【100所名校】2019届江西省南昌市第十中学高三上学期期中考试数学(理)试题（解析版）.docx

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1、2019届江西省南昌市第十中学高三上学期期中考试数学(理)试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合A=x|-2x0有解”等价于Ax0R，使得f(x0)0成立 Bx0R，

2、使得f(x0)0成立Cx0R，使得f(x0)0成立 Dx0R，使得f(x0)0成立3已知a=1，b=2，且a(a-b)，则向量a与向量b的夹角为A6 B4 C3 D234已知数列an的前n项和Sn=2n-1，则数列an2的前10项和为A410-1 B210-12 C13410-1 D13210-15如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则图中阴影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是A B C D6已知数列an满足anan112(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为A5 B72 C92 D1327ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积

3、S=a2+b2-c24，其中C的大小是A30 B90 C45 D1358已知函数f(x)=3sinx+cosx(0)的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，把函数f(x)的图像沿x轴向左平移6个单位长度，得到函数g(x)的图像，若在区间0,上随机取一个数x，则事件“g(x)3”发生的概率为A14 B13 C16 D239设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递增，若数列an是等差数列，且a30，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值A恒为正数 B恒为负数 C恒为0 D可正可负10设G是ABC的重心，且(sinA)GA+(sinB)GB

4、+(sinC)GC=0，则B的大小为A45B60C30D1511若函数f(x)=sin(x+6) (0)在区间(,2)内没有最值,则的取值范围是A(0,11214,23 B(0,1613,23C14,23 D13,2312设f(x)=lnx+1x，若函数y=f(x)-ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为A0,e23 Be23,e C1e,1 D0,1ee23二、填空题13已知复数z=1-i2+i，其中i为虚数单位，则z=_.14函数y=loga(x+3)-1（a0，且a1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m0，n0，则2m+1n的最小值为_.15已知数列an满足an

5、=(12-a)n+1,nan+1，则实数a的取值范围是_.16菱形ABCD的边长为2，A=60,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AMAN的最大值为_三、解答题17已知函数f(x)=cosx(23sinx-cosx)+sin2x(0)的最小正周期为2(1)求的值；(2)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(B)=2，a=3，ABC面积S=334，求b18已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=43(an-1)，nN*.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2an，记数列1(bn-1)(bn+1)的前n项和为Tn，证明：13Tn12.19已知数列an中，a

6、1=2且an=2an-1-n+2(n2,nN*).（1）求a2，a3，并证明an-n是等比数列；（2）设bn=an2n-1，求数列bn的前n项和Sn.20如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD，BAD=90，DC=DA=2AB=25，点E为AD的中点，BDCE=H，PH平面ABCD，且PH=4.(1)求证：PCBD；(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B-DF-C的余弦值是1515？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由21已知函数f(x)=lnx+x+ax(aR).（1）若函数f(x)在1,+)上为增函数，求a的取值范围；（2）若函数g(x)=xf(

7、x)-(a+1)x2-x有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1e3（e为自然对数）.22已知曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（为参数），以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos+4=2（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离OP的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求EA+EB的值23已知f(x)=2x-4+x+b.（1）当b=1时，求不等式f(x)5的解集；（2）若不等式f(x)-2x-2恒成立，求b的取值范围.好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好

8、教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届江西省南昌市第十中学高三上学期期中考试数学(理)试题数学 答 案参考答案1D【解析】 A=x|-2x2，CRBx|x2，则ARB=x|-20)在区间(，2)内没有最值，函数f(x) 在区间(，2)内单调，2k+3，k+43，kZ，k+3k+432，kZ，解得k+13k2+23，kZ由k+13k2+23，得k0，故016综上得的取值范围是(0，1613，23故选B【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数f(x)在区间(，2)内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数f(x)的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将

9、问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号12A【解析】【分析】由题意得令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，由gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,1elnx+1x3,x1e,+，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】y=fx-ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,1elnx+1x3,x1e,+，当x0,1e时，gx=3lnx+2x40，当xe-23,+时，gxan+1，可得12-a0，a5a6，0a1 解出即可

10、得出【详解】an=12-an+1,nan+1，12-a0，a5a6，0a112-a0，(12-a)5+1a，0a1 ，解得12a712 故答案为12,712【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题169【解析】试题分析：由数量积的几何意义知，当AN在AM上的投影最大时，AMAN最大.从图可以看出，当N点在点C处，AN在AM上的投影最大，所以AMAN的最大值为：AMAC=(AD+12AB)(AB+AD)=9.考点：向量的数量积及其几何意义.17(1)12(2)3【解析】【分析】（1）化简f(x)=2sin(2x-6) ，根据函数的最小正周期T=22

11、=2即可求出的值2）由（1）知，f(x)=2sin(x-6).由f(B)=2sin(B-6)=2，求得B=23，再根据ABC的面积SS=334，解得c=3，最后由余弦定理可求出b.【详解】（1）f(x)=23sinxcosx-cos2x+sin2x =3sin2x-cos2x =2sin(2x-6) 故函数的最小正周期T=22=2，解得=12. （2）由（1）知，f(x)=2sin(x-6).由f(B)=2sin(B-6)=2，得B-6=2k+2（kZ）.所以B=2k+23（kZ）.又B(0,)，所以B=23.ABC的面积S=12acsinB=123csin23=334，解得c=3.由余弦定理

12、可得b2=a2+c2-2accosB =(3)2+(3)2-233cos23 =9，所以b=3.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题18（1）an=4nnN*；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用数列的递推式，令n=1求得首项，再由n2时，an=Sn-Sn-1，结合等比数列定义和通项公式可得所求；（2）由（1）有bnlog2anlog24n2n，可得1bn-1bn+1=1212n-1-12n+1，由裂项相消法求和，化简整理，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证【详解】（1）当n=1时，有

13、a1=s1=43a1-1，解得a1=4.当n2时，有sn-1=43an-1-1，则an=sn-sn-1=43an-1-43an-1-1，整理得：anan-1=4，数列an是以q=4为公比，以a1=4为首项的等比数列所以an=44n-1=4nnN*，即数列an的通项公式为：an=4nnN* （2）由（1）有bn=log2an=2n，则1bn-1bn+1=1212n-1-12n+1所以Tn=113+135+157+12n-12n+1=1211-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1 易知数列Tn为递增数列，所以13Tn12。【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的

14、递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列不等式的证明，注意运用数列的单调性，考查化简运算能力，属于中档题19（1）见解析；（2）Sn=n+4-2+n2n-1【解析】【分析】（1）在已知的数列递推公式中分别取n=2,3，结合已知的首项即可求得a2,a3的值，再把递推式两边同时减n即可证明an-n是等比数列；（2）由an-n是等比数列求出数列an的通项公式，代入bn=an2n-1，分组后利用错位相减法求数列bn的前n项和Sn.【详解】（1）由已知an=2an-1-n+2n2,n+N*a2=4，a3=7，an-n=2an-1-2n+2，即an-n=2an-1-n-1，因为an-nan-1-

15、n-1=2n2,nN*，所以an-n是以2为公比的等比数列（2）由（1）得an-n=a1-12n-1，即an=2n-1+n，所以bn=an2n-1=1+n2n-1，设Cn=n2n-1，且前n项和为Tn，所以Tn=120+221+322+423+n2n-1， 12Tn=121+222+323+n2n， 得12Tn=1+12+122+123+12n-1-n2n=1+121-12n-11-12-n2n=2-2+n2n所以Tn=4-2+n2n-1，Sn=n+4-2+n2n-1【点睛】该题考查的是数列的有关内容，涉及到的知识点有等比数列的证明，数列的递推公式，数列的求和方法，注意对式子的正确变形以及相应

16、的公式，才能正确得出结果.20（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】1推导出BADEDC，DBA=DEH，从而BDEC，由PH平面ABCD，得BDPH，由此能证明BD平面PEC，从而PCBD2推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=32时，二面角B-DF-C的余弦值是1515【详解】证明：(1)AB/CD，BAD=90，EDC=BAD=90，DC=DA=2AB，E为AD的中点，AB=ED，BADEDC，DBA=DEH，DBA+ADB=90，DEH+ADB=90，BDEC，

17、又PH平面ABCD，BD平面ABCD，BDPH，又PHEC=H，且PH，EC平面PEC，BD平面PEC，又PC平面PEC，PCBD解：(2)由(1)可知DHEDAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=5，DHDA=EHBA=DEDB，EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(-2,0，0)，P(0,0，4)，假设线段PC上存在一点F满足题意，CF与CP共线，存在唯一实数，(01)，满足CF=CP，解得F(0,4-4,4)，设向量n=(x,y

18、，z)为平面CPD的一个法向量，且CP=(0,-4,4)，CD=(-2,-4,0)，nCP=-4y+4z=0nCD=-x-2y=0，取x=2，得n=(2,-1,-1)，同理得平面CPD的一个法向量m=(0,-1)，二面角B-DF-C的余弦值是1515，|cos|=|nm|n|m|=|-2+1|622-2+1=1515，由01，解得=34，CF=34CP，CP=42，线段PC上存在一点F，当点F满足CF=32时，二面角B-DF-C的余弦值是1515【点睛】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，

19、是中档题21（1）a2（2）见解析【解析】分析：（1）由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1x+1-ax2=x2+x-ax2，因为函数f(x)在1,+)为增函数，所以f(x)0在1,+)上恒成立，等价于a(x2+x)min，由此可求a的取值范围；（2）求出g(x)=lnx-2ax，因为g(x)有两极值点x1,x2，所以lnx1=2ax1,lnx2=2ax2， 设令t=x2x1，则t1，上式等价于要证lnt3(t-1)1+2t，令h(t)=lnt-3(t-1)1+2t，根据函数的单调性证出即可详解：（1）由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1x+1-ax2

20、=x2+x-ax2， 因为函数f(x)在1,+)为增函数，所以f(x)0在1,+)上恒成立，等价于x2+x-a0在1,+)上恒成立，即a(x2+x)min，因为x2+x=(x+12)2-142，所以a2，故a的取值范围为a2. （2）可知g(x)=xlnx+x2+a-(a+1)x2-x=xlnx-ax2-x+a，所以g(x)=lnx-2ax， 因为g(x)有两极值点x1,x2，所以lnx1=2ax1,lnx2=2ax2， 欲证x1x22e3，等价于要证：ln(x1x22)lne3=3，即lnx1+2lnx23，所以ax1+2ax232，因为0x132x1+4x2，由lnx1=2ax1,lnx2

21、=2ax2，可得lnx2x1=2a(x2-x1)，则有a=lnx2x12（x2-x1），由原式等价于要证明：lnx2x1x2-x13x1+2x2，即证lnx2x13(x2-x1)x1+2x2=3(x2x1-1)1+2x2x1，令t=x2x1，则t1，上式等价于要证lnt3(t-1)1+2t， 令h(t)=lnt-3(t-1)1+2t，则h(t)=1t-3(1+2t)-6(t-1)(1+2t)2=(t-1)(4t-1)t(1+2t)2因为t1，所以h(t)0，所以h(t)在(1,+)上单调递增，因此当t1时，h(t)h(1)=0，即lnt3(t-1)1+2t.所以原不等式成立，即x1x22e3.

22、 点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题22（1）x-y-2=0，|OP|max=3（2）|EA|+|EB|=635【解析】【试题分析】(I)将C2方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得OP的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得EA+EB的值.【试题解析】（）由cos(+4)=2得(22cos-22sin)=2，即曲线C2的直角坐标方程为x-y-2=0根据题意得|OP|=9cos2+sin2=8cos2+1， 因此曲线C1上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max=3 （）由（）知直线x-y-

23、2=0与x轴交点E的坐标为2,0，曲线C2的参数方程为:x=22t+2y=22tt为参数，曲线C1的直角坐标方程为x29+y2=1 联立得5t2+22t-5=08分又|EA|+|EB|=|t1|+|t2|，所以|EA|+|EB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=63523（1）x|x83或x0（2）b|b0【解析】【分析】（1）根据零点分段法去掉函数f(x)的绝对值符号，分段化简不等式求解即可.（2）将不等式转化为x-2+x+b2，利用三角不等式得b+22，解不等式即可求出b的取值范围.【详解】解：（1）由题意得2x-4+x+15当x2时，不等式化为2x-4+x+15，得x83

24、当-1x2时，不等式化为4-2x+x+15，得-1x0当x5，得x83或xx-2即：2x-2+x+bx-2+2可化为x-2+x+b2 因为x-2+x+bx-2-x+b=b+2 要不等式f(x)-2x-2恒成立，只b+22成立即可解得b|b0【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和含参不等式恒成立问题的求解方法.含有绝对值不等式的解法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如fxgx）；（4）图象法或数形结合法；好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）