2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)26 数列的通项公式.pdf

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1、专题2 6数列的通项公式【考点预测】类 型I观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的个通项.类型 公式法:若已知数列的前项和“与 明的关系,求数列 4 的通项%可用公式_1 ,(n=l)=S)IT,(“2 2)构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能，种是“一分为二 ，即分段式;另种是“合二为 ，即q和合为个表达，(要先分=1和 2两种情况分别进行运算，然后验证能否统).类型!H累加法：-fln-=(n-l)形如。川=+/()型的递推数列(其中()是关于”的函数)可构造：/1-2=2)a2-|=/()将上述叫个式子两边分别相

2、加，可得：%=/(l)+f(2)+.J(2)+AD+q,(22)若f()是关于“的次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f()是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若丁()是关于 的二次函数,累加后可分组求和;若f()是关于 的分式函数，累加后可裂项求和.类型!V累乘法:厶=/(D%形如,+=%如()/()型的递推数列(其中f()是关于 的函数)可构造：7也=f(-2)an-2一)将上述;2个式子两边分别相乘,可得：a (n-1)-/(n-2)./(2)/(1),(2)有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.类型V构造数列法：(-)形如(M=Pq,+%+=。（6,+丄J

3、 ）=an+-=p（.l+-）,即p-p-p-1 p-1 p-1“+构 成 以q+9 为 首 项,以 为 公 比 的 等 比 数 列.再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出I P-Ij。1 +”的通项整理可得法 二:由。+|=Pa n +q得an =Pan-+（2 2）两式相减并整理得 =即 +|。“构成以-%-%为 首 项,以为公比的等比数列,求出。1 的通项再转化为类型I（累加法）便可求出。.（二）形如。“+=PQ“+/（）（PWl）型的递推式:（1）当.5）为一次函数类型（即等差数列）时:法 一:设。“+An +B=。T +（n-1）B通过待定系数法确定A、8的值,转化成

4、以al+A +B首项，以，=kJ 为公比的等比数列%+A”+母,再利用等比数列的通项公式求出 al l+An +B 的 n-m）l通项整理可得。”.法二：当/（）的公差为”时,由 递 推 式 得：an+l=pan+（n）,%=。“_1+/（-1）两式相减得：。同一=P（“一可）+d，令 bl,=a -a“得:=。Z*+d转化为类型V 求 出 ，再用类型HI（累加法）便可求出”“.（2）当.）为指数函数类 型（即等比数列）时:法一：设4,+/（號）=。,+f（1）,通过待定系数法确定的值,转化成以q+（1）为首项,以二首兩为公比的等比数列%+f（）,再利用等比数列的通项公式求出%+f（）的通项整

5、理可得。“.法二：当/（）的公比为q时,由递推式得：an+l=pan+f（n）-，an=pan_x+f（n-1）,两边同时乘以 得a,“=。死“T +（T）-,由两式相减得。,用。“0,0）型的递推式:在原递推式+1 =两边取对数得lg%+=4lg%+Igp,令-=Iga 得:-+1=效+I g p,化归为,用=+型,求出之后得=10%（注意:底数不一定要取1 0,可根据题意选择）.类型V n 倒数变换法:形如4-%=p ,/（为常数且。）的递推式:两边同除于a,/,转 化 为 丄=丄+。形式,。働化归为n t,=pan+q型求出丄 的表达式,再求,；an还 有 形 如%M=吧 的 递 推 式

6、，也 可 采 用 取 倒 数 方 法 转 化 成 =丄+形 式,化 归 为p%+q,.+i q p“+1 =P。+型求出丄的表达式，再求明 册类型皿 形如an+2=Pa N+敦“型的递推式:用待定系数法,化为特殊数列 与-4,一 的形式求解,方法为:设“川=力（。,用“）,比较系数得 f t +k =p,-hk =q,可解得、,于是 4fl+如”是公比为人的等比数列,这样就化归为a,.=p%+4 型.总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式4“.【题型归纳目录】题型:观察法题型二：叠加法题型三:叠乘法题型四

7、:待定系数法题 型 五:同除以指数题型六：取倒数法题型七:取 对数法题型：已知通项公式an与前”项的和S,关系求通项问题题型九:周期数列题型十:前项积型题型_|_ 一.“和”型求通项题型十二:正负相间讨论、奇偶讨论型题型十三:因式分解型求通项题型十四：其他几类特殊数列求通项题型十五：双数列问题题型十六:通过递推关系求通项【典例例题】题型:观察法例1.（2022山东聊城高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵,将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之 间,形成下一行数列,以此类推不断得到新的数列.如图,第一行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2;第三行得到数列1,2,2,4,2

8、,，则第5行从左数起第6个 数 的 值 为.用 表示第“行所有项的乘积,若数列 与 满足Bn=Io g2A,则数列 纥 的 通 项 公 式 为.案】8 纥=之 土【解析】(1)根据题意,2从左数起第6个数的值为8；(2)A=2,A2=22=2+2f,A3=25=2I+3+3,-21 4=21+39+3+32,第 5 行的数歹 依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,1 6,8,32,4,32,8,1 6,2=241=23M l+3,3S故有 =2 1+3。+3+3。.,I-3-I l+3nh,-2 匕=2 21+3 T则 纥=Io g 24=IOg 22 2l +3,1-12故答案为:8；

9、纥=与 里例 2.（2022河南商丘高三阶段练习（理）将数列 2 与 3 +1 的公共项从小到大排列得到数列%,则其通项un=.【答案】4【解析】数列 2 中的项为:2,4,8,16,32,64,128,256,经检验，数列 2 中的偶数项都是数列 3+1 中的项.即4,16,64,2 5 6,可以写成3+1的形式,观察,归纳可得=4.故答案为:4.例 3.（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花 ，最终融合成一朵“大雪花 ，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界!（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在 1904年构造的能够描述雪花

10、形状的图案.图形的作法是从个正三角形开始,把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,反复进行这过程,就得到个“雪花 状的图案.设原正三角形（图）的边长为3,把图二中的，图形的周长依次记为4,2,3，%,，得到数列 叫.值;（2）求数列%的通项公式.【解析】（1）%=12,3=16.（2）由图形的作法可知:从边数看,后个图形的边数是前个图形的边数的4 倍，所以,从个正三角形开始,“雪花 图案的作法所得图形的边数是以3 为首项，4 为公比的等比数列,所以，第个图形的边数为34,从边长看,后个图形的边长是前个图形的边长的g 倍,所以,从个正三角形开始,“雪花 图案

11、的作法所得图形的边长是以3 为 首 项,为公比的等比数列,所以,第个图形的边长为3 g）,所以，an=9 r例 4.（2022宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文）种十字绣作品由相同的小正方形构成,图，,，分别是制作该作品前四步时对应的图案,按照此规律,第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为他 .写 出。2,。3，为，。5 的值;(2)猜想数列”“的表达式,并写出推导过程;求证:工+.+=生 一 1 1 4 一 14 T2).【解析】(1)解:根据图，分别是制作该作品前四步时对应的图案,按照此规律,可知 4=1,出=5,o =13 f g =25,=41.(2)解:数列的通项

12、公式为:an=2n2-2n+l;推导过程如下:由图可得;/4=4 X1 ；a3-a2=4x2；%=4x3；%。4=4x4；(71-1)/?.由上式规律,可得 。1 =4(1),所以2,j _ =4(l+2+3+4+1)=4=2(n-l),2所以=2/?2-2/?+1 ,当/?二 1 符合即数列的通项公式为=2 2 +1.22(3)解:由4=2 2+l,当 N 2 时,an 一 1 In2 一 2 (-1)n-iH 11111 z 1所以原式=-1-1-h +(-2 2 3 3 4 7?-1n n因为“C N,可得3()可得+二-7 0,neN(1)若 =I,求数列 凡 的通项公式;记=4,若在

13、数列%中,(j W*),求实数。的取值范围.【解析】(1)由 题 意,“川=J，得:-=n,运用累加法:%+l%+%1111 Il,C n(n+)-+1+H.=+2+=,a2 q a3 a2 a+an.2%+1 =”(“+1)+1 _ n2+n+2p2 a22九2+2 =E T石P=L7=1时,也 成 立,C inK;由 2,2n-U -n2 n-V 2p，n n2 n-V 2p由题意仇=也 即2n4-n2-n +2p 6+p化 简 得:(-4)2 (4),当 4 时,pn-22+l32+l/2(-l)2+l)w2+l2M2+1又=1满足,所以数列也 的通项公式为=-n+1由可得+笠L+,所以

14、，“=年 =M7=戸+正 一E4T _ 1 1 1 1 n+2以?L=一戸+K(+=(+)1 1 1 n +2 1所以nr即 为 岡 运又因为(+/()2),所以丁 =an 所以。=2-里班.马.生q =J.H I=丄,又因为当“勺 时,a=if符合上式,，”-2 -3 2。-1 几2 3 2 n所以。=.f 5 I例17.(2022.全国 高 三 专题练习)记S 为数列 的前项和,已知4=L 昌是公差为的等差数列.Q n(1)求 的通项公式;1 1 I C(2)证 明:一 +1z?+n n-n 2-X-X-X-Xn-n2 n3 n4.6 X 5 X 4 X 3 X 11 =-z-?-(w-+

15、-l-)4 3 2 1 2当=1时,SI=-=21 =4 成立,n(z7+l)2、H C Q k(+1)(Zi-I)ZT当 22 时，%=Sn-S1=-=当=1时,4=1 满足上式,%=.故答案为:例 2 2.(2022全国 高三专题练习)数列 中,6=1,当 2 时,=2%,为.【答案】a,=2 【解析】解:因 为 q =2%,2所以厶=2,也=2,生.=?”,=2?-2 啞 1,则数列 叫 的通项公式累 乘 得:=2 2,l 22a22,2,N*,所以=2 2=2 2,n2,neN%由于4=1,所以=2竽，e V.显然当=I 时,满 足 =2空所以故答案:a 22-例 23(2022全国

16、模拟预测)在数列,叫 中,4=1 +L n F,ll+LIr +7 1n 乙 I-乙)4C/I Il I*1 I c 且对任意wN*,2+4恒成立,则实数丸的取值范围是（）A.(-,-lB.-00,丄2c,鸟,1 D.”）【答案】An n-n-2 n-3 2 1【解析】解:由.=而可。“,得=而!r HX帀可XL、X诟X1 2 1=-X-;-T X =2-1 仆 +1)415 2),(+1)x2-1?所以my =2(2 2)当=1时，2a 2x丄 符合上式，!宀所以，丄=2(+1,所以?；=l2 +222+2”,2Tl=l22+22i+-+n-2+l,作差得一(=2+22+L+22向/(总)_

17、“.2,川=(1 n)2向2，所以=(-I ”+2.由(,;l2 +4,得(-1)2向+2X 2+4,整理得2(1)一 击.易知函数y=2(x-l)击 在 ,+)上 单调递增,所以当x l,+)时,Vmin=T，所以2 -l故 选:A.【方法技巧与总结】数 列 有 形 如 =人)4 T的 递 推 公 式,且7(1)(2)/()的 积 可 求,则 将 递 推 公 式 变 形 为2=/(),利用叠乘法求出通项公式。,%题型四:待定系数法例24.(2022全国高三专题练习)己知数列 q 满 足:4=l,%=4,4%+-3”,-a,+2=0,设1區西而旗西T T P -NT-则+仇+-=-【答案】20

18、222023【解析】依题意 at=l,a2=4,4+-3-+2=,4+2-4+I=3(+I 一%),所以数列 4.4 是首项a2-al=3,公比为3的等比数列,所以-=3，n-=3.c ,l-Ciy+(_ q)+3a2-(,-O_1)=1 +3+3?H-3l=-=-,O1-1 也满足,1 3 2r-r-U 3”-1所 以 =，b_ 1 _ 1 1_1_Io g3 3 Io g3 3+!麗(+n +l所以+,+爲)2 2 =_；+；_g+1 1 1 1 2022H-=1-=-2022 2023 2023 2023故答案为:20222023例25.(2022,四川宜宾 二 模(理)在 数 列%中,

19、4=1,6Z2=,且满足2%,出=%(3%)(N 2),贝 q=.【答案】2,-l【解析】解:因 为q=l,外=：，2,4M=,(3%+-,),显然 产，所以勲的=3+1-%必“，为首项、2为公比的等比数列，所以丄 丄=2 x 2 =2,所以f l+I1-2=2-+22+2I+1=+11-2=2 1 所以=2,1-l故 答 案 为:王 例26.（2022.全国高三专题练习）已知数列 中，4=l,+=丄，若=2 则数列也 的前n项和Sn=【答案】+6I95 1【解析】由.+=3-2 有4丄=2 丄=2 2 an an12，%-2 =丄殳22 2 an两式相除得到%一2=-2所以S“=_1 42I

20、,所以 呼,.32+4T4 一2“5是以为公比,从而=一2 4,3 32n 1 4,-l 2n 4n-l 4,+6 n-l-X-3 3 33 994 2fl-2一”为首项的等比数列,所以,故 答 案 为:-，一9例27.（2022.全国高三专题练习）已知数列的递推公式q，且首项q=5,求数列%的通项公式.解析！令,用=4 =X.先求出数列的不动点X=3x-4X-I解得X1=X2=2.将不动点X1=X2=2代入递推公式,得.向2=如y-2整理得%+1-2=g1 (,-2)+lan+l-2-21J-1令=-2bz=b,+l,bt=-l-=l.数列也,是以1 为 首 项,以 1为公差的等差数歹.,.

21、4 的通项公式为 =l+(/J-l)l=n-将=一代入,得 一 72=n3.%=熹+22例 28.（2022全国高三专题练习）已知数列 叫 满 足:4=2,=-（2）,求数列%的通项公1 +an-式.【解析】因为+121 +%故 T=胃且/+2=毛山1 +“1故 I+2=_ 2(4.+2),1 -an-,而+1 +2岑=4 (),故 0，=-24-1 1 q +2-1所以数列风+2-1是以4 为 首 项,以2为公比的等比数列,ci+2/C、T/-w+(2)+2故T T T =4x(-2)=(-2),解得/=/=an 1(一 2)-1例 29.（2022.全国高三专题练习）己知数列 q 中，%=

22、3,4=1,求 4 的通项.【解析】因为 4 的特征函数为 X）=竺:则特征方程为 r Q P X2-3-2 =0 解 得 1，=2,._4a,_,-2 3(又+%+2 =,即=g（+2）.（2）由递推关系式,得（。那5%）-（-5）=2,令=4+1 5%,则一鼠-=2 ,且=02-5 q=2.bn=+（K -4）=2+2=2 2曲=2 符合该式,-5=2,令。“=2 ,则 2（2c向5%）=2 ,即 2-5%=l,即 2（*+j=5（c,+）,且 Cl=,故+是以为 首 项,为公比的等比数列.張广-+郭”5 ).例33.（2022.江苏.高三阶段练习）已知数 列 满足q=3,。向=2,-+l

23、,（1）求数列 凡 的通项公式;（2）若数列 l满足%=(2n+l)(2n+l),求数列匕,的前项和I【解析】(1),+l=2-n+I,.,+-(+l)=2(a,)由此可得数列%构成以4-1=2为首项,公比g=2的等比数列,利用等比数列通项公式得:a,-n=2x2T=2,所以数列 4 的通项公式为:=2n+n.(2)由(1)得I =2(2+l)(2+,+1)(2+l)(2+l+1)-2+1 2+,+l11I12l+l 22+l22+l 23+l2n+l 2t+l3 2+,+1*例34.（2022全国高三专题练习）数列 q 中，al=-1,。,用，求%的通项公式.2。,1.1-【解析】Q=I=立

24、 ，,。“厂1 _12。“2-,._ 1-111,即r =-1+-1 1又 =T,则大=-5是首项为;,公差为1的等差数列,1-=l+(zn-ln)(/-ln)=-1 -n ,即l,a =3-2 =-2-3-=1,2,。“-1 2 2 1 -2 2 1-2n-故答案为 宀 罚【方法技巧与总结】形如。“+=p,+q（p,q为 常 数,网 0且PWI）的递推式，可构造。“+1 +=p（。,+）,转化为等比数列求解.也可以与类比式。“=P。,1+4作差,由。,。“=p（。“。“，构造。,出。“为等比数歹,然后利用叠加法求通项.题型五:同除以指数例35.（2022河南高三阶段练习（文）已知数列%的首项

25、4=3,且 满 足=2,+2的1 ,（1）设=2,证明,是等差数列;4+L+“一1 4 T（2）求数列 为1的前项和.【解析】（1）将等式。向=2 4+2向1两边都减去1得-1 =2（4-1）+2+I.再除以2出得 =*+1,即用=+L即%也=1.且=1.所以 4 是首项为1,公差为1的等差数列.由 ）知勿=,所 以 ,=%J =,%=2+1.所 以%-1=2.则 S“=l2+22Z+323+2.2Sn=l22 223+324+n2n+1.(2)-得:-Sn=2+22+23+-+2-n 2+-Sn=2(2-1)一 2+=(1-n)2-2 所以S),=(1)2+2.例 36.（2022.天津.二

26、模）记S“是公差不为的等差数列 叫 的 前 项 和,已 知%+3%=$5,q%=$4,数列他 满足bn=3%+2-l（n2,nN*）,R bl=Oi-I.（1）求 的通项公式;证明数列/+1 是等比数列，并求 的通项公式;（3）求证:对任意的 N*,./=1 L【解析】（1）解:设等差数列 4 的公差为d,dO,因为03+3 4 =S 5,01%=4,则a.+2d+4+d 3()7.=+他 9d+=6 5d 1 +1 Od,解得f=22 或1ftz=.=()O（舍去）,所以6=2;(2)证明:因为=3 1 +2(n 2,neN,),所以=丄+丄2 2,l 2所以曾一+l32因为=q-l,所以+

27、I q所以数列1*+1 是以1为首项,I为公比的等比数列,所以竺+1 =因,2n(2丿所以。=3-2；(3)证 明:由 得 =7丄 *，故之丄+丄+丄+丄 仇 b2 bi b,I1 1 1 II 1 Y!7 =1-J=I-1.3所以端 一三a2,即数列 条 是首项为1,公差为2的等差数列,./=2 1,得 =(2 1)3.例38.(2022 全 国 模 拟 预测)已知数列 可 满足q =1,a,l+l=4 an-2n.求证:数列%是等比数列:(2)求 数 列:1的前 项和T【解析】因为=40“一 2 ,所 以%2=4(,-2),由于q =1,因此2T=4(%-2-2)=4T(4 2)=0,所以

28、“-2T=0,即=2)所以数列%是首项为I,公比为2的等比数列.,n n 由（1）知。=2,故 =布,an 所以=+戸+戸，1 1 2 3 n-n +井 +戸+牙 两式相减,得L+身 泉+击2+22-T所以北=4_/1+2【方法技巧与总结】形如,+=Pa,+，(p 0且 pl ,dl )的递推式,当 p=时,的等差数列;当p 时,两边人可以同除以“得 患=&+：,两边同除以d 转化为关于转化为向=+）.题型六:取倒数法例39.（2022全国髙三专题练习）已知数列 能 满足4=g,且 川=,则数列氏=【答案】【解析】解:由 .=也T两边取倒数可得 丄=丄+3，即丄 丄=33 n-l 3q,+l

29、allfl al,tl a所以数列 丄I是等差数列,且首项为2,公差为3,所以丄=3 -l,Ja所以。=377-1故答案为:例40.（2022 全 国 高三专题练习）数列 勺 中，(+5/1+6+5+15，人,“9 9)6A.丄2019d2018B.2019C.-2020C 2019D.2020【答案】C(5+10)%5(+2”“【解析】由+1(/72+5/2+6+5+15(n+3)(n+2)n+5,故（+3）%=簫絹，记d=（+2）可，则 加=热两边取倒数,得!=!+!,所以 I是以:为公差的等差数列,+.5 也 5又 I=丁1 =2,所以1 =2+(z ,J =/2工+1,所以 =b?=/

30、“丄1 ”5 、，b 3al 5 bn 5 5 5 n+2(+(+2)F 5 11 1乂 ZQ O=.F 100101 2020故 选:C.C i 1 5 y例 41.(2022江苏南京模拟预测)已知数列 叫满足u=2,叫;+一 若q=1,则 =;若演=短则=【答案】2604;【解析】由。用=/#一取倒数 得 丄=丄+2 *,即丄 丄=2的,2 2.%+l an+an+1 an贝 当 1 2 时,-F (-)+(-)+,+(-)=-F 2-+2+2=2 4 H-,an a a2 a。3 a2 an-l 4%当=1时,上式也成立,于是得丄=2-4+丄,an%当q=丄时,丄=2向2,有=22川一

31、2，于是得 丄=芷 二?(-1)=2604；2 an ai 占4 占 3当”=10 时,丄=2-4 +丄,即 2046=2044+丄,所以 q=L1()4 4 2故答案为:2604；【方法技巧与总结】对-于-aaa”ret z-I0/zg 1 b4-cci b 1 cn+l=J(c 0),取倒数得=-=一 +-.h +c an l a an a 4 a当时，数 列 同 是等差数列;当。时,令b,=L 则山=也+,可用待定系数法求解.a a题型七:取对数法例 4 2.已知数列%的首项为9,且 为=d +2(“2),若“=一!一+丄,则 数 列 的 前 项 和4+2 an+l=-【解析】解:数 列

32、%的首项为9,且”“=心+2%(.2),所 以:an+l=+1)2,所以两边取对数得:g(a,+l)=2 g(,+l),整 理 得:0+I)=2(常数)，(.,+l)所 以:数 列 /R(4,+1)是以/g(9+l)=l 为首项,2 为公比的等比数列.所 以:/g(4+I)=IX倉,所以：,=IO2-1,由于 =,3+2%，所 以:4用=匕 +2ll+,故：两边取倒数得到:+=-!-一一L,4,+2 an+l al,an+l所以数列 ,的前”项和Sn=(-)+.+(-)=-=-4 2 a,l 1 1 9 IO2-1故答案为:-9 IO2-1例 43.（2022蚌埠三模）已知数列 ,满足4=,%

33、+1=2 J ,若b“=log。”一 2,则 优 女 的最大256值为.【解析】解:数 列 满足 =-,4+I=2禽,.log2 4,+=1 +:IO glaB.,也=1%4 _ 2,bn+i+2=l+(+2),变形为：%=:,.数列 a 是等比数列,首项为 1 0,公比为*n=-o n则咆，.也=(一 10)”X(严T)=(T )X2 2 =(n).垣 土 a =齊，只考虑为偶数时,于（）221P时，=4 时,3=亘 O 4 0)的递推公式,则常常两边取对数转化为等比数列求解.题 型 :已知通项公式。“与前项的和S”关系求通项问题例45.(2022 全国 髙三专题练习)已知正项数列%的前项和

34、5“满 足:5.=22,(“电).求数列4,的通项公式;【解析】.S.=2q,-2,5e N.),S=2,-2,(n 2,N,)两式相减得到 ,=2.,(n 2,n N+).当=1时,可 得q=2,又.可。,.是首项为2,公比为2的等比数列.端 的通项公式为q=2(c N+).例46.(2022 全国 高三专题练习)已知正项数列 q的前项和为S.,满足2 S,=4+4-2.求 数 歹 M“的通项公式;【解析】2S“=+2；当=1时,代入得4=2.当 2时,2S,i=-2；-得 2 an=an-an-l+-1.整理得al,+,l=-l=(-l)(+a,-i),因为“0,所以a,%=l(2),所以

35、数列%为等差数列,公差为1,所以“=+1.例 47.(2022江西九江三模(理)已知数列%的前项和为S”,且满足q=2,an+l+,=35+6.求 :(2)求 数 列 L卜的前项和.(+,【解析】(1)当 =1时,见+4a=3S+6,；4=2,电=4.当 2时，由 4,+4a,=3S,+6,an+4al =3S,.1+6,两式相减得an+l-an+4(%0一 )=3%即。“+1 =4a_,.数 列%,%,均为公比为4 的等比数列.2=2-4-=22-,a2 n=4-4=2.%=2.+2=+2 _2P n(n+l)a,J (+1)2 n2(n+l)2,+l1 IL I gl12(n+l)2+1-

36、(+I)?例.,.数 歹“、的前项和(+i)a“J48.(2022福建福州三中高三阶段练习)已知数列 q 的前项和为S,=l,Sz,=如警求数列%的通项公式;若 bn=2-,a,tl 求数列 的前项和.【解析】(1)山析S“=(+?%,所以2S“=(M+l)a”,当 2时,2S,=解T，-得 2,(rt+l)t,-M,(W-I)=加*,整理得&=宅,所以 纟 为常数数列,又=1,n n-!nJ 1所以=.由(1)得d =2Tq川=(+1)2T,所以Z,=2X2+3X2+4X22+(A+1)2T，27；,=22l+322+423+(w+l)2,(2),-得一T；=2+(2+2?+2T)-(+12

37、=2+-(+1)2 =2，1 2故Tn=2.例49.(2022全国高三专题练习)已知数列 的前项和为5“，4=4,a2=S,且色垃2S,用+S,=4.(1)求 证:数 列 叫是等差数列;若 ，黑,図。,用成等比数列,求正整数【解析】(1)因为S g2-2Sm+Slf=4,所以S+2-S,+l-S向+S,=4,即(SN-S向)一(S向 S,)=4,则%+2-4+I=4.又4=4,%=8,满足4=4,所以 叫 是公差为4的等差数列.由(1)得，=4+(一l)x4=4,则 s=(+甸=2 +2.2乂 Si=14,a,+l,所以(2+2)=144zn4(w+l),/je N_,化简得，2+7 -56=

38、0,解得，=7 或/n=-8(舍).所以 的值为7.例50.(2022.青海.海东市第一中学模拟预测(理)设数列 4 的前项和为球,Sn=2an+n-4.(1)证明:数列 是等比数列.2 1 170(2)若 数 列 的前，项和，=燃,求 7的值.M a向 J 513【解析】(1)当=1 时,=2q-3,al=3.当N2时，S,=2 +(-l)-4,两式相减得 =2,-1,即%-1 =2(%T-1),q-1=2,则数歹1是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)得4-1 =2,atl=2+1,当 =1 时,4=2 +1 =3,数列 叫 的通项公式为=r+x.FCl）=，1 _2m+l+l得2

39、川+1=5 1 3,解得m=8._1_3 2蒜+1例51.（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）己知正项数歹改q 满足q+2%+3%+-%=+2,且以,+1(+2)(1)求数列应 的通项公式;求数列圾 的前项和s.【解析】（1）解:因 为4+2 0 2+3/+。“=+2”,当2时,+2a2+3iH-F l)a,_|=(1)-+2(-1).(2)一得n a,=2+1,所以。“=之”+】当=1时,4=3,也满足上式，所 以 为=&IL(2)解:因为“=I+二 匕0，+1 nr l则,=a-+1 2 2 l 1 2 1 1 (11 =-F+l =7 2 +1-=7 2 +1-7Z+1 72 72

40、(72+1)72 71(T2+1),+l=4S-l.(1)计算的值,求 q 的通项公式;设 为=(T)Z a 同,求数列出 的前2 项和T2n.【解析】解:当=1时,aia2=4!-1,解得=3,由题知4,A +=4S“-1，an+an+2=4 S ,由一得+i(+2-)=4+,因为q O,所以an+2-an=4,于是：数列%的奇数项是以q=l 为 首 项,以 4 为公差的等差数列,即旳,1=1+4(W-1)=4/7-3=2(2M-1)-1,偶数项是以=3 为 首 项,以 4 为公差的等差数列,即,=3+4(1)=4-1所以 叫 的通项公式=2 1；(2)解:由 可得 =(-1)”(2 D(2

41、H+1),”+b2lt=-(4-3)(4 -1)+(4/7 1)(4 +1)=4(4/7 -1)&=(+)+(4 +幻+(包,+%)=4 3 +7 +(4n-l)=4 +：”).=4W(2+1).例 56.(2022福建省福州第一中学三模)设数列%的前项和为S“，q=0,a2=,咻1-(2+l)5,+(w+l)5,_,-l=0(.2).证明:为等差数列;(2)设=2 ,在 和,M之间插入个数,使这+2 个数构成公差为的等差数列,求 的前项和.【解析】(1)证明:因为-2 时，S用(2 +I)S“+(+l)S,i-l=0,则(S向一 S J-(+D(S,-S,)-l=0,即。“+1一(+l)a,

42、_=0,n.2,因为电 2-1=0,.则 nan+1-(n +l),-1=0,n N*.，所以(-1)%T T=0,.2.,则一得nan+l-Inan+4 T=,.2,gp n+n-1=2an,n,.2,所以 4 为等差数列.(2)解:由(1)可得 4”的首项为q=O,公差为的6=1,所以。=T，所以=2,所以q =k 亠 言则 戸，/7 +1 H +1记 的前项和为刀,则 7 2 (J +3 )+电)+.+(+I)C)，所以3=2 0+3 巧+“0+0+(+1)(；)，则一得丄7L=2+(g)+(g J +(g j-(+呜J,.所以荘=l+g+l)()=3一(+3)出,2所以北=6-(+3)

43、(g).(2022.全国高三专题练习)已知数列 满足=2,+1=2(5n+n+l)(n)令 =4 +1.求 证:2 是等比数列:(2)记数列“4 的前项和为7“,求”.【解析】(1)证 明:q=2,%=2(G+1+1)=2X(2+2)=84+1=2(5“+(e N*),4=2(S,+)(2)-得,。向=3。“+2(w e )经 检 验,当=1时上式也成立,即=3+2(W N)所 以/+1 =3&+1)即或“=3仇,且仇=3.所以 2 是首项为3,公比为3 的等比数列.(2)由(1)得=3 ,，也,=3.所以,=1X3+2X32+3X33+X3,37；,=l32+233+334+3n+l 两式相

44、减,得-27；,=3+3?+3?+3-x3”“了 =（2匕1）,I+例 57.（2022.全国高三专题练习）已知数列 令,的前项和为S”,且有27+2-/+2%3+2 Un=n 2.求数列 的通项公式;设=，（为数列也 的前项和,证明:7；,4J匕lI+l,l+Q1 Q2 n+2 +24 4VnN,J -0,=2-2.鹿+2 n+2例58.(2022江西高三阶段练习(理)已知首项为1的数列%的前项和为S”,且nSll+t-(n +2)S,=”(+l)(n+2).(1)求 证:数列 T是等差数列;(2)求数列 a“的通项公式;(3)若数列 bn满足a2n+t+b,=a2 n,求 证:仇也.仇bn

45、.+爲=2”,1 +T+-J-=2T,2-1两式相减得:k-=2-,2n+l所以=（2n+l）2,经检验符合要求.则，=I+。2 +，则 S“=3+5x2+7x22+9x23+(2+l)2T,2Sl l=32+522+723+924+(2+l)2,O,-得:-S,=3+22+23+24+2-(2M+1)2=3+-(2+l)2n=-1+(1-2)2H,所以S,=(2 1)2+1 故答案为:(2n-l)2+l例61.(2022全国模拟预测(理)已知数列%的前项和为5“.若4=2,an+1 S,则w o=(A.297 B.298 C.2 D.2l,w【答案】C)【解析】当 2时,由向=S“,可得：=

46、S,两式相减得:a -an=an,所以“+=2%,n 2,当九=1 时,a2=Sl=al=2f故数列%是从第二项开始的,公比是2 的等比数列,所以=1 2,所以400=2故 选:C例 62.（2022陕西省神木中学高一期末）已知数列 的前项和为S,4=S“+2,4=（）贝 SJI=A.(+1)2,B.(n+l)2nl C.2T D.n-2【答案】D【解析】因为=S“+2向,则S N-S =Sf,+2“，于是得瑞 苗=1,因此数列（寺 是公差为I 的等差数列,首项!b=I则=1+(T)X 1，所以S,=2J故 选:D例 63.（2022内蒙古赤峰二中模拟预测（理）在数列 4 中,q=l,Sn+l

47、=4a,+2,A.75722020 B.7572209 C.75722018 D 无法确定【答案】A“9的值为（）【解析】、=1,5+l=4an+2,；.S2=ai+a2=4al+2,解得旳=5.,=4,+2,+2=4,+1+2,两式相减得,an+2=4a,+1-4a,.an+2-2a,l+i=2（+,-2 ）,+,-2,是以%-2 4=3 为首项,2 为公比的等比数列,.%+2 4=3 x 2 两边同除以 评,则芻 祟=%.*是以 为公 差,*=;为首项的等差数列,.*=；+（，L l）X=写-2 =(3n-)2-2,.L9=(32019-1)220I77572202.故 选:A.【方法技巧

48、与总结】对于给出关于与与S,的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向,在应用时要合理选择.一个方向是转化S“为%的形式,手段是使用类比作差法,使S,-S,=,2,),故得到数列也 的相关结论,这种方法适用于数列的前“项的和的形式相对独立的情形;另一个方向是将。,转化为5“-,.1(2 2,先考虑5“与S,一的关系式,继而得到数列“的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解%的问题,这种情形的解决方法称为转化法,适用于数列的前项和的形式不够独立的情况.简而言之,求解”“与S”的问题,方法有二,其称为类比作差法,实质是转化S“的形式为“的形式,适用于S“的形式独立的情形，其二称为转化法,实质是转化

49、”的形式为S”的形式,适用于S”的形式不够独立的情形;不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围.题型九:周期数列例64.(2022河南安阳 模拟预测(理)已知数列 q 满足q,a向q+2=T(eN*),4=-3,若 q 的前”项积的最大值为3,则 的 的 取 值 范 围 为()A.-1,0)0(),1 B.-l,0)C.(0,l D.(,-1)U(1,-K)【答案】A【解析】数列 鳩 中,N*,an a+l-a+2=-l ,则有向”向闱m=T，因此，VneN,“+3=4,，因数列 q 的前项积的最大值为3,则当=6k,%eN.,(的 前

50、项 积%=143,当 =6 +1,N*,%的前 项积%=4=-343,当 =6+2,:N*,%的 前 项 积=fl =一3旳 3,解得的-l,当=6+3,N,能 的前项积 令%-143,当=6+4,e N*,%的前 项积 生q=一4=343,当=6+5,eN*,J的前项积q%=勾/%=一%=3 3,解得 1，显然,产(),综上得一三或()的.，所以的取值范围为,0)u(0,i.故 选:A例65.(2022广东深圳高三阶段练习)已知数列 中,q=l,%=2,+2=(-l)n+l+2,则 包=a 9()A.3 B.C.D.13 13 19【答案】D【解析】当为奇数时,4 2-%=2,即数列 4 中