高三数学一轮复习基础夯实练64：圆锥曲线中定点与定值问题.docx

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1、基础夯实练64 圆锥曲线中定点与定值问题1已知抛物线C：x22py(p0)与圆O：x2y212相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上2已知双曲线C的渐近线方程为yx，且过点P(3，)(1)求C的方程；(2)设Q(1,0)，直线xt(tR)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M.3(2023吉林模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(，0)，B(，0)，动点E

2、(x，y)满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x3的垂线，垂足为G，过点O作OMQG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值4.(2022杭州质检)如图，已知椭圆C1：1，椭圆C2：1，A(2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C1，C2于G，H点，且BHPA.(1)证明：kBFkBG为定值；(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；(3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，

3、xQ，证明：xPxQ为定值5.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，2)，B两点(1)求E的方程；(2)设过点P(1，2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点6.已知椭圆C：1(ab0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点(1)求椭圆C的方程；(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?7.已知双曲线C：1(a0，b0)的虚轴长为4，直线2xy0为双曲线C的一条渐近线(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右

4、顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值8.已知点F(0,1)，直线l：y4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的.(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为k(k0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值参考答案1(1)解点A的横坐标为2，代入圆O得y2，所以A(2，2)，代入解得p2，所以抛物线的方程为x24y.(2)证明抛物线C：y，则y，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以切线PM的方程为yy1(xx1)，即yx，同理切线PN的

5、方程为yx，联立解得点P，设直线MN的方程为ykx1，代入x24y，得x24kx40，所以x1x24，所以点P在y1上，结论得证2解(1)因为双曲线C的渐近线方程为yx，则可设双曲线的方程为(0)，将点P(3，)代入得，解得，所以双曲线C的方程为y21.(2)显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ：xmy1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，y1)，联立消去x，整理得(m23)y22my20，依题意得m230，且4m28(m23)0，即m22且m23，y1y2，y1y2，直线AD的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx13.所以直线AD过定点M(3,0)3(1)解由A(，0)，B(，

6、0)，E(x，y)可得kAE，kBE，由题意得，化简得1(|x|)，所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)(2)证明由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：xmy2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(m23)y24my20.24m2240，则y1y2，y1y2，故有m.因为G(3，y1)，Q(my22，y2)，所以直线QG的斜率为2y1，则直线QG的方程为yy12y1(x3)，即y2y1，故直线QG过定点H.因为OMQG，所以OHM为直角三角形，取OH的中点N，则|MN|OH|，即|MN|为定值综上，存在定点N，使得|MN|为定值4(1)证明设P(x0，y0)，则1

7、，可得y9，则kPA，kPB，则kPAkPB，因为BGPA，所以kBFkBGkPAkPB.(2)解当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为yk(xt)(k0)，则联立消去y得(4k23)x28k2tx4k2t2120.则64k4t216(4k23)(k2t23)48(4k23k2t2)0，设G(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由kBFkBG，得，约去k2并化简得t23t20，解得t1(t2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1,0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为xm，其中m2，联立解得y，则F，G，所以kBFkBG，解得m1.综上，直线GF过定点(1,0)(

8、3)证明设PA的方程为yk1(x2)(k10)，则解得E点的坐标为.由(1)知P(x0，y0)，y9，由k1，则E点的坐标为.同理，记PB的斜率为k2，则F点的坐标为，由k2，则F点的坐标为，则EF的斜率kEF，所以直线EF的方程为y.令y0，得xQ，又xPx0，故xPxQx04.5. (1)解设椭圆E的方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，由椭圆E过A(0，2)，B两点，得解得椭圆E的方程为1.(2)证明当直线MN的斜率不存在时，lMN：x1，由得y2，y.结合题意可知M，N，过M且平行于x轴的直线的方程为y.易知点T的横坐标xT，直线AB的方程为y(2)(x0)，即yx2，由得xT3，

9、T.，H，lHN：y(x1)，即yx2.此时直线HN过定点(0，2)当直线MN的斜率存在时，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：ykxm(由直线MN过点P(1，2)可得km2)由得(3k24)x26kmx3m2120，0，x1x2，x1x2.过M且平行于x轴的直线的方程为yy1，与直线AB的方程联立，得得xT，T.，H(3y16x1，y1)，lHN：yy2(xx2)，即yxy2x2.令x0，得yy2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m，x1y2x2y1x1(kx2m)x2(kx1m)2kx1x2m(x1x2)，(x1y2x2y1)3y1y2，(x1x2)63(y1y2)6，y2，直线HN过定点(0，2)综上，直线HN过定点(0，2)6.解(1)由题意知解得bc，又a2b2c2，则a2，所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为xt(2t0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|x1x2|，x1x2，设线段MN的中点为T(x0，y0)，则x0，y0kx01，线段MN的垂直平分线的斜率为，方程为y，令x0，解得y，即为点H的纵坐标，|FH|1，即为定值.学科网（北京）股份有限公司