2023年数理统计参考超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、习题一 1 设总体X的样本容量5n，写出在以下 4 种情况下样本的联合概率分布.1),1(pBX；2)(PX；3,baUX；4)1,(NX.解 设总体的样本为12345,XXXXX，1对总体(1,)XBp，1122334455511155(1)(,)()(1)(1)iinxxiiiixxP Xx XxXx XxXxP Xxpppp 其中：5115iixx 2对总体()XP 11223344555115551(,)()!ixniiiiixiiP Xx XxXx XxXxP Xxexex 其中：5115iixx 3对总体(,)XU a b 5511511,1,.,5 (,)()0iiiiaxb i

2、f xxf xba，其他 4对总体(,1)XN 25555/2221511111 (,)()=2exp22ixiiiiif xxf xex 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取 20 个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表 1.1：表 1.1 频率分布表 i 0 1 2 3 4 个数 6 7 3 2 2 iXf 0.3 0.35 0.15 0.

3、1 0.1 经验分布函数的定义式为：(1)10,(),=1,2,1,1,nkkkxxkF xxxxknnxx，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4xxxFxxxx 图 1.1 经验分布函数 x()nFx 3 某地区测量了 95 位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：组下限 165 167 169 171 173 175 177 组上限 167 169 171 173 175 177 179 人 数 3 10 21 23 22 11 5 试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解 图 1.2 数据直方图 它近似服从

4、均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即(172,5.64)N.4 设总体 X 的方差为 4，均值为，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得满足9.0)(kXP.解 -54 100XPXkPk 555 PkXk 因 k较大，由中心极限定理,(0,1)4 100XN：-55PXkkk (5)(1(5)kk 2510.9k 所以：50.95k 查表得：51.65k，0.33k.5 从总体2(52,6.3)XN中抽取容量为 36 的样本，求样本均值落在 50.8 到 53.8 之间的概率.解 25250.853.8 1.14291.71436.3/36XPXP 252(0,1)6

5、.3/36XUN 50.853.81.14291.7143(1.7143)(1.14290.9564(10.8729)0.8293PXPU ）6 从总体(20,3)XN中分别抽取容量为 10 与 15 的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于 0.3 的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,XX与115,YY，其对应的样本均值为：X和Y.由题意知：X和Y相互独立，且：3(20,)10XN，3(20,)15YN (0.3)1(0.3)P XYP XY 0.31()0.50.5XYP (0,0.5)(0,1)0.5(0.3)22(0.4243)0.6744XYNXYNP XY 7 设11

6、0,XX是总体(0,4)XN的样本，试确定 C，使得1021()0.05iiPXC.解 因(0,4)iXN，那么(0,1)2iXN，且各样本相互独立，那么有：10122(10)2iiX 所以：10102211()()144iiiiCPXCPX 1021110.0544iicPX 102110.9544iicPX 查卡方分位数表：c/4=18.31，那么 c=73.24.8 设总体X 具有连续的分布函数()XFx，1,nXX是来自总体X 的样本，且iEX，定义随机变量：1,1,2,0,iiiXYinX 试确定统计量niiY1的分布.解 由条件得：(1,)iYBp，其中1()XpF.因为iX互相独

7、立，所以iY也互相独立，再根据二项分布的可加性，有 1(,)niiYB n p，1()XpF.9 设1,nXX是来自总体 X的样本，试求2,EX DX ES。假设总体的分布为：1(,);XB N p 2)();XP 3),;XU a b 4)(,1);XN 解 1)EXEXNp(1)DXNppDXnn 2(1)ESDXNpp 2)EXEX DXDXnn 2ESDX 3)2abEXEX 212baDXDXnn 2212baESDX 4)EXEX 1DXDXnn 21ESDX 10 设1,nXX为总体2(,)XN的样本，求 21()niiEXX与21()niiDXX。解 22212(1)(1)(1

8、)(1)niiEXXEnSnESnDXn 222421(1)(1)niinSDXXDnSD 又因为 222(1)(1)nSn,所以：2412(1)niiDXXn 11 设1,nXX来自正态总体(0,1)N，定义：1211|,|niiYXYXn，计算12,EY EY.解 由题意知(0,1/)XNn，令：YnX，那么(0,1)YN()E YnE X221|2yy edy22022yyedy 022te dt 22(1)2 1(|)2)E YEXn 21111(|(|2)()nniiiiE YEXEXnnE X 12 设1,nXX是总体(,4)XN的样本，X为样本均值，试问样本容量n应分别取多大，才

9、能使以下各式成立：12|0.1EX；2|0.1EX；3(|1)0.95PX。解 1)4(,4)(,)XNXNn，(0,1)2/XUNn 2E X242/XEnn 242/2/XXDEnnn 4100.1n 所以：40n 2)令：(0,1)2/XUNn()2/XEE Un2212uuedu 2201222uuedu 所以：220.1E Xn 计算可得：225n 3)111PXPX 222/nXnPn 22nn 210.952n 查表可得：0.9751.96,15.362nun，而n取整数，16n.13 设1(,)nXX和1(,)nYY是两个样本，且有关系式：1()iiYXab,a b均为常数，0

10、b ，试求两样本均值X和Y之间的关系，两样本方差2XS和2YS之间的关系.解 因：111niiYXanb 11 1niiXnab n 1Xab 所以：1EYEXab 即：222112221111111111=1nnYiiiiniXiSYYXaXannbbXXSnbb 14 设15,XX是总体(0,1)XN的样本.1)试确定常数11,c d，使得2221121345()()()cXXdXXXn，并求出n；2)试确定常数2c，使得222212345()/()(,)cXXXXXF m n，并求出m和n.解 1因：12(0,2)XXN，345(0,3)XXXN 标准化得：12(0,1)2XXN，345

11、(0,1)3XXXN且两式相互独立 故：22234512(2)23XXXXX 可得：112c，113d，2n.2 因：22212(2)XX，23452(1)3XXX，所以：221223452(2,1)3XXFXXX，可得：23,2,12cmn.15 设(),(,)pptnFm n分别是t分布和F分布的p分位数，求证 21/21()(1,)pptnFn.证明 设1(1,)pFn，那么：()1()1P FpPFp ()()12()2()12P TP TpP TppP T 所以：12()ptn 故：2112()(1,)pptnFn.16 设21,XX是来自总体)1,0(NX的一个样本，求常数c，使：

12、1.0)()()(221221221cXXXXXXP.解 易知12(0,2)XXN，那么12(0,1)2XXN；同理12(0,2)XXN，那么12(0,1)2XXN 又因：1212(,)0Cov XXXX，所以12XX与12XX相互独立.221212222121212()(1)()()()()XXc XXPcPcXXXXXX 212212()()1XXcPXXc 212212()20.11()2XXcPXXc 所以：0.9(1,1=39.91cFc）计算得：c=0.976.17 设121,nnXXXX为 总 体2(,)XN的 容 量1n的 样 本，2,X S为 样 本1(,)nXX的样本均值和

13、样本方差，求证：11(1)1nXXnTt nnS；2211(0,)nnXXNn；3211(0,)nXXNn.解 1因：1()0nE XX，211()nnD XXn 所以：211(0,)nnXXNn，1(0,1)1nXXNnn 又：2221(1)nSn 且：11nXXnn与221nS相互独立 所以：1222111nXXnnnSn11nXXnnS(1)t n 2 由 1可得：211(0,)nnXXNn 3 因：1()0E XX，211()nD XXn 所以：211(0,)nXXNn 18 设1,nXX为总体2(,)XN的样本，X为样本均值，求n，使得(|0.25)0.95PX.解(0,1)/0.2

14、50.250.25/XUNnXPXPnnn 20.2510.95n 所以：0.250.975n 查表可得：0.9750.251.96nu，即62n.19 设1,nXX为总体,XU a b的样本，试求：1(1)X的密度函数；2()nX的密度函数；解 因：,XU a b，所以X的密度函数为：1,()0,xa bf xbaxa b，0,(),1,xaxaF xaxbbaxb 由定理：1(1)()(1()()nfxnF xf x 11(),0,nbxnxa bbabaxa b 1()()()()nnfxn F xf x 11(),0,nxanxa bbabaxa b 20 设15,XX为总体(12,4

15、)XN的样本，试求：1(1)(10)P X；2(5)(15)P X 解(12,4)12(0,1)2iXNXN(1)(1)10110P XP X 51110iiP X 511110iiP X 51121112iiXP 51(1(1)51(1)0.5785 5(5)11515iiP XP X 51121.52iiXP 55(1.5)0.93320.7077 21 设11(,)mmm nXXXX为总体2(0,)XN的一个样本，试确定以下统计量的分布：11121miim nii mnXYmX；221221miim nii mnXYmX；3212212311nmmiimiiXnXmY 解 1因为：21(

16、0,)miiXNm 所以：1(0,1)miiXNm，2221()m nii mXn 且1miiXm与221m nii mX 相互独立，由抽样定理可得：11122211=()mimiiim nm niii mi mXnXmYt nXmXn 2因为：22211()miiXm，22211()m nii mXn 且2211miiX与2211m nii mX 相互独立，所以：22211222111=(,)1mmiiiim nm niii mi mnXXmF m nmXXn 3因为：21(0,)miiXNm，21(0,)m nii mXNn 所以：2212()(1)miiXm，2212()(1)m nii

17、 mXn 且212()miiXm与212()m nii mXn 相互独立，由卡方分布可加性得：22222111(2)mm niiii m nXXmn.22 设总体X服从正态分布),(2N，样本nXXX,21来自总体X，2S是样本方差，问样本容量n取多大能满足95.067.32)1(22SnP？解 由抽样分布定理：2221(1)nSn,221(32.67)0.95nPS,查表可得：n121，n22.23 从两个正态总体中分别抽取容量为 20 和 15 的两独立的样本，设总体方差相等，2221,SS分别为两样本方差，求 39.22221SSP.解 设12=20=15nn，分别为两样本的容量，2为总

18、体方差，由题意，2222221112222222(1)19(1)14=(19)=(14)nSSnSS，又因2221,SS分别为两独立的样本方差：21221222221919=(19,14)1414SSFSS 所以：221122222.3912.3910.950.05SSPPSS .24 设总体),(2NX，抽取容量为 20 的样本2021,XXX，求概率 157.37)(85.1022012iiXP；258.38)(65.1122012iiXXP.解 1因(0,1)iXN，且各样本间相互独立，所以：20222022121(20)iiiiXX 故：210.8537.570.990.050.94P

19、 2因：2022212219(19)iiXXS,所以：221911.6538.580.9950.10.895.SP 25 设总体),80(2NX，从中抽取一容量为 25 的样本，试在以下两种情况下)380(XP的值：1 20；2 未知，但样本标准差2674.7S.解 1 222(80,)8080(80,)(0,1),(24)255/2580380320/54XNXXXNNtSXPXP，314P U 12(0.75)1 220.77340.4532 2808032.0647.2674/5XPXP 12.0641 2 0.97510.05P T 26 设1,nXX为总体2(,)XN的样本，2,X

20、S为样本均值和样本方差，当20n 时，求：1();4.472P X 2222(|);2PS 3确定 C，使()0.90SPCX.解 1 2(,)(0,)14.4724.472XNNXnXP XP 10.841320XP 22222222222PSPS 222322PS 221322SP 22199.528.5SP 其中222219=(19)S,那么 222222199.528.529.528.50.950.050.9SPSPP 3 120/20SXXPcPPXSccS 其中，=(19)/20XTtS，那么 200.9SPcP TXc 所以：0.920(19)=1.328tc,计算得：3.367

21、6c.27 设总体X的均值与方差2存在，假设nXXX,21为它的一个样本，X是样本均值，试证明对ji，相关系数11),(nXXXXrji.证明 cov(,)(,)()()ijijijXX XXr XX XXD XXD XX 21()()ijnD XXD XXn 21ov(,)()ijijijCXX XXE X XX XX XX Xn 所以：1(,)1ijr XX XXn.28.设总体2(,)XN，从该总体中抽取简单随机样本)1(,221nXXXn，X是它的样本均值，求统计量niiniXXXT12)2(的数学期望.解 因2(,)XN，)1(,221nXXXn为 该 总 体 的 简 单 随 机 样

22、 本，令iin iYXX，那么有2(2,2)iYN 可得：112niiYYXn 22211(2)(1)nnin iiYiiTXXXYYnS 22(1)2(1)YETnESn 习题二 1 设总体的分布密度为：(1),01(;)0,xxf x 其它 1(,)nXX为其样本，求参数的矩估计量1和极大似然估计量2.现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值.解 计算其最大似然估计：11111(,)11ln(,)ln(1)lnnnnniiiinniiLxxxxLxxnx 1121ln(,)ln0110.2112lnnniiniidnLxxxdnx 其矩估计为：13

23、.40.1 0.2 0.9 0.8 0.7 0.766X 3077.0121,212)1()1(1101021XXXxdxxEX 所以：1211 2,11lnniiXnXX ，120.3077,0.2112.2 设总体 X服从区间0,上的均匀分布，即0,XU，1(,)nXX为其样本，1)求参数的矩估计量1和极大似然估计量2；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解 1矩估计量：11,22.42EXXX 最大似然估计量：11111(,)ln(,)0nnninLxxnLxx 无解.此时，依定义可得：21max

24、ii nX 2矩法：2111.2,0.472212EXDX 极大似然估计：2221.1,0.4033212EXDX.3 设1,.,nXX是来自总体 X 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.总体 X的分布密度为：1,0(;),00,0 xexf xx未知 2(;),0,1,2,0!xf xexx未知 31,(;,)0axbf x a babba，其它未知 4)2,0(;)0 xxf x ，其它未知 5()/1,(;,),00,xexf xx，其中参数,未知 61,0(;,),00,xxf xx，其中参数,未知 722234,0(;),00,0 xxexf xx未知 8）22(

25、;)(1)(1),2,3,01xf xxx 解 1 矩法估计：111,EXXX 最大似然估计：11111(,),ln(,)lnniiinnxxnnniiiLxxeeLxxnx 2111ln0,niniiidnnLxdXx.2)()XP 矩估计：1,EXXX 最大似然估计：11(,),lnlnixnxnnniiiiLxxeeLnnxxxx 2ln0,dnxLnXd .3 矩估计：2,212baabEXDX 联立方程：2*2*2*221323aXMbXMabXbaM 最大似然估计：111(,)(;)()nniniLxxf xba,lnln()Lnba ln0dLndaba,无解，当1 minii

26、naX时，使得似然函数最大，依照定义，1 minii naX，同理可得1 maxii naX.4)矩估计：00lnEXdxxx，不存在 最大似然估计：122111(,),lnln2lnnnnniiiiiLxxLnxxx ln0nL，无解；依照定义，(1)X.5)矩估计：()/0()(1)(2)xtxEXedxt e dt X 22220()(1)2(2)(3)tEXte dt 222222122()iMXn 2222222*2*111,iMXXXMnXMM 即22*2*2111111(),()nniiiiXMXXXMXXnn 最大似然估计：()/1111(,)exp,1lnlninxnniLx

27、xenxnnLnnx 2ln0,ln()0nnnLLx ，无解 依定义有：(1)(1),LLXXXX .6)矩估计：1101EXxxdxM 2221201EXxxdxM 解方程组可得：22111*2221,MMMMMM 最大似然估计：1111111(,),lnlnln(1)lnnnnnniiiniiiLxxxxLnnx 1lnlnln0,ln0niinnLnxL 无解，依定义得，()nx 解得()111lnlnLnniixxn.7)矩估计：2222322230004222(2)xxtxxxEXedxedte dtX 2MX 最大似然估计：2222221331144(,)iixnxnniniii

28、ixLxxexe 222lnln43 lnlnlniixLnnnx 22332ln20,3iLixnLxn.8)矩估计：22222222220222222230(1)(1)(1)(1)(1)(1)1221xxxxxxxxddEXx xddddqXdqdqq 2MX 最大似然估计：222211(,)(1)(1)(1)(1)ln2 ln(2)ln(1)ln(1)inxnnxnniiiiLxxxxLnnxnx 222ln0,1LnnxnLX.4.设总体的概率分布或密度函数为(;)f x，其中参数，记0()pP Xa，样本1,.,nXX来自于总体 X，那么求参数p的最大似然估计量p.解 记001,;0

29、,iiiiyxayxa那么(1,)iYBp；11112112(,)(1)(1)ln(,)ln(1)ln(1)nniiiiiiyynyynninL p y yyppppL p y yynypnyp 12(,)0(1)nypdL p y yyndppp pY.5 设元件无故障工作时间 X具有指数分布，取 1000 个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：组中值ix 5 15 25 35 45 55 65 频 数i 365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：11(,),lnlninxnnxniLxxee

30、Lnnx 711120000ln0,2010001000iiidnLnxXxvdX 10.05X.6 某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取 10 只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用 1300 小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为x,2(,)xN,极大似然估计为：2211,()niixxxn 根据样本数据得到：2997.1,17235.81.经计算得，这个星期生产的灯泡能使用 1300 小时的概率为 0.0075.7.为检验某种

31、自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取 50 升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从 Poisson 分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数il 17 20 10 2 1 0 0 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解 设x为每升水中大肠杆菌个数，()xP，Ex，由 3 题2问知，的最大似然估计为x，所以 .150/1*42*310*220*117*0XL 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为 1 时，出现上述情况的概率最大.8 设总体2(,)XN，试利用容量为 n 的样本1,.,nXX，分别就以下两种

32、情况，求出使()0.05P XA的点 A的最大似然估计量.1假设1时；2假设2,均未知时.解 1 1，的最大似然估计量为x，0.950.95,0.95()0.95,xAp xApAA U 所以 0.95A UX.2 的最大似然估计量为x，2最大似然估计为*2M，由极大似然估计的不变性，直接推出*20.95MA UX.9 设总体 X 具有以下概率分布(;),1,2,3f x：x(;1)f x(;2)f x(;3)f x 0 1/3 1/4 0 1 1/3 1/4 0 2 0 1/4 1/4 3 1/6 1/4 1/2 4 1/6 0 1/4 求参数的极大似然估计量.假设给定样本观测值：1，0，4

33、，3，1，4，3，1，求最大似然估计值.解 分别计算 1,2,3，时样本观测值出现的概率：441111;3610497620;30ppp当时，当时，当时，由最大似然估计可得：1.10 设总体 X 具有以下概率分布(,),0,1f x：1,01(;0)0,xf x 其它，1,01(;1)20,xf xx 其它 求参数的最大似然估计量.解 最大似然估计应该满足：120,111max,;max;0,;1,nnLniiiiL x xxf xf x 0,10.511max 1,2nniix 结果取决于样本观测值12,nx xx.11 设1234,XXXX是总体 X的样本，设有下述三个统计量：123411

34、163()()XXXXa 12342234()/10XXXXa 12343()/4XXXXa 指出1,a2,a3a中哪几个是总体均值 a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解 22222111111()(),()()0.2763369ED 2(234)/10E，220.3D 223314(),0.25416ED 所以 123 ,无偏，3方差最小.12 设总体2(,)XN，1,.,nXX为其样本，1求常数k，使122111()niiiXXk为2的无偏估计量；2求常数k，使11|niiXXk为的无偏估计量.解 1 21222222111112(1)22(1)()2(1)niiiiiEEknx

35、xxxnnkk 令 2222(1)Enk 得 2(1)kn.2 令 1,2110,nkkk iiiixnnyxxxNnnn 222(1)2(1)122(1)xnnixn nE yedxnnn nk.13 设1,.,nXX是来自总体 X的样本，并且 EX=，DX=2，2,X S是样本均值和样本方差，试确定常数c，使22XcS是2的无偏估计量.解 2222222222()E XcSEXcESDXE Xccn 所以 1cn.14 设有二元总体(,)X Y，1122(,),(,),(,)nnX YXYXY为其样本，证明：11()()1niiiXX YYnC 是协方差Cov(,)ZX Y的无偏估计量.证

36、明 由于 1,1,11()()nnkkkk ikk iiiiixynnxxyyxynnnn 21,1,1,1,2222(1)(1)(1)nnnnkikikkkk ikk ikk ikk iiiny xnx yxynx ynnnn 所以：22222(1)(1)(1)(1)(2)2(1)(1)iinnnExynnExEyE xxyyExyExEynnnnnExyExEynn 1(1)(1)()cov(,)1nnECnExyExEyExyExEyX YZnnn，证毕.15 设总体2(,)XN，样本为1,.,nXX，2S是样本方差，定义2211nSSn，22211nSSn，试比拟估计量2S,21S,2

37、2S哪一个是参数2的无偏估计量？哪一个对2 的均方误差222()iE S最小？解 122222211111()()()111nniiiiiESEXXEXnXEXnEXnnn 222221()1nnnn 所以 2S是的2无偏估计 2 2212(1),nDSn所以，224222422,11DSE SDSnn 222222224111222222222422221()2()1nE SD SE SnE SD SE Sn 可以看出2222E S最小.16 设总体0,XU，123,XXX为样本，试证：134max3iiX与134miniiX都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解 111(1)001110

38、0443(1)(1)344(1)(1)31nnnnxxnE Xndxttdtnttdtttdtn 11()()0044444()333331nnnnxxnnEXEXndxt tdtn(1)()3,44nEXEX 212222222(1)0011113 13(1)335210 xxEXdxtt dt 21222422()001333355nxxEXdxt dt 22222(1)(1)(1)(1)341616()16()10165D XDXEXE X 22222()()()()(1)4161616 393()()43999516155nnnnDXDXEXE XD X 所以()43nX比拟有效.17

39、 设1，2是的两个独立的无偏估计量，并且1的方差是2的方差的两倍.试确定常数 c1,c2，使得11c22c为的线性最小方差无偏估计量.解：设 22122,2DD 1 12212121221()11E cccccccccc ），22222221 1221211(2221D cccccc）222111121321cccc 当1212*33c，上式到达最小，此时21213cc .18.设样本1,.,nXX来自于总体 X，且()XP(泊松分布)，求,EX DX，并求 C-R 不等式下界，证明估计量X是参数的有效估计量.解 DXEXEXDXnn，1111(,)!2ixnnnxniiiLxxeexx ln

40、lnln!iLnnxx 22ln,()(ln)dnxndnLnxIELdd 所以其 C-R方差下界为 1()In 所以 X是参数有效估计量.19 设总体 X 具有如下密度函数，1,01(,)0,xxf x，0其它 1,.,nXX是来自于总体 X的样本，对可估计函数1()g，求()g的有效估计量()g，并确定 R-C下界.解 因为似然函数 1111L(,),lnln(1)lniinnnnniixxxxLnx 111lnlnlnln()0iiidnLxnxnxgdnn 所以取统计量1lniTxn 11111100001lnlnlnlniEXx xdxxdxxxxdx 得1ET=()g，所以1lni

41、Txn 是无偏估计量 令()cn 由定理知 T 是有效估计量，由221()1()gDTcnn 所以 C-R方差下界为21n.20 设总体 X 服从几何分布：1()(1),1,2,kP Xkppk，对可估计函数1()g pp，那么 1求()g p的有效估计量1(,)nT XX；2求()DTI p和；3验证T的相合性.解 1因为似然函数111(,)(1)(1)inxnnxnniL p xxpppp lnln()ln(1)Lnpnxnp 1ln()111dnnxnnnLxxg pdpppppp 所以取统计量TX.又因为 11111(1p)(1p)nnkkkkkkdEXEXkppkpqdq 20111

42、nkkddppqpdqdqppp 所以TX是()g p的无偏估计量，取()1nc pp，由定理得到，TX是有效估计量 2 222()()1()1(),(1p()0,(nc p gpgppI pDTnpc pnpDXqDXnnp）所以 TX是相合估计量.21 设总体 X具有如下密度函数，ln,01(;)110,xxf x，其它 1,.,nXX是来自于总体 X的样本，是否存在可估计函数()g以及与之对应的有效估计量()g？如果存在()g和()g，请具体找出，假设不存在，请说明为什么.解 因为似然函数11lnln(,),11innxnxniLxx lnln lnln1lnLnnx ln1ln,ln1

43、1 lndnnnxLxdn 所以令 ()ln1,1 lnggX 1112000lnlnlnln1,111ln1 lnlnxxxxxxEXEXdxxdx 所以()gX是()g的无偏估计量，取()cn，由定理得到，()gX是()g有效估计量 所以：()gX是()g有效估计量.22 设1,.,nXX是来自于总体 X的样本，总体 X的概率分布为：|1|(,)()(1),1,0,1,012xxf xx 1）求参数的极大似然估计量；2）试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差D和信息量()I；3）试问是否是相合估计量？解 1 111(,)1122lnln(n)ln(1)iiiixxnxnxn

44、iiiLxxLxx n1ln01(1)nxixidnLxid 得到最大似然估计量1xin 2 110011,10122ExiE xi E xinn 所以11ExiE xinn 所以是无偏估计量，()(1)nc，由定理得到1xin是有效估计量 信息量c()1()(1)In 3 1(1)D0,(n)c()n 所以，T 也是相合估计量.23 设样本1234,XXXX来自总体(,1)N，并且的区间估计为(1,1)XX，问以多大的概率推断参数取值于此区间.解 设以概率1p 推断参数取值于(1,1)XX，在方差为 1 条件下，推断参数 的置信度为1的置信区间为1122(,)XuXunn 所以 121un，

45、122u，得到0.0456 10.9544p 即以概率0.9544p 推断参数取值于(1,1)XX.24 从一批螺钉中随机地取 16 枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11 设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的 90%置信区间，1假设=0.01cm；2假设未知；解 因为2.125,16,0.171,Xns0.950.9510.95,1.65,151.7532t-1）计算 0.950.950.010.012.1209,2.12911

46、616XbaX=所以 置信区间为1.121 2.129，2）计算 0.950.950.01710.0171152.1175,152.13251616XtbXt=所以 置信区间为2.115 2.135，.25 测量铝的密度 16 次，测得2.7050.029,xs试求铝的比重的 0.95 的置信区间(假设铝的比重服从正态分布).解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为0.952.7050.975,152.1312Xt，n=16,s=0.029,=0.05,1-计算 0.9750.9750.0290.029152.6896,152.72041616XtbXt=所以 置信区间为 2.6

47、895 2.7025，.26 在方差2的正态总体下，问抽取容量 n 为多大的样本，才能使总体均值的置信度为1的置信区间长度不大于 l？解 均值的置信度为1的置信区间为1122(,)XuXunn 要使121222lnln 即 222124nl.27 从正态总体(3.4,36)N中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？解(1.43.4)(3.4)(5.43.4)(1.45.4)0.95()0.95666nn XnPXP 2()10.955.88,34.573nnn ，所以,35n.28 假设 0.5,1.25,0

48、.8,2.0 是总体 X的简单随机样本值.ln(,1)YXN a.1）求参数 a 的置信度为 0.95 的置信区间；2）求 EX 的置信度为 0.95 的置信区间.解 1 lnYX服从(,1)N正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为12Yu ，由题意，从总体 X 中抽取的四个样本为：12ln0.50.69314718,ln1.250.22314355yy 34ln 0.80.22314355,ln 20.69314718yy 其中，0.9754,1,1.96,0nuY，代入公式，得到置信区间为(0.98,0.98)2 2()0.5212yYyEXEeeedye，由 1知道的置信区间

49、为(0.98,0.98)，所以EX置信区间为0.98 0.50.98 0.50.481.48(,)(,)eeee.29 随机地从 A 批导线中抽取 4 根，并从 B 批导线中抽取 5 根，测得其电阻()为：A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140 设测试数据分别服从21(,)N 和22(,)N，并且它们相互独立，又212,均未知，求参数12的置信度为 95%的置信区间.解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为12112211(2)wXYtnnSnn 计算得 262

50、6AB120.14125,0.1392,8.25*10,5.2*10,4,5,0.05xySSnn 26WW0.9756.57 10,0.00255,(7)2.365,0.0022,0.0063SStab 所以 0.0022,0.0063.30 有两位化验员 A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了 10 次测定，其测定值的方差2s依次为 0.5419 和 0.6065，设2A与2B分别为 A、B 所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比2A/2B的置信度为 95%的置信区间.解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：置信区间为22AA22BB1212(,)1(1,1)(1