2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)07 不等式恒成立问题(含详解).pdf

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1、专题07不等式恒成立问题【方法技巧与总结】1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)V xe。,机机4/(力代；(2)VX GD,(3)BxeD,/

2、n /(x)/n f(x)f(x)n.n.3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数)=/(x),xea,b,y=g(x),xec,d.若 也 小,可,V x2e c,J ,有%)g(xj成 立,则“力皿 g(x)而n；(2)若 依 句,叫e c,d ,有f (h)g(巧)成立,则刀)皿 8(力,皿；(3)若 当 文,句,叫e c,d ,有/(x,)ag(x)x ag(x)法则2若函数/(X)和g(x)满足下列条件：J i m =。及 呵g(x)=0(2)3 A 0,/(x)和 g(x)在(-o o,A)与(A,w)上可导，且 g (x)声 0；ff(x(3)l i m

3、=1,那么l i m“x-To8o g (x)X T 8g(x)=l i m/-(4九4)=Zx-oog (x)法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件:阴 x)=o o 及 理 g(x)=o o；(2)在点a的去心邻域(a-,a)u(a,a +)内,/(x)与 g(x)可导且g (在C 0 ；(3)l i mx-a/(x)g (x)那么l i m%=1 而 4 兽=/。注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:(1)将上面公式中的x-a,x f +o o,x-O O,x q+,x.武洛必达法则也成立。(2)洛必达法则可处理,0-O O,/，8,0,8-8型。(

4、3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足，?，O.o o,1 ,8,0,8-8 型 定 式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。Iim g4=l im 4?=li m/具，如满足条件，可继续使用洛必达法则。【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：端点恒成立题型三：端点不成立题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离题型五：洛必达法则题型六：同构法题型七：必要性探路题型八：ma x,m i n函数问题题型九：构造函数技巧题型十：双变量最值问题【典例例题】题型一

5、：直接法例 1.已知函数/()=出心一X 2+(2 a-l)x,(a.0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 f(x),0,求 a的取值范围.例 2.已知函数加;一丁+奴.(1)讨论了(X)的单调性；(2)若/(x),0,求a的取值范围.例 3.已知函数/(x)=(/)?+(l-4 a)e*-2 a x(a.O).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 f(x).O,求 a的取值范围.题型二：端点恒成立例 4.(2 0 2 2 黑龙江模拟预测(文)已知函数x)=(x-2)e”-色 2 +依+2,“凡(1)当”=1 时，求/)的单调区间；(2)当x N O 时，恒有/(幻20,求实数q的最小值

6、.例 5.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知函数/(x)=a 1 nx+h r(a,/?eR)在 x =g处取得极值，且曲线y =/(x)在点(1 J。)处的切线与直线*-y +i =o 垂直.(1)求实数力的值；rn(2)若Vx e l,+8),不等式/(幻4(加-2 次-恒成立，求实数?的取值范围.X例 6.(2 0 2 2.黑龙江.模拟预测(理)已知函数f(x)=x lnx +依-3%,求：(1)当=1 时，求曲线了 3 在点。，/)处的切线方程;(2)当x 3 时，总有求整数2的最小值.题型三：端点不成立例 7.(2 0 2 2 辽宁大连.高三月考)已知函数 X)=a r e*-

7、(x+lp (其中a e R ,e为自然对数的底数).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当x 0 时，/(x)lnx x 2 x _ 3,求。的取值范围.例 8.(2 0 2 2 陕西安康.高三期中(理)已 知 函 数/(力=储*-1 旧一4,a 0.(1)若a =l,证 明:/W0;(2)若x)W O 恒成立，求 a的取值范围.例 9.(2 0 2 2 江苏镇江高三期中)已知函数/(x)=lnx,g(x)=kx2-2 x(k e R).(1)若 y =f(x)在x =l处的切线也是y =g(x)的切线，求女的值；(2)若x e(0,+0,f(x)M g(x)恒成立,求人的最小整数值.题型

8、四：分离参数之全分离，半分离，换元分离例 1 0.已知函数/(x)=e+办 2-x .(1)当a =1 时，讨论fx的单调性；(2)当x.O 时，+求。的取值范围.例 11.已知函数，(x)=x4+X2+(a-l)x+l.(1)当a=l 时,讨 论 f(x)的单调性；(2)当x 0 时，f(x,x4+e ,求 a 的取值范围.例 1 2.已知函数/(幻=d-浸 7-1 .(I)当a=T 时，讨论f(x)的单调性；(I I)当x.O 时，/(尤).1-2奴2恒成立，求实数。的取值范围.题型五：洛必达法则例 13：已知函数/(x)=a ln x+法(。力尺)在龙=处取得极值，且曲线y=/(x)在点

9、(1,7)处的2切线与直线x y+l=O垂直.(1)求 实 数 的 值；(2)若V x e l,+o o),不等式/(x)(m 2)x-恒成立，求实数?的取值范围.x例 14.设函数 f(x)=l-e-x(1)证明：当 1时，f(x);x+X(2)设当xN O 时，/(%)0,恒有。+1)2 2 尤+!I n x,求实数a 的最小值例 18.已知函数/(x)=e*-aln(ax-a)+a(a 0),若关于x 的不等式/(x)0 恒成立，求实数a 的取值范围例 19.对任意x 0,不等式2ae-Inx+Ina 2 0恒成立，求实数a 的最小值题型七：必要性探路例 20.是否存在正整数a，使得e-

10、N/ln x 对一切x 0 恒成立?试求出”的最大值.rln x X例 2 L x 2,Z ，求 k 的最大整数值.x 2例 22.求使得X，-2 x +%0在 0,+o o)上恒成立的最小整数k例 23.(2 0 2 2 苏 州 三 模)已 知 函 数 f(x)=(x-1 片-，其 中“e R.(I)函数/(x)的图象能否与x 轴相切？若 能，求出实数a,若不能，请说明理由；(II)求最大的整数a,使得对任意斗/?,x2 e (0,+o o),不等式/(玉+吃)-/(孑-9)-2%恒成立.题型八：max,m in函数问题例 24.(2 0 2 2 云南师大附中高三月考(文)已知函数f(x)=

11、(x-l)e -Jd +l,g(x)=s i n x-ax,其中a e R.(1)证明：当X.1 时，,f(x).o；当x l 时，f(x)o；(2)用 m ax m,“表示m,中的最大值，记/(x)=m ax /(x),g(x).是否存在实数“，对任意的x e R,尸(X).O恒成立.若存在，求出。；若不存在，请说明理由.例 2 5.(2 0 2 2.云南师大附中高三 月 考(理)已知函数/(x)=(x-2)e，i 3V+x+；,g(x)=ax-s i n x-l n(x+l),其中ae R.(1)证明：当x.l 时，/(x).O；当*1 时，f(x)0的解集；(2)若 a=l,证明：当 x

12、 0 时，g(x)2 ；(3)用 m ax m,表示m,”中的最大值，设函数%(x)=m ax /(x),g(x),若(x)2 0 在(0,+8)上恒成立，求实数”的取值范围.题型九：构造函数技巧例 2 7.已知函数 f(x)=,m0.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若 g(x)=f-2x,且关于x的不等式/(x),g(x)在(0,内)上恒成立，其中e 是自然对数的底数,e求实数团的取值范围.例 2 8.已知关于%的函数y =f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,bw R)在区间 上恒有/(%)廊(x)g(x).(1)若/(x)=r+2 x ,g(x)=-A：2+2 x,D =

13、(-o o,+co),求(%)的表达式；(2)若/(x)=/-x+1 ,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,0 =(0,*o),求 k 的取值范围；(3)若/(x)=x4-2 x2,g(x)=4 x?-8 ,力(x)=4(r-t)x-3t4+2 r(0 /2),D =m,n u -V 2 ,y/2,求证：一档，J7.例 2 9.已知函数 f(x)=ex-ex2+a x(a G R).(1)若/(x)在(0,1)上单调，求。的取值范围.(2)若 y =/(x)+e x/n r的图象恒在x 轴上方，求。的取值范围.题型十：双变量最值问题例 3 0.(2 0 2 2 山西晋中三模(理)已知函数

14、E)=l n x,(x)=+Z?x +1,其中a,Z?R.(1)当。=0 时，直线y =g(与函数y =的图象相切，求b 的值；(2)当a w O 时，若对任意x0,都有f(x)4 g(x)恒成立，求2的最小值.a例 31.(2 0 2 2 浙江台州三模)己知函数/(x)=e +(l +x)+-a-2,g(x)=bx2+x,其中1 +x“eR.b e R.“=2.7 1 8 2 8 1 8 2 8 为自然对数的底数)(1)求/(x)在点(0 J(0)处的切线方程；(2)若“2 4 时，f(x)Ng(x)在(0,y)上恒成立.当b 取得最大值时，求=无卫的最小值.a例 32.(2 0 2 2 河

15、南郑州一中模拟预测(文)已知函数1 x)=ae*-x,(1)求危)的单调区间，(2)若关于x不等式好之什人对任意xeR 和正数b 恒成立，求的最小值.a【过关测试】1.(2 0 2 2 北京景山学校模拟预测)已知函数 x)=x l n x+o x+2.当”=0 时，求 x)的极值：(2)若对任意的x w l,e ,/(x)4 0 恒成立，求实数。的取值范围.2.(2 0 2 2 四川省峨眉第二中学校高二阶段练习(文)已知aeR,函数 x)=r-l-l n x.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当a =1 时，若对封(0,y)J(x)2 m-2 恒成立，求实数b的最大值.3.(20 22全国高三

16、专题练习)已知aeR,函数=e*+加，g(尤)是 x)的导函数.(1)当a 0 时，求证：存在唯一的毛卜 点,0),使得g(%)=0；(2)若存在实数a,6,使得恒成立，求”方的最小值.4.(20 22新疆克拉玛依三模(文)已知函数 x)=x l n x,g(x)=-+a x _ 3(a e R).(1)求函数/(-v)的单调递增区间;若对任意x 0,+8),不等式 x)z g g(x)恒成立，求。的取值范围.5.(2022四川省泸县第二中学模拟预测(文)己知函数/a)=e-a x (其中e 为自然对数的底数，e2.718.).当 a =2 时，求函数y=/(x)在点(OJ(O)处的切线方程；

17、若“X)2 1 恒成立，求实数a 的值.6.(2022-江西临川一中模拟预测(文)函数f(x)=、+sinx a的图像与直线2 x-y =0相切.(1)求实数a的值；当时，/(x)z sin 2 x,求实数?的取值范围.7.(2022四川威远中学校高二阶段练习(文)已知函数/(x)=2 1 n x+2-2,其中a 2 0(1)讨论函数=/(x)的单调性；(2)若函数/(x)2 1在1,+oo)上恒成立，求实数。的取值范围8.(2022辽宁鞍山一中模拟预测)已知函数/(x)=e-g 小 s i n x-l,函数g(x)=+c o sx-l.求函数g(x)的单调区间.(2)x 2 0 时，不等式/

18、(x)20恒成立，求实数k 的取值范围.9.(2022吉林延边二中高二期中)设。为实数，函 数/(司=1 一 3/+。，g(x)=xlnx.(1)若函数/(x)与 x 轴有三个不同交点，求。的范围(2)对 于 匕 且 1,3,VX26 L e ,都有试求实数。的取值范围.l_e _10.(2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测(文)己知函数/(力=2 8+%2 2x+l+(x-l)ln2.求函数 x)的单调区间；若对“、&目 0,2 ,使(、)-八)归 2-/恒成立，求”的取值范围专题07不等式恒成立问题【方法技巧与总结】1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：(1)通常要构造新函数，利

19、用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)V x e。,机机4/(力代；(2)VX GD,(3)BxeD,/n /(x)/n f(x)f(x)n.n.3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数)=

20、/(x),xea,b,y=g(x),xec,d.若 也 小,可,V x2e c,J,有%)g(x j成 立,则“力皿 g(x)而n；(2)若 依 句,叫e c,d ,有f (h)g(巧)成立,则刀)皿 8(力,皿；(3)若 当 文,句,叫e c,d ,有/(x,)ag(x)x ag(x)法则2若函数/(X)和g(x)满足下列条件：Jim =。及 呵g(x)=0(2)3 A 0,/(x)和 g(x)在(-o o,A)与(A,w)上可导，且 g(x)声 0；ff(x(3)lim =1,那么lim“x-To8o g (x)X T 8 g(x)=lim/-(4九4)=Zx-oog(x)法则3若函数/(

21、x)和g(x)满足下列条件:四 龙)=8及 阳g(X)=00；(2)在点a的去心邻域(a -,a)D(a,a +)内,f(x)与g(x)可导且g(在C 0；那么lim坐=1而 粤 =/。g(x)f g (%)注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：(1)将上面公式中的x-a,x f+o o,x -Y,x-a+,x-d洛必达法则也成立。(2)洛必达法则可处理9,0-OO,0，8,8-8 型。(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足，?，0.OO,f,00,0,8-8 型 定 式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法

22、则不适用，应从另外途径求极限。(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。Ii mg4 =l i m4?=lim/具，如满足条件，可继续使用洛必达法则。【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：端点恒成立题型三：端点不成立题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离题型五：洛必达法则题型六：同构法题型七：必要性探路题型八：m a x,m in函数问题题型九：构造函数技巧题型十：双变量最值问题【典例例题】题型一：直接法例1.已知函数/()=出心一X 2+(2a-l)x,(a.0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若f(x),O,求a的取值范围.【解答】解：(1)广(x)=4-2x

23、+(2a-1)=-2厂(勿-1 )x a=_(2K+l)(x-a)X X X a =0 时，八 幻 0 时，由 _ f(x)0,解得：x0,解得：0 c x e a,故/(x)在(0,)单调递增，在(a,*)单调递减；(2)由(1)可得，当a =0 时，/(x)在(0,+oo)单调递减，f(x)=-x2-x 0 时，/(x)在(0,a)单调递增，在 3,也)单调递减，f(x)tfja x=f(a)=a lna-a 2 +(2 a-1)=a lna +a2-a =a lna +Q 1),令g(a)=Ina +aQ0,易知函数g(a)在(0,”)单调递增，又g(1)=0,.,.当O v“,l时，g

24、(a)0,即，(必u，。，满足题意，当。1 时，g(a)0,即，(x)3 。,不满足题意，综上所述的取值范围为 0,1 .例 2.已 知 函 数=.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x),0,求。的取值范围.【解 答】解：(1 )/(x)=a2lnx-x2+a x,定 义域为(0,+0 时，x e(0,6 z),/r(x)0；x e(a,-H x),ff(x)0；/(x)在(0,a)上单调递增，f(x)在(a,+oo)上单调递减；2。当a =0 时，/(x)=-x2,此时/(x)在(0,位)上单调递减；3。当。0；x e(-,+oo),/,(x)0 时，fxmix=f(a)=a2 Ina

25、 -a2+a2=a2lna 0,解得 0 q,l；2。当a =0 时，f(x)=-x2 O,在(0,内)上恒成立；2 2 1 23。当 a v 0 时，f(x)nuLX=/(-1)=c rln(-)-，a-即伤(一3)“士，解得 2，,a 0,故厂(戏.0,/(x)递增，当a 0 时，令r(x)0,解得：x ln2 a,令/(x)0,解得：x 0恒成立，a 0 时，./(x)m；=f(ln2 a)=(2 a)2+(1-4a)2 a -2 a ln2 a.Q,故-2 a-lri2 a.0 1令 g(a)=1 -2 o-Irila g(a)=-2-a故 g(a)递减，又g(；)=0,故 0 综上：

26、a eL O，1 .题型二：端点恒成立例 4.(2 02 2 黑龙江模拟预测(文)已知函数/(力=。-2)d-京 2+奴+2,a eR.(1)当a =l时，求/的单调区间；(2)当x N O 时，恒有/(x)2 0,求实数的最小值.【答案】(1)增区间：(一*0),(1,-K O),减区间：(0,1)(2)2 e-4【分析】(1)求出函数导数,求解不等式/(x)。和/(x)0可得；(2)易 得 不 符 合 题 意，当令尸(x)=0 n%=l，w=l na,讨论1 a 0n x l,f (x)O n O x 0.”(0,1)时:/(x)0J(x)单调递减n/(x)l时:令/(x)=0=X =1,

27、=ln a ,若 l e av e,则%刍，令 f(x)0=0 x l,/,(x)ln a x),不等式/(x)4(w-2)x-恒成立，求实数十的取值范围.X【答案】(1)a =l,b=-2(2)m-2【分析】(1)根据/(x)=a l n x+6 x,求得 f (x)=q +6 ,再根据 f(x)=4 1 n x+6 x(a,6 e R)在 x =1处取得极值,x 2求得m b的关系，然后由曲线y=在点(1 J)处的切线与直线x-y+l=。垂直求解.(2)将不等式t r i1rln X f(x)l时，m 恒成XX厂 一 1立，令/?。)=黄3(I)求得其最大值即可.解：f(x)=a nx+b

28、x,/(x)=-+/?；X函数/(x)=a ln x+国e R)在x =g处取得极值,/(-)=2 a +&=0；又 曲线y=/*)在点(1 J(D)处的切线与直线x-y+i=o垂直,f =a+b=-.解得：a =,b=-2 (2)I Y I不等式/(X)(m-2)x-恒成立可化为lnxmx-一，X XB|J ln x l时，m-；恒成立,x-1则 x)=(ln x +l)(x2-l)-2 x-x ln x x2-x2 ln x-ln x-1，一，一 I f令皿x)=F-x2 ln x-ln x-1,“、八 八，1 x2-2 x2 ln x-1贝|J tn(x)=2 x-2 xnx-x=-令

29、nx=x2-2 x2 ln x-1 ,贝ij nx)=2 x-4 x ln x -2 x =-4 x ln x 0；得(x)=%2 -2 f nX-在(L+oo)是减函数，故 心)MD =0,进而加(幻0(或加(x)=x-2 x ln x,m(x)=-2 1 n x-l+0 ,得M(x)=x-2 x ln x-在(l,*o)是减函数，进而加(x)。).可得：相(x)m(l)=。，故(x).2例6.(2 02 2黑龙江模拟预测(理)已知函数f(x)=x ln x +依-3 A,求:当 =1时,求 曲 线 x)在点(1,/)处的切线方程;(2)当x 3 时，总有/(幻1,求整数人的最小值.【答案】

30、(1)2 x-y-4 =0(2)-3【分析】(1)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值问题.(1)当 A=1 时，/(x)=xln x+x-3./(x)=Inx+2=2/(1)=-2 f(x)在点(1,/(1)处的切线方程为 y+2=2(x-l)即 2 x-y-4 =0(2)由题意，f(x)l,即 xlnx+Ax-3/c 1,即氏(x-3)1-xlnx,r -,1-xlnx 、又x3,：.k -恒成立.x-3.,、1-xlnx，/、31nx-x+2令 且(幻=-Y=下式令h(x)=3lnx-x+2,贝 ij/(x)=-0,A(9)=31n9-7 0,当 xw

31、(%,+oo)时，g(x)g(x)FU w Z,x0-3/一 3 3 3即整数出的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。题型三：端点不成立例 7.(2022辽宁大连 高三月考)已知函数 x)=oxe-(x+l)2(其中awR,e为 自然对数的底数).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当x 0 时，/(x)ln x-x2-x-3,求。的取值范围.【答案】(1)答案见解析；质T【分析】(1)计算/(x)=(x+l)(e,-2),分别讨论0 0、0 7 2 e时，解不等 式/(x)0和广(x)0对x 0恒成立，分离。可得叱 上 手，令xeg(x)=

32、0),利用导数求g(x)的最大值即可求解.由 x)=o r e(x+l)2 可得/(X)=6(x 4-l)eY-2(x+l)=(x+l)(ev-2),当时，t z ev-2 0,当x。；当x T 时，/,(x)0 时，由 r(x)=0 得，玉=T,X2=I n -,a若l n：=-1,即。=2 e时，/(X)之0恒成立，故/(x)在R上单调递增；2若I n 2 e时,a7 7由r(x)0可得：x -l；令r(x)0可得：此时/(%)的单调递增区间为a a-8/n|和(T+o o),单 调 递 减 区 间 为；2 才 I-I n -1,即 0 v a 0 可得：x l n-；由 r(x)0 可得

33、：-l x l n-a a此时X)的单调递增区间为(-8,-1)和5：,+8),单调递减区间为1-1,I n：)；综上所述：当a 2 e时，f(x)的单调递增区间为,8,也力和(-1,+0),单调递减区间为卜当0a lnx-x2-x-3可得a re*-lnx-x+2 0对x 0恒成立,即吟了对任 意 的 恒 成 立,令 g(x)=lnx+x-2(x0),xe +l)e(lnx+x-2)(妙),则M令Mx)=3-ln x-x,则力(力=-：-1 0,/i(e)=2-e 0,g(x)0,g(x)单调递增；当x e(飞,+)时,/z(x)0,gx)=&3,与 =，所以g(%)=J ,故。的取值范围为

34、(5,+8).例8.(2022陕西安康高三期中(理)已知函数”x)=a 2eT-lnx-a,a 0.(1)若a =l ,证明：x)20；(2)若“x)20恒成立，求。的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)1,+)【分析】(1)由。=1,求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；(2)先由/(x)NOu 得。之1,再利用导数求出函数的最小值，再根据e2 x +l,不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.(1)当a =l 时，/(x)=e*T-l n x-1,fx =ex -,x 0,易知y =_ f (x)在(0,+8)单调递增，且 =0,所以 0 x l 时，r(x)1 时，fx)o

35、在(0,1)单调递减，(1,4 W)单调递增，./(x)/(l)=0.(2)x)20,“20,6 T 1 ,fx)=a2ex-,x 0,易知 y =7 (x)在(0,+8)单调递增，且 r =/_ “，备 _1 x,e 2 4 x 9I ll 1 /：I n x0-r N 0.唇.F 师写二.当 时，/U)0,.实数”的取值范围是 1,+8).例9.(2 0 2 2江苏镇江高三期中)已知函数/5)=l n x,g(x)=kx2-2 x(k e R).(1)若y =/(x)在x=i处的切线也是y =g。)的切线，求Z的值；(2)若X(0,+o o),/(x)W g(x)恒成立，求2的最小整数值.

36、【答案】(2)7【分析】(1)先用导数法求得y =/(x)在x=l处的切线,再根据y =/(x)在x=l 处的切线也是y =g(x)的切线，将切线方程与y =g(联立，利用判别式法求解；(2)-h(x)=g(x)-f(x)=kxi-2 x-nx,将xe(0,+o o),f(x)4g(x)恒成立，转化为2，+坐,对x xxe(O,+a)恒成立，利用导数法求解.(1)因为函数/(x)=ln x,所以r a)=LX则r=I J=0,所以y =/(x)在X=1 处的切线方程为y=x-i,y=x-,由 1 _ 履2 _ 2 _ 得依23X+=0,因为y =/(x)在X=1 处的切线也是y =g(x)的切

37、线，9所以agT Z i),解得左=一；4(2)/?(x)=g(x)f(x)=kx2-2 x-nx,因为xe(O,E),/(x)Mg(x)恒成立，所以左 2：+手，对xw(O,+a)恒成立,令0(x)=、+p,r lll,/、2 l-2 1 n x-2 nx-2 x则令 r(x)=1-2 1 n x-2 x,2贝 1/(力=一1一 2 0,所以/*(%)在(0,”)上递减，Xr(l)=-l 0 ,所以存在有 伉)=0,即夕(玉)=0,因为9(x)在(0,与)递增，在(,+=，+，由九得 y /+e,x 2 x)2所以夕(x)0,可得以 幻 0 恒成立，可得攵(x)在。”)递增，W(x)在(0,

38、+8)递增，所以 m(x)W(0)=0 ,(1)当0 =1 时,讨论了(X)的单调性；(2)当工.0 时，/(x).x3+l,求 a的取值范围.解答解：(1)当 a =1 时，f(x)=ex+x2-x,fx)=ex+2 x-,设 g(x)=fx),因为g (x)=ev+2 0,可得g(x)在卡上递增，即r(x)在 A上递增，因为/，(0)=0,所以当x 0 时，r(%)0；当x 0 时，fx)0 时，可得-恒成立，x-x3+x+-ex(2-x)ex+(-x3-x-2)(2-x)ex+(-x3-x2)+(x2-x-2)设=2 一,则 (x)=-2-=-2-XXX即W(x)0恒成立，即利(x)在(

39、0,住)递增，所以机(x)加(0)=0,再 令 (x)=0,可得x=2,当0 x 0,4(x)在(0,2)递增;1-e1x 2 时，(x)0 时，f(x,x4+ex,求 a 的取值范围.【解答】解：(1)当。=1时，/(幻=/+/+1,所 以 (X)=4x3+2 x=2 x(2 x2+1),当x 0 时，f(x)0,函数单调递增，当x 0 时，/。)0 时,x4+f+Q-D x+L M,+e*恒 成 立,即 f+g Dx+L,e*恒成立,PX y2 1所以 a 1,Xex _ r2 _1令 g(x)=-，X 0 fX由重要不等式可知，当x 0 时，ex x+,则 g(x)=(e*-2x)x-(

40、e*-x2-D=(x-W x l),当x l时，g(%)0，g(x)单调递增，当0 x l时，g(x)0时，广(x)0,函数/(%)单调递增，当X V。时，r(x)0,函数/(x)单调递减,所以/(幻在(0,+o o)上单调递增，在(-o o,0)上单调递减；(/)当x=0时，不等式f(x).x3-2 a x1 2恒成立，故的取值范围为。|a.1-e邑2.题型五：洛必达法则例 1 3：已知函数/(x)=a ln x+云(a,beR)在 x=g处取得极值，且曲线y =/(x)在点(1,7 )处的切线与直线x y +l=O垂直.(1)求 实 数 的 值；(2)若 V xe l,+a),不等式/(幻

41、 0 时，由2 a x2恒成立可得a.2 丁-恒成立，-x3+%+1 -e*令 g(x)=-;-x 0，x(2 x)x+x3 x 2 (2 x)(e -x x 1)则 g (x)=-？-=-?-，X X m(x)=ex-x2-x-,则 W(x)=e*_x_,2令 h(x)=ex-x-,x 0 ,贝 I hx)=-1 0 ,所以(幻在(0,y o)上单调递增，/?(x)/7(0)=0,所以加(%)0,砥x)在(0,田)上单调递增,m(x)m(O)=0 ,所以当0 v x v 2 时，g (x)0，g(x)单调递增，当x 2 时，g (x)v 0，g(x)单调递减，7 /所以(2)=,又.,曲线

42、=/(幻 在点(L/(D)处的切线与直线 y+l=O垂直，/(1)=。+人=1；解得：。=1力=-2；/?7m(2)不等式/(x)K (2-2)X-恒成立可化为Ina-,即lnxKm(x )；X X Xr I n y当x=l时，恒成立；当1时，m恒成立,x-1人，/、xnx.,z、令 h(x)=，则 h(x)x-1(lnx+l)(x2-l)-2x-xlnx x2-x2 lnx-lnx-1U2-1)2(x2-l)2人 2 21 1 1 ini./X c i 1 2x2 In x 1令机(x)=x lnx-lnx-1,W u m(x)=2 x-2 xn x-x=-x x令九(%)=/-z/in x

43、 l,则拉(x)=2x-4xlnx-2x=-4 d n x v 0；得以了)二/一2帝如 1在(1,物)是减函数,故(x)=0,进而根()0Cmx)=x-2 x n x-,mn(x)=-21nx-l+-0,得加(x)=x-2 x ln x-在(l,+oo)是减x x x函数，进而-(%)0).Y In r可得：m(x)(机(1)=0,故(x)上的最大值，但当x=l时，y=/?(x)没有意义，X-1变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，lim乎=lim见 生 =,故答案为m_L.I 2X 2 2例14.设函数/(0=1一 。(1)证明：当1时，f(x)；x+1(2)设当xNO时，/,求。的取

44、值范围.a r+1解：(1)易证.(2)由题设xN O,此时/(x)NO.j X X当。vO时，若x-一，则 0,/(x)-不成立;a a r+1 ox+1x x当a 20H寸，当xNO时，/(%)0,贝ijl e r 4一 等价于,即a*e+ax+x ax+xex-x/、xex s+1.，/、e记 g(x)=-，则 g(x)=一xe x,2x-x2ex-2ex+1 e(xe-x)2xex-x)2(ex-x2-2 +e-x).记/7(=6-/一2+,则/?(%)=，hx)=e+e-x-2 0.因 此,力 。)=一2%-*在(0，+8)上单调递增，且(0)=0,所以/f(x)0,即力(x)在(0

45、，+8)上单调递增，且(0)=0,所以人(无)0.因此g3=/彳心)所以g(x)在(+8)上单调递增.由洛必达法则有 lim g(x)=lim xex-e上x 上+!=lim-x-e =lim ex+xex=-1XTO X-X)XEX-X.o e+x e _|x-o 2ex+xex 2即当x f O时，g(x)-g，即有g(x)g,所以OWa W；.I sin x综上所述，a的取值范围是0,.例15.设函数/(x)=-.如果对任何尤2 0,都有/(x)W公,2 2+cosx求。的取值范围.【解析】f(x)=-n x-0sinx、sinx则二r以 等价于心而诉，即 g(x)sinxx(2+cos

46、 x)则 g(x)=2x cos x 2 sin x sin x cos x+xX2(2+COS x)2记 h(x)=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x,h*(x)=2 cos x-2xsinx-2 cos x-cos 2x+l=-2x sin x-cos 2x+1=2sin2 x-2xsinx=2sinx(sinx-x)因此，当 x (0,4)时，hx)0,/z(x)在(0,乃)上单调递减，且九(0)=0,故g 3 0,所以g(x)在(0,4)匕单调递减，/、sinx cosx 1而 hmg(x)=hm-=lim-=I。z。x(2+cosx)z 2+cosx-xsinx 3r、/

47、、sinx,1 1 1另一方面，当x e E x o)时，g(x)=赤 石针因此3题型六：同构法例 1 6.已知函数/(x)=ae-/(x+2)+-2 ,(1)若 x)在 x =0 处取得极值，求。的值及函数的单调区间.(2)请在下列两间中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若/(x).O 恒成立，求。的取值范围；若fM仅有两个零点，求。的取值范围.【解答】解：(1)函数f(x)=ae-网 x +2)+或一2 ,则/(x)的定义域为(-2,+o o),I I-fx)=a e-!，x +2因为/(x)在 x =0处取得极值，所 以/(0)=0,即a 1 =0,解得a=1；此时尸

48、(x)=：e、一一二，2 x+2所 以/(x)在(-2,+o o)上单调递增，则当 2 x 0 时，/(x)0 时,/(x)0,则/(力单调递增,所以/(x)的单调递减区间为(-2,0),单调递增区间为(0,+o o)；(2)若选:因为，(x).O 恒 成 立,则a ex-加(x +2)+/a-2.O 恒成立,整理可得 ex+,na+x +/a./“(X +2)+x +2 恒成立，即 ex+lm+x+lna.ln(x+2)+eM x+2)恒成立，令 (x)-ex+x,则 hx+Ina).h(Jn(x+2)恒成立,因为 (x)=e*+1 0 恒成立,则(X)为单调递增函数，所以x+Ina.ln(

49、x+2)恒 成 立,即加a.历(%+2)-x恒成立,令(px)=lnx+2)-x,x v-2 ,1 V-L 1则(X)=-1 =-,x+2 x+2当-2 v x 1时，0,则以幻单调递增，当力-1时,d(x)v O,则e(x)单调递减，所以8(x)在x=-1处取得极大值，即最大值以-1)=1，故/a.1,解得a.e,所以。的 取 值 范 围 为，+00)；若选：因 为 仅 有 两 个 零 点，即。/-加(1+2)+。切-2=0在(-2,+00)上有两个根，整理可得e，+x +/w =/(x+2)+x+2,即+x+lna=ln(x+2)+eln(x+2),令 h(x)=ex+x,贝ij hx+I

50、na)=h(J(x+2),因为 (x)=+1 0恒成立，则(x)为单调递增函数，所以冗+加=/(1+2),即加 =/。+2)-工在(一2,+00)上有两个根，令奴工)=加(“+2)-1，x v-2 ,贝ij(pr(x)=-1 =-+1，x+2 x+2当-2 v x v-l时，(px)0,则以幻单调递增，当力-1时,“(X)0,则e(x)单调递减,所以9(x)在x =-l处取得极大值，即最大值奴-1)=1 ,要想 痴=ln(x+2)-x在(-2,+O O)上有两个根,只需Ina 0,恒 有 (e +l)N 2|x+：J l n x ,求 实 数a的 最 小 值 解 析a(eav+1)2+J i