2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)25 等比数列及其前n项和.pdf

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1、专题2 5等比数列及其前项和【考点预测】等比数列的有关概念(1)定义:如果个数列从第2 项起,每项与它的前项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示,定义的表达式为也=.an(2)等比中项:如果。，G ,/?成等比数列,那么G 叫做。与的等比中项.即G 是。与的等比中项0 ,G,6 成等比数列=G1=a b.二.等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列。“的首项为4,公比为q(q 0)则它的通项公式。,=。T=C.(C=5)(4M 0).q推 广 形 式:an=am-qn-m(2)等比数列的前 项和公式“。(q=1)等比数

2、列,的公比为(),其前项和为5 =。)4 。.-j-=-(1)1-q 1 -q注等比数列的前 项和公式有两种形式,在求等比数列的前葭项和时,首先要判断公比 是 否 为 1,再由 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要 分 =1与41两种情况讨论求解.已知4M(41),(项数),贝利用S,=”)求解;已知,。”q(q1),则利用5“=忙 强 求 解.-q -qS,=皿 二 =.+=A伙,q*l),S”为关于的指数型函数，且系数与常数互为-q -q -q相反数.三.等比数列的性质(1)等比中项的推广.若 加+=P+4 时，则。,“。“=。名,特 别 地,当?+”=2 时,ama

3、n=a1p.(2)设。“为等比数列,则 。,(为非零常数)，|。.|,仍为等比数列.设。“与 b,为等比数列,则 q b“也为等比数列.(3)等比数列。“的单调性(等比数列的单调性由首项q 与公比q 决定).当 。或小。时,。,为递增数列;当或%时,为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列 凡,公比为q,前”项和为S”,贝 :等间距抽取册，“0+,，4”+2,，4+5-1”，为等比数列，公比为等长度截取黑 瓜,-S,$3“,为等比数列,公比为(当 =-1 时，加不为偶数).【方法技巧与总结】(1 )m +n=p+q =1k(m ,n,p,q ,k N*),则,%=q=(2)若 ,(项

4、数相同)是等比数列,则 也 (片 ),丄 ,/:，“色 ,%仍是等anbn比数列.(3)在等比数列 q 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列,即，an+k,an+2k*为等比数列，公比为.(4)公比不为1 的等比数列 4 的前 项和为S”,则S“，S2 n-Sn,S 一一$2,仍成等比数列,其公比为.(5)%为等比数列,若 外%4=,则 T；,%,曳,成等比数列.Tn Gn(6)当q 0,c l)为等差数列.(9)若 ,为等差数列,则 9 0,。大1)为等比数列.(1 0)若 既是等差数列又是等比数列。”“)是非零常数列.【题型归纳目录】题型:等比数列的基本运算题型二:等比数列的判定与证明题

5、型三:等比数列项的性质应用题型四:等比数列前 项和的性质题型五：求数列的通项题型六：奇偶项求和问题的讨论题型七:等差数列与等比数列的综合应用题型八：等比数列的范围与最值问题题型九:等比数列的简单应用【典例例题】题型:等比数列的基本运算例 1.（2022全国高三专题练习）已知正项等比数列 4 的前项和为s“，S4=2,S8=I O 则 的公比为（）A.1 B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】因为S&=2,S8=IO,%为正项等比数列,所以 S X-$4 _%+”6 +%+48Sq 4+。+%+=4,解得g=&.故 选:B.例 2.（2022广东梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列 中,

6、q+q +%=6，%+佝=24.则 的公比q 为（）A.2 B.2 或_2 C._2 D.3【答案】B【解析】由 题 意,a3=aiq2,ab=a4q2,a9=aq2:.a+a6+al,=(al+a4+a1)q2:.q2=4:.q =2 故选:B例 3.（2022 全 国 高三专题练习）记S,为正项等比数列 的前项和,若S 3=i4,a,=2 t则 丄 的值a +a4为（）A.2 B.-C.3 D.【答案】A【解析】设公比为4（）,则S 3=4（l+q+）=1 4,得+g-6=0,解得q=2（4=-3舍去），.%+见 4（4+%）_ _ C I l+4 4+%故 选:A.例 4.（2022河南

7、省浚县第一中学模拟预测（理）已知正项等比数列 的前项和为S“，且满足3%=53-4 4,则公比=（）A.B.2 C.-D.3【答案】D【解析】由 3%=S 4q,则32=q+a2+%-4q,所以的-2 3 =0,B|Jq2-2q-3 =0,解得4=3 或 q=-1 （舍去）.故 选:D.例 5.（2022.广东江门.高三阶段练习）设等比数列 叫 满 足 q+/=10,生+=5,则Iogzq+log202+log2=【答案】-1V 7Ha.+ad 1【解析】因为等比数列满足4+%=1，/+%=5,所以 =亠 亠=彳,X 01+=1+,2=1 0,解得=8,故=824 Iog20z,=Iog224

8、-w=4-H 所以log2l+log22+log20 且 4 工1.则 5+1=4+1,S2 1 =a1+aq+1,S3+1 =1+aq+axq2+1,因为 S,+1是等比数列,所以($+l)(S 3+l)=(S 2+iy,即(q+(q+QU+q/+l)=(q+qq+l)2,展开整理得4=隔+,所以。=+%,即 =Oi(Ol+1).选择为条件,为结论,证明过程如下:设 的公比为。,由题意知0且 工1.因为%=4(4+1),即4=4(卬+1),因为q。,所以 =q+l.所以sn=(J)=qn-,所以S,+1=.1 4q+!+1因为S +l=g,，普,j =F=g,Sn+1 所以 S,+1)是首项

9、为q,公比为的等比数列.选择为条件,为结论,证明过程如下:设 +I的公比为Q,由题意知。且。.则S.+1=3+1)0 1=(4+1)0 1,所 以 生=S 2+1(S 1+1)=(4+1)(Q 1),又因为%=4(4+l),且q+lO,所以4=。1.所以S,+1 =Q.当“22时,4=sn+1 -(S M+)=,-Q=(-l)nl，所 以 =-1(。1)。T(-l)2m。，所以 是首项为。T,公比为。的等比数列例20.(2022江苏南京师大附中模拟预测)已知正项数列 4 的前项和S,=A+8,其中A,B 为常数.若A+B=O,证明:数列 叫 是等比数列;(2)若q=l,&+2=4。“，求数列q

10、 的前项和却【解析】当“N2时,SflT=A+8,则=5,-5“产+8-(,8)=?-1)又正项数列%,则 且q l,当”=1时,=Sl=+B,又+8=0,则“=A(q-1),也符合4=(一1)1,则=A(qT)/M=A(q-l),则 誓=,故数列 4 是以A(q-1)为首项,为公比的等比数列;(2)由(D知:当 2时,%=A(q-l),则,*2=A(qT)1由*=4“可得 =4,又正项数列%可得“,则 =2,an=A-2-(w 2),则%=44,又 q=1 ,%=也 可得 A=1,则 an=2,-l(n2),n=X 时也符合,则 a=2-1,贝 T；=1X2 0 +2X2 +3x2?+“2T

11、,27；,=1 2+2 22+3 23+L+2n,两式相减得一7；=2+2+2?+2?+2T-Zl2=三-一 n2,=(l-n)2 -l 则7；=1+(1)2”.1 2例 21.（2022全国高三专题练习）已知数列 风 中,4=1,“向=铲 +为可数,求证:数列,“-日q -3,为偶数 1 2是等比数列.【解析】设 公 3 1 C 33 h。2 +2 Ca2 +i+(2 +贝 今 卷=。-,一2 b 3 3一 万 W“万一 6)+(2 +1)一 巧 !-一D 乙3 33目 =+=所以数列是以 =为 首 项,以为公比的等比数列.3 3 I 2 J 2 3例 22.（2022 全国 高三专题练习）

12、设数列 叫 满 足/=2（eN*）,其中q=l.证明:a”一 4圏是等比数列;【解析】证明:因为 川=”4（N*）,4-3,所以 尸=半=2”,乂”,1-2 V.2%-6-24,+8-(-2)an-24f ci _ 3 4 3 1 3 C，-是首项为、=丁7=2,公比为2 的等比数列;-2j 6-2 1-2例 23.(2022 全国 高三专题练习)已知数列%满足q=1,%=3,+2-2allt,l=n+-2a(ne N*)证明:数列 向%是等比数列,并求 的通项公式;【解析】解:因 为 4+2 2%+1=a,田-245 N*）,所以県 一%=2（同一”“），又4 =2 ,所以伍向 4,是以2

13、为 首 项,以 2 为公比的等比数列,所以。,川。“=2,当“2 0寸，a,=(n-.,)+(,l-n.2)+(2-1)+l=2-+2 -2+-+2I+1=-=2 -1,1-2而=1也满足=2 -1,所 以%=2-1；例 24.(2022全国高三专题练习)己知数列%满 足:%+4=2,且q=1,2=;x2.求证:数列他,是等比数列;【解析】证明:因为。向+=2,4=1,bn=an-2,所以 向 一 9 2 向二 一院2 -1x 2，+l b 2 1所以-f=-,即=T,又伪.=：*(),a -2n 3 3“3所以数列出 是首项 为:，公比为T的等比数列.例 25.(2022.上海.模拟预测)在

14、数列%中,al=5,an+l=3a,-4 +2 其中 eN,.设a=4,-2 ,证明数列也 是等比数列;记数列 凡 的前项和为S,试比较S“与+2022的大小.【解析】w N,由瓦=”“-2”得:an=bn+2n 而“向=3%-4 +2,则6,用+2（+1）=3（仇,+2）-4 +2,整理得用=3 ,而=q-2 =3,所以数列他,是首项为3,公比为3 的等比数列.由（1）知,=3 3,-=3,于是得“=3+2,邑=止 +&=二+、,因此,1-3 2 2 2S“-（+2022）=上 +3,+2-2-2022=23向+2 40472令%=3e+2n-4047显然数列 cn是递增数列,而c$=T 8

15、48,C7=2528,即 1,2,3,4,5,6 时,c 0,S,-（+2022）O ,所 以,当6,N*时,SnM2+2022.例26.(2022全国高三专题练习)记5“是公差不为的等差数列,的前“项和,己知生+3%=S$,q/=,数列也 满足勿=3%+2-(2,”e N*),且仿=4-1.求%的通项公式:证明数列 争+1 是等比数列,并求也,的通项公式;【解析】设等差数列%的公差为d,4RO,因为。3 +3=S 5,q 4=，则%+2d 3tz1+9d=5a1+IOJq（q+4d）=441+G dc,=2 =O解得 。或 n(舍去),a=2 J=O所以“=2;(2)证明:因为2 =3bI)

16、T+2,-l(n2,nN*),所以=.冬+丄,即纟L+1 =冬+2 2 2 2 2 212T 丿媪+1所 以 一 二 33,因为=4 一 1,所以hg +l=3.,2+1 2 2 2所以数列*+是以!为首项,!为公比的等比数列,所吟+1=(|所 以 =3-2：例 27.(2022.全国高三专题练 习)已 知数列 4 的前项和为S“，q=3,Sl l=2+an+t.证明:数列 S,-2 为等比数列;记 数 列 的 前 项 和 为 7”,证 明:、2.【解析】(1)因为=2+4“=2+(,”，),所以 2S,=S,M+2,所以鼠 2=2(S,-2),因为S -2*0,所以S,-l 0,-=2,-2

17、故数列优 2 为等比数列,首项为5-2 =1,公比为2：由 可 知 S,-2=2 T,所以=7,所以I,369 0恒 成 立,求”的最小值.【解析】(1)由己知得(，+;J x 9=9 0,所 以%=1 0,又 见 =20,54=10,所以d=2,所以an=j0+(w-10M=2n,所以数列 4 的通项公式,=2n；(2)由 =3 24 得力,+1 -2(+1)-1bn-2/?-13 bt l-4H-2(H+1)-1bn-2n-3 b-6n-3 C =3,又因为=6,所以。,-1 是以首项为3,公比为3的等比数列;(3)由(2)得仇,-2 -l=3x3T=3 ,所以=3+2+1,7；=(3+3

18、?+3)+3+5+(2+1)=333+二 +2”)=3叫2+4”-3,因为 2+2(+)；+4 5 +)_ 3_ 3向+2+4 3 =3*2,+30,所以(随的增大而增大,又厶=1 4 4,4=3 9 8,所以要使7L-3690恒 成 立,则 的最小值为5.例33.(2022全国高三专题练习)在数列 q 中,4=1,4 =2,且=3区用+他,.(1)证明:,用+4 是等比数列；(2)求数列%的通项公式.【解析】(1)由 +2 =3+他,得:“2 +l=4(。+%)，且 +4,0,则 =4,又出+q=3,+a,所以数列 t l+)是首项为3,公比为4的等比数列.(2)由(1)知:+l+=(+l)

19、4-=34-1,又耳,+4用=34,则“.=%,当 n 为奇数时,an=ai+(-6z1)+(tzz,-)=1+9(1+42+.+4n3)=1 +9-=-4,l -,7 1-4 5 5当 n 为偶数时,=3-41-1-t1=I-4-j.综 上,。=4+(-1)”【方法技巧与总结】等比数列的判定方法定义法若 q（为非零常数，“eN 或 （q 为非零常数且an-1n2,n w N*）,则 4 是等比数列中项若数列“中，0 且 tz,+l2=+2（nN*）,则 6,是等比数列公式法通项公式法若数列 ”的通项公式可写 成 =。T（G 4 均为非零常数，n w M）,则 a,是等比数列前项和公式法若数列

20、 凡 的前项和S“=&（为非零常数,q*0,l）,则 q 是等比数列【注意】（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明:后两种方法常用于选择、填空题中的判定.（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.题型三:等比数列项的性质应用例 34.（2022全国 高 三 专题练习）等比数列 ,中，若 =9,则1%+1 Og M=（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】等比数列%中,若=9,所以=%=&1，所以 log34+log,6=log3（a5）2=log,81=4.故 选:C例 35.（2022.辽宁沈阳.三模）在等比数列 4 中，为方程4+

21、乃=（）的两根，则/为%的值为（）A.冗 口 B.-C.D.I【答案】C【解析】解:在等比数列 中,因为“2,4 为方程 2 -4+万=0 的两根,所以=乃=所以牝=土，所 以 a3a5a1=a/=+.故 选:C.例 36.(2022.青海.大通回族土族自治县教学研究室二模(理)已知等比数列 4 的公比为2,前项和为S“,若 4+%=2,则 S&=()A.B.4 C.D.6【答案】D5 5【解析】因为4+/=2,q-2,则+=4,所以$4=4+/+4=6.故选:D例 37.(2022.全国高三专题练习)在等比数列 中,如果4+a2=16,%+%=2 4,那么/+%=()A.40 B.36 C.

22、54 D.81【答案】C【解析】由等比数列性质知,4+,能+见,+,%+4 成等比数列,其首项为1 6,公比为 =,16 2所以 07+4 =16x()=54.故 选:C.例 38.(2022陕西 长 安一中一模(理)正项等比数列 满 足:2%+/=2 +4+8,则2必+%的最小值是A.64 B.32 C.16 D.8【答案】B【解析】【详解】设正项等比数列%的公比 4 0,.-2a4+ai=2a2+al+S,.(2%+j(-l)=8(q l),则=8(T)+T +I6=f(q),4 l 时,/(9)82 L2-1)X +16=3 2.当且仅当 g=应 时取等号、1 yx,qOq 是“凡”q(

23、e N*)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解:当 4=7 时,贝=,，因为 1,所以 ,所以-，故“向 1不能推出a用 an(n N*),当q=-l 时,贝6=,由 an+a,(G N*),得一 -qnl,则 所以()(N*)不能推出q 1,所以F 1”是“。“M%(N 戸的既不充分也不必要条件.故 选:D.例 41.(2022河南安阳模拟预测(理)已知 q 为等比数歹,。3+4=-7，4%=-8,则 +%=【答案】【解析】设公比为。,由题意知:a4a5=a3a6=-S 又为+必=-7,解得%=】或=-8若 一,贝 /=%

24、=-8,q=-2,则 +%=&+%g=4：&=-8 a3 q 2（4 二 一8 a Al I a,3 1若 I ,则=二-$,q =,则+%亠+4=K&=1%8 2 q 2故答案为:.例4 2.（2 0 2 2安徽合肥一中模拟预测（文）在正项等比数列 叫 中,q=1,=9（记数列 叫 的前项积为1，Tn 9则的最小值为【答案】5【解析】设正项等比数列,公比为 由;=24=9得%=3,于是得=纟=9,而q 0,解得4 =3,因 此,=-3 =3 一,7;=q w/.q=3-m i2=3 丁 ,由（9得:3中9，从 而 得:2,而”（）,解得“4,X e N*,则的最小值为5,故答案为:5.例4

25、3.（2 0 2 2全国高三专题练习（理）在各项都为正数的等比数列“中，己知0 4=I，依题意得0 1故”=9时，7.取最小值.【详解】由 昭=看 得 争=1丄6即 a-,axavamalial2=（%）=1 故 9i0=因为1 1 8 =叽）,则 用=1，由于。11所以等比数列 凡 是递增数列,故O 9 1 o,S r+25*2在10=20当且仅当邑=5时取等号.故 选:B.例 50.(2022全国高三专题练习)设等比数列 凡 的前 项和为S”,若 邑=9,S6=3 6,则%+4+的=()A.144B.81C.45D.63【答案】B【解析】由等比数列性质可知:S?,S6-53,S9-S6,成

26、等比数列,设公比为q 由题意得:S6-S3=36 9=27 n=3.07+=S9-S6=27 3=81 本题正确选项:B例 5L(2022 全国 高 三 专题练习(文)等比数列 4 的前项和为S,若 S 一 八2一 ,则=()A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为 当=1时,s =啊,不合题意;当行 1时,等比数列前项和公式S,=(J)=-卫 +,1-q-q-q依题意 S,=r2T-l=g 2 -l n +(-l)=0 =2.故 选:A例 52.(2022全国高三专题练习)已知等比数列 q 的前项和S“=2”+2，(?e R),贝 =()a2十 44A.-B.1

27、0 10【答案】A【解析】当 =1 时,|=22+2n(w7R),当2 时,an=Sn-Sn.i=2+l+2n-(2,+2w)=2,因为数列 4 为等比数列,所以4=2+2,w=2,得,=-1,Itn 2 1所以；=2,=7，a2+a4 2+2 10d M故 选:A【方法技巧与总结】（1）等比数列 中,所有奇数项之和SiJ 与所有偶数项之和S 例 具有的性质,设公比为q.若共有2 项,则&=（?；若共有2 +1项,a=q.S 奇S 儁（2）等比数列仅“中,S 表示它的前氏项和.当-l 时,有 项,S*，$3当.，也成等比数歹，公比为.题型五:求数列的通 项 例 53.（2022全国高三专题练习

28、）在数列 q 中,若 =2,+,=3a,+2+则un=（）a-2 B.j-C.23,-2+l D.43,-2+I【答案】C餐 +2 3+l-.+2【解析】令 =*+2,则M =竺=亠-=1,2 2%+2 +2 22n 2 又=3 +2=3,所以也 是以3 为 首 项,1 为 公比的等比数列，所以=果+2=3X（I J 得凡=23-2叫故 选:C.例 54.（2022青海玉树高三阶段练习（文）已知S 为数列%的前项和，若a,s=2%-2,S 2=10,则 q 的通项公式为（）A.an=3-4 B.an=T +2 C.al t=n2+n D.。“=3 1【答案】B【解析】令=1可得旳=2 q-2,

29、又邑=G+=1。,解得4=4,又。,川-2 =2 4=2（,-2）,则4-2 =2,孤 一丁=2,即%-2 是以2 为首项，2 为公比的等比数列,则f,-2 =22T,an=T +2.”一Z故 选:B.例 55.（2022安徽高考模拟（文）已知等比数列 的首项为2,前”项和为S,且 邑-S?=包+40.（1）求数列 q 的通项公式;（2）若“,=%”,求数列电 的前项和.【解析】（1）设等比数列 q 的公比为,4=2S5-S2=包+40得+-20=0,解 得:=4 或 =_ 5（舍去），,.7=2;当=2时,an=2 当=-2 时,art=（-2）-（2）当=2 时,T n=1+2+=a2+a

30、4+a6+a2n=W=2 4 -1）；当 a,l=（-2广?时,Tn=bl+b2+-+bn=a2+a4+a6+-+a2n=（-4 乂 1 ）=土）例 56.（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）2022北京冬奥会开幕式上,每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花 最终融合成一朵“大雪花 形成了前所未有的冬奥主火炬,惊艳了全世界!（如图），如图二是瑞典数学家科赫 在 1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始,把每条边分成三等 分,然 后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,反复进行这过程,就得到个 雪花 状的图案.设原正三角形（图）的边长为3,把图二中的

31、，图形的周长依次记为4,%,4 得到数列 叫.值;（2）求数列%的通项公式.【解析】旳=12,4 =16.（2）由图形的作法可知:从 边 数 看,后 个图形的边数是前个图形的边数的4 倍,所以,从个正三角形开始,“雪花”图案的作法所得图形的边数是以3 为 首 项,4 为公比的等比数列，所 以,第八个图形的边数为34-,从边长看，后一个闇形的边长是前个图形的边长的 倍，所以，从一个正三角形开始,“雪花 图案的作法所得图形的边长是以3为首项，2 为公比的等比数列，所 以,第个图形的边长为3（3,所以,（T见=3-4例 57.（2022 上 海 髙 三阶段练习）治理垃圾是S 市改善环境的重要举措.去

32、年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施,预计从今年开始,连续5 年，每年的垃圾排放量比上一年减少2 0万 吨,从 第6年开始,每年的垃圾排放量为上一年的7 5%.(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数(N*)的表达式;(2)设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势,则认为现有的治理措施是有效的;否则,认为无效,试判断现有的治理措施是否有效,并说明理由.【解析】(1)设治理“年 后,S市的年垃圾排放量构成数列 6.当5时,是首项为4 =2 0 0 -2 0 =1 8 0,公差为2 0的等差数列,所以=4 +(-l)d=1 8

33、 0-2 0(1)=2 0 0 -2 0?当5时,数 列%是以应为首项,公比为(的 等比数列,所以=5T =I oO X弓),所 以,治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为2 0 0-2 0,ln5勺=3丫 5 ,设S“为数列%的前项和,I O O x ,n6则=.S由于心 二 幡S“=S“+(+l)S“n n(n+l)“(S,+,用)-(+1)5“(+1)%+1 -S n(%+-q )+(%+-，2)+,+(4+1(2 +n(+l)a 由(1)知,1M 5 时,fl=2 0 0 -20n,所以%为递减数列,6时,4=1 0 0 x(3),所以 叫 为递减数列,且 4 +-2 ，。+1 。“因

34、此 用blB.a5 b5C.%b【答案】B【解析】设等差数列 q 公差为d,正项等比数列色 公比为,因为d w,所以的 o,即打,所以 H l,又”。,所以40,由I=瓦 得仇+8d=,“=(。,瓦。,8所以()1时,J 1时,dO.an=al+(n-l)d,年 L由=a,al+(n-l)d=blqn,即+。”,隼”)=矿(*),令A=彳,B=qg,(*)式为A+B=,其中A fO,q 0 且1,由已知 =2 和=10是方程An+B=qn的两个解,记 (X)=AX+B(AwO),g(x)=(“0 且 1),AX)是次函数,g(x)是指数函数,由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时,图象能

35、有两个交点,即方程/()=8()(%*)可能有两解(题中 1时，0,0 l 时,A 0,满足同增减).如 图,作出/(幻和 g(x)的图象,它们在x=2和X=IO 时相交,无论 1还是”1,由图象可得，H =I,f()g(n),10 时,f(n)g(n),因此 (I)g(5),f(6)g(6),/(17)g(17),即6 b5,a 6,tzl7 l 7,数列%是公差不为零的等差数列,(2022 全国高三专题练习)已知 2 是正项等比数列，若q=,a1=b1 则()A.4=瓦B.a5 sD.a9 0 时,如下图所示,1LKL 当公差2，%厶,为 ，为 4.故 选:D例 69.(2022全国高三专

36、题练 习)已 知 为等差数列,2 是公比为2 的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证 明:4=;求集合用 =,+0,1 m 500 中元素个数.,【解析】设数列 4 的公差为 ，所 以,日4+d 2 2 b 1=8 6 Z 2d+43 a 即可解得=d，所以原命题得证.(2)由(1)知,=3 ,所以仇=am+al bt2k =al+(n-l)J+a1,即 一 =2m,亦即=2 el,500,解得2 Z 1 0,所以满足等式的解=2,3,4,1 0,故集合 心 仇=%+4,lm 500 中的元素个数为10-2+1=9.例 70.(2022浙江模拟预测)已知数列 4 是公差为

37、2 的等差数列，数列 ,是首项为2 的等比数列,且q+%=也+3=%.设数列%满足%=其中丘 N*,其前 项和为S”.包,二2 求 S 的值.,111(2)右 dt l=277 求 证:4 +厶-1-t .18【解析】解:因 为 4+。2=么 也+3=%,所 以 +2，,解得4=2,=3,所以4=2 +1 也=2,所以书上 (”申)+力，=2（2+2）2+2,=4 +2;4=4n-n-当=1时，4=；+1,则=今一 X 4F所以4+自 我 ,1=1 +一122I-J4141 1 1 1 11=I-X-.2 9 9 4-18例 71.(2022山东潍坊模拟预 测)己知公差为正数的等差数列 4 ,

38、生与他的等差中项为8,且%=28.(1)求 的通项公式;(2)从 4 中依次取出第1项、第3项、第9项、第3 项,按照原来的顺序组成一个新数列色 ,求 数列他 的前 项和S”.【解析】设等差数列%的公差为d(40),QO 2与%的等差中项为8,.。2 +%=2%=2 8,解 得:岀=8：ctyC i=(%24)(4+Z l)=恪 27)(8+2d)=28,.d=3,.,.atl=a5+(k-5”=8+3(5)=3 7；由(1)得:.=3 -7,即。“=3-7,.5,=(3+32+33+3,+3,)-77=-In=-In-例 72.(2022吉林市教育学院模拟预测(理)在=4+生+%，S,=13

39、这两个条件中，任选个补充在下面的问题中,并解答.已知正项等差数列 满足=3,且%，%+1，%+3成等比数列.(1)求 的通项公式;(2)已知正项等比数列他,的前项和为5“，,求 S“.注:如果选择两个条件并分别作答,按第一个解答计分.【解析】设等差数列%的公差为d,则,=q+(-l)d,因为%=3,且%,%+l,%+3成等比数列,所以(a,+2t+l)2=3(a,+4+3)4=1d=2=4d=-l所 以 =2-l(刀 N*).选择:设等比数列 的公比为小因为=al,hi=at+a2+a3,所以=1也=9,又=仇 ,即整=9,所以q=3或 =-3(舍),选择:设等比数列也“的公比为q,因为=q=

40、l,S1=bi+btq +bq2=3 ,即/+q-1 2 =0,可得 q=3 或 q=-4(舍),(1,)3-1所以S,=I 2【方法技巧与总结】(1)等差数列与等比数列的相互转化:等差数列通过指数运算转化为正项等比数列,正项等比数列通过对数运算转化为等差数列.(2)等差数列和等比数列的交汇,若一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列为非零常数数列.题型八:等比数列的范围与最值问题例73.(2022.安徽.蚌埠二中二模(理)已知等比数列“的前”项和为S,则下列判断一定正确是A.若$3 0,则 m0 B.若$3 ,则 8 f18 D.若丁a2 7a,则“2 0 1 9 0，但是他九80,选项A

41、错误;考査等比数列：4=T,=2,3=-l,.,an=(-l)f lT3,满足S 3 V ,但是2 018，选项8错误;该数列满足2 U,但是2 0 1 9 V V 2018，选 项C错误;本题选择。选项.例74.(2022 全国高三专题练习)设等比数列 的公比为 其前几项和为5,前，2项 积 为 并 满 足条件 4 1,l 2 O,(2 1-l)(2-l)1,lo,（1-）（2 2-）1,0 2l 所以”1,所以在等比数列 叫 中,从外到1的每项都大于1,从2 0 2 2开始后面所有的项的值都小于1且大于。.对于A:因为。0 2 3见”=2 0 2 2 1,所以“2 3 1,l 9ol,喙。

42、，给出下列结论:O g 0;。帖 是数列 雹 中的最大项;使（1成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序 号 为（）A.B.C.【答案】B【解析】Q4 I,2 0 l.,o 1,1，“2 0 2 0 .O q l,故正确;“2 0 1 9 “2 0 2 1=2 0 2 0 1,OI 9 O2 I -故不正确;D.%）2 Vl,H 9是数列Z中的最大项，故正确;厶0 3 9 =4外。,0 3 8 4 0 3 9 =。痂 1，.使 T !成、/.的最大自然数等 J4038故不正确.正确结论的序号是.故 选:B.例 76.(2022北京房山 髙三开学考试)已知等比数列 中,a=qn+l,那么“

43、”是 为数列%的最大项”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 生,所 以 /,解得q l且q 0,所以“0ql”是“为为数列 的最大项”的充分而不必要条件，故 选:A例 77.(2022浙江 镇海中学模拟预测)己知数列也 满足e*=e%-l,且q=1,是数列 叫 的前项和，则()A,数列 4 单调递增 B.S2022 5県,D.即,0 时，g(x)O,g)单调递减，当x O,g(x)单调递增.所以 g(x)e-l,所以 a,lea ea-1,当”“。时，e%=e%,.an n+l；a,当0时,ea-=e-l,.an 凡

44、所以数列 q 单调递减.所以选项A 错误.0an+lan l.所以 A 错误.对于B:由前面得。”.只需证明an 2 丄OhI史 二！“=J e ，令=”,2 an 2 anb-!丄=b-2-2-lnO,le,nb令 Mb)=A -/-In 励 w (1,e，则/S)=，/n(b)g q,所以 2022 q+“2 +耳。2 l-i2O2ia2 =q+,-C 歯 叼=+2 l(e-1)-1(6-)2,所以选项 B 错误;对于 C:+-,=In(e-1)-In an-an,设 ,=x,x (0,1,设(x)=ln(e*InX-X,x e(0,l,贝IJr(X)=_ 一!-1 =!42022 “20

45、21，即 22 “2 0 2 1 +“2 0 2 3 所以 C 错误.对于D：一 般 地,证 明:/).1e J In-只需证明 a,+2 al,-2 .en-l 2 ea-l k.一 0-_ =In-。“0-e3 3 an 3 an 3 an%1 -1-I 9n -3 -3-In 0,1 e.令()=InX,%w(l,e卜 则政 出 回右2卜,.。)yC.,存在最大值,但无最小值 D.T x=网+4【答案】C【解析】因为q=9,%=1，所以正项等比数列 的公比 满 足 吟,且 。,所以4=丄,故A错误;由等比数列的前 项和公式可得,1 一41 3因为1 6 J 1,所以故B 错误;因为4 =

46、1=9|=33，”（2+3 ）-/+5”Tn=aa1.=32 3l .-33-w=32J+3-=2 =3 2，易知;5?3 由指数函数单调性可知 C 榊、dT X=3 2 33-=3 2=3 2=（3）（3）I 故 D 错误;故 选:C.例 7 9.（多选题）（2022全国高三专题练习）已知等比数列%满足 。,公比4 1,且 见%。231，贝 （）A.4 B.当=2022时,弓生4 最小C.当=1012时，q%最小 D.存在0,q,.an0,12 02023 1,/.24-1,故 A 正确;4 02。2 0 2 3对 B,C,山等比数列的性贞442023=生 2 0 2 2 =O I2%O 1

47、 2 =。1012,故。得 2 0 2 0 2 3 =4oi2 丄，V ala2a2aa 0,q ,：.1,aa 4OI3 1,故当=1012时,4%。”最 小,B 错 误,C 正确;对 D,当 1012时,an o1012 1 故。+”。足,故 D 错误.故 选:AC.例 8 0.（多选题）（2022湖南怀化模）设%（wN）是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K,是其前项的积，且 a K,则下列选项中成立的是（）A.K5 D.与S 均为K“的最大值【答案】ABD【解析】由已知数列各项均为正，因此乘积&也 为 正，公比 ,又 i,=%1,2=7=1，B 正确;5 TT=flS 1.=1 I

48、即 O vq1，K5 K4因此 Kgfl2 fl6 1=%fl8 ，K,先 增 后 减,与&均为K 的最大值,D 正确.故 选:ABD.例 81.（2022 全国高三专题练习）己知等比数列也 的前项和为S”,若4+2色=0,S?=j ,且fl S“fl+2,则实数fl的取值范围是（）A.0,B.1,0 C.,1 D.1,【答案】D【解析】解:设等比数列fl,的公比为,3因为 q+20,=0,S3=-,4所以4（1 2）=0解得 q=l,q=-g ,4 0+q+）J所以当=1时,S“取得最大值,当=2 时,S0取得最小值4，所以 2,解得一lf l,a+2l 2故 选;D题型九:等比数列的简单应

49、用例 82.（2022 河南 模拟预测（理）北京2022年冬奥会开幕式用“朵雨花”的故事连接中国与世界,传递了“人类命运共同体”的理念.“雪花曲线 也叫 科赫雪花”,它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的,是种分 形 几 何.图 1是长度为1的线段,将图1 中的线段三等分,以中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到图2,这称为“一次分形”；用同样的方法把图2 中的每条线段重复上述操作，得到图3,这称为“二次分形”；L.依次进行“次分形（eN）”.规定:个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若要得到个长度不小于40的分形图，则的最小值是（）（参考数据lg3 0.

50、477,lg2 0.301）S i图2图3【答案】C【解析】图I的线段长度为1,图2的线段长度为!,图3的线段长度为“次分形 后 线 段 的 长 度 为,所以要得到个长度不小于40的分形图,只需满足G)4 0 则“lgglg40=l+21g2,即2炮2-炮3)21+22,解得 费嶋藤簿TI N所以至少需要13次分形.故 选:C.例8 3.(2022 四川 宜宾市教科所三模(理)如图,作一个边长为1的正方形,再将各边的中点相连作第二个正方形,依此类推,共作了个正方形,设这个正方形的面积之和为S”,则S s=()3116C.32D.32【答案】B【解析】依 题 意,从 第2个正方形开始,以后每个正