材料力学-弯曲应力ppt课件.ppt

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1、材料力学Mechanics of Materials第六章弯曲应力材料力学Mechanics of Materials回 顾FsM上一章任务：合力横截面上整体情况st本章任务：分力横截面上每一点情况材料力学Mechanics of Materialsn 横力弯曲横截面上既存在弯矩，又存在横向剪力的梁的弯曲,称为横力弯曲n 纯弯曲横截面上仅存在弯矩的梁的弯曲F FAB CD剪力图弯矩图n 图示简直梁中BC 段为纯弯曲AB，CD段为横力弯曲横力弯曲纯弯曲几个基本概念材料力学Mechanics of Materials内力的起因n 弯矩横截面上正应力的合力偶，此时，正应力称为弯曲正应力n 剪力横截面

2、上切应力的合力，此时，切应力称为弯曲切应力梁弯曲的应力特征 纯弯曲横截面上仅存在正应力 横力弯曲横截面上不仅有正应力，而且还存在切应力几个基本概念st材料力学Mechanics of Materials横截面上的正应力研究梁横截面上应力的分布，必须从几何（变形）、物理（本构）和静力学（平衡）三方面进行综合分析下面依次分析梁纯弯曲时，这三个方面的特征材料力学Mechanics of Materials变形几何关系材料力学Mechanics of Materials横截面上的正应力 纯弯曲试验及变形观察(表)纵向线aa，oo，bb变为弧线aa，oo，bb aa aa，oo=oo，bbbb 横向线m

3、m,nn 仍然为直线，并且垂直于aa，oo，bb 矩形截面上部变宽，下部变窄变形几何关系材料力学Mechanics of Materials横截面上的正应力n 变形假设(里)1、弯曲变形的平面假设 变形后，横截面仍保持为平面，并且仍与弯曲后的纵向线正交，各截面间作相对转动。材料力学Mechanics of Materials2、弯曲变形的单向受力假定 所有与轴线平行的纵向纤维处于轴向拉伸或轴向压缩，纤维之间不受力横截面上的正应力梁中纵向纤维长度不变的过渡层称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴材料力学Mechanics of Materials1、几何方面 取长度为dx的一段微梁，变形后的

4、形状如图。记长度不变轴线oo(中性层）的曲率半径为r，两横截面的夹角为dq，则变形后，距oo为y处纤维的长度为 注意到oo=dx=r dq，于是，距oo为y处的纤维的线应变为dx横截面上的正应力材料力学Mechanics of Materials即 即纵 纵向 向纤 纤维 维的 的线 线应 应变 变与 与它 它到 到中 中性 性层 层的 的距 距离 离成 成正 正比 比材料力学Mechanics of Materials2、物理关系 由于纵向纤维仅受拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，根据胡克定理，有即对给定的横截面，其上即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到任一点的正应力与该点到

5、中性轴的距离成正比中性轴的距离成正比横截面上的正应力材料力学Mechanics of Materials3、静力学关系 目前未解决问题:z轴-中性轴where?r=?与弯矩有何关系？横截面上的正应力代入得到材料力学Mechanics of Materials梁横截面上的正应力分布公式 梁横截面上的正应力分布公式r的确定材料力学Mechanics of Materialsn静矩：yzAyzdA形心公式坐标原点过形心C附录：截面图形的几何性质材料力学Mechanics of Materials附录：截面图形的几何性质yzAyzdAn 惯性积若图形有对称轴，则坐标轴含对称轴时材料力学Mechanic

6、s of Materials横截面关于z轴的静矩为零，即z 轴为截面的形心轴横截面关于y、z 轴的惯性积为零。y、z 轴为主轴中性轴z的确定y，z形心主轴中性轴通过横截面形心，并垂直于纵向对称轴y材料力学Mechanics of Materials 横截面上正应力是线性分布 正比于Mz，反比于 Iz 中性层两侧一拉一压存在说明：适用于任意截面（推导中没有用矩形性质）成立条件(a)y，z轴须为形心主轴(b)比例极限内 ssp横截面上的正应力材料力学Mechanics of Materials 最大正应力发生在离中性轴最远的点上，即n 令 抗弯截面系数抗弯截面系数，则抗弯截面系数综合反映了横抗弯截

7、面系数综合反映了横截面形状和尺寸对弯曲正应截面形状和尺寸对弯曲正应力的影响力的影响。横截面上的正应力材料力学Mechanics of Materialsn惯性矩yzAyzdA附录：截面图形的几何性质材料力学Mechanics of Materialsn 常见横截面的惯性矩和抗弯截面系数zyhbC zydCzyDCd材料力学Mechanics of Materials已知：矩形截面b h求：Iy，IzC Cyyzzb bh hz z d dz zd dA Ay yd dy yd dA A解：取平行于x轴和y轴的微元面积材料力学Mechanics of Materialsz zy yO Od dA

8、 Ay yz zr rAA 惯性矩、极惯性矩 惯性矩、极惯性矩材料力学Mechanics of Materials 图形对 图形对 y y 轴的 轴的惯性半径 惯性半径 图形对 图形对 z z 轴的 轴的惯性半径 惯性半径z zy yO Od dA Ay yz z 惯性矩、惯性半径 惯性矩、惯性半径 材料力学Mechanics of Materials已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPd dr rd dr rd dA AC Cyyzz解：取圆环微元面积材料力学Mechanics of Materials(1)选参考坐标系oyz,确定形心 zyoy轴肯定是形心主轴 y是对称轴Sz=SAiyi

9、,Sy=SAi zi(yi,zi)每个图形形心在参考坐标系下oyz坐标从而确定形心坐标为yc=Sz/A,zc=Sy/A=0组合图形的静矩ozc=yc组合图形的惯性矩材料力学Mechanics of Materials(2)组合图形的惯性矩z1yoozcIyc=SIyci=Iy组合图形的惯性矩Izc=?平行轴公式Izc=S(Izci+di2Ai)yzAyzdA惯性矩平行轴定理:y0z0y0z0ab材料力学Mechanics of Materials横截面上的正应力n 横力弯曲 尽管公式 s=Mzy/Iz 是在纯弯曲条件下建立的。但弹性理论和实验表明：对于具有对称截面的一般细长梁（梁的跨度l与高度

10、h之比l/h5），剪力对正应力的分布规律影响很小，上述计算正应力的公式仍然可用，并且具有足够的精度材料力学Mechanics of Materials 对于一般的弯曲梁，其弯矩是截面位置的函数。因此计算等截面直梁的最大正应力的公式为即横截面上的最大正应力发生在全梁最大弯矩Mmax所在横截面的最外边缘各点处正应力强度条件材料力学Mechanics of Materialsn对于变截面直梁，最大正应力不一定发生在弯矩为最大的截面上，必须综合考虑 M 和 Wmax 这两个因素，以确定全梁上的最大正应力，既确定一般应力表达式的最大值正应力强度条件材料力学Mechanics of Materialsn

11、对于塑性材料，由于其抗拉和抗压许用应力相同，梁的弯曲正应力强度条件为 smax s n 对于脆性材料，由于其抗拉和抗压许用应力不相同，梁的弯曲正应力强度条件为 s+max s+s-max s-正应力强度条件材料力学Mechanics of Materials已知 d1=100mm，d2=120mm，P=30 kN，l1=600mm，l2=800mm，s=100 Mpa。解 支座反力：FAy=FDy=P/2=15 kNBPd2Ed1l1l2l1ACDFAyFDy例 对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度EXAMPLE-1材料力学Mechanics of Materials画出弯矩图：关于荷载P对称，

12、且为折线。AB(CD)段上的最大弯矩MB=MC=9 kNm，位于截面B和C。BC段上的最大弯矩Mmax=ME=15 kNm，位于截面E1599A B C DEPEAB CDEXAMPLE-1材料力学Mechanics of Materials校核强度：截面E：WzE=d23/32=1.696105mm3故 smaxE=Mmax/WzE=88.4 MPa截面B(C):WzB=d13/32=9.81104mm3故 smaxB=MB/WzB=91.7 MPa。可见，最危险点在B(C)截面的上下边缘，且 smax=smaxB=91.7 MPa s 因此，该轴是安全的。PEAB CD 例 题 例 6-1

13、 已知：梁用18 工字钢制成,Me=20 kNm,E=200 GPa。计算：最大弯曲正应力smax,梁轴曲率半径 r解：1.工字钢一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB 706-88）18 工字钢：Me=20 kNm，E=200 GPa，求 smax 与 r2.应力计算3.变形计算 例 题 例 6-2 已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.惯性矩计算3.最大弯曲正应力例 3 已知：钢带厚d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。计算：带内的 smax 与 M

14、解：1.问题分析 应力变形关系：内力变形关系：已知钢带变形，求钢带应力与内力带厚 d=2 mm,宽 b=6mm,D=1400mm,E=200GPa，求 smax 与 M2.应力计算3.弯矩计算材料力学Mechanics of Materials若带厚 d=10 mm,4.讨论材料力学Mechanics of Materials例 图示外伸梁由铸铁作成，横截面为T字形已知 q=10 kN/m，P=20 kN，st=40 Mpa，sc=160 Mpa，校核该梁的强度。EXAMPLE-2PAC BD2m 3mq1myzCzC200200 3030材料力学Mechanics of Materials解

15、 支座反力:FBy=30 kNFDy=10 kN EXAMPLE-2FByFDyPAC BD2m 3mq1m弯矩图：10 kNm20 kNm材料力学Mechanics of MaterialsEXAMPLE-2yzCzC200200 3030求 Izc首先求形心C 的位置形心主惯性矩为：材料力学Mechanics of MaterialsEXAMPLE-2校核强度：FByFDyPAC BD2m 3mq1m10 kNm20 kNmB 截面：上边缘为拉应力下边缘为压应力材料力学Mechanics of MaterialsEXAMPLE-2校核强度：FByFDyPAC BD2m 3mq1m10 kN

16、m20 kNmC 截面：上边缘为压应力下边缘为拉应力所以仅对C截面拉应力校核。梁满足强度要求。材料力学Mechanics of Materials例 图示槽形截面铸铁梁。已知 b=2 m，Iz=5493 104 mm4，许用拉应力 st=30 MPa，sc=90 MPa，确定此梁的许可荷载。PACBDb b bq=P/byzO86134120401802020EXAMPLE-3材料力学Mechanics of Materials解:支座反力FAy=P/4,FBy=7P/4MB=-Pb/2弯矩图：弯矩图MC=Pb/4FAyFAyPACBDb b bq=P/bEXAMPLE-3材料力学Mechan

17、ics of Materials 分析可知，不管是对截面C还是截面B，该梁的强度均由最大拉应力控制最大正、负弯矩分别在C、B截面处，其值分别为 MC=Pb/4，MB=Pb/2弯矩图MC=Pb/4ACB DyzO86134120401802020由横截面尺寸可见，中性轴到上、下边缘的距离分别为y2=86mm，y1=134mm 材料力学Mechanics of Materials因此，只须计算C、B截面上的最大拉应力。得弯矩图MC=Pb/4ACB DyzO86134120401802020EXAMPLE-3由C截面上的最大拉应力材料力学Mechanics of Materials由B截面上的最大拉

18、应力得 得从而，许用荷载为从而，许用荷载为弯矩图MC=Pb/4ACB DyzO86134120401802020EXAMPLE-3材料力学Mechanics of MaterialsF=80kNACB1m 1m22060y1y2yzo220d例 跨长l=2m的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉、压许用应力分别为 st=30MPa，sc=90MPa。根据截面最为合理的要求，确定T字形截面梁的横截面尺寸d，并校核梁的强度。EXAMPLE-4材料力学Mechanics of Materials解：截面最为合理，应使梁同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力之比stmax/scmax与相应的许用应力之比

19、st/sc相等，同时达到破坏。即从而由于所以从而确定中性轴的位置。从而确定中性轴的位置。EXAMPLE-4材料力学Mechanics of Materials中性轴的位置与截面的几何尺寸有关，根据形心的性质，有由此求得EXAMPLE-422060y1y2yzo220d材料力学Mechanics of Materials所以，截面对中性轴的惯性矩为梁的最大弯矩为EXAMPLE-422060y1y2yzo220d材料力学Mechanics of Materials于是，危险截面上的最大压应力为此梁满足强度要求。亦可按最大拉应力校核此梁的强度亦可按最大拉应力校核此梁的强度EXAMPLE-4例 6-5 铸铁梁，y1=45 mm，y2=95 mm，st=35 MPa，sc=140 MPa，Iz=8.84 10-6 m4，校核梁的强度解：MD最大正弯矩 MB最大负弯矩危险截面截面 D,B危险点a,b,c截面D截面B材料力学Mechanics of Materials谢 谢！