2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解).pdf

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1、专题1 0对数与对数函数【考点预测】1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果优=N(a 0且4 H 1),那么数x 叫做以。为底N 的对数,记作x=log“N,读作以。为底N 的对数，其中。叫做对数的底数，N 叫做真数.(2)常见对数：一般对数：以“3 0 且为底，记为log：,读作以“为底N 的对数；常用对数：以1()为底，记为IgN；自然对数：以e 为底，记为InN；(3)对数的性质和运算法则：log：=0；log；=1 ；其中 a 0 且a w l；dg：=N (其中 a o 且 a*l，N 0)；对数换底公式：1。8/=冷；log log“(MN)=log M+log N；M l

2、og,=log,M-log,N；log.,b=log,b(m,/?)；小*=6 和 lo g”=%;，1 log,/=i-;log”a2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函 数 y=log“x(a 0 且aw l)叫做对数函数.过定点（1，o）,即X =1 时，y=Q在（0,+8）上增函数在（0,+8）上是减函数当O v x v l 时，y 0,当X N I时，y0当O X o,当X 21 时，y o【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当。1 时，随。的增大，对数函数的图象愈靠近X 轴；当0。1 时,对数函数的图象随。的增大而远离x 轴.（见下图）a增大-【题型归纳

3、目录】。增大题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最 值（值域）题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例 1.（20 22全国高三专题练习）计算3*2 +27：+l g5 0 +l g2；（2）己知1 吗 口 吗（吆 切=1，求实数x的值;（3）若 1 8 =5,l o gl g9 =Z?,用 a,h,表示例 2.（20 22全国高三专题练习）（1）求1 0 8 2工/。8 3 8-唳 1 27 的值.（2）已知 1%5 =,3,=7,试用，6表示l o g21 3 52

4、1 2例 3.（20 22全国高三专题练习）（1）已知a,b,c均为正数，且 3。=4/?=6。,求证：+：=；a o c（2）若 6 0=31 6 0 b=5,求 2而新的值.例 4.（20 22全国模拟预测）若e=4,e=2 5,则（）A.a+b=00B.b-a=eC.ab n6例 5.（2022全国 模拟预测）已知实数4，V满足x 0,y 0,x w l,1,xy=yx,xlog,.x+-=4,则x+y=（）yA.2 B.4 C.6 D.8例 6.（2022.北京昌平二模）已知函数/。）=G 2-4 +2（”l,例 7.（2022全国 江西师大附中模拟预测（文）已知函数 x）=2 则不等

5、式l-x2,xl,/（X）/（X-1）的解集为.例 8.（2022辽宁东北育才学校二模）若函数/（X）满足：（1）Y X,七 0,内）且用XX2，都有）一/（为）0且 -1）的图像经过点（3,1）.（1）解关于x 的方程/2（x）+（m-l）x）+l-M=0；不等式 1 +/（切 -/（力 0的解集是，9）,试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例 10.（2022山东潍坊二模）己知函数 x）=loga

6、（x b）（a 0 且 a w l）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）B.ab0例 11.（2022江苏省高邮中学高三阶段练习）函数），=log”（x+3）-l（a 0 且 的 图 象 恒过定点A,若点A在直线w +y+l=0 上，其中?0,则工+工的最小值为（）m nA.3-2&B.1 +V2 C.3+2&D.2+2 0（多选题）例 12.（2022福建莆田二中模拟预测）已知函数8（3）=10当 上+4）（4 0 且4 工1 ）的图象如下所示.函数/（力=（&-1）,-。一，的图象上有两个不同的点A（x,y）,8（右），B./（x）在 R 上是奇函数C.“X)在 R 上是单调递增函数 D

7、.当X 20时，2/(x)/(2 x)-2 2 +3x,2 4 x 0例 13.(2022全国高三专题练 习)已知,)=1八 ，若 g(x)=|/(x)|-o r-aIn-,0JC2x+1的图象与x 轴有3 个不同的交点，则实数。的 取 值 范 围 为.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最 值（值域）例 14.（2022.陕西榆林市第十中学高二期中区 间 是（）（文）函数y=log2（4+3 x-d）的一个单调增2 x l实 数。的取值范围为（）1

8、 n1 rA.B.4 2J 4 2 jC.0,l D.6）例 16.（2 0 2 2浙江模拟预测）己知实数a,bw（1,-K ）,且 l o g3a+l o g 3 3 =l o g3 b+l o g”4 ,贝I j（）A.y/a b a B.b y/a a C.y/a a b D.a b a例1 7.（2 0 2 2全国.高三专题练习（理）函数段）=1 0 8”（0 1）在 2,上的最大值是（）A.0 B.1C.2 D.例18.（2 0 2 2重庆模拟预测）若函数/（X）=l o g“（-3 x 2+4 o r-l）有最小值，则实数的取值范围是（）B.(1,7 3)D.(5/3,+)【方法技

9、巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例 19.（2 0 2 2北京高三专题练习）若 不 等 式l o g“x0在 内 恒 成 立，则。的取值范 围 是（）A.4 a 1 B.a v l C.0。4 D.0 。1 6 1 6 1 6 1 6例 20.（2 0 2 2江苏高三专题练习）已知函数），=4）的值域为（0，f,若不等式108/4）0,若f(x)+ae2*+ln aZ 0 在(0，+8)上恒成立，求实数a的取值范围.例 23.(2022全国高三专题练习)已

10、知函数/(x)=+log“x(a 0,a丰1)在1,2上的最大值与最小值之和为6+k)g.2.(1)求实数。的值；(2)对于任意的x e 2,y o),不等式妙(x)-12 0 恒成立，求实数的取值范围.例 24.(2022陕西安康高三期末(文)已知函数 x)=(log“x)2+21og x+3(a0,aH D.(l)若/(3)=2,求 a 的值；若对任意的x e 8,12,x)6 恒成立，求。的取值范围.例 25.(2022上海高三专题练 习)已 知，(x)=3 21og2X,g(x)=log2x.(1)当xeL4时，求函数y=/(x)+4 g(x)的值域；对 任 意 x w 2,2+,其中

11、常数e N,不等式五)版(x)恒成立，求实数4的取值范围.【方法技巧与总结】(1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.(3)涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例 26.(2022河北张家口市第一中学高三阶段练习)已知定义域为(0,+8)的单调递增函数满足：Vxe(0,用)，有，(同一1 旧)=1,则 方 程/(力=-2+4*-2 的解的个数为(A.3 B.2 C.1 D.0例 27.(2022四川雅安三模(文)设,f(x

12、)是定义在R上的偶函数，对任意x e R,都有 x+4)=/(x),且当x e-2,0时，x)=(g _ 6.若在区间(一2,6 内关于x 的方程/(力log“(x+2)=0(a l)恰有3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是().A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,V4)D.画2)例 28.(2022.广西柳州.高一期中)已知a b 0,且a+-=l,则()A.sinasin/B.-C.2a+2b 272 D.lg+lgZ=0a b例 29.(2022河北保定二模)已知函数卜=3丁-2 在(0,+8)上先增后减，函数y=4 3-3”在(0,+8)上先增后减.若 log?(log?X1

13、)=log3(log2 x j=a 0,log2(log4 9)=log4(log2 x2)=b,log,(log4 X,)=log4(log3 X,)=c 0,则()A.ac B.ba C.ca D.a 0 且加W1,log,”3 0 且片1,若2机一”=0,则P 的 值 为()A.log,2 B.log23 C.2 D.33.(2022河南安阳模拟预测(文)已知正实数x,y,z 满足3=4，=(2 丫，则()1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2A.一+=一 B.+-=C.一 +=-D.+-=x y z y z x x y z x z y4.(2022河南南阳中学高三阶段练习(文)

14、已知函数f(x)=ln(2+2x)+ln(3-3 x),则()A.是奇函数，且在(0,1)上单调递增B.是奇函数，且在(01)上单调递减C.是偶函数，且在(0/)上单调递增D.是偶函数，且在(0,1)上单调递减5.(2022 全国高三专题练习)函数F(x)=log.(x-l)+2 的图象恒过定点A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)6.(2022.安徽六安.一模(文)设函数/%)=2-，/+4 ,(x)=ln(ar2-4 x+l),若对任意的e R,都存在实数巧，使得/a)=g(w)成立，则实数。的取值范围为()A.(-,4 B.(0,4 C.0,4 D.(0,27.(202

15、2.湖北 荆门市龙泉中学二模)设a 0 且a x l,若Jlog“xsinx+cosx对x e(0,()恒成立，则 a 的取值范围是()A.(0,)B.(0,y C.D.1/)4 4 4 2 48.(2022 浙江模拟预测)己知实数a,/，(l,+ao),且log?a+log,3=log?8+log”4,则()A.a ba B.b /a Ja a b D.a b 0/0,且a+=l,则下列结论正确的是()A.!丁的最小值是4a bB.ab+丁 的最小值是2ahC.2+2的最小值是2/D.logza+log?匕的最小值是一 210.(2022 广东汕头二模)设 a,4 c 都是正数，且4=6 =

16、9 ,则下列结论正确的是()1 2 1A.ab+bc=2ac B.ah+hc=ac C.4h-9b=4a-9C D.-=-c b a11.(2022,河北 高三阶段练习)下列函数中，存在实数，使函数,f(x)为奇函数的是()A.f(x)=lg(x+J%2+)B./(x)=x2+avnr2C.f(x)=-7 2 D./(x)=xln(eA+o)-c 1 z12.(2022江苏南京师大附中高三开学考试)当0 x 4；时，4 logx,则的值可以为()A.立 B.3 C.显 D.V22 2 3三、填空题13.(2022天津二模)已 知 Iog4(x+4y)=l+log2而，则x+2 y 的最小值为.

17、14.(2022全国高三专题练习)己知x2eT+inx=3,则e3-，+lnx=.f 4-1 x 115.(2022河南模拟预测(文)已知函数 x)=,若 1 1取值范围为.16.(2022河南开封高中模拟预测(文)已知函数y=/(x)为奇函数，且对定义域内的任意 X都有 l+x)=4 1 X).当x l,2)时，/(x)=l-log2x.给出以下4 个结论：函数y=/(x)的图象关于点化0)(e Z)成中心对称；函数y=|/(x)|是以2 为周期的周期函数；当X G(0,1)时，/(x)=lo g2(2-x)-l；函数y=/(|x|)在(左/+l)(%eZ)上单调递减.其 中 所 有 正 确

18、 结 论 的 序 号 为.四、解答题17.(2022北京高三专题练习)已知函数/(x)=logx(0),且a*1),设。1,函数y=|log“乂的定义域为 ，川(加 0 且 存 1.(1)求共x)的定义域；(2)判断/)的奇偶性并予以证明；(3)当时，求使_/(x)0的x 的解集.19.(2022北京高三专题练习)已知函数/。)=1 呜彳3 0)且 1),作出)V f(x)l的大致图像并写出它的单调性；20.(2022全国高三专题练习)已知函数/(x)=(log4X-3)-k)g4 4 x x e ；,1 6 时，求该函数的值域；21.(2022全国高三专题练习)已知：函数/(x)=log0-

19、5匕?在其定义域上是奇函数，。为常数.(1)求 a 的值.(2)证明：X)在(I,)上是增函数.(3)若对于 3,4 上的每一个x 的值，不等式 x)(g j+机恒成立，求实数，的取值范围.22.(2022北京东城高三期 末)曲 线 y=lnx在点A(/,hv)处的切线/交x 轴于点用.(1)当t=e 时，求切线/的方程；(2)。为坐标原点，记AA的面积为S,求面积S以r为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题1 0对数与对数函数【考点预测】1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果优=N(a 0且4 H 1),那么数x 叫做以。为底N 的对数,记作x=log“N,读作以。

20、为底N 的对数，其中。叫做对数的底数，N 叫做真数.(2)常见对数：一般对数：以“3 0 且为底，记为log：,读作以“为底N 的对数；常用对数：以1()为底，记为IgN；自然对数：以e 为底，记为InN；(3)对数的性质和运算法则：log：=0；log；=1 ；其中 a 0 且a w l；dg：=N (其中 a o 且 a*l，N 0)；对数换底公式：1。8/=冷；log log“(MN)=log M+log N；M log,=log,M-log,N；log.,b=log,b(m,/?)；小*=6 和 lo g”=%;，1 log,/=i-;log”a2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的

21、定义：函 数 y=log“x(a 0 且aw l)叫做对数函数.过定点（1，0）,即X =1 时，y=Q在（0,+8）上增函数在（0,+8）上是减函数当O v x v l 时，y 0,当X N I时，y0当O X o,当X 2 1 时，y g|x9=。+6logl818+log1818-logl89 2-b例 2.（2022全国高三专题练习）（1）求log?宝 Jog,8 Jog 27的值./1 -（2）已知log95=a,3=7,试用“，分表示log2135【答案】（1）18；（2）学 学.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到原式=（-21og25）（31og3 2）（-31og53）,再

22、利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到log37=6,log,5=2 a,再利用换底公式化简即可得到答案.【详解】（1）原式=bg2 5-2-log3 23/。8丁 33=（-2log25）（31og32）-（-31og53）=18 詈 黑 黑=18（2）由3:7 得到1%7=。,由logg5=a,得到a=glog3 5,即log3 5=2a.o35=log.35=log.：5+log.：7=24+Z?g21-log321-log37+log33-b+【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.2 1 2例 3.（2022全国惆三专题练习）（1）

23、己知a,h,c均为正数，且3a=4 b=6c,求证：+；a h c（2）若 60=3,60。=5,求 2而的值.【答案】（1）详见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）设3=4=60=%1，应用指对数的互化有a=log3%，匕=log4%，c=log6%，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求*2 +；1 、2即可证结论；a b c（2）应用指对数互化有。n lo g a S b n lo g e Q,应用对数的运算性质 求 詈?，进而可求 一）12清;的值.【详解】(1)设3=4=6=%,则无 1.a=log3 k,b=log4 k,c=log6 k,2 1 2 1-1-=-1-a b lo

24、g3 k lo g/=2 log4 3+log：4=log%9+log#4=logA.36=2logA 62而一二c2log6 k=21og/6,212.-a b c(2)由题设知：a=log603,=,5,得 1 -0=1 -log6G 5=log6012，l-a-/?=l-log603-log605=log6G 4，.1-既6。4 _ 21崎22 2,1 2(1-b)210g6a 12 2 12 口.l-a-b人 1 22(,-Z)=12,og,2 2=2，例4.(2022全国 模拟预 测)若e=4,e =2 5,则()A.a+Z?=100 B.b-a=eC.ab n6【答案】D【解析】【

25、分析】利用指数和对数互化，得 到“，后逐项判断.【详解】对于 A,由 e=4，e*=25.得 a=ln4,=In 25,所以 a+b=ln4+ln25=ln l0 0,故 A错误；25对于 B,Z?-a=ln25-ln4=ln,故 B 错误；4对于 C,aZ?=ln4xln2521n2xlnl6=81n22.故 C 错误：对于 D,25-a =ln25-ln4=ln ln 6,故 D 正确.4故选：D.例5.(2022全国模拟预 测)已 知实数x,满足x 0,y 0,y,正=y*,xlogvx+-=4,贝ijx+y=()A.2B.4C.6D.8【答案】c【解析】【分析】根据炉=y*得到”=土，

26、再利用换底公式得到土 =2,利 用 用=2,即X=丁，求出x=4,怆 y y y igy-y=2,所以x+y=6.【详解】由 =丫,得 ylgx=x l g y,乒=2.ig y y由 log,x+土 =4,log,x=警，所以警 +2 =4,y igy igy y所以 +土 =4,解得：-=2,则 用=2,即X=y2,y y y igy所以x=4,y=2,所以x+y=6,故选：c.例 6.(2022北京昌平二模)已知函数/(*)=以2_4奴+2(。2,(4,xo)上/(x)2,所以f(x)A logR的解集为(0,4).故选：Clogj x,x 1,例 7.(2022全国江西师大附中模拟预测

27、(文)已知函数/(x)=5 则不等式1-X2,X1,/(X)/(X-1)的解集为.【答 案】卜/【解 析】【分 析】分X 4 1、1%2和x 2,依次解不等式，再取并集即可.【详解】当X4 1 时，不 等 式/（x）/（x-D为 1-必1-1-1）2,解 得;xl；当1X W 2时，不 等 式/(x)f(x-D为(X1)易知2log,x0i 解 得I 。；2 2当x2时，不 等 式/（x）/（x-1）为lglXlgl（x T）,解 得x 2；2 2综 上，解集为：“卜：故答案为：卜/,例8.（2 02 2辽宁东北育才学校二模）若 函 数/（X）满足：（1）V,X2 0,e）且X尸 乙，都有叱誉

28、皿/X2 J=f(x,)-f(x2),贝厅(x)=.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答 案】b g，（kg产，（0。1）都 对）【解 析】【分 析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质;【详 解】对于条件，不 妨 设 占三，则 马-玉0,./（x2）-/（x,）0X2 Al./（占）/（电），./（x）为（0,内）上的单调递增函数，对于条件，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数.故答案为:b g；x.（logor,都 对）例9.（2 02 2全国高三专题练 习）设 函 数/（x）=log,“x（机0且 -1）的图像经过点（3

29、,1）.（1）解 关 于x的 方 程./（x）+（加T）.“x）+1 M=0；(2)不等式l+/(x)/(x)0 的 解 集 是(料，试求实数的值.【答案】x=9 或x=！；(2)a=2.o 1【解析】【分析】(1)根据给定条件求出，值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出/(X)范围，换元借助一元二次不等式即可得解.【详解】(1)由已知得 3)=1,即log”3=1,则小=3,于是得 x)=log3X,方程尸(x)+(/w l)/(x)+l 而=0 o /2(x)+2/(x)8 =0.从而得/(x)=2 或 x)=-4 ,即叫 3=2 或 log3X=-4,x=9

30、 或 x=,所以原方程的根为x=9 或x=2：(2)依题意，函数，(耳=1。氏中，从而得logsxw(-1,2).X 1+/(%)-a-/(x)0(log3x+l)-(log,x-a)0,令log3X=f,即一元二次不等式(f +l)-(a)(-。)=0 的两根，贝 U a =2,所以实数。的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例 1().(2 0 2 2 山东潍坊二模)已知函数/(x)=l o g“(x S

31、(a 0 且1)的图像如图所示,D.log“|4（）【答案】C【解析】【分析】结合函数人 力 的图象可得”1利-1 匕 1,令/（无）=log“（x b）=0J!|Jx=6+l,所以函数f（x）的零点为。+1,结合函数图象可知0/?+11,所以T b 0,故 A 错误；-a a b 0,又因为所以-因此 一 1不定成立，故 B 错误；因为即且0 1,所以0 d l,故 C 正确;a a因为0 网v l,所以。g“M 0 且。41）的图象恒过定点A,若点A 在直线m +y+l=0 上，其中 加 0,则的最小值为（）m nA.3-2/2 B.1 +夜 C.3+2夜 D.2+25/2【答案】C【解析

32、】【分析】由对数函数的性质，可得A（-2,-l）,可得2机+=1,再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数、=1 吗,（+3）-1 3 0 且。*1）的图象恒过定点4（2,1）,所以 一 2%一 +1 =0,即 2/+几=1,一 1 1 (1 2m.所以一+=+(2 +M)=+3,tn n y tn nJ m nn t r i又m 0,所以2 0,竺 0m n所以2+跑+32 2肚.迎+3=2及+3,当且仅当巴=2，即=近 机=正 _ 时取等号.m n m n m n故选：C.(多选题)例12.(2022.福建.莆田二中模拟预测)已知函数8(力=10&(犬+女)(4 0

33、 且”)的图象如下所示.函数/(x)=(l)a-a T 的图象上有两个不同的点A(X QJ,8(,必)，则()B./(x)在R上是奇函数C./(x)在 R 上是单调递增函数【答案】BCD【解析】【分析】D.当xNO时，2/(x)0 且*1 )在(一 2,+)上单调递增，所以0 1,因为g(x)经过(-1,0),所以g(T)=log“(-l+A)=0,所以a=T+A,k=2,故A 错误.对于B,f(x)=ax-ax,定义域R 关于原点对称，=“X),所以 x)在R上是奇函数，故 B 正确.对于C,对于/(力=。*一。-”,由题意不妨令王%,占 eR,%eR,则/(%)-小2)=卜1-焉-/-5)

34、=(优，-*)+1小 心 一 叫,因为X x2,xteR,x2eR,a ,所以 a&f+l 0,a-0,4%-。处0,即 f (玉)/(%),所以/(x)在R上是单调递增函数，故C正确.对 于D,2f(x,)-f(2x)=2(ax-ax)-(,x 2 o,所以()(ax)a2x a2xax+lO,(a-l)3O,a2 0,所以一(“+”优)当且仅当x=0时等号成立，即当时,2f(x)4 f(2x)成 立,故D正确.故选：BCD-2x?+3x,-2 W x 0例13.(2022全国高三专题练 习)已知,*)=1八 ，若g(x)=|/(x)|以一。In,04x42 1 1X+1的图象与X轴有3个不

35、同的交点，则实数的取 值 范 围 为.-rln3 1【答案】二,-)3 e【解析】【分析】由分段函数解析式，结合导数研究l/(x)l的性质，再将问题转化为lf(x)l与y=(x+l)有3个不同交点，应用数形结合的思想有y=a(x+l)与l/(x)l在0 4 x 4 2上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或N=a(x+1)过(2,ln3)时参数a的值，即可知。的取值范围.【详解】由题设，-2 x0/(%)-2(x-)2+J ,故值域为-14,0艮单调递增；4 80 4 x 4 2上/(*)=-0,故 值 域 为 Tn3,0且单调递减;X+1 (%)I在-2 Mx 0上值域为 0,14且单调递减

36、；在0 x2上值域为 0,ln3且单调递增；要使g(x)与X轴有3个不同的交点，即1/。)|与y=a(x+l)有3个不同交点，它们的图象如由图知:要使函数图象有3 个交点，则y=a（x+D 与（x）I在0 4 2 上至少有2 个交点,由0 4 x 4 2,g（x）=f/（x）|=-l n-L,则，（幻 言/=工，X+l X+1此 时,若 3 1 与 y=a（x+l）相切时,切点为（?,。（加+1）,-=a加+1-In 一!=。(m+1)2+1可得e当丁=。（工+1）过（21113）时，有3。=In3,得。In 3 1 V 。=4 +3x4的增区间，只需x73所以所以函数y =lo g 2（4

37、+3x-d）的一个单调增区间是故选：C2 I -Q/一X-%l实数a的取值范围为（）1 n1 I-A.B.l_4 2）|_4 2 JC-（*D.1/）【答案】B【解析】【分析】分函数/（x）在R上的单调递减和单调递增求解.【详解】2 I -当函数X）=J 4 一 是R上的单调递减函数，lo g x-l,x l所以0 0且1,所 以 当 时，/（可不可能是增函数,所以函数/（X）在R上不可能是增函数，综上：实数a的 取 值 范 围 为,故选：B例 1 6.(2 0 2 2浙江模拟预测)己知实数 a,b&(l,+o o),且 a+lo gf t 3 =lo g3+lo g“4 ,则()A.b a

38、B.b /a /a a b D.a b /a【答案】A【解析】【分析】,1 ,1对 lo g3 a-lo g,4 =lo g,b-lo g,3 利用换底公式等价变形，得 lo g.,b-_-lo g,a-，结lo g s D i g 3 a1合yux-2的单调性判断b lIo g 4 -;1，即x lo g 3 b lo g 4 alo g,b lo g4 a,再根据对数运算性质得I o g 4 a =l o g 2&】o g3&，结合y =k g?*单调性，b 8,继而得解.【详解】由 1083 4-1。8“4 =1083 6-1083可得1083 6-1二=1083。-一 l og,a ,

39、l og,b l og4 a l og3 a因为y =x 在(-oo,0),(0,+oo)上单调递增，且 l og/,l og,fe e(0,+oo),所以 l og：b 10g467-,所以 10g)10g 4，l og3 b l og4 a乂因为 l og4 a=l og2 4 a l og3 4 a 且.V =l og3 x 单调递增，所以由 l og3 b l og3 4 a 可知b，综上，a b a -故选：A例17.(2 02 2全国高三专题练习(理)函数次；0=108以(0 g ar 在。2,上是减函数，.,A )m ax fia2)ogaa22.故选：C例18.(2 02 2重

40、庆模拟预测)若函数/3=1%(-3/+4 6-1)有最小值，则实数a的取值范 围 是()A.(上 八 B.(1,6厂)C.(o,孚)D.(+0,则(),即可求出。的大致范围，再令一 3 丁+4 奴-1 =0 的根为演、巧且 w(x)=-3 x2+4 ar-l,y =l og u,对。分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；【详解】解：依题意aw(O )U(l，y)且一3/+46-1 0,所以AWG/TZ)。，解得a 或a ,综上可得。w(咚 )u(l,+00),令一 3 万 2+4 奴-1 =0 的根为/、演且占七，t(x)=-3 x2+4 ar-l,y =l oga u,若a

41、 l,-)，则y =l og/在定义域上单调递增，(x)=-3/+4 6-1 在，与)上单调递增，在(年,3)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，/(x)=l og“(-3 82+4 依-1)在 卜，等)上单调递增，在(年，)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若g 在 定义域上单调递减，(0=一 3 犬+40 1 在 件)上单调递增，在(母，乙)上单调递减，根据复合函数的单调性可知，f(x)=l og“(-3 x 2+4 ar-l)在(4华)上单调递减，在(华上单调递增，所以函数在=等 取得最小值，所以故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路

42、和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例 19.（2 02 2.北京.高三专题练习）若不等式V-l og.x 0 在（0，）内恒成立，则。的取值范 围 是（）A.4 al B.7 1 C.0 a 4 D.0 a 1和01 时，由x e（0,；）,可得l og“x。，又由W 0,此时不等式/-1。8“0不成立，不合题意；当0al 时，函 数 尸 10ga X在（0,g）上单调递减，此时函数y =-i og.x 在（o,g）上单调递增，又由y =V在（0,g）匕单调递增，要使得不等式r-l og.x v O 在（0,；）内恒成立，可得

43、-l og，4，解得上2 2 lo故选：A.例 20.（2 02 2.江苏.高三专题练习）已知函数y =的值域为（o，A，若不等式108“仆 4）现 （2*-）在*4 1,2 上恒成立，则/的取值范围是（）A.（不2）B.（q,+8）C.（-00 D.（0,2）【答案】A【解析】根据题意，先求得a 把不等式地 停 ）0r-t Q 在X目1,2 上恒成立，结合指数幕的运算性质，即可求解./4v 2A-r【详解】z-x av2-2x+4由题意，函数；的值域为。次，可得函数y的最大值为1而 当。=0时，函数y=显然不存在最大值;当a 0时,z x O A-2-2X+4函数y=(W)在x e,8,：)

44、上单调递增,在上单调递减,当x=工时，函数 有最大值，即(1丫%“=_1,解得a =:；a 16 2当a 0时，y=在上单调递减，在口)上单调递增,此时函数y无最大值，所以l og,(f-4lj 0即2，T0 在xe l,2 上恒成立,t-4x2x-t由t 0在x e l,2 上恒成立,可得t 0；由2 T 0在x e l,2 上恒成立，即f 不 节=1 f在 L 2 上恒成立，2.H-2X1 5 O/(x)=2Y+,可得函数/(x)在 1,2 上单调递增，所以耳 加=1)=5,即经 丁综上可得|，g(x)n m,结合对勾函数、对数函数的性质求f(x)、g(x)的区间最值，即可求。的范围.【详

45、解】若f M在 3,4卜一的最大值/(x)ma x,g(x)在1 4,8 J 卜一的最大值g(x)由题设，只需/(X)ma x Ng(X)1 rax即可.在 3,4 上，/(x)=+x 2 -x=6 当且仅当x=3 时等号成立，由对勾函数的性质：f(x)在 3,4 上递增，故/(耳皿 寸2 5.在 4,8 上，g(X)单调递增，则 g(X)ma x=3+，2 5 1 3所以 2 3+4,可得.4 4故答案为：(一双守例 2 2.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)已知函数/(x)=x-l n x,已知实数。0,若f(x)+a e+l na N0 在(0,+8)上恒成立，求实数a的取值范围.【

46、答案】a-2 e【解析】【分析】把不等式作等价变形，构造函数g(x)=x+l n x,借助其单调性可得a e2，Zx,分离参数构造函数并求出最大值作答.【详解】函数 f(X)=X -I n X 定义域为(0,+8),则/x e(0,-H)：f(x)+ae2+l na 2 0 o a e+x+l na 2 1 nxo ae2+2 x+I na 2 x+l nx=ae2+l n(a e2 t)x+l nx,令g(x)=x+l n x,函数g(x)在(0,+8)上单调递增，则有原不等式等价于g(a e2 )Ng(x)o ae2x x -4-,e2 tY 1 9 y 1 1令)=W，x 0,求导得：当

47、0 不 0,当时，”*)0,1)在 1,2上的最大值与最小值之和为6+log.2.(1)求 实 数。的值；(2)对于任意的万2,田)，不 等 式4。)T N()恒成立，求实数的取值范围.【答 案】(I)2;(2)/+8)【解 析】【分 析】(1)根据指对数函数的单调性得函数f。)=优+log.0,。*1)在 口,2上是单调函数,进 而 得/+“一6=0,解 方 程 得a=2；(2)根据题意，将问题转化为对于任意的xw 2,+oo),4 2 1 恒成 立，进而求函数的最值f(x)即可.【详 解】解：(1)因为函数、=。,丫 =108,/(4 0,“#1)在口,2上的单调性相同，所 以 函 数 门

48、 =优+log“x(a 0,a 0,aK l).(1)若/(3)=2,求”的值；若对任意的相 8,12,x)6 恒成立，求。的取值范围.【答案】(1)。=；卜(1,8).【解析】【分析】(1)由/(3)=2 可求得log.3的值，进而可求得实数。的值；(2)由f(x)6 可得出log“x l,分0 1两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数。的取值范围.(1)解：因为/(3)=2,所以(log“3)2 +21og 3+3=2,所以(log,3+1=0,所以log 3=-l,解得”“(2)解：由 x)6,得(108“同2+2 1 0 8,/-3 0,即(k)g“x+3)(log“x-

49、l)(),即 log x l.当Ovavl 时，logJ2logflxlogfl8,则log.8l,因为 log.l2l 不成立，由 log“8 -3 可得 8,得:。1 时，loga8logaxloga1 2,则log“12l,因为 log.12log“l=0,则 log,12 l,解得 l a 依 恒 成立，求实数女的取值范围.【答案】(1)0,2；(2)当 =0 时 丘 S，-2),当”=1 时%(9,3),当“N 2时,k e f-oo,4/7-15+j.【解析】【分析】(1)依题意可得y=(4-21og2Xlog2X,根据二次函数的性质计算可得：(2)由 /(x 2)./(五)k-g

50、(x)得(3-41og2X)(3-log2X)o g 2 X,令f=10g2X,(3-旬(3 7)/，对一切的/,+口恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围；【详解】(1)因为/(x)=3-21og2X,(x)=log2x,y=/(x)+l-g(x)令 y=/?(x)=(4-21og2 x)-log2x=-2(log2 x-l)?+2,Vxel,4,A lo g,x e0,2,所以当叫 4 小，即x=2时取最大值九侬=2,当题 产=0或2,即x=l 或x=4时取最小值(%,=。，.函数网力的值域为0,2.(2)i/(x2)-/()A:-g(x)(3-41og2x