_不定积分解法研究_不定积分解法研究(1).pdf

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1、 收稿日期 基金项目内蒙古自治区自然科学基金项目（）；包头师院校内项目（）第 卷第期大学数学 ，年月 不定积分解法研究郭鹏云，云文在，田强，陈向华，宋志平（包头师范学院 数学科学学院，内蒙古 包头 ）摘要通过对不定积分的研究，提出了求几类特殊函数不定积分的新方法不但求出了高等数学中具有代表性的几种形式的不定积分，而且对不定积分的教学和积分方法的寻求都有启发作用 关键词不定积分；导数；待定系数法 中图分类号 文献标识码 文章编号 （）众所周知，高等数学的教学是各理工科院校的一项长期的、基础的、重要的工作，对于高等数学教学的研究非常重要 微分学与积分学是高等数学的重要内容，二者互为逆运算 我们通常

2、的教学一般先讲授微分学再讲授积分学，微分学给积分学提供了必要的知识储备 本文主要是从微分的角度研究怎样求不定积分的，进而去探索新的积分方法经过多年对高等数学的教学的实践和探索，以及对学生认知能力和认知水平的准确把握，我们在讲授课本里已有的积分方法（例如凑微分法和分部积分法）的同时，对其进行深入的分析，讲授微分时就插入了部分积分的思想，讲授积分的过程中融入了微分的思想，收到了良好的教学效果 通过对微分和积分知识的互相渗透的讲授，学生对于微积分的学习能够举一反三、灵活应用，而且对于微积分知识的理解更加深刻 我们对于长期以来的教学心得总结如下首先，学生如果有了微分与积分的互逆关系的认识，他们在计算简

3、单积分时就容易多了，同时也让他们对公式的记忆和使用更加灵活教材，中关于原函数和不定积分的定义告诉我们，在熟练掌握微分公式的情况下，要充分关注“被积函数（）是由哪个函数得来的”这一基本的事实 我们在教学时就告诉学生们：求不定积分的过程，就是拿着函数求导的结果去寻找原来的那个函数例求哪个函数求导后与有关呢？是，但（），说明的原函数与的导数之间相差一个常数 设（），则 于是 本例的想法可以推广到课本中所有的积分公式的推导中去，还可以应用到求积分的简单题目当中去 既可培养学生的逆向思维，同时也活化微分与积分的关系 这种执果索因的思想实际上用了一点待定系数法的思想 这将在以下第三点得到更进一步的展现其次

4、，复合函数的微分为不定积分的凑微分法打下了良好的基础例在刚讲完（槡）槡（槡）槡（）槡的前提下，我们紧接着让学生求 槡 槡学生们容易想到原函数是 槡，也容易想到将上面的微分过程每一步倒过去就是积分的过程，即 槡 槡 槡 槡（）槡（槡）（槡）槡这种把微积分放在一起进行强烈对比的教学，给学生对于凑微分的理解以极大帮助的 相当于在潜移默化之中把凑微分的想法传授给了学生，让他们在解决题目的过程中体会到凑微分的威力第三，哪个函数求导后是被积函数呢？我们退一步说，哪个函数求导后与被积函数有关呢？我们要求学生在求积分时总要问一下自己 这种执果索因追问将和待定系数法相结合，不但能比较容易地求出一些常见积分，而且

5、还可以求出用分部积分法不易求得的积分我们主要研究了不定积分（）（）已经有我们熟知的分部积分公式（）（）（）（）（）（）（）（）但我们所关心的是，哪个函数求导后与（）（）有关呢？是（）（）和（）（）（但是（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（），于是，当（）（）与（）（）线性相关时，可以假设被积函数的原函数具有形式（）（）（）（）（）（），其中，为待定常数，通过求导后的表达式与（）（）相等来确定 于是有下面的结论定理当（）（）与（）（）线性相关时，原函数有如下线性组合形式（）（）（）（）（）（），其中，为待定常数我们对以下五种类型的不定积分成功地应用了该定理类型一 ，的积分例求 解假设

6、 ，两边求导可得 （）（）比较等式两端函数的系数得方程组，解之得，即大学数学第 卷 （）同理，还可以求 的不定积分 我们的解法通俗易懂，易于学生理解和验证，并且避免了两次使用分部积分公式类型二 ，（）的积分例求 （）解假设 ，两边求导，可得 （）（），从而可得方程组，解之得，即 （）同理，还可以求 ，的不定积分我们的解法避免积化和差公式的使用，克服了得到原函数后难以验证的缺点，显得更加直接，更加有效类型三（）（）（），（）为的次多项式）的积分例求 解假设（），两边求导，可得 （）（）（）比较系数可得，即（）我们的解法避免了多次使用分部积分的缺点，显得更加直接 而且，对于（）（）（其中（）为的任

7、意实数次幂的线性组合，为正整数）的不定积分，只要通过变换就可以化为积分（），用例的方法就可以求其不定积分类型四（）（）（）（），（），（）为的正整数次幂多项式）的积分特别地 ，烅烄烆例求 第期郭鹏云，等：不定积分解法研究解假设 （）（），两边求导，可得 （）（）（）从而可得，即 （）（）同理，还可以求（）的不定积分以上的解法比较直接，只涉及导数运算，而且看出例与例、例与例的系数似乎遥相呼应类型五（）与（）的积分例求 解假设 （）（），两边求导，可得 （）（），则，解之得（）（），（）（），（）（），（），于是 的积分可求，同理可求 的积分我们的方法紧紧抓住“哪个函数的导数是被积函数”这一关键点

8、，通过把被积函数假设成与它密切相关的函数的线性组合这一途径，最终让求导后函数等于被积函数确定了原函数 而且还鼓励学生抓住这一思想贯彻下去，有助于学生学习微积分时形成整体观念这种执果索因的思维方法与分部积分法和换元积分法是不同的 当然，求不定积分或许还有其它的方法，但我们的方法简单、实用、直接，既激发了学生采取灵活多样的思维方法去解决问题的兴趣，又使数学教学内容更加丰富、摇曳多姿在五种类型的积分求解以后，我们觉得把被积函数表示成几个函数的线性组合的方法对于多个函数乘积的积分的计算中可能起作用，这有待进一步的研究 参考文献欧阳光中，姚允龙，等，数学分析上海：复旦大学出版社，：同济大学数学系高等数学（上册）北京：高等教育出版社，：数学手册编写组数学手册北京：高等教育出版社，：大学数学第 卷 ，（，）：，：；第期郭鹏云，等：不定积分解法研究