【高中数学】事件的相互独立性 2022-2023学年高一数学(人教版2019必修第二册）.ppt

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1、10.2 事件的相互独立性什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1温故知新温故知新 某国战机侵犯我领空，我方立即从某基地紧急起飞一架歼十战斗机和从辽宁舰上派出一架歼15舰载机汇合追击敌机，已知歼十击中敌机的概率为0.6，歼15击中敌机的概率为0.7，求敌机被击中的概率。J10 J15记A：歼十击中敌机；B：歼15击中敌机 C:敌机被击中导入新课

2、敌机被击中的概率为你认同以上的观点吗？事件的概率不可能大于12.公式P(AUB)=P(A)+P(B),运用的前提是：A、B互斥。导入新课根据我国民间流传寓意深刻的谚语“三个臭皮匠臭死诸葛亮”设计这样一个问题：已知诸葛亮想出计谋的概率为0.85，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？思考学生的解法可能为:设事件A:“臭皮匠老大”猜出谜语;事件B:“臭皮匠老二”猜出谜语;事件C:“臭皮匠老三”猜出谜语.则谜语被猜出的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=0.6+0.5+0.4=1.5此解明显错误！原因呢？前面我们研究过互斥事件、对立事件的概

3、率性质，还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上，B=第二枚硬币反面朝上”.试验2：个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其它差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次

4、摸到球的标号小于3”.分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？问题2：两个随机试验中事件A 和事件B 是什么关系，是互斥事件吗？如果不是用什么“词语”表达两事件的关系比较合适？问题1：两个随机试验中事件A 发生与否会影响事件B 发生的概率吗？因为两枚硬币分别拋掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上，B=第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发

5、现？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0),包含 4 个等可能的样本点.而 A=(1,1),(1,0),B=(1,0),(0,0),所以AB=(1,0).由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=,P(AB)=.于是P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？试验2：个袋子中

6、装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其它差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？样本空间为=(m,n)|m,n1,2,3,4,包含 16 个等可能的样本点.而 A=(m,n)|m 1,2,n1,2,3,4含 8 个样本点,B=(m,n)|m 1,2,3,4,n1,2含 8 个样本点,AB=(m,n)|m 1,2,n1,2含 4 个样本点.由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=,P(AB)=.积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.试

7、验3:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4 的4 个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.直观定义：事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率，则称事件A 和B 是相互独立事件.练习.判断下列事件是否为相互独立事件.篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.事件B：第二次罚球，球进了.袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球

8、.事件B：第二次从中任取一个球是白球.相互独立的概念设A，B为两个事件，如果则称事件A与事件B相互独立。1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率B发生与否不影响A发生的概率判断两个事件相互独立的方法注意:(1)互斥事件:两个事件不可能同时发生(2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 说明：注意区分互斥事件、对立事件、相互独立事件事件A、B的关系事件A事件B 说明互斥对立相互独立发生不发生不发生可能发生，也可能不发生不可能同时发生，但必有一个发生有可能同时发生，有可能同时不发生不可能同时发生，可以同时不发生练、判断下列各对事件的关系（1）运动员甲射

9、击一次，射中9环与射中8环；（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；互斥相互独立相互独立相互独立（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合格”与“乙的成绩优秀”思考：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,设从甲坛子里摸出一个球,得出白球叫做事件A,从乙坛子里摸出1个球,得到白球叫做事件B,A与B是相互独立事件.甲乙从甲坛子里摸出1个球,得到黑球从乙坛子里摸出1个球,得到黑球相互独立相互独立相互独立(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:相互独立事件的性质：即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件

10、发生的概率的积。2.推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)=P(A)P(B)应用公式的前提：1.事件之间相互独立2.这些事件同时发生.相互独立事件同时发生的概率公式等于每个事件发生的概率的积.即：20有奖解题擂台大赛VS诸葛亮 臭皮匠联队老大 老二 老三 各位选手独立解题，不得商量 团队中只要有一人解出即为获胜比赛规则：凭我的智慧,我解出的把握有80%!老大,你的把握有50%,我只有45%,看来这大奖与咱是无缘啦!别急,常言到:三个臭皮匠臭死诸葛亮,咱去把老三叫来,我就不信

11、合咱三人之力,赢不了诸葛亮!假如臭皮匠老三解出的把握只有40%,那么臭皮匠联队能胜过诸葛亮吗？明确问题：已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？解决问题引例的解决引例的解决略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.好象挺有道理的哦？设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题；事件C：老三解出问题；事件D：诸葛亮解出问题.那么三人中有一人解出的可能性即=0.5+0.45+0.4=1.350.8=所以，合三个臭皮匠

12、之力，把握就大过诸葛亮了.反思:歪歪乖乖这种情况下至少有几个臭皮匠才能顶个诸葛亮呢？已知诸葛亮解出问题的概率为0.9,三个臭皮匠解出问题的概率都为0.1,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？探究:歪歪乖乖此时合三个臭皮匠之力的把握不能大过诸葛亮!例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？解：样本空间为=(m,n)|m,n1,2,3,4 且 m n,包含 12 个等可能的样本

13、点.而 A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)含 6 个样本点,B=(m,n)|m 1,2,3,4,n1,2且m n 含 6 个样本点,AB=(1,2),(2,1)含 2 个样本点.所以P(A)=P(B)=,P(AB)=此时P(AB)P(A)P(B),因此,事件A与事件B不独立.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.分析：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,从要求的概率可知，需要先分别求A，B的对立事件A，B的概率，并

14、利用A,B,A,B构建相应的事件.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率

15、为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(2)“恰好有一人中靶”=AB AB,且AB与AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(AB AB)=P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)=0.80.1+0.20.9=0.26.例3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛

16、，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(3)事件“两人都脱靶”=AB，所以 P(AB)=P(A)P(B)=(10.8)(10.9)=0.02.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)

17、恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶，根据对立事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为 1P(AB)=10.02=0.98.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(

18、4)至少有一人中靶.解：设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶，根据对立事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为 1P(AB)=10.02=0.98.例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：设A=“甲中

19、靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”,由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(4)方法2：由于事件“至少有一人中靶”=AB ABAB，且AB，AB，AB两两互斥，事件“至少有一人中靶”的概率为 P(AB AB AB)=P(AB)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)例3.某商场推出2次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05

20、，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）两次都中奖;解:记“第一次中奖”为事件A，“第二次中奖”为事件B，则“两次抽奖都中奖”就是事件AB.（1）由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.所以“两次抽奖都中奖”的概率（2）恰有一次中奖；故所求概率为0.0475+0.0475=0.095例3.某商场推出2次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：例3.某商场推出2次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相

21、同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（3）至少有一次中奖.解：由（1）（2）可得至少有一次抽到某一指定号码的概率是 0.0025+0.095=0.0975DB 4.如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.解：分别记这段时间内开关JA,J B,J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是 12:21:10互斥事件 相互独立事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件P(A B)=P(A)+P(B)P（AB）=P(A)P(B)互斥事件A、B 中有一个发生，相互独立事件A、B 同时发生,计算公式 符号概念小结反思小结反思记作:AB(或A+B)记作:AB