【100所名校】2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版） .docx

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1、2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1设全集U是实数集R，集合Mx|x2，Nx|y=log2(x1) ，则(UM)N为

2、A x|1x2 B x|1x2 C x|1x2 D x|1x1，则 p：任意xR，sin x1C 若p且q为假命题，则p、q均为假命题D “x22x30”是命题3条件p：2x4，条件q：(x2)(xa)0,ax+bx0.且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)等于A 3 B 3 C 2 D 25已知sin()23，且(2，0)，则tan(2)的值为A 255 B 255 C 255 D 526设函数f(x)=sin(x+3)，则下列结论错误的是A f(x)的一个周期为4 B y=f(x)的图像关于直线对称x=6C f(x+)的一个零点为x=53 D f(x)在(2,)单调递增7设f(x)x3b

3、xc，若导函数f(x)0在1，1上恒成立，且f(-12)f(12)0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x=512对称，则m的最小值为A 76 B 6 C 8 D 7249已知函数f(x)Atan(x) (w0, |j|2)，yf (x)的部分图象如图，则f (24)A 3 B 33 C 23 D 2310函数f(x)(2-m)xx2+m的图象如图所示，则m的取值范围为A (，1) B (1,2) C (0,2) D (1,2)11定义运算abcdadbc，若cos 17，sinsincoscos=3314，02，则=A 12 B 6 C 4 D 312已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函

4、数为f(x)，若f(x) f (x)，且 f (x1)f (3x)，f (2 015)2，则不等式f (x) 0； f(x)在区间(5,6)上单调递增； f(x)在区间(1,3)上有极大值； 存在M0，使得对任意xR，都有| f(x)|M其中真命题的序号是_.16若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_三、解答题17已知函数f(x)=3sinx2cosx2-cos2x2+12.（I）求函数f(x)的单调递减区间；（II）若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)=12，a=3，sinB=2sinC，求c.18如图，四棱锥P-ABCD的底面AB

5、CD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，PAB=120,PBC=90. （I）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由； （II）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的余弦值19某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败(I) 求图中a的值；(II) 根据已知条件完成下面22列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X) 晋级成功晋级失败合计男16

6、女50合计P(K2k0)0.400.250.150.100.050.025k00.7801.3232.0722.7063.8415.024(参考公式：k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d) 20已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0离心率为22，点P(0,1)在短轴CD上，且PCPD=-1.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若PB=12AP，求直线l的方程.21已知函数f(x)=(1-2a)lnx+ax2+x.（I）讨论f(x)的导函数f(x)的零点个数；（II）当a0时，证明：f(x)0)，过点P(2，4

7、)的直线l： (t为参数)与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值23已知函数f(x)|x1|.(I) 解不等式f(2x)f(x4)8；(II) 若|a|1，|b|1，a0，求证： f(ab)af(ba).好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届甘肃省兰州第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】先求集合M的补集，再与集合N求交集即可。【详解】集合N为(1,+)，CUM为0,2，所以(UM)N为(1,2，即x|

8、1x2，答案选C。【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。在集合运算时，要注意运算的先后顺序，如本题中有括号，就应先算括号里面的补集运算，再算交集运算。在运算时，可以借助数轴或图形，这样更直观，不易出错。2B【解析】【分析】结合命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断方法，依次判断即可。【详解】命题“若x23x20，则x1”的否命题是“若x23x20，则x1”否命题，选项A错误；若p且q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，选项C错误；对于一个命题有题设和结论两部分构成，选项D，显然不符合，故错误。所以答案选B。【点睛】本题考查了命题、否命题、命题的否定的定义及复合命题的真假判断，综

9、合性较强，此类问题的关键是掌握其定义和判断方法。3B【解析】【分析】q是p的必要而不充分条件等价于x|2x4x|(x2)xa0，建立不等式求解即可。【详解】因为q是p的必要而不充分条件所以x|2x4x|(x2)xa4，即a(，4)，答案选B。【点睛】本题考查了充分必要条件求参数范围，解此类问题的关键是将q和p之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，列出关于参数的不等式，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用。4D【解析】【分析】根据条件f(0)2，f(1)3，可求a=12，b=1，得到fx=log3x(12)x+1，最后代入即可。【详解】因为f(0)2，f(1)3，所以a

10、0+b=2，a-1+b=3所以a=12，b=1，所以fx=log3x(12)x+1把x=-3代入，f-39，所以f(f(3)=f9=log39=2。答案选D。【点睛】本题考查了分段函数求值，属于基础题。分段函数求值时，一定要先看定义域，再把自变量的值代入相应的解析式，如果含多层求值的，则由内向外，依次进行。5A【解析】【分析】先由诱导公式得到sin23，同角三角函数关系得cos53，再计算tan(2)。【详解】因为sin23所以sin23，因为(2，0)，所以cos1-sin2=53tan2=-tan=-sincos=-2353=255。答案选A。【点睛】本题考查了诱导公式，同角三角函数关系及

11、三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。6D【解析】【分析】根据y=Asin(x+)的性质，从周期、对称轴、零点和单调性分别讨论，即可得到结果。【详解】对于函数f(x)=sin(x+3)，其周期T=2k=2k，当k=-2时，周期为-4，选项A正确；它的对称轴方程为x=6+k，当k=0时，选项B正确；它的零点为x=k-3，所以x+=k-3，即x=k-43，当k=3时，选项C正确。故答案选D。【点睛】本题综合考查函数y=Asin(x+)相关性质，此类问题关键是牢记这些性质，理解“整体”处理思想，能进行简单的运算，注意选择不同的

12、k值进行验证。属于基础题型。7C【解析】【分析】首先判断该函数为单调递增函数，运用零点存在定理可讨论其在1，1内根的情况。【详解】对于函数f(x)x3bxc，其导函数f(x)0在1，1上恒成立，所以得函数f(x)在区间1，1上单调递增，又因为f(-12)f(12)0，所以函数f(x)在区间(-12,12)内至少有一个零点；由于函数f(x)在区间1，1上单调递增，所以函数f(x)在区间1，1内有唯一的零点。答案选C。【点睛】本题考查零点存在定理的应用，关键在于定理成立的两个条件：（1）函数f(x)在区间a,b上连续；（2）f(a)f(b)0)个单位长度，得到的函数解析式为y=sin(4x-4m+

13、3)，令4x-4m+3=2+k，解得x=m+24+k4所以512=m+24+k4，解得m=38-k4因为m0，当k=1时，m最小为8。答案选C。【点睛】本题考查了三角函数的图像平移及性质。在进行图像平移时，无论是先平移后伸缩，还是先伸缩后平移，都是对横坐标产生影响，所以只对变量x进行相应的运算，还须注意的是：当1时，图像被压缩，当00，0)或yAcos(x)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定

14、值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.10B【解析】分析：f10,当x0时,f(x)=0的根x00详解：（1）f10(2-m)1+m0-1m1，或者-m1由（1）（2）可知2m1，故选B点睛：由图像求参数的取值范围，抓住关键点（零点、已知坐标的点、极值点、最值点）的位置，往往利用导数研究函数的关键点的位置。11D【解析】【分析】根据新定义，先求出sin(-)=3314，由同角三角函数关系求cos(-)=1314，sin=437，再进行角变换=-(-)，计算其余弦值即可。【详解】因为sinsincoscos=3314所以sincos-sincos=3314，即sin(-)=3314，因

15、为02，且cos 17，所以cos(-)=1314，sin=437cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=171314+4373314=12所以=3，答案选D。【点睛】本题考查三角恒等变换计算求值问题，此题是给值求角类问题，求解时要注意以下几点：（1）在根据所给三角函数值求其它三角函数值时，一定要注意角的取埴范围；（2）注意角的线性变换在解题中的应用，如本题中=-(-)的变换。（3）求角时一般选择求某一个三角函数即可，但是要尽可能的避免讨论符号问题。12A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g(x)，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结

16、论。【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f (x1)f (3x)=fx-3，所以f(x+4)=f(x)，即函数是周期为4的周期函数，因为f(2015)=f(2015-4504)=f(-1)=f(1)=2所以f(1)=2，设g(x)=f(x)ex，则其导函数g(x)=f(x)ex-f(x)ex(ex)2=f(x)-f(x)ex0所以g(x)是R上的减函数，则不等式f (x)2ex-1等价于f(x)ex2e即g(x)1，即不等式的解集为(1,+)，答案选A。【点睛】本题主要考查了不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关

17、键。13(ln 2，2) 【解析】设P(x0，y0)，y=1ex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2，2)144【解析】【分析】先对函数求导，将x=1代入，求出f(1)=-3，得到f(x)，再求积分。【详解】f(x)x3x2f(1)所以f(x)=3x2+2f(1)x，把x=1代入，得f(1)=3+2f(1)解得f(1)=-3所以f(x)=x3-3x202fxdx=02(x3-3x2)dx=(14x4-x3)01=1416-8=-4。【点睛】本题考查了定积分计算，属于基础题。15【解析】【分析】分析函数f(x)=xcosx的

18、图像和性质，依次分析所给的四个命题，可得答案。【详解】当x(-4,-3)时，cosx0，x0，命题正确；f(x)=cosx-xsinx，当x(5,6)时，有x0，cosx0，sinx0，即f(x)单调递增，命题正确；因为f(1)=cos1-1sin10，f(3)=cos3-3sin30，使得对任意xR，都有| f(x)|M命题错误。【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度较大。166-24【解析】试题分析：因为ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，由正弦定理可得a+2b=2c可得c=a+2b2，由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab=a

19、2+b2-14(a+2b)22ab=34a2+12b22ab-24232a22b2ab-24=6-24当且仅当32a=22b时取等号，所以6-24cosC2.072， 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； ()由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即XB(3,34)，P(X=k)=C4k(34)k(14)3-k(k=0,1,2,3)， 故P(X=0)=C30(34)0(14)3=164， P(X=1)=C31(34)1(14)2=964， P

20、(X=2)=C32(34)2(14)1=2764， P(X=3)=C33(34)3(14)0=2764，所以X的分布列为X0123P(X=k)16496427642764数学期望为E(X)=334=94， 或(E(X)=1640+9641+27642+27643=94).【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验的问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望值的计算，一是道综合性较强的中档题。20（1）x24+y22=1. （2）y=1414x+1.【解析】【分析】（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得a=2，b=2，进而得结论；（2）设直线l为y=kx+1，代入椭圆方程x

21、2+2y2=4，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率k，进而得到所求直线方程。【详解】（1）由题意，e=ca=22，得a= 2b=2c又C(0,b)，D(0,-b). PCPD=(b-1)(-b-1)=-1， b2=2 a=2, 所以椭圆E的方程为x24+y22=1. （2）当直线l的斜率不存在时， PB=（0，2-1），AP=（0，2+1），PB12AP，不符合题意，不存在这样的直线. 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).联立方程x24+y22=1y=kx+1，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,由韦达定理得x1+x2

22、=-4k1+2k2，x1x2=-21+2k2， 由PB=12AP得，(x2,y2-1)= 12(-x1,1-y1), x2=-12x1, x1 =-8k1+2k2，x12 =41+2k2， 解得k2=114， k=1414，所以直线l的方程为y=1414x+1.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，向量共线和数量积运算，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题。21()当a12时fx 有一个零点；当0a12 时fx没有零点 ()见解析【解析】试题分析：（1）f(x)=(2ax+1-2a)(x+1)

23、x，所以当a12时，f(x)有一个零点；当0a12时，f(x)没有零点；（2）a0时，f(x)在(0,1-12a)单调递增，在(1-12a，+)单调递减，最大值f(1-12a)= (1-2a)ln(1-12a)+a-14a，所以原题等价于ln(1-12a)+12a0，即ln(1-12a)-(1-12a)+10，设g(x)=lnx-x+1，求导得到最大值为g(1)=0，即f(x)-2aln(1-12a)+a-34a试题解析：() f(x)的定义域为(0,+)， f(x)=1-2ax+2ax+1=2ax2+x+1-2ax=(2ax+1-2a)(x+1)x 若a=0，由-10，f(x)没有零点；若a

24、12，由2a-12a0，f(2a-12a)=0，-10，f(x)有一个零点；若0a12，由2a-12a0，-10，f(x)没有零点综上所述，当a12时f(x)有一个零点；当0a12时f(x)没有零点 ()由（1）知，f(x)=(2ax+1-2a)(x+1)x， a0；当x(1-12a，+)时，f(x)0.故f(x)在(0,1-12a)单调递增，在(1-12a，+)单调递减.所以f(x)在x=1-12a取得最大值，最大值f(1-12a)=(1-2a)ln(1-12a)+a(1-12a)2+1-12a，即f(1-12a)=(1-2a)ln(1-12a)+a-14a.所以f(x)-2aln(1-12

25、a)+a-34a等价于ln(1-12a)+12a0，即ln(1-12a)-(1-12a)+11 设g(x)=lnx-x+1，则g(x)=1x-1.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1,+)时，g(x)1时，g(x)0.从而当a0时ln(1-12a)-(1-12a)+10，即f(x)0)，xy20.（2）a1.【解析】试题分析：（1）根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，根据加减消元得直线l的普通方程；（2）由等比数列条件得(t1t2)2t1t2，将直线参数方程代入圆方程，根据直线参数几何意义以及韦达定理得方程，解方程得实数a的值试题解析：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a

26、0)，由 (t为参数)，消去t得xy20，曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a0)，xy20.(2)将 (t为参数)代入y22ax，整理得t22 (4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1t22 (4a)，t1t28(4a)，|MN|2|PM|PN|，(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，8(4a)248(4a)8(4a)，a1.23() xx-103或x2 (II)证明见解析【解析】【分析】（）根据f(x)+f(x+4)=x-1+x+3的分段函数形式，分类讨论求得不等式f(2x)f(x4)8的解集；（2）要证的不等式即ab-1a-b，根据|a|

27、1，|b|1，可得ab-12-a-b20，从而得到所证的不等式成立。【详解】()f(2x)f(x4)|2x1|x3|-3x-2,x-3-x+4,-3x123x+2,x12 当x3时，由3x28，解得x-103 ； 当3x12 时，x48无解； 当x12时，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为xx-103或x2 (II)证明：f(ab)af(ba)等价于f(ab)|a|f(ba)，即|ab1|ab|. 因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0， 所以|ab1|ab|.故所证不等式成立【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题。好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共14页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共14页）