2023年高考数学必背知识点归纳总结全面汇总归纳与全面汇总归纳及例题解析下载.pdf

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1、 第六章 导 数 第 01 讲：导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：NnnxxCCnn,)(;)(01为常数；;sin)(cos;cos)(sinxxxx aaaeexxxxln)(;)(；exxxxaalog1)(log;1)(ln 法则 1：)()()()(xvxuxvxu 法则 2：)()()()()()(xvxuxvxuxvxu 法则 3：)0)()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu 一基础知识回忆：1.导数的定义：函数)(xfy 在0 x处的瞬时变化率xxfxxfxyoxx)()(limlim000称为函数)(xfy

2、在0 xx 处的导数，记作)(0/xf或0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/如果函数)(xfy 在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf/yxxfxxfx)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(xfy 在0 x处的导数0/xxy，就是导函数)(/xf在0 x处的函数值，即0/xxy)(0/xf。2.由导数的定义求函数)(xfy

3、的导数的一般方法是:(1).求函数的改变量)()(fxfxxf;2.求平均变化率xxfxxfx)()(f;3.取极限，得导数/yxxflim0。3.导数的几何意义：函数)(xfy 在0 x处的导数是曲线)(xfy 上点()(,00 xfx)处的切线的斜率。因此，如果)(0 xf 存在，则曲线)(xfy 在点)(,00 xfx处的切线方程为_。4.常用的求导公式、法则除上面大纲所列出的以外，还有：1公式1/)(nnnxx的特例：)x(_;x1_,)x(_.2法则：/)(xfc_;假设)(),(xuufy，则xy=_.二例题分析：例 1.已知y=x1，用导数的定义求y.11xyx在点(3 2)，处

4、的切线与直线10axy 垂直，则a D A2 B12 C12 D2 例 3.曲线 y=xx 331在点1，34处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A A91 B 92 C 31 D32 例 4.已知直线1l为曲线22xxy在点1，0处的切线，2l为该曲线的另一条切线，且.21ll 求直线2l的方程；求由直线1l、2l和x轴所围成的三角形的面积.第 02 讲：导数在研究函数中的应用 一基础知识回忆：1.设函数)(xfy 在某个区间 a,b 内有导数，如果在这个区间内，则)(xfy 在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，则)(xfy 是这个区间内单调递减.2.求函数的单调区间的方法：1求导数)x(

5、fy；2解方程0)x(f；3使不等式0)x(f成立的区间就是递增区间，使0)x(f成立的区间就是递减区间。3.求函数)(xfy 的极值的方法：1求导数)x(fy；2求方程的根临界点；3如果在根0 x附近的左侧)x(f _0，右侧)x(f _0，那么)x(f0是)(xfy 的极大值；如果在根0 x附近的左侧)x(f _0，右侧)x(f _0，那么)x(f0是)(xfy 的极小值 4在区间 ba,上求函数)(xfy 的最大值与 最小值 的步骤：1求函数)(xfy 在),(ba内的导数；2求函数)(xfy 在),(ba内的极值；3将函数)(xfy 在),(ba内的各极值与端点处的函数值)(),(bf

6、af作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 第 03 讲：导数的实际应用 一基础知识回忆：1.结论：假设函数 f(x)在区间 A 上有唯一一个极值点0 x，且)(0 xf是这个函数的极大小值，那么这个极值必定就是函数 f(x)在区间 A 上的最大小值。2.定积分的几何意义：badxxf)(表示由直线_,_,_和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。3微积分基本定理牛顿-莱布尼兹公式：如果 f(x)是区间a,b 上的连续函数，并且)()(xfxF，那么baaFbFdxxf)()()(。常常把)()(aFbF记作baxF|)(。高中数学专题六 数列 数列知识点总结 第一部分 等差数列

7、 一、定义式：1nnaad 二、通项公式：na1()(1)manm dand 一个数列是等差数列的等价条件：banan(a，b 为常数)，即na是关于n 的一次函数，因为nZ，所以na关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。三、前n 项和公式：1()2nnn aaSna中间项 1(1)2n nnad 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bnanSn2(a，b 为常数，a 0)，即nS是关于n 的二次函数，因为nZ，所以nS关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。四、性质结论 1.3 或4 个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3 个数a-d,a,a+d；4 个数a-3d,a-d

8、,a+d,a+3d 2.a与b的等差中项2abA；在等差数列na中，假设mnpq ，则 mnpqaaaa；假设2mnp，则2mnpaaa；Nnn，则，奇偶ndSS 1nnaaSS偶奇；假设等差数列的项数为 Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,nA aaa ，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有CAB2；5.10a,mnSS,则前2m nS(m+n 为偶数)或12m nS(m+n 为奇数)最大 第二部分 等比数列 一、定义：1(2,0,0)nnnnaq naqaa成等比数列。二、通项公式

9、：11nnqaa，n mnmaa q 数列an是等比数列的一个等价条件是：(1),(0,01nnSa bab，）当0q 且0q 时，na关于 n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。三、前n 项和：1111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq；(注意对公比的讨论)四、性质结论：1.a与b的等比中项G2GabGab(,a b同号)；na中，假设mnpq ，则mnpqaaaa；假设2mnp，则2mnpaaa；12,nA aaa ，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有2BA C 第三部分 求杂数列通项公式na 一 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。第一

10、类：但凡出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，例如：112111nnnaaa，两 边 取 倒 数11112111nnnaaa是 公 差 为2的 等 差 数 列)1(211111naan，从而求出na。第二类：221(1)(1)nnnan an n 1111nnnnaann 1nnan是公差为1 的等差数列 111 1211nnnnaaann 二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。例如 1211nnnnnanaan naan a!【注:!(1)(2)1nn nn】求通项公式na的题，不能够利用构造等比或者构造等差求na的时候，一般通过递推来求na。第四部分 求前n 项

11、和nS 一、裂项相消法：11111 22 33 4111111111()()()()122334111111n nnnnnn（）、11111,2,3,4,n39278111111 2 3 4392781的前 和是：（+）+（+）二、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，求：23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x (x1)23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x (x1)234n-1nn+1nxS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)减得：23n-1nn+1n2n-1

12、n+1(1 x)S=x2x2x2x2x2n 1 x2x 1 xx2n 1 x1 x 从而求出nS。三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法 例：等差数列求和：n123n 2n 1nnnn 1n 2321S=aaaaaaS=aaaaaa 两式相加可得：n1n2n 13n 23n 22n 11n1nn2S=aaaaaaaaaaaan aaS 高中数学专题九 概率 概率部分知识点 事件：随机事件 random event ，确定性事件:必然事件(certain event )和不可能事件(impossible event)随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n次实验中发生了

13、m次，当实验的次数n很大时，我们称事件 A 发生的概率为 nmAP 概率必须满足三个基本要求：对任意的一个随机事件A，有 10AP 0,1,PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用如果事件 BPAPBAPBA:,则有互斥和 古典概率Classical probability model：所有基本领件有限个 每个基本领件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本领件的个数为个n，则每一个基本领件发生的概率都是n1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本领件，则事件A发生的概率为 nmAP 几何概型geomegtric probability mode

14、l：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为 的侧度的侧度DdAP 这里要求D的侧度不为 0，其中侧度的意义由D确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 几何概型的基本特点：基本领件等可性 基本领件无限多 说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为

15、互斥事件 对立事件complementary events：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件A的对立事件 记为：A 独立事件的概率：BPAPAABP ,B ,则为相互独立的事件事件若，假设 n21n2121A.AA.AAAP ,.,PPPAAAn则为两两独立的事件 说明：假设,B ,B ,中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对

16、立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是 1，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1 假设事件BA,是互斥事件，则有 BPAPBAP 一 般 地，如果 nAAA,.,21 两 两互 斥，则 有 nnAPAPAPAAAP.2121 APAP 1 在本教材中nAAA.21 指的是nAAA,.,21 中至少发生一个 例题选讲：新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 事件：随机事件 random event ，确定性事件:必然事件(certain event )和不可能事件(impossible event)随机

17、事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n次实验中发生了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件 A 发生的概率为 nmAP 说明：一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的

18、整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 概率必须满足三个基本要求：对任意的一个随机事件A，有 10AP 0,1,PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用如果事件 BPAPBAPBA:,则有互斥和 古典概率Classical probability model：所有基本领件有限个 每个基本领件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本领件的个数为个n，则每一个基本领件发生的概率都是n1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本领件，则事件A发生的概率为 nmAP 几何概型geomegtric probability

19、 model：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为 的侧度的侧度DdAP 这里要求D的侧度不为 0，其中侧度的意义由D确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 几何概型的基本特点：基本领件等可性 基本领件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。互斥事件(exclusive events)：不能同时发

20、生的两个事件称为互斥事件 对立事件complementary events：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件A的对立事件 记为：A 独立事件的概率：BPAPAABP ,B ,则为相互独立的事件事件若，假设 n21n2121A.AA.AAAP ,.,PPPAAAn则为两两独立的事件 颜老师说明：假设,B ,B ,中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论

21、来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是 1，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1 假设事件BA,是互斥事件，则有 BPAPBAP 一 般 地，如果 nAAA,.,21 两 两互 斥，则 有 nnAPAPAPAAAP.2121 APAP 1 在本教材中nAAA.21 指的是nAAA,.,21 中至少发生一个 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来，具体的格式请参照我们课本上新课标试验教科书-苏教版的例题

22、例题选讲：例 1.在大小相同的 6 个球中，4 个是红球，假设从中任意选 2 个，求所选的 2 个球至少有一个是红球的概率？【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球，2 个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法 解法 1：互斥事件设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球”，则其互斥事件为A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”1514 151-1AP -1 AP 151 2)56(1AP 答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 1514.解法 2：古典概型由题意知，所有的基本领件有15256种情况，设事件 A 为“选取2 个球至少有1 个是红球”，而事件A所含有

23、的基本领件数有1423424 所以 1514AP 答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 1514.解法3：独立事件概率不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球”，事件A有三种可能的情况：1 红 1 白；1 白 1 红；2 红，对应的概率分别为：5364 ,5462 ,5264，则有 15145364 5462 5264AP 答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 1514.评价：此题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!变式训练 1：在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，

24、4 个是白球，假设从中任意选取 3 个，求至少有 1 个是红球的概率？解法 1：互斥事件设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球”，则其互斥事件为A，意义为“选取 3 个球都是白球”54 51-1AP -1 AP 51425364 123)456(123234AP 3634CC 答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 54.解法2：古典概型由题意知，所有的基本领件有2012345636C种情况，设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球”，而事件A所含有的基本领件数有16234241224 C，所以 542016AP 答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 54.

25、解法3：独立事件概率设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球”，则事件A的情况如下：红 白 白 51435462 1 红 2 白 白 白 红 51425364 白 红 白 51435264 红 红 白 151445162 2 红 1 白 红 白 红 151415462 白 红 红 151415264 所以 541513513AP 答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 54.变式训练 2：盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 1 只，试求以下事件的概率：1第 1 次抽到的是次品 2抽到的 2 次中，正品、次品各一次 解：设事件A为

26、“第 1 次抽到的是次品”，事件B为“抽到的 2 次中，正品、次品各一次”则 3162AP ，94664224BP或者 9462646462BP 答：第 1 次抽到的是次品的概率为31，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为94 变式训练 3：甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求1甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？2求至少 1 人抽到选择题的概率？【分析】1由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率 2 事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概

27、率来 解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少 1 人抽到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”1 1035633 1035363261313PPPAPAP或者 2 51 5152632623PPBPBP或者 则 545111BPBP 答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 103，少 1 人抽到选择题的概率为 54.变式训练 4：一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球，要么是 1 黄 1 球 略解:536 534352425325CAPAP

28、或者 变式训练 5：设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，假设连续抽两次，则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少？略解:946642662464626264AP 例 2.急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 不考虑落在正方形区域范围之外的，求发放急救物品无效的概率？【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即

29、边长为 1 千米的正方形为区域 D，事件“发放急救物品无效”为A，距离水池 10 米范围为区域 d，即为图中的阴影部分，则有 测度测度DdAP 100010004104105021080250802 答：略 颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的 变式训练 1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚 硬币的直径的 2 倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在aa/6FEDC1CABB1A1BPA正方形内的

30、概率？略解：324141442222测度测度DdAP 变式训练 2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a,现有一直径等于2a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解：如图，正三角形ABC内有一正三角形 111CBA ，其中 tan30DABEAD ,61FAEBDA ,1111aaAB a63，aaaADAB331332BA 11 当圆心落在三角形 111CBA 之外时，硬币与网格有公共点 111CBA111ABCCBA-SP SS有公共点的概率 82.0433314

31、3432222aaa 答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82.变 式 训 练3：如 图，已 知 矩 形在正方形内，中 ,7AC ,5AB ABCD ,P任取一点90 APB求的概率？略解：5657525212AP 变式训练 4：平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r a 的 硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率？解：设事件A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM，垂足 为M，线段OM的长度的取值范围为 a ,0 ，其长度就是 几何概型所有的可能性构成的区域D的几何测度，只有当 a OM 0时，

32、硬币不与平行线相碰，其长度就是满足 事件A 的区域d的几何测度，所以 araaarAP的长度的长度,0,答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为ara 【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D和区域d，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为a2 0 a，向平面内任意的投掷一枚长为 2a ll的针，求针与平行线相交的概率？rM2a 解：以x表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线的交角，如图易知 0 ,0ax，有这两式可以确定-x平面上的一个矩形，这是为了针与平行线相交，其充要条件为Sinlx2，

33、有这个不等式表示的区域A为图中的阴影部分，由等可能性知 aladSinlSSAPA0 2 如果 ,a ,的值如果已知反过来的值值代入上式即可计算则以已知APAPl 则也可以利用上式来求，而关于 AP的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既:如果 投针 N 次，其中平行线相交的次数为 n 次，则频率为Nn，于是，n aN ,lNnalAP于是 注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出.在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 的.2a 会面问题：甲乙两人约定在

34、 6 时到 7 时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？解：设“两人能会面”为事件A，以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充 要条件为：15yx 在平面上建立如下图的 坐标系，则 yx,的所有可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，由几何概型知，167604560222SSAPA 答：两人能会面的概率167.课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求ACAM 的概率？【分析】点M随机的落在线段AB上，故线段AB为区域 D，当点M位于如图的AC内

35、时ACAM，故线段 AC即为区域d 解:在AB上截取ACAC ，于是 22)(ABACABACACAMPACAMP 答：ACAM 的概率为22【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC中，在ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求ACAM 的概率？错解：在AB上截取ACAC ，在ACB内部任意作一条射线CM，满足条件的M看作是在线段AC上任取一点M，则有 22)(ABACABACACAMPACAMP【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取

36、射线，在确定基本领件时一定要注意观察角度，注意基本领件的等可能性.正解：在ACB内的射线是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，在AB上截取ACAC ，则5.67ACC，故满足条件的概率为75.0905.67 评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域D和d，求出其测度，再利用几何概型来求概率.例3.利用随机模拟法计算曲线2,0,2xyxy和所围成的图形的面积.【分析】在直角坐标系中作出长方形2,4,0,2xyyxy 所围成的部分，用随机模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值 解：1利用电脑或者计算器生成两组 0 到 1 区间上 的随机数，randbranda0

37、0,2进行平移变换：004,2bbaa，其中ba,分 别随机点的横坐标和纵坐标 3假设作N次试验，数处落在阴影部分的点数1N，用几何概型公式计算阴影部分的面积 由 NNS18 得出 7.281NNS 评价：这是一种用电脑模拟试验的方法，结合几何概型 公式来计算假设干函数围成的图形面积，其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：7.23xdx 203202xS 例 1.在大小相同的 6 个球中，4 个是红球，假设从中任意选 2 个，求所选的 2 个球至少有一个是红球的概

38、率？例 2：甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求1甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？2求至少 1 人抽到选择题的概率？例 3：一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？例 4.急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 不考虑落在正方形区域范围之外的，求发放急救物品无效的概率？aa/6FED

39、C1CABB1A1 例 5：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a,现有一直径等于2a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？.例 6：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求ACAM 的概率？例 7、利用随机模拟法计算曲线2,0,2xyxy和所围成的图形的面积.期望、方差、正态分布 期望、方差知识回忆：1数学期望:一般地，假设离散型随机变量的概率分布为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 E11px22pxnnpx 为的数学期望，简称期望 2.期望的一个性质:()E abaEb 3.假设Bpn,，则E=np 4.方差:D121)(p

40、Ex222)(pExnnpEx2)(:D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作：DabaD2)(；假设Bpn,，则D)1(pnp 正态分布知识回忆：R,21)(222)(xexfx的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2N)(xf的图象称为正态曲线 三条正态曲线：5.0,1；1,0；2,1，其图象如以下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：曲线在 x 轴的上方，与x轴不相交 曲线关于直线x对称，且在x时位于最高点 当x时，曲线上升；当x时，曲 线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小

41、，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 注意:当1,0时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R,21)(22xexfx相应的曲线称为标准正态曲线 2.正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数期望值与标准差；当0时得到标准正态分布密度函数：221,2 6xf xex .3.正态曲线的性质：,21)(222)(Rxexfx,曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线 x 对称；曲线在 x处到达峰值；曲线与 x 轴之间的面积为 1；4.是参数是参数的意义:当一定时，曲线随质的变化沿 x 轴平移；当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布

42、越集中；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。5对于2(,)N，取值小于 x 的概率 xF x.12201xxPxxPxxxP 21F xF x 21xx .典型例题：18.本小题总分值 12 分 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考试，否则21,即被淘汰，已知某选手能正确答复第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确答复互不影响.求该选手被淘汰的概率；该选手在选拔中答复以下问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.注：本小题结果可用分数表示 解法一：记“该选手能正确答复第i轮的问题”的事件为(12 3)iA i，则14()

43、5P A，23()5P A，32()5P A，该选手被淘汰的概率 112223112123()()()()()()()PP AA AA A AP AP A P AP A P A P A 142433101555555125 的可能值为12 3，11(1)()5PP A，1212428(2)()()()5525PP A AP A P A ，12124312(3)()()()5525PP AAP A P A 的分布列为 1 2 3 P 15 825 1225 1812571235252525E 解法二：记“该选手能正确答复第i轮的问题”的事件为(12 3)iA i，则14()5P A，23()5P

44、 A，32()5P A 该选手被淘汰的概率1231231()1()()()PP AA AP A P A P A 4321011555125 同解法一 18 本小题总分值 12 分 某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1 i(12 3)i，分，3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响 求该射手恰好射击两次的概率；该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望 解 设该射手第i次击中目标的事件为(12 3)iA i，则()0.8()0.2iiP AP A，()()()0.2 0.80.16iiiiP AAP

45、A P A 可能取的值为 0，1，2，3 的分布列为 0 1 2 3 P 0 0.0081 0.0322 0.163 0.82.752E .19(本小题总分值 12 分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：0 1 2 3 p 2a a ()求 a 的值和的数学期望；假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。的概率分布为 0 1 2 3 P 0*0.11*0.32*0.43*0.21.7E 2设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件1A表示“两个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 0

46、次”；事件2A表示“两个月内每月均被投诉 12 次”则由事件的独立性得 11222212()(0)2*0.4*0.10.08()(1)0.30.09()()()0.080.090.17P AC PP APP AP AP A 20.如图，A 地到火车站共有路径两条1L和2L，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：时间分钟 1020 2030 3040 4050 5060 1L的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 2L的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 1为了尽最大可能在各自允许

47、的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？2用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对1的选择方案，求 X 的分布列和数学期望.20.本小题总分值 13 分 某银行柜台设有一个服务窗间统计结口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时.估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望.高中数学专题十 排列组合 一基本原理 1加法原理：做一件事有 n 类方法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理：做一件事分 n 步

48、完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。二排列：从 n 个不同元素中，任取 m m n个元素，按照一定的顺序排成一 公式：1.2.(1)(2)；(3)三组合：从 n 个不同元素中任取 mm n个元素并组成一组，叫做从 n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn。1.公式：；.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 !121mnnmnnnnAmn规定：0!1!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn !(1)1!(1)!(1)!nnnnnnnnn 1 11111(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nnnnnnnnn CAAn nnmmn

49、m nmnmnmmm 11!10nC规定：组合数性质：.2nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011，11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注：假设 四、二项式定理可以用以下公式表示：其中，又有 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。五处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事审题 有序还是无序 分步还是分类。3排列应用题：1穷举法列举法 (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；3相邻问题：捆邦法：4隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1.电视台连续播放 6 个广告，其中含 4

50、个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式 结果用数值表示.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22种；中间 4 个为不同的商业广告有12mm1212m=mm+mnnnCC则或A44种，从而应当填 A22 A4448.从而应填 48 例 2.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？例 3.有 4 个男生，3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？.例 4.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 例 5从 5