到太阳的平均距离：一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万万英里，约英里，约1.5亿千米亿千米)，对小行星作，对小行星作5次观察，测得轨道次观察，测得轨道上上5个点的坐标数据如下：个点的坐标数据如下：x5.76406.28606.75907.16807.4800y0.64801.20201.82302.52603.3600椭圆的一般方程椭圆的一般方程:a1x2+a2xy+a3y2+a4x+a5y+1=0将数据逐个代入，可得五个方程的方程组

3、，求解该线性将数据逐个代入，可得五个方程的方程组，求解该线性方程组即可得行星轨道方程。方程组即可得行星轨道方程。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对一般线性方程组对一般线性方程组对一般线性方程组对一般线性方程组:A x=b,A x=b,其中其中其中其中由以前所学内容知，当且仅当矩阵由以前所学内容知，当且仅当矩阵A行列式不为行列式不为0时，即时，即A非奇异时，方程组存在唯一解，可根据非奇异时，方程组存在唯一解，可根据Cramer法则求解。法则求解。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位

4、生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其算法设计如下：其算法设计如下：（1）输入系数矩阵输入系数矩阵A和右端向量和右端向量b；（2）计算系数矩阵）计算系数矩阵A的行列式值的行列式值D，如果，如果D=0，则输出，则输出错误信息，结束，否则进行第错误信息，结束，否则进行第(3)步；步；（3）对对k=1,2,n，用用b替换替换A的第的第k列数据，并计算替列数据，并计算替换后矩阵的行列式值换后矩阵的行列式值Dk；（4）计算并输出计算并输出x1=D1/D，x2=D2/D，xn=Dn/D，结束。结束。n但但Cramer法则只适用于低阶方程组，高阶方程组工作法则只适用于低阶方程组，高阶方程组工作量太大，故一般

5、用数值方法求解。数值方法分两类：量太大，故一般用数值方法求解。数值方法分两类：u1.直接法直接法u2.迭代法迭代法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3.2Gauss消元法消元法uu第二步第二步第二步第二步:回代过程回代过程回代过程回代过程，解上三角形方程组，得原解上三角形方程组，得原解上三角形方程组，得原解上三角形方程组，得原方程组的解。方程组的解。方程组的解。方程组的解。基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：逐步消去未知元，将方程组化为与其等价的逐步消去未知元，将方程组化为与其等价的逐步消去未知元，将方程组化为与其

6、等价的逐步消去未知元，将方程组化为与其等价的上三角方程组求解。上三角方程组求解。上三角方程组求解。上三角方程组求解。分两步：分两步：分两步：分两步：u第一步第一步:消元过程消元过程，将方程组消元化为等价的，将方程组消元化为等价的上三角形方程组上三角形方程组;病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Gauss消元的目的：消元的目的：原始方程组原始方程组约化方程组约化方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程消元过程消元过程(化一般方程组为上三角方程组化一

7、般方程组为上三角方程组)以四阶为例：以四阶为例：以四阶为例：以四阶为例：其系数增广矩阵为：其系数增广矩阵为：其系数增广矩阵为：其系数增广矩阵为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一轮消元：第一轮消元：u计算计算3个数个数:m21m31m41T=a21a31a41T/a11u用用-m21乘矩阵第一行后加到矩阵第二行乘矩阵第一行后加到矩阵第二行;u用用-m31乘矩阵第一行后加到矩阵第三行乘矩阵第一行后加到矩阵第三行;u用用-m41乘矩阵第一行后加到矩阵第四行乘矩阵第一行后加到矩阵第四行;其系数增广矩阵变为：其系数增广矩阵

8、变为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二轮消元：第二轮消元：第二轮消元：第二轮消元：计算计算2个数：个数：m32m42T=a32(1)a42(1)T/a22(1)u用用-m32乘矩阵第二行后加到矩阵第三行乘矩阵第二行后加到矩阵第三行;u用用-m42乘矩阵第二行后加到矩阵第四行乘矩阵第二行后加到矩阵第四行;其系数增广矩阵变为：其系数增广矩阵变为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第三轮消元：第三轮消元：u计算计算:m43=a43(2)/a33

9、(2)u用用-m43乘矩阵第三行后加到矩阵第四行乘矩阵第三行后加到矩阵第四行;其系数增广矩阵变为：其系数增广矩阵变为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其对应的上三角方程组为其对应的上三角方程组为其对应的上三角方程组为其对应的上三角方程组为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n若对于一般的线性方程组若对于一般的线性方程组若对于一般的线性方程组若对于一般的线性方程组Ax=bAx=b，其消元过程的计，其消元过程的计，其消元过程的计，其消元过程的计

10、算公式为算公式为算公式为算公式为：（k k=1,2,=1,2,n n-1-1）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程回代过程回代过程(解上三角方程组解上三角方程组)n n上三角方程组的一般形式为：上三角方程组的一般形式为：上三角方程组的一般形式为：上三角方程组的一般形式为：其中其中其中其中a11ann 0病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n回代过程的计算公式回代过程的计算公式：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部

11、位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程工作量计算：工作量计算：uu消去过程：消去过程：消去过程：消去过程：t t“”“”：第：第：第：第k k步，步，步，步，n n-k k次，共次，共次，共次，共(n n-1)+(-1)+(n n-2)+1=-2)+1=n n(n n-1)/2-1)/2t t“”“”：第：第：第：第k k步，步，步，步，(n n-k k)()(n n-k k+1)+1)次，共次，共次，共次，共(n n-1)-1)n n+(+(n n-2)(-2)(n n-1)+12=-1)+12=(n3-n)/3t总工作量：总工作量：S1=n(n-1)/2+(n3-n)/3uu回代过程：回代

12、过程：回代过程：回代过程：t t“”“”：nt t“”“”：1+2+(1+2+(n n-1)=-1)=n n(n n-1)/2-1)/2t总工作量：总工作量：S2=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2（k k=1,2,=1,2,n n-1-1）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程故故故故GaussGauss消元法的总工作量为：消元法的总工作量为：消元法的总工作量为：消元法的总工作量为：S=S1+S2=n(n-1)/2+(n3-n)/3+n(n+1)/2=n2+(n3-n)/3若用克莱姆法则求解，则工作量为：若用克莱姆法

13、则求解，则工作量为：“”：（n+1个个n阶行列式的值）阶行列式的值）(n+1)(n-1)n!“”：n故总工作量为：故总工作量为：(n+1)(n-1)n!+n如当如当n=6时时,Gauss消元法工作量为消元法工作量为106；而克莱姆法；而克莱姆法则求解工作量为则求解工作量为25206。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.Newton迭代法迭代法及其及其收敛性收敛性前一次课内容回顾前一次课内容回顾2.Newton迭代法的变形（简化迭代法的变形（简化Newton迭代迭代法、弦截法、法、弦截法、Newton下山法）下山法）3

14、.Gauss消元法求解线性方程组消元法求解线性方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定理：定理：约化的主元素约化的主元素ak+1,k+1(k)0(k=0,1,n-1)的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵A的各阶顺序主子式不的各阶顺序主子式不为零。即为零。即注：注：对角线上的元素对角线上的元素ak+1,k+1(k)在在Gauss消元法中作消元法中作用突出，称约化的主元素。用突出，称约化的主元素。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推论推论:如

15、果如果A的顺序主子式的顺序主子式Dk 0(k=1,n-1)，则则Gauss消元法中的约化主元可以表示为消元法中的约化主元可以表示为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程x1=-13,x2=8,x3=2m21=3/2m31=4/2m32=-3/0.5例例用高斯消元法求解方程组用高斯消元法求解方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程矩阵的三角分解矩阵的三角分解:对线性方程组对线性方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A施行初等行变换施行初等行变换相当于用初

16、等矩阵左乘相当于用初等矩阵左乘A，故第一次消元后方程，故第一次消元后方程组化为组化为A(1)x=b(1)，即，即L1Ax=A(1)x，L1b=b(1)，其中，其中同理同理LkA(k-1)=A(k)Lkb(k-1)=b(k)其中其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n将将A分解为单位下三角矩阵分解为单位下三角矩阵L 和上三角矩阵和上三角矩阵U的乘积的算法称为矩阵的乘积的算法称为矩阵A的的三角分解算法三角分解算法。重复该过程，最后得重复该过程，最后得记记U=A(n-1)，则，则其中其中病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏

17、机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n定理：定理：定理：定理：设设设设A A为为为为n n阶矩阵，若阶矩阵，若阶矩阵，若阶矩阵，若A A的顺序主子式的顺序主子式的顺序主子式的顺序主子式D Di i 00（i i=1,2,=1,2,n n-1-1），则），则），则），则A A可分解为一个单位下三角矩可分解为一个单位下三角矩可分解为一个单位下三角矩可分解为一个单位下三角矩阵阵阵阵L L和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵U U的乘积，且这种分解是唯一的乘积，且这种分解是唯一的乘积，且这种分解是唯一的乘积，且这种分解是唯一的。的。的

18、。的。由由Gauss消元过程可推得消元过程可推得U即为即为Gauss消元后所得的上三角方程的系数矩阵。消元后所得的上三角方程的系数矩阵。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例对矩阵对矩阵对矩阵对矩阵作作作作LULU分解。分解。分解。分解。解解由由由由GaussGauss消元法可得，消元法可得，消元法可得，消元法可得，m21=0，m31=2，m32=-1故故A=LU病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程如果已经有如果已经有A=L U则则AX=b =L

19、 U X=b，（1）求解方程组）求解方程组LY=b 得向量得向量Y 的值；的值；（L 是下三角矩阵，用顺代算法）是下三角矩阵，用顺代算法）（2）求解方程组）求解方程组UX=Y 得向量得向量X 的值。的值。（U是上三角矩阵，用回代算法）是上三角矩阵，用回代算法）记记UX=Y，LY=b，则求解方程组分两步，则求解方程组分两步进行：进行：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：GaussGauss消元法中，若主元消元法中，若主元消元法中，若主元消元法中，若主元 a akkkk(k k)

20、太小太小太小太小会使误差增大，故应避免采用绝对值小的元素会使误差增大，故应避免采用绝对值小的元素会使误差增大，故应避免采用绝对值小的元素会使误差增大，故应避免采用绝对值小的元素作主元。最好每一步选取系数矩阵中（或消元作主元。最好每一步选取系数矩阵中（或消元作主元。最好每一步选取系数矩阵中（或消元作主元。最好每一步选取系数矩阵中（或消元后的低阶矩阵中）绝对值最大的元素作主元，后的低阶矩阵中）绝对值最大的元素作主元，后的低阶矩阵中）绝对值最大的元素作主元，后的低阶矩阵中）绝对值最大的元素作主元，以具较好的数值稳定性。以具较好的数值稳定性。以具较好的数值稳定性。以具较好的数值稳定性。3.3Gauss

21、列主元素消元法列主元素消元法n n例：例：求解方程组求解方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n（用四位浮点数计算，精确解舍入到（用四位浮点数计算，精确解舍入到4位有效数位有效数字为：字为：x1*=-0.4904,x2*=-0.05104,x3*=0.3675）解：解：方法一方法一Gauss消元法消元法（A/b）=病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n其中，其中，其中，其中，m21=-1.000/0.001=-1000m31=-2.00

22、0/0.001=-2000m32=4001/2004=1.997n n解为解为解为解为x1=-0.4000，x2=-0.09980，x3=0.4000n n(x1*=-0.4904，x2*=-0.05104，x3*=0.3675)n n显然，此解并不准确。显然，此解并不准确。显然，此解并不准确。显然，此解并不准确。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n方法二方法二交换行，避免绝对值小的主元作除交换行，避免绝对值小的主元作除数。数。（A/b）=病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生

23、长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n其中，其中，m21=0.5000m31=-0.0005m32=0.6300n解为解为x1=-0.4900，x2=-0.05113，x3=0.3678n n(x1*=-0.4904，x2*=-0.05104，x3*=0.3675)与方法一相比，此解显然要精确得多。与方法一相比，此解显然要精确得多。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设设设设AxAxb b的增广矩阵为的增广矩阵为的增广矩阵为的增广矩阵为在在A的第一列中选绝对值最大的元素作主元，设该元素的第一列中选绝对值最大的元素作主元

24、，设该元素所在行为第所在行为第i1行，交换第一行与第行，交换第一行与第i1行，进行第一次消行，进行第一次消元；再在第元；再在第2n行的第二列中选绝对值最大的元素作主行的第二列中选绝对值最大的元素作主元，设该元素所在行为第元，设该元素所在行为第i2行，交换第二行与第行，交换第二行与第i2行，行，进行第二次消元，进行第二次消元，直到消元过程完成为止。直到消元过程完成为止。GaussGauss列主元素消元法的基本思想：列主元素消元法的基本思想：列主元素消元法的基本思想：列主元素消元法的基本思想：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理

25、过程n n例：例：用列主元法解用列主元法解n n解解：第一列中绝对值最大是：第一列中绝对值最大是10，取，取10为主元为主元病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n第二列的后两个数中选出主元第二列的后两个数中选出主元2.5x3=6.2/6.2=1x2=(2.5-5x3)/2.5=-1x1=(7+7x2-0 x3)/10=0 x1=0 x2=-1x3=1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程列主元矩阵的三角分解：列主元矩阵的三角分解：解：解：交换行变

26、换交换行变换例：例：对矩阵对矩阵A做列做列主元三角分解：主元三角分解：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程则列主元的则列主元的Gauss变换可记为变换可记为 A(2)=F2P2F1P1A记记U=A(2)=F2(P2F1P2)P2P1A（因（因P2P2=I）P=P2P1则有则有病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n对于一般的对于一般的n阶矩阵的列主元三角分解，通常阶矩阵的列主元三角分解，通常令令定理：定理：（列主元素的三角分解定理）若（列主元素的

27、三角分解定理）若A非奇非奇异，则存在排列阵异，则存在排列阵P使使PALU，其中，其中L为下三为下三角阵，角阵，U为上三角阵。为上三角阵。矩阵分解关系为矩阵分解关系为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程全主元素消元法：全主元素消元法：定义：定义：则称则称为全主元素。为全主元素。经过行列互换，使得经过行列互换，使得位于经交换行和列位于经交换行和列后的等价方程组中的后的等价方程组中的位置，然后再实施消位置，然后再实施消元。元。全主元素消元法的基本思想：全主元素消元法的基本思想：若若注：全主元素消元法有可能改变未知数的顺序。注：

28、全主元素消元法有可能改变未知数的顺序。注：全主元素消元法有可能改变未知数的顺序。注：全主元素消元法有可能改变未知数的顺序。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n直接三角分解法：若将直接三角分解法：若将直接三角分解法：若将直接三角分解法：若将A A分解为分解为分解为分解为LULU的积，则求的积，则求的积，则求的积，则求AxAxb b等价于求解两个三角形方程组：等价于求解两个三角形方程组：等价于求解两个三角形方程组：等价于求解两个三角形方程组：（1 1）LyLyb b，求，求，求，求y y；（2 2）UxUxy y，求，

29、求，求，求x x。3.4矩阵三角分解法矩阵三角分解法（一）（一）Doolittle分解法分解法（二（二）Crout分解法分解法（三）（三）对称正定矩阵的对称正定矩阵的Cholesky分解法分解法（四）（四）三对角方程组的数值解法三对角方程组的数值解法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程设设A非奇异，且非奇异，且ALU，L为单位下三角阵，为单位下三角阵，U为上为上三角阵，即三角阵，即可得直接三角分解法解可得直接三角分解法解可得直接三角分解法解可得直接三角分解法解AxAxb b的计算公式：的计算公式：的计算公式：的计算公式：

30、一、一、Doolittle分解法：分解法：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程u11=a11,u1n=a1nm21u11=a21,mn1u11=an1对对A的元素的元素aij，当，当 jk 和和ik时时m21u12+u22=a22,m21u1n+u2n=a2nm21=a21/u11,mn1=an1/u11u22=a22-m21u12,u2n=a2n-m21u1nm31u12+m32u22=a32,mn1u12+mn2u22=an2m32=(a32-m31u12)/u22,mn2=(an2-mn1u12)/u22病原体侵入

31、机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程矩阵矩阵L和矩阵和矩阵U的元素计算公式：的元素计算公式：计算秩序如图所示：计算秩序如图所示：用用用用DoolittleDoolittle分解法求解线性方程组分解法求解线性方程组分解法求解线性方程组分解法求解线性方程组AxAxb b的具体计的具体计的具体计的具体计算公式如下：算公式如下：算公式如下：算公式如下：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁

32、殖，引起不同程度的病理生理过程例：例：用用Doolittle法解方程组法解方程组解解:由由Doolittle分解分解病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程解解Lyb，得，得解解Uxy，得，得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n直接三角分解的直接三角分解的Doolittle方法可用以下过程方法可用以下过程表示：表示：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程此方法称此方法称此方法

33、称此方法称紧凑格式的紧凑格式的紧凑格式的紧凑格式的DoolittleDoolittle法法法法。从上式最后一个矩阵中可知从上式最后一个矩阵中可知L，U，y，然后解线性方程组然后解线性方程组Uxy。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n例：例：用紧凑格式的用紧凑格式的Doolittle分解法解上例方程组分解法解上例方程组解：解：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，

34、引起不同程度的病理生理过程所以所以病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程计算公式：计算公式：二、二、Crout分解法：分解法：将矩阵将矩阵A分解为如下形式：分解为如下形式：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例例：求矩阵求矩阵A的的Crout分解：分解：所以所以病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.Gauss消元法中约化主元的作用与矩阵的消元法中约化主元的作用与矩阵的三角分解

35、三角分解前一次课内容回顾前一次课内容回顾2.Gauss列主元素消元法列主元素消元法3.矩阵的直接三角分解（矩阵的直接三角分解（Doolittle分解法、分解法、Crout分解法）分解法）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n若若若若n n阶实矩阵阶实矩阵阶实矩阵阶实矩阵A A为对称正定矩阵，则：为对称正定矩阵，则：为对称正定矩阵，则：为对称正定矩阵，则：uu（1 1）A AT TA A；uu（2 2）对任意的）对任意的）对任意的）对任意的X X00，有，有，有，有X XT TAXAX00；uu（3 3）A A的各阶顺

36、序主子式大于零。的各阶顺序主子式大于零。的各阶顺序主子式大于零。的各阶顺序主子式大于零。三、对称正定矩阵的三、对称正定矩阵的Cholesky分解法（平方根法）分解法（平方根法）故故A可进行可进行LU分解：分解：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程记记病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程则则A=LDU1即即ALDLT称称A的的LDLT分解分解若记若记则则称称A的的LLT分解分解=AT=U1TDLT=U1=LT病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体

37、内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程LLT分解的计算公式：分解的计算公式：对对A的第的第i行元素行元素,有有(j=1,2,i)(j=1,2,i-1)对于对于i=2,3,n病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程LDLT分解的计算公式：分解的计算公式：d1=a11,l21=a21/d1,ln1=an1/d1(i=2,3,n；j=1,2,i-1)无需开方，故称无需开方，故称无需开方，故称无需开方，故称改进的平方根法改进的平方根法改进的平方根法改进的平方根法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体

38、内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n应用应用Cholesky分解可将方程组分解可将方程组Axb分解分解为两个三角形方程组：为两个三角形方程组：而应用改进的而应用改进的Cholesky分解可将方程组分解可将方程组Axb分解为下面的方程组：分解为下面的方程组：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例：例：用改进的平方根法解方程组用改进的平方根法解方程组Axb，其中，其中解：解：由由d1=a11,l21=a21/d1,ln1=an1/d1d1=1，l21=2，l31=1，l41=-3得得又由

39、又由得得d2=1，l32=-2，l42=1，d3=9，l43=2/3，d4=1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程因此，得到因此，得到解方程组解方程组Lyb，得，得解方程组解方程组解方程组解方程组L LT Tx xD D-1-1y y，得，得，得，得最终求得方程组最终求得方程组Axb的解为的解为x=(1,1,1,1)T病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程四、四、三对角方程组的数值解法三对角方程组的数值解法 且且ai ci 0，(i=2，3，n-1)

40、其中其中三对角方程组形式如下：三对角方程组形式如下：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：Step1Step1：系数矩阵的三角分解：系数矩阵的三角分解：系数矩阵的三角分解：系数矩阵的三角分解：A ALULU方法一：方法一：直接直接三角分解法三角分解法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Step3Step3：求解：求解：求解：求解上三角方程组上三角方程组上三角方程组上三角方程组UxUxy y。计算公式：计算公式：

41、计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：Step2Step2：求解：求解：求解：求解下三角方程组下三角方程组下三角方程组下三角方程组LyLyf f病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例：例：求解三对角方程组求解三对角方程组解：解：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 y=3,8/5,4/3,2Tx=5,4,3,2T病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程基本思

42、想：基本思想：每一轮消元只对增广矩阵中某两行每一轮消元只对增广矩阵中某两行进行进行将主对角元化为将主对角元化为1，主对角元下方元，主对角元下方元素化为零。素化为零。即将其系数增广矩阵化为如下形式：即将其系数增广矩阵化为如下形式：方法二方法二：（：（追赶法）追赶法）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n解三对角方程组解三对角方程组Axb的追赶法分的追赶法分“追追”和和“赶赶”两个环节：两个环节：uu“追追”的过程的过程：（消元过程）：（消元过程）按顺序计算系数按顺序计算系数1-2-n-1和和y1-y2-yn;uu“赶赶

43、”的过程：（回代过程）的过程：（回代过程）按逆序求出按逆序求出xn-xn-1-x2-x1。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 1=c1/b1 y1=f1/b1其系数增广矩阵为：其系数增广矩阵为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n i i=c ci i/(/(b bi i a ai i i i 1 1),(,(i=i=2,3,2,3,n-n-1)1)n n y yi i=(=(f fi i a ai i y yi i 1 1)/)/(b b

44、i i a ai i i i 1 1),(,(i=i=2,3,2,3,n n)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例：例：用追赶法求上例三对角方程组用追赶法求上例三对角方程组解：解：其系数增广矩阵为其系数增广矩阵为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程追赶法求解追赶法求解主元单位化主元单位化消元消元主元单位化主元单位化病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程消元消元主元单位化主元单

45、位化消元消元病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程主元单位化主元单位化回代可得回代可得病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3.5向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数n n向量的范数向量的范数n n矩阵的范数矩阵的范数n n谱半径、谱范数与方阵的谱半径、谱范数与方阵的F范数范数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n定义定义设向量设向量X Rn,若若X的某个的某个非负实值函数非负实

46、值函数N(X)=|X|满足条件：满足条件：uu（1）非负性非负性：|X|0且且|X|=0的充要条件的充要条件是是X=0；uu（2）齐次性齐次性：|kX|=|k|X|（k R）；）；uu（3）三角不等式三角不等式：对：对 X,Y Rn,有有|X+Y|X|+|Y|；则称则称N(X)=|X|为为Rn上的上的向量向量X的范数的范数。3.5.1向量的范数向量的范数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定义定义设设X=(x1,x2,xn)T Rn,则定义：则定义：（1）向量的）向量的“2范数范数”：（2）向量的）向量的“范数范数”：（

47、3）向量的）向量的“1范数范数”：（4）向量的）向量的“p范数范数”：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n例：例：计算向量计算向量X=(1,0,-1,2)T的三种常用范数。的三种常用范数。解：解：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n定理定理（范数的等价性）对任何向量（范数的等价性）对任何向量x Rn,有有证明（证明（2）:所以所以（1）（2）（3）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不

48、同程度的病理生理过程向量序列的收敛性：向量序列的收敛性：n n定义：定义：在在Rn中的一个向量序列中的一个向量序列X(1)，X(2)，X(k)，称为收敛于一个向量称为收敛于一个向量X，当且仅当，当且仅当或或设设X(k)为为Rn中的一向量序列，中的一向量序列，X*Rn，记，记X(k)=(x1(k),x2(k),xn(k)T，X*=（x1*,x2*,xn*)T，若若i=1,2,n则称则称X(k)收敛于向量收敛于向量X*，记为，记为病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n定义定义设矩阵设矩阵A Rnn,若若A的某个的某个非负

49、实值函非负实值函数数N(A)=|A|满足条件：满足条件：uu（1）非负性非负性：|A|0且且|A|=0的充要条件的充要条件是是A=0；uu（2）齐次性齐次性：|kA|=|k|A|（k R）；）；uu（3）三角不等式三角不等式：对：对 A,B Rnn,有有|A+B|A|+|B|；uu（4）相容性相容性：|AB|A|B|；则称则称N(A)=|A|为为Rnn上的上的矩阵矩阵A的范数的范数。3.5.2矩阵的范数矩阵的范数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定义定义设向量设向量X Rn，矩阵，矩阵A Rnn，且给定一，且给定一种向

50、量范数种向量范数|X|p，则定义，则定义(p=1,2,)为矩阵为矩阵A的范数，并称为的范数，并称为A的的算子范数算子范数。定义定义对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对任一个向量任一个向量X Rn和任一个矩阵和任一个矩阵A Rnn都有不都有不等式等式|AX|A|X|成立，则称所给矩阵范数与成立，则称所给矩阵范数与向量范数是相容的。向量范数是相容的。向量范数与矩阵范数的关系：向量范数与矩阵范数的关系：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n n定理定理设矩阵设矩阵A Rnn,A=(aij)n