三角函数的单调性与值域ppt课件.ppt

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1、火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去?第3课时三角函数的单调性与值域【课标要求】掌握正弦函数、余弦函数的图象，理解并掌握它们的奇偶性、值域相关的性质 【核心扫描】1了解三角函数的单调性和值域(重点)2会求函数的单调区间和值域(难点)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去自学导引 1正、余弦函数的单调性 正弦函数 ysin x(xR)在 上是增 函数，在 上是减函数；余弦函数ycos x(xR)在 上是减函数，在 上是增函数?2k2，2k2(kZ)?2k2

2、，2k32(kZ)2k，2k(kZ)2k，2k2(kZ)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去想一想：“正弦函数在第一象限内是增函数”这种说法正确吗？提示 不正确单调性是针对某一个区间而言的，在第一象限内，若 122k，在 12时，sin 1sin 2.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2正、余弦函数的最值及值域 正弦函数 ysin x(xR)，当 x 时，y最大1，当 x 时，y最小1；余弦函数 ycos x(xR)，当 x 时，y最大1，当 x 时

3、，y最小1.ysin x的值域为 ，ycos x 的值域是 2k2，kZ 2k2，kZ 2k，kZ 2k，kZ 1,1 1,1 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去名师点睛 1ysin x与 ycos x单调性(1)正弦函数与余弦函数在定义域上不单调，说“正弦函数(或余弦函数)在第一象限是增(或减)函数”是错误的 (2)正弦函数 ysin x(xR)的增区间为 2k2，2k2(kZ)的含义是指在 k 取每一个整数时，正弦函数在该区间上为增函数，而不是 k 取每一个整数时，正弦函数在这些并集区间上为增函数 火灾袭来时要迅速疏

4、散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(3)对求含有三角函数的复合函数的单调性，如 yAsin(x)其中 A0，0 的单调区间的确定，基本思想是把 x 看作一个整体由 2k2x2k2，kZ，解出 x 的范围，所得区间即为增区间，若 A0，0，可用诱导公式将函数化简为 yAsin(x)，则 yAsin(x)的增区间为原函数的减区间 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2正(余)弦函数的对称性(1)轴对称：对于正弦函数 ysin x，xR，我们发现函数的图象在每一个最值(最大

5、或最小)点处都有对称轴，方程为 xk2，kZ，而对于余弦函数，将正弦函数的图象向左平移2个单位长度得到，因此其对称轴方程为 xk，kZ.(2)中心对称：对于正弦函数 ysin x，xR，其对称中心为(k，0)(kZ)，而对于余弦函数，其对称中心为?k2，0(kZ)对称轴和对称中心都有无数个.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去题型一 求单调区间【例 1】求函数 ysin?6x 的单调递减区间 思路探索 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式将 ysin?6x 化为 ysin?x6形式，由于10，0)的函数求单调区间时，

6、应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间求形如yAcos(x)(A0，0)的函数的单调区间同上 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去【变式 1】求函数 y3cos?3x2的单调递增区间 解 由已知函数为 y3cos?x23，欲求函数 y3cos?3x2的单调递增区间，只需求函数 y3cos?x23的单调递增区间 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去由 2kx232k(kZ)，得 4k

7、43x4k23(kZ)，函数 y3cos?3x2的单调递增区间为?4k43，4k23(kZ)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去题型二 求值域、最值【例 2】求下列函数的值域(1)y|sin x|sin x；(2)y2sin?2x3，x?6，6.思路探索(1)先去掉题中的绝对值符号，再利用正弦函数的值域求解；(2)注意自变量的取值范围 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去解(1)y|sin x|sin x?2sin x?sin x0?，0?sin x0

8、，则 sin x1 时，ymaxab；sin x1 时，yminba.若 a0，则 sin x1 时，ymaxba；sin x1 时，yminab.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(3)ysin2xsin x1，令 tsin x.x?4，4，t?22，22.原函数可化为 yt2t1?t12254.当 t12时，有 ymax54；当 t22时，有 ymin1 22.故原函数值域为?1 22，54.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(4)y3sin

9、x1sin x235sin x2，1sin x1，1sin x23.535sin x25，则55sin x253.235sin x243，即2y43.函数 y3sin x1sin x2的最大值为43，最小值为2.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去题型三 函数的单调性【例 3】比较下列各组数的大小：(1)sin 250 与 sin 260；(2)cos158与 cos 149；(3)sin 5与 cos?125.审题指导 比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名

10、函数值进行比较【解题流程】火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去规范解答(1)函数 ysin x 在90，270上单调递减，且90250260sin 260.(4 分)(2)cos158cos?28cos8，cos149cos?249cos 49.函数 ycos x 在0，上单调递减，且 0849cos49，cos158cos149.(9 分)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(3)cos?125cos25sin10，由 ysin x在?0，2是增函数

11、，且510.所以 sin5sin10.故 sin5cos?125.(14分)【题后反思】利用诱导公式化到同一单调区间内进行比较三角函数式比较大小主要是利用三角函数的单调性，要注意两点：(1)同名；(2)同一单调区间 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去【变式 3】比较下列各组数的大小：(1)sin 27 与 sin 155；(2)cos 4与 cos 2；(3)sin27与 cos5.解(1)sin 155 sin 25 而 0252729，在 0 xsin 155.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机

12、立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(2)由于22432，故 4 与 2 不在 ycos x的同一单调区间内，cos 4 cos(2 4)而 022 4cos(2 4)，即 cos 4cos 2.(3)cos5sin?25sin310，0273102，sin27sin310.sin27cos5.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去误区警示 对复合函数的单调性认识不清而出错 【示例】函数 ysin?2x3的递减区间是_ 错解 由 ysin?2x3，得 2k22x32k32(kZ)，得到递减区间是?k512，k

13、12(kZ)ysin?2x3是由 ysin u与 u2x3复合而成的，而 u2x3在 R 上为减函数，故?k512，k12(kZ)是函数 ysin?2x3的递增区间 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去正解 ysin?2x3sin?2x3，即求 ysin?2x3的单调减区间，也就是求 ysin?2x3的单调增区间，由 2k22x32k2(kZ)，得 k12xk512(kZ)故填?k12，k512(kZ)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 求三角函数的单调区间，先对三角函数化简变形，使三角函数达到“统一”标准(即一个函数名，一个角，次数为一次)将 x前的系数转为正值利用复合函数单调性求解.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去单击此处进入单击此处进入活页规范训练活页规范训练