历年高考理科数学真题专题汇编（数列)与答案解析(下卷).pdf

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1、一、选择题1.12012高考真题重庆理1】在等差数列 4 中，%=1，%=5 则%的前5 项和项=A.7 B.15 C.20 D.25 1B【解析】因 为 町=1,%=5,所以支1+今=%+%=6,所以敷男的89 5喳和岳=曰=口=京6=1 5恭a 4 42.12012高考真题浙江理7】设5 是公差为d (d#0)的无穷等差数列 a )的前n 项和，则下列命题错误的是A.若 d 0D.若对任意 e N*,均有5.0,则数列(S,是递增数列【答案】C【解析】选 项 C 显然是错的，举出反例：一 1,0,1,2,3,.满足数列 S*是递增数列，但 是 S*0 不 成 立.故 选 C.3.12012

2、高考真题新课标理5已知 4 为等比数列，%+%=2,a 5a 6=_ 8，则 a1+al0=()(A)7(B)5(C)-5(D)-7【答案】D【解 析】因 为 许 为 等 比 数 列，所 以 牝%=%的 =-8 ,又%+%=2,所以。4 =4,%=2 或%=-2,。7=4 .若。4 =4,=2 ,解 得。=8,%0=1 ,%+。1 0 =一 7；若。4 =2,%=4 ,解得 a 1。8,q =1,仍有 a 1+i o 7,综上选D.)17T4.2012 IWJ考真题上海理18】设=s i n，=/+&+。”，在 S 1，邑，,n 25中，正数的个 数 是()A.25 B.50 C.75 D.1

3、00【答案】D【解析】当时，“0,当 26w S 4 9 时，an 0,但其绝对值要小于1W”W 24 时相应的值，当 510W 74 时，0 当 7出口W 9 9 时,a,.0.5.2012高考真题辽宁理6 在等差数列 a 中，已知&+a=16,则该数列前11项和5 户(A)58 (B)8 8 (0 14 3 (D)176【答案】B【解析】在等差数列中，;q +%=%+%=16,：.s =*(J )=8 8 ,答案为BTT6.2012高考真题四川 理 1 2 设函数/(x)=2x-c os x,是公差为一的等差数列，8/(4)+/(4)+/(为)=5乃，则一 1%=()A、0八 B、1 7

4、t7 C、-1 7 1 7 I)、13 7 1916 8 16【答案】D【解析】/(a)-/(a)-/(a )=(2 a -c o s )*(2a -c o s )-(2a -c os a)=5/T 即7T2(q+a,+生)一(。05。1 +c os a.+-+c os a.)=5 ,而 4 是公差为一的等差数列，.*8代入 2(q+%H-F a5)-(c os q +c os -F c os a5)=8 汽、即 0生-c os(a3 一+c os(d -)+c os a；+c os(a；+)+c os(aq+二)=5 1，(2c os-+2 co s-+1)c os a；8 .8 4 4 8

5、不是,T的倍数，二10生=5,工/.生=三.二/(生)f 一对生=(2 x 三一 0)：-(9 -；)(g +1 3 7r=,故 选 D.1 67.12012高考真题湖北理7】定义在(-8,0)U(0,内)上的函数/(x),如果对于任意给定的等比数列%,/(%)仍是等比数列，则 称/(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-8,0)U (0,+8)上的如下函数：令/(x)=V；/(x)=2*；/(x)=M；/(x)=lnlx l.则其中是“保等比数列函数 的/(x)的序号为A.B.C.D.【答案】C【解析】等比数列性质，%)/(4-2)=。)工=(弋 _=/(&-1)，-=22口 =2 4-*

6、。2工“=/论“a J f Q z)=他*=TRj=尸 巴-J；f M f(an=I n|a j t a 卜 h|a J=尸(小“)选 C8.12012高考真题福建理2】等差数列 a j 中，旦+a EO,前=7,则数列 a j 的公差为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.【解析】由等差中项的性质知的=4芳=5,又=%=2.故选B.9.2012高考真题安徽理4公比为痣等比数列%的各项都是正数，且%4=1 6,则og2 i 6=()4 (B)5(C)6 (D)7【答案】B【解析】a 3 a li =16=a；=16=%=4 n a*=%x q=3 2 o log2 al6-5.10.201

7、2同考真题全国卷理5已知等差数列 a j 的 前 n 项 和 为 S,as=5,S.,=15,则数列的 前 100项和为八、100 小、9 9 八9 9(A)(B)(C)101 101 100【答案】A【解析】由白=5 5=15：得q=L d =1,所 以%=1+(1)=”,所以1 1 1 1-=-=-，n(n+1)n n+11 1 1111 1 1,1 100 _-+-=一 一一+-=-=,选 A.对生-a100a101-1 2 2 3 100-101-101-101二、填空题11.2012高考真题浙江理13】设公比为q(q0)的等比数列 a.的前n项和为S.。若S 2=3 a?+2,&=3

8、 a +2,则 q=。【答案】I2【解析】将 与=3/+2,&=3 4+2两个式子全部转化成用q,g表示的式子.即叫+2 两式作差得:0+Q U+q g _+q q =3。闯 +2 闯*+a1/=3%夕(二一 1),即：2 q2-3 =0,3解之得：=或“=-1(舍去).12.12012高考真题四川理16】记 印 为不超过实数x的最大整数,例如，=2,1.5 =1,ra、x“+一 -0.3 1=-l o设。为正整数，数列*“满 足/=。，x,I+1=/一(w N*),现有下列命题：当。=5时，数列 当 的前3项依次为5,3,2；对数列 x“都存在正整数k,当n Nk时总有x.=X*；当 时，x

9、n a-1；对某个正整数攵，若Xn 12 x 2 则无“=6。其中的真命题有。(写出所有真命题的编号)【答案】5 d 3 +【解析】当。=5时，玉=a=5=*=3，=2，故正确；同样验证22可得正确，错误.13 .【2012高考真题新课标理16 数列%满足a向+(-1)%=2-1,贝 心a,J的前6 0项和为_【答案】18 3 0【解析】由a”+(l)a*=2 -1得，a 一=(-1)%=+2 +1=(T)”(T严 a”+2-1 +2 +1=一 冬+(-1)”(2W-1)+2制 +1,即 a”？+a*=(1)(2 n 1)+2n +1)也有“7 +0i =1)(2 +1)+2 +3,两式相加得

10、 an+a*1+。/2+。3 =-2(1)*+4 +4,设左为整数，则。依“+4 2 +a#-3+a浜T=-2(-1)47+4(U+1)+4 =16 A:+,1O,14 14于是 Sg =工 Qi+a=+%t-3 +4i)=y(16 Z r+10)=18 3 0-0 KG14 .2012高考真题辽宁理14】已知等比数列4为递增数列，且a；=%。,2(%+2)=5+1,则 数 列 a 的通项公式&=。【答案】2【解析】/5=i o,，(i 4)2=a ,；.at=q,：.an=q,2(a“+a“+2)=5a“+|,，2a“(l +/)=5anq,：.2(1+4?)=5q,解得q=2或q =g(舍

11、去)，；.an=2 15.【2012高考真题江西理12】设数列,限 都是等差数列，若6+仇=7,a3+b3=2 l,则 a5+b5=o【答案】3 5【解析】设数列 an,bn的公差分别为d力，则由。3 +打=21,得 +1+2(6 +d)=21,即2(0+1)=21-7=1 4,所以。+d=7,所以 的+/=q +4 +4(/?+d)=7+4 x 7=3 5。1 6.12012高考真题北京理10已知 4 等差数列S,为其前n项和。若=；,邑=%，则。【答案】a=1,S -n -n*4 4【解析】因为S：=生=q +a：=生=4 +/+d=q +2d=d=q =，所以=a1+d=l,S”=q+1

12、712012高考真题东 理11】已知述噌的等差数列 满 足&=1,生=a；-4,贝U 4=.【答案】2-1【解析】由 生=%：-4得到1+2d=(1+d)：-4,即目2=4,应为 是递噌的等差数列,所以d=2,故/=2-1.1 8.12012高考真题重庆理12】lim,=_.T8j2+52【答案】-5(解析lim 1 =lim J/+5n+_f 8+5 一 ，T8(J2 +5 一 +5+).-J n2+5n+n+n+1 +1 2=lim-=lim-=-=f8 5-8 5 5 51 9.12012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、工为公比的等比数列，2体积分别记为匕，匕，匕，则

13、1加(匕+匕+V 一 0 0Q【答案】-7【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项,1-Q M 8 1 匕+%+匕二二(1 ),iim(K+%+-7 8“T 81-81)=_。工为公比的等比数列,8 +%)=/a.=ncos 120.2 0 1 2 高考真题福建理1 4 数列&,的通项公式 2，前 n 项 和 为 S.则02012=.【答案】3016.【解析】因为函数y=cos鼻x 的周期是4,所以数列&的每相邻四项之和是一个常数6,所 以/12=二0三P、6=3018.三、解答题2 1【2012高考江苏2 0(16分)已知各项均为正数的两个数列 6 和 或 满足:b(h(1)设白山

14、=1 +L,n w N*,求证：数列 an 7b(2)设2+1=&*,w N*,且%是等比数列%【答案】解：(1).“同=1+%，.%+=告4=一%g+为2：.皿=J l+(%o%+l an.：叱2*)an J 1%J J an)/,、2、J 数列%是 以 1 为公差的等差数列。ai )V 0,b.0,/2 an2+bn.1八=,a n+b n V2o(*)族,f2是等差数列；，求生和济的值.b“+iRTO2 0 知 q 0,下面用反证法证明g=l6若g l,则可=竺。2log 时，册+=a d 6 ,与（*）矛盾。4%若0 v g 1,当 月 1。2.工 时，。1=用0 1,与（*）矛Q 4

15、盾。.二 综上所述，夕=1。&=q JV*l,.1 1,于是51c A v 与又由g=六即与二J 7 ，得 50 二年建 五.%大中至少有两项相同，与玄 与矛盾。二用=3 .。尸W 尸二日i4 r-i.用 泡=先【解析】（1）根 据 题 设%+ib h 明 L 一 L=1 而得证。4+1 7 an 7（2）根据基本不等式得到1 3.记数列 I 4 1 的前项和为当“二 时,S,=1 a,1=4 ；当”=2 时，S?=l q 1 +1%1=5；当时,S =52+l a,l +l a4l 4-+l a I=5 +(3 x 3-7)+(3 x 4-7)+-+(3-7)_ (，?-2)2+(3”-7)

16、3 2 11,八、叱 、*r-(X=5 +-=-n2n+1 0.当 =2 时，满足此式.2 2 2综上，Sf l=4,n2-n+10,2 2 =1,n.23.12012高考真题广东理19(本小题满分14 分)设数列区 的前n 项和为和，满足25 =。,中一2向+1,n e M,且a2+5,a、?成等差数列.(1)求 a i 的值；(2)求数列 劣 的通项公式.1 1 1 3(3)证明：对一切正整数n,有-1-1-1-.4 a2 an 2【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.1 9.(1)在2 s.=4 7-2 7,1 中令

17、n-1 2S=%-2+1令”=2 得：2SL%-2$1解得:flj=2%+3,%=6a,+13乂 2(%+5)=%+%解得q =1(2)由 2 s.=%-2 7 +12s7 =。3-2、1得=肛.1+又%=1,%=5 也满足=3。+21所以0=34+2对卸力成立限”=3(.+2。)工 片f /-3“一2*G-G),7 b K 249八x*3 J与ait a时，i25.(2012高考真题四川理2 0 (本小题满分1 2 分)已 知 数 列 伍“的前F 项和为S“，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立。(I )求q，的值；(H)设q O,数列 1g 也 的前项和为7；，当为何值时，7；最大?

18、并求出7；的最大%值。【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想(I)取“0 1,用 a2a(,S+S,=2al%.取。=2,得 2%2a2,由 .用-0时.由(1)知 町6*1&+2.当 n 2B九有(2 月,*S,.(2 S,心.所以(I.(2 8)%.,即。.倒.所以0,(力 广,(6*1)叫令4=1 1 5,则”I-1 -y(n-I)lfi2 第a.*Z所以数列Ib.l是单网递减的等器数列(公卷为-J lg2),从而&|与 bj 1g IRI,0.o当 N 8 时，6.W 4

19、摆 ylgl=0,故n=7时.T.取得收大值,口 T.的域大值为=7*.12 3/2 6.1 2 0 1 2 高考真题四川理2 2 (本小题满分1 4 分)n已知a 为正实数，为自然数，抛物线,=-/+与x轴正半轴相交于点A ,设/()为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。(I )用a 和n表示/()；(I I)求 对 所 有 都 有-1 2/一成立的a的最小值;/(n)+l(III)当。4=(I 3)、=1 +比 3+d 3+C：3,+2 1+a 3+c j.3；+a Tm 1 +2+-1-n5(a-2)1+(2n-5)2n+1 .当 n=2n*+l.故a u 717时L:m C j对所有

20、自然数n都成立.所以满足条件的a的最小值为G.(m)由(i)知/=则 y F=y 丁:，般 女?心)”)A o*-oa /(O)-/(l)下面证明V-!-且.A l)-A?lA/U)-/(2*)4/-川).首先证明：当0 v r 1 时，一 二 M早.x x 4设函数 g(r)=7 r /-ar)I,0 x 1 .M r()=v*(x-Y)4 329当。*0.故 g(x)在区间(0,1)上的最小值式动=(,)=0 所以，当0 x 1 时,r(x)去0,用得一:g.由 0 v a v I 知 0 v J 2 x 3-2川=2 a.1 1 1-噎 2 a.行”N 2 时，*2 a2一1 I-1-%

21、2%-fl.2.累乘得：-.一.111 1 1 1 1 （M-1 1 7 3 一+-4-4.-S 1 4-+-X -X-1，求证：Sn-（ax+a2）,并给出等号成立的充要条件.【答案】(，)修法一：山 易=g ,和“,.叫n “.囚叫.IJU a,.义由地改条件却与 “。叫,rti ”/s.明 .H 式 相*福 s.”-S.(S.“S J.叩 3.“,由 a,。.知 a.|0 0.因 此-1-a1.a.i-饰上.-0,对所nW N成立.从iMla 是为I.公比为a,的算比fl1 列.a.文法二:用数学打靖法证明a.1 M,即 01=aa,.再由。,.0.掰.I.所以站企成立.假设n&时.结讫

22、成立,即。a；那么f f l4 .I S，这就是说,当-_ S,(%&.)-(跖，,)hSt-St l)-a,a,-&+1时,结论也成立你上可得,对任意。寸.4 .a；）因此I。是 件X 为I,公比为。，的等比数琳（U）任旅一:当成2 时.然S.f”3”号成工段 2 3%/且。，”由 ）知一.；所以村的不等式化为；一 端.豹.咛 ）（33*a；I a；(，I 2.,*-上面不等式对，从I到n-I求和加2(a；a；)(n-I)(I；).由此褂 I 叫 Q；a；-I H a,-0时.有 W v(i+。.).当且仅当“1.9成%I界 等、啦.证法二:当n=I或2时.显然S.=y(a,+a.).等号成

23、立.当%=1 Bf.S,=n=-(a 4).等号也成立.当a,I时,由(I)知S.卜 三.a.=a 1下证：I-%3.%-I 且 *).当 T a,3)令)(-2)垃+!-nay当-I a,O.ft=6-2河+(i y“)(-2)|a j|-.又 =S1=5，所以 a,=y -n.(2)因为b,=翁=声，7；=+&+.”.=1+7 +尹+.+产 尸，所以 T.=2T,-T.=2+I +/+*一令=4-击 一 声=4-3 1.12 012 高考真题安徽理2 1 (本小题满分13 分)数列%“满 足:X =0,xn+i=-%+xn+c(n e N*)(I)证明：数列 x,J是单调递减数列的充分必要

24、条件是c 0；(ID求c 的取值范围，使数列*“是单调递增数列。【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。【解析】(I)必要条件当c 0 时，x +1=片+x +c X 2 =-X；+X +C =C X；=0,得：数列 当 是单调递减数列的充分必要条件是c 0 时，x2=c X ,x3=-c2+2 c x2=c=0 c 1,xn+l-xn=c-x；0=x：c l 0=x(xl t)+(X“+i -X”)=-(X+1-Xn)(X+1+T)。当e g1时，XR&。=%八+工4 一1 一演=

25、c 0=X 2 xn 0=X 1 Xn9l i m=l i m（-4 +/+c）=l i m与=V c.当 C 1时，存在 A 9 使 Xy X y +1 X_ X y j 与 Xg_ i Xy 异号，与数列&是单调递减数列矛盾，得：当0 c S（时，数列 看 是单调递增数列.3 2.12 012高考真题天津理18（本小题满分13分）已知%是等差数列，其前n项和为S ，仿“是等比数列，且q=前=2,4+4=2 7,S4-b4=l0.(I )求数列 七 与 2的通项公式;(I I)记7；=anb+a,b2+哂,e N*,证明 T.+12 =-2 an+1 0 2(e N*).【答案】，1）解：谀

26、谆Z数列%的公不为J.等比数列仇）的 公 比 力 外 由“=人=2.出a,=2+M 6.=2/.S.=8+6J.由条件用 UP 楸-，-8用!,4 X.#-。=W|2.所以。.=M-1A.=2.”w、.(I I)证明：(方法一)由(I)得1=2a,+2&_1+2也“+2q,2=2&+2%z+“.+2,o:+2 ia1.由-.得。=-2(3”-l)+3 x2+3 x2+3 x2,+2”：1 2八 _ 2*T=2-6 2=I Ox 2,-6 10,1-2而-2a.+l%-l2 =-2(3”-l)+IOx2.-l2=IOx2-6”-I O,故。+12=-2a.+102.ne N.(方法一：数学外纳法

27、)(I)当 =1时.工+12=。直+12=16.-2q+10=1 6.故等式成立：(2)假设：|”=%时等式成立.U P 7i+12 -2a,+105,.则“in=*+l 时行：+o,A.+,-12)=2q“-4(q“-3)+10%“-24=-2%.1+1%“-I2.-如 +12-2a,“+106,.,.闪此”=*+1时等式也成立.由(I)和(2).可知对任意“eN，7；+12=-2a.10b.伐立.3 3.2 012 高考真题湖南理19(本小题满分12 分)已知数列(4 的各项均为正数,记 A()=a+a+.+&,B(z?)=&+&+.+a“，C(n)=as+&+.+a*2,z l,2,.(

28、1)若 a=1,a=5,且对任意e N*,三个数/()，6 ),C()组成等差数列，求数歹必&的通项公式.(2)证明：数列 4 是公比为g的等比数列的充分必要条件是：对任意 wN*,三个数A(72),6 ),C()组成公比为。的等比数列.【答案】解(1)对任意n e N*,三个数4(),8(),C()是等差数列，所以B()一 A()=C()B()，即 4+i-4 =*，亦即 4+2%-4=4.故数列%是首项为1，公差为4的等差数歹U.于是a“=l+(-l)x 4 =4 3.(II)(1 )必要性：若数列 4 是公比为夕的等比数列，则对任意“e N*,有=。收 由知，A(),8(),C 5)均大

29、于，于是5(n)a2+a,+.+a.4(4+/+=q,A(几)ax+a2+.+afl ax+a2+.+anC(M)_%+%+4+2 _ 式。2+。3+4+1)_=q,B(n)a2+%+Q+a2+%+.+a/j+1即 处!=C=q,所以三个数A(),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.A(n)B(n)(2)充分性：若 时 于 任 意 打 三个数组成公比为g的等比数列，则B(n)=?J(?7):C()=qB(ri),于是C(n)-B(ri)=qB(”)-次 力,得an_2-a2=q(a“”-q),即由上=1 有5(1)=gZ(l)：即%=qax，从而a 鹏=0.因 为&0,所 以 生=*=9

30、,故数列 4 是首项为q,公比为q的等比数列，ai ax综上所述，数 列%是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对 任 意n G N*,三个数/(现3(”),C(n)组成公比为q的等比数列.【解析】2011年高考试题】1.(2011年高考四川卷理科8)数列 4 的首项为3,2 为等差数列且=4+-%（eN*）若贝昉3=-2,仇0=1 2,则=（）(A)0(B)3(C)8(D)11答案：B解析：由已知知。=2-8 q+1-。=2/2-8,山叠加法(6?2%)+(%一4)+，+(8%)=6 4 42+0+2+4+6=0%=4 3.2.(2011年高考全国卷理科4)设S“为等差数列 4 的前项和，若

31、%=1,公差d=2,SA+2S.=2 4,则女=(A)8(B)7(C)6(D)5【答案】D 解析J S；.=生+2+生+1 =q +(k+2 +q +(k+l)d=+(2k+l)d=2 x1+(2k+1)x2=4k+4=24 n k=5 故选 D.3.(2011年高考广东卷理科11)等差数列%前 9 项的和等于前4 项的和.若q =1,%+%=0，贝 U 4【答案】10(9*8,(43,【解析】由题得 9 4_2_ _ 4=4 4_2_ d；.d =上1*=10l+(I)d +l+3d=0 65.(2011年高考湖北卷理科1 3)九章算术“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自下而下各节的容积

32、成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为 升答案：66解析：设从上往下的9 节竹子的容积依次为a a?,，a,公差为d,则有a f a计a fa7+as+aM,即4a5-1 0 d=Q,3 as+9 d=4,联立解得：a5=.即第5 节竹子的容积生.66 665.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵,相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这 个 最 小 值 为 (米)。【答案】2000【解析】设树苗集中放置在第i 号坑旁边

33、，则 2 0 名同学返所走的路程总和为I=2 (i 1)+(i 2)+2 +1 +1 +2 +(1 9 i)+(2 0 i)x 1 02 1 3 9 9=(/一 2 l i +2 1 0)x 2 0 =(i 耳了+x 2 0 即 i =1 0 或 1 1 时/m i l l=2 0 0 0.6.(2 0 1 1 年高考重庆卷理科1 1)在等差数列 2 中，4+%=37,贝 l a2+%+4+/=_解析：7 4.+。8 =。4 +%=。3 +%=3 7,故4+。4 +。6 +/=2 x 3 7=747.(2 0 1 1 年高考江苏卷1 3)设1 4 4 a2 4，其中%，%，牝，的成公比为Q 的

34、等比数列，%,由，。6 成公差为1 的等差数列，则 q的最小值 是 一【答案】外【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题.由题意：1 =4 W a：W q g a2+1 Wq q，a2+2 axq:,.七 q a2 l:a2 4-1 :1+(-1)，!(2-3 1)=2-3,!-1+(-l)，：D n 2+(n-l)l n 3=2 一+2-I n 3)+(-l)Kn l n 3,所以=2(l +3+-+3:,1-1)+-l +l-l+-+(-l):，I(l n 2-l n 3)+-l +2-5+.-+(-l),!n l n 3.所以当n为偶数时，Sr=2

35、 -+-l n 31-3 2=3 +l n 3 k-1-3?i-1当 n为奇数时，S*=2 x-(l n 2-l n 3)+(一-n)ln3=3 -l n 3 l n 2 1.1 13 T改 为偶数综上所述，sn=l时，刍=%+i1+J?2 2 2 2所以s=.综上，数列 白的前n项和为S“=3.1 1.（2 0 1 1年高考浙江卷理科1 9）（本题满分1 4分）已知公差不为0的等差数列 4 的首项%=a（aeR）,设数列的前n项和为S “，且,，-%出L成等比数列（I）求数列他“的 4通项公式及S“(I I)i e A,=+B=+当“2 23 3 2 白3 3 q g 42时,试 比 较4与

36、纥的大小.【解析】(I )-=*(q+d)2 =%(q+3 d)n d=%=aa2 ax a4贝ij an=q+(-l)d =q+(一 l)q=nax-na,c n(n-l),n(n-l)(+l)Sn=a1n+-d=an+-a=-a222、，1 1 1 1 1 1 1 1(I I )A =1-1-F.4-F F-F.H -&S、S.S 1 x2 2 x3 3 x4/?(/?+1)1 2 3 -a-a-a-a2 2 2 22 1 2 1=-1-。1 x2 a 2 x32 1H-。3 x42 1+-a (+1)1 +1)1 1 1 1 1 2 1因为=2%,所以纥=+.+=-=一(1一)-%a2

37、a2,a2.t i a 22当 22时,2 2=c；+C：+C；+C：+1 即 1一 白 1一 所以当a0时，A“纥；当。Bn.1 2.（2 0 1 1年高考安徽卷理科1 8）（本小题满分1 3分）在 数1和1 0 0之间插入“个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作7；，再令4 =1 g 7；,n l.（I ）求数列 4 的通项公式;（I I）设或=t a n an-t a n an+l,求数列依 的前项和Sn.M a a i本机喇蝠E H例，指 潮 崎 如 商蒯地正机公金睡；v iUWrl(I)r =1 0 0.l&=rf；-.“Qi 毋；X .史喷 W =1 0；

38、卷名=lg北=lglO A：=3+2,(I I)山(I)知 6“=t a n a“-t a n%+j =t a n(+2)-t a n(+3),n 1,rz,tan(n+3)-tan(n+2),又 v tan(n+3)tan(n+2)=-=tan 1l+tan(+2)-tan(+3)/仆 z ox tan(+3)tan(+2).tan(+2)-tan(/i+3)=-1tanl所以数列 勾 的前项和为S=tan(l+2)-tan(l+3)+tan(2+2)-tan(2+3)+.+tan(/2+2)-tan(n+3)tan(l+3)-tan(l+2)tan(2+3)-tan(2+2)tan(w+3

39、)-tan(+2)-+-+.+-:-ntan 1 tan 1 tan 1tan(+2)-tan 3-ntanl【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考查的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：7 4=展1/=4 2=1 0：,倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论.第二间的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法.而出现tan/tan尸时自然应该联想正切的和角或差角公式.本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决.13.(2011年高考天津卷理科2 0)(本小题满分14分)已知数列。与也,满足：+aB+1+bn

40、+ian+2=0也=上*,N*,且6?1 =4.(I)求3M4，。5 的值；(I I)设%=的“T +%”+”N*,证明：C,J 是等比数列；o 7(ID)设Sk=4 +4+出*，左 eN*,证 明:2-1 +Z a凄-i =0 ：2 a筋+生=+ai i=0 ：%好1 +=0 ：得生：=生z：将代人:可得生=T&x+生”1)，即 一=一7(W、)：又q=q+生=T：故q工0因 此2 =-1,所以&是等比数列.cn(I I D证 明:由(I I)可得明+吸=(T)*，于是，对任意k e N*且女22,有6 f 1 +%=-1，一 (%+%)=T%+%=-L(-1)(。2 J t-3 +a2 k

41、-)=-1 将以上各式相加,得q+(l)%2 i =-(A T)，即*=(-1)*依 +1)，此式当k=l时也成立.由式得41 t=(1)|伙+3).从而 S 21 t=(生+。4)+(“6 +%)1-(”熊 +。4氐)=-k,2 k-Sz k a4k=%+3.所以，对任意e N*,n2 2,4 c “chl c ik/n=l。4 小-32 机+2 2m-1 2m+3 2 m、-+-)用=1 2 m 2 m +2 2m+1 2 m+3自(+(2 2)(2 2)-1-2 x 3 2 m(2/n+1)(2+2)(2+3)F /-1-3 (2 z 1)(2?+1)(2+2)(2+3)-)-2 +1

42、(2+2)(2+3)15 5 1 3=-H-3 6 2 2 n+l (2+2)(2+3)7.6对于n=l,不等式显然成立.所以，对任意”e N*,县+&+S2.-1+屋a a2 a2 n-。2 n=(园+邑)+(邑+&)+.+(4+&)a a2。3 。4 a2 n-a2 n八1 1 八 1 2 、八 1 、=(1-)+(1-Z-1-Z-)+(1-)4 1 2 42 42-(42-1)4(4-1)/1、，1 2 、,1 、/1、1由（2+做y=（l+a）（3+a）得 以-4以q+3a-l=0（!；）因为a 0,所以A =4a，+4a 0,所以方程（）有两不等实根，依题意数列:以及；唯一，所以要方

43、程（*）只有一个非零实根，即另一实根为零，将零代入方程（“）得a=.3本题考查等比数列的定义及通项公式、方程等知识.15.（2011年高考湖南卷理科16）对于wN*,将表示为=a。x2*+a1x2 +a?x2*+,x21+%x2 ,当 i=0时，4=1,当lW i时，a,为0或1.记/（）为上述表示中a,为0的 个 数（例如：1 =1x2,4=1X22+0X2,+0X2 ,故/（1）=0,/（4）=2）,则（1）/（12）=；zz=l127答案：/(12)=2;22/(，)=1093”=1解析：由 题 意 知 12=1x23+1x2?+0 x2i+0 x2,所 以/(12)=2：(2)通过例举

44、可知(1)=0,/=1,/=2,/(8)=3,/(16)=4,/(32)=5,/(64)=6,/(128)=7,口相邻之间的整数的个数有0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而127 2/(,)=(l+l+l+l+l+l+l)x20+(l+2+3+4+5+6)x2,+(l+3+6+10+15)x22n=+(1+4+10+20)X23+(1+5+15)X24+(1+6)X25+1X26=1093.评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.1 6.(2 0 1 1年高

45、考广东卷理科2 0)设/2 0,数列 凡 满足弓=。吗=(/1 2),a.,+2 n-2(1)求数列 4的通项公式；bn+i(2)证明：对于一切正整数n,O.ar=0,=1+%+2 2%b 6 3令4=工4=；,a*b1 7当2 2时,4 =b b1 7=b Iyr +H-尸-+产 r三-41L /7/=+r +.b b2 尸 6”当b =2时，乩 2 b b-2 y1 b1 7当匕=2时,A“=加S-2)-,b 丰 2a“=J b-T2 ,b=2(2)当时，(欲证a”=一?)w 吗+1只需证泌4 (+1)-2)b 一2 2+,2+b-26 _ 2(2n+1+b+l)-=(2用+b+l)S i

46、 +2 b-2+2 -)b-2=2n+1 b-+22 bL2 +.+22+b2n+2卢 t +2-bn+l2%(2+,./+%+.+2)b b2 b 2 2-2 2(2+2+2)=2小2b=2n+b,二 b-2)b+a b-2 2n+1 y+1当。=2 时,4 =2=尸+1.一.bn+l综上所 述 +1.17.(2011年高考湖北卷理科19)(本小题满分13分)已知数列()的前 n 项和为 S,且满足：.=a(a r 0),a“+=r S (”e N*,r e/?,r *-1)(I)求数列%的通项公式；(I I)若存在M eV,使得S*.r S*,S“2成等差数列，试判断：对于任意的meN*,

47、且阳2 2,%*i，a,“，%+2是否成等差数列，并证明你的结论木小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解析：(I)由已知%+1=况，可 得%,2=祝+1,两式相减可 得%,%+i=r(5.|-S,)ni“+1即%+2=(r+D%+i 又。2 =S=，所以当r =0 时，数列%为：a,0,0,；当 r r O,r#-l H寸，由已知 axO,所以*w 0(”e N*)于 是 由%2=(，+%+1，可得S=，+l(eN%成等比数列，当 n 22 时，an=r(r+l)n2a综上，数列%的通项公式 为%=；：，%,“2 2.（I I ）对于任意的me,

48、且 加之2心_：成等差数列，证明如下：当 r=0 时，由（I ）知，*（0:n2.对于任意的m e.V ,且 nt 之 2：J%成等差数列；当 r =0 八-1 时，、：=$-=又+%：$“：=$+%：+限，若存在Z N-,使得成等差数列，则S-+=2sl p 二2%：-4-：=二 与9即 ：=-2 j,由（I ）知，4：%：二%的公比r-l=2,于是对于任意的 NJ且帆之2,a,-：=-2%从而 a =4%,a.;+a _;=2a _,即成等差数列.综上，对于任意的m e N-,且帆Z2,a _”a _,a 一 成等差数列.1 8.（20 1 1 年高考重庆卷理科21）（本小题满分1 2分。

49、（I ）小问5分，（I I）小问7 分）设实数数列 4 的前n 项和S“满足Sa=a S,（e N*）（I ）若,S 2，2%成等比数列，求 5 2和的4（I I）求证：对 2 3有0 4%+1解析：（1 ）由题意 邑=-2%,得 s；=_2S z，S 2=CI2 S1 c i y C i 由S 2是等比中项知邑因此$2=2,S 2由邑+。3 =3 =生邑，解得，。3 =一 二一邑 一 1 3（I I）证明：有题设条件有见+5 =%+1+S，故 S w w 1，a+i =，S =彳5-1-1从而对k 2 3 有4=&一=&上心=-包 匚 LS*_|T ak_t+Sk_2-1 +%uk-十 1a

50、k-1/1、1 O因/-1 -1+】=I +=，且/-1 三 ，*0，M E-1*即 I：a.-1(*0.矛.或一+11 9.(201 1 年高考四川卷理科2 0)(本小题共1 2分)设 d 为非零实数，an=C“d+2C：d-+(n l)Cn!d +nCnnd (nGN*).n(I)写出a i,a za s并判断判J是否为等比数列.若是,给出证明;若不是，说明理由;(H)设 b=nd a (n G N*),求数列 b j 的前n 项和Sn.解析：(1)q =d,a)=d(d+1),%=d(d+1)aK=C；d+C；屋+C)3 +L+C；T,=d (1+d)”i%(d p母=d+l因 为d为常