2.4-一元二次方程的根与系数的关系公开课教案教学设计课件案例试卷.ppt

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1、1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程的两个根分别是的两个根分别是、。求证：求证：推导:如果一元二次方程如果一元二次方程的两个根分别是的两个根分别是、，那么：，那么：这就是一元二次方程一元二次方程这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫也叫韦达定理韦达定理。韦达（韦达（15401603）法国法国数学家数学家十六世纪最有影响的十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为数学家之一

2、，被尊称为“代数学之父代数学之父”。他是第一个引进系统的他是第一个引进系统的代数代数符号，并对方程论符号，并对方程论做了改进的数学家。做了改进的数学家。一元二次方程的一元二次方程的根与根与系数的关系：系数的关系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的的两个根是两个根是X1,X2 ,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）（韦达定理）提示：能用韦达定理的条件为提示：能用韦达定理的条件为b2-4ac02x2-4x+10=0X1+x2=？X1x2=？（一用）（一用）：说出下列各方程的两根之和与两根之积：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x

3、2-6x=04、3x2 =4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-例例1、已知、已知3x2+2x-9=0的两根是的两根是x1 ,x2 。求：求：(1)(2)x12+x22解：解：由题意可知由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-3(1)=(2)(x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-)2-2(-3)6设设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的的两个根，则两个根，则 X1+X2=_ X1X2=_，X12+X22=；(X1-X2)2=；基基础础练练习习例例2已知

4、一个一元二次方程的二次项系数已知一个一元二次方程的二次项系数是是3，它的两个根分别是，它的两个根分别是1/3，1.写出写出这个方程。这个方程。例例3、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的的一个根是一个根是2,求求它的另一个根及它的另一个根及k的值。的值。解：解：设设方程的另一个根为方程的另一个根为x1.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得解这方程，得 k=-2由韦达定理，得由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 ,k的值是的值是2。例例2、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的的一个

5、根是一个根是2,求求它的另一个根及它的另一个根及k的值。的值。解二：解二：设设方程的另一个根为方程的另一个根为x1.由韦达定理，得由韦达定理，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 ,k的值是的值是2。例例4方方程程x2(m 1)x 2m 1 0求求m满满足足什什么么条条件件时时,方方程程的的两两根根互互为为相相反反数数？方方程程的的两两根根互为倒数？方程的一根为零？互为倒数？方程的一根为零？解解:(m 1)2 4(2m 1)m2 6m 5两根互为相反数两根互为相反数 两根之和两根之和m 1 0,m1,且且0 m1

6、时时,方程的两根互为相反数方程的两根互为相反数.两根互为倒数两根互为倒数 m2 6m 5,两根之积两根之积2m 1 1m 1且且0,m 1时时,方程的两根互为倒数方程的两根互为倒数.方程一根为方程一根为0,两根之积两根之积2m 1 0 且且0,时时,方程有一根为零方程有一根为零.引申引申:1:1、若若ax2 bx c 0(a 00)（1 1）若两根互为相反数若两根互为相反数,则则b 0;（2 2）若两根互为倒数若两根互为倒数,则则a c;（3 3）若一根为若一根为0,则则c 0;（4 4）若一根为若一根为1,1,则则a b c 0;（5 5）若一根为若一根为 1,则则a b c 0;（6 6）

7、若）若a、c异号异号,方程一定有两个实数根方程一定有两个实数根.1、韦达定理韦达定理及证明及证明2、利用韦达定理解决有关一元二次方程、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，根与系数问题时，注意隐含条件：注意隐含条件：根的判别式根的判别式b2-4ac 0 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当中代数里，当且仅当 时，才时，才能应用根与系

8、数的关系能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么一元二次方程根与系数的关系是什么?补充规律：补充规律：两根均为负的条件：两根均为负的条件：X1+X2 且且X1X2 。两根均为正的条件：两根均为正的条件：X1+X2 且且X1X2 。两根一正一负的条件：两根一正一负的条件：X1+X2 且且X1X2 。当然，以上还必须满足一元二次方程当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：有根的条件：b2-4ac0 练习：练习：已知长方形相邻两边长是一元二已知长方形相邻两边长是一元二次方程次方程x2-12x+90的两个根的两个根,求这个长方形的周长和面积求这个长方形的周长和面积.1、已知方程3

9、x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16 解：由韦达定理，得x1+x2=-2,x1 x2=(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于0，k

10、的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=0如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2=,X1X2=Pq已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-由韦达定理，得解：x1+x2=-,x1 x2=p=-3(x1+x2)q=3 x1 x2 (1)p=-9 q=6 (2)p=9 q=-54 (3)p=0 q=-21 (4)p=12 q=-3