2023年数学平行四边形知识点归纳总结全面汇总归纳及解析.pdf

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1、数学平行四边形知识点总结及解析 一、选择题 1如图，在正方形纸片 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，折叠正方片 ABCD，使 AD落在 BD上，点 A恰好与 BD上的点 F重合，展开后，折痕 DF分别交 AB、AC于点 E、G，连解 FG，下列结论：（1）AGD112.5；（2）E为 AB中点；（3）S AGDS OCD；（4）正边形 AEFG是菱形；（5）BE2OG，其中正确结论的个是（）A2 B3 C4 D5 2七巧板是一种古老的中国传统智力玩具如图，在正方形纸板 ABCD中，BD为对角线，E、F分别为 BC、CD的中点，APEF分别交 BD、EF于 O、P 两点，M、N 分别为B

2、O、DO 的中点，连接 MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板若 AB1，则四边形 BMPE的面积是（）A17 B18 C19 D110 3如图,矩形 ABCD中,AB=5,AD=4,M是边 CD上一点,将ADM 沿直线 AM 对折,得ANM,连 BN,若 DM=1,则ABN的面积是（）A B C D 4如图,在四边形 ABCD中,AD/BC,且 ADBC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q 分别从 A、C同时出发,P 以 1cm/s 的速度由 A向 D 运动,Q 以 2cm/s 的速度由 C向 B运动,多少 s 时直线将四边形 ABCD截出一个平行四边形()A1 B2 C3 D2 或

3、3 5如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO若60BOC，FOFC，则下列结论：AECF；BF垂直平分线段OC；EOBCMB；四边形是BFDE菱形其中正确结论的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6如图，在ABCD中，已知6AB，8AD，60B ，过BC的中点E作EFAB，垂足为F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是（）A8 3 B12 3 C14 3 D18 3 7如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点且AECF，下列说法中正确的是（）BEDF；/BEDF；ABDE；四边形E

4、BFD为平行四边形；ADEABESS；AFCE A B C D 8如图：点 E、F为线段 BD的两个三等分点，四边形 AECF是菱形，且菱形 AECF的周长为 20，BD为 24，则四边形 ABCD的面积为（）A24 B36 C72 D144 9如图，在等腰RtABC中，908CAC ，F是 AB边上的中点，点 D、E分别在 AC、BC边上运动，且保持ADCE连接 DE、DF、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形 CDFE不可能为正方形，DE长度的最小值为 4；四边形 CDFE的面积保持不变；CDE面积的最大值为 8其中正确的结论是（）A B C D 10如图，

5、在正方形 ABCD中，AB4，E是 CD的中点，将BCE沿 BE翻折至BFE，连接DF，则 DF的长度是（）A55 B2 55 C3 55 D4 55 二、填空题 11如图，正方形ABCD的边长为 4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为_ 12如图，MAN=90，点 C在边 AM 上，AC=4，点 B为边 AN上一动点，连接BC，ABC 与 ABC关于 BC所在直线对称，点 D，E分别为 AC，BC的中点，连接 DE并延长交 AB 所在直线于点 F，连接 AE当 AEF为直角三角形时，AB的长为_ 13如图，在矩形 A

6、BCD中，BAD的平分线交 BC于点 E，交 DC的延长线于点 F，点 G是 EF的中点，连接 CG，BG，BD，DG，下列结论：BC=DF；135DGF；BGDG；34ABAD，则254BDGFDGSS，正确的有_ 14如图，正方形 ABCD中，DAC的平分线交 DC于点 E，若 P，Q 分别是 AD和 AE上的动点，则 DQ+PQ能取得最小值 4 时，此正方形的边长为_ 15如图，在正方形ABCD中，点,E F将对角线AC三等分，且6AC 点P在正方形的边上，则满足5PEPF的点P的个数是 _个 16如图，在平行四边形 ABCD中，AD=2AB F是 AD的中点，作 CEAB,垂足 E在线

7、段AB上，连接 EF、CF，则下列结论：(1)DCF+12D90；(2)AEF+ECF 90；(3)BECS=2CEFS；(4)若B=80，则AEF=50其中一定成立的是_(把所有正确结论的字号都填在横线上)17菱形 OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（23，0），DOB60，点 P 是对角线 OC上一个动点，E（0，1），则 EP十 BP的最小值为_ 18如图，在正方形 ABCD中，点 F为 CD上一点，BF与 AC交于点 E，若CBF=20，则AED等于_度 19已知：一组邻边分别为6cm和10cm的平行四边形ABCD，DAB和ABC的平分线分别交CD所在直线于点E，F，则

8、线段EF的长为_cm 20如图，在ABC中，ABAC，E，F分别是 BC，AC的中点，以 AC为斜边作 RtADC，若CAD BAC 45，则下列结论：CDEF；EF DF；DE平分CDF；DEC 30；AB2CD；其中正确的是_（填序号）三、解答题 21如图，在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若5AE，3OE，求线段CE的长 22如图，在正方形 ABCD中，点 G 在对角线 BD上（不与点 B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点 F，连结 AG（1）写出

9、线段 AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形 ABCD的边长为 1，AGF=105，求线段 BG的长 23如图 1 所示，把一个含 45 角的直角三角板 ECF和一个正方形 ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C重合，点 E，F分别在正方形的边 CB，CD上，连接 AE、AF(1)求证：AE AF；(2)取 AF的中点 M，EF的中点 N，连接 MD，MN则 MD，MN 的数量关系是 ，MD、MN 的位置关系是 (3)将图 2 中的直角三角板 ECF，绕点 C旋转 180，如图 3 所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；

10、若不成立，请说明理由 24如图，平行四边形ABCD的对角线ACBD、交于点O，分别过点CD、作/,/CFBD DFAC，连接BF交AC于点E (1)求证:FCEBOE；(2)当ADC等于多少度时，四边形OCFD为菱形?请说明理由 25如图1，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、H分别为边BA和边BC延长线上的点，连接EH交AD、CD于点F、G，且/EHAC.（1）求证：AEFCGH （2）若ACD是等腰直角三角形，90ACD，F是AD的中点，8AD，求BE的长：（3）在（2）的条件下，连接BD，如图2，求证：22222()ACBDABBC 26在矩形 ABCD中，将矩形折叠，使点 B落在边

11、AD（含端点）上，落点记为 E，这时折痕与边 BC或者边 CD（含端点）交于点 F（如图 1 和图 2），然后展开铺平，连接 BE，EF （1）操作发现：在矩形 ABCD中，任意折叠所得的 BEF是一个 三角形；当折痕经过点 A时，BE与 AE的数量关系为 （2）深入探究：在矩形 ABCD中，AB3，BC23 当 BEF是等边三角形时，求出 BF的长；BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时 EF的长；若不存在，请说明理由 27如图，ABC是等腰直角三角形，90,ACB 分别以,AB AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角,ACE G为BD的中点，连接,CG BE,CD BE与CD交于

12、点F （1）证明：四边形ACGD是平行四边形；（2）线段BE和线段CD有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC 求EF的长度(结果用含根号的式子表示)28已知如图 1,四边形ABCD是正方形，45EAF 1如图 1,若点,E F分别在边BCCD、上,延长线段CB至G,使得BGDF,若3,2BEBG，求EF的长；2如图 2，若点,E F分别在边CBDC、延长线上时，求证：.EFDFBE 3如图 3,如果四边形ABCD不是正方形，但满足,90,45,ABADBADBCDEAF 且7,13,5BCDCCF，请你直接写出BE的长 29探究：如图，ABC是等边三角形，在边 AB、BC的延长线上截取

13、 BM=CN，连结MC、AN，延长 MC 交 AN于点 P（1）求证：ACNCBM；（2）CPN=；（给出求解过程）（3）应用：将图的ABC分别改为正方形 ABCD和正五边形 ABCDE，如图、，在边AB、BC的延长线上截取 BM=CN，连结 MC、DN，延长 MC 交 DN于点 P，则图中CPN=；（直接写出答案）（4）图中CPN=；（直接写出答案）（5）拓展：若将图的ABC改为正 n 边形，其它条件不变，则CPN=（用含 n的代数式表示，直接写出答案）30如图，四边形ABCD为正方形.在边AD上取一点E，连接BE，使60AEB.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B、C为圆心，BC

14、长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E，则60AEB；（2）在前面的条件下，取BE中点M，过点M的直线分别交边AB、CD于点P、Q.当PQBE时，求证：2BPAP；当PQBE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1B 解析：B【解析】【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF，AE=EF，ADG=GDF=22.5，再通过角度计算证明AE=AG，即可得到答案，具体见详解【详解】因为GADADO45，由折叠可知：ADGODG22.5 （1）AGD180 45 22.5 112.5，故（1）正确；（2）

15、设 OG1，则 AGGF2，又BAG45，AGE 67.5，AEG 67.5，AE AG2，则 AC2AO2（2+1），AB22+12（）2+2，AEEB，故（2）错误；（3）由折叠可知：AGFG，在直角三角形 GOF中，斜边 GF直角边 OG，故 AGOG，两三角形的高相同，则 S AGDS OGD，故（3）错误；（4）中，AE EF FGAG，故（4）正确；（5）GFEF，BE2EF 2GF22OG2OG，BE2OG，故（5）正确 故选 B【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 2B 解析：B【分析】根据

16、三角形的中位线的性质得到 EF BD，EF=12BD，推出点 P 在 AC上，得到 PE=12EF，得到四边形 BMPE平行四边形，过 M 作 MFBC于 F，根据平行四边形的面积公式即可得到结论【详解】E，F分别为 BC，CD的中点，EF BD，EF=12BD，四边形 ABCD是正方形，且 AB=BC=1，BD=2，APEF，APBD，BO=OD，点 P 在 AC上，PE=12EF，PE=BM，四边形 BMPE是平行四边形，BO=12BD，M 为 BO的中点，BM=14BD=24，E为 BC的中点，BE=12BC=12，过 M 作 MFBC于 F，MF=22BM=14，四边形 BMPE的面积

17、=BEMF=18，故选 B【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键 3D 解析：D【解析】【分析】延长 MN 交 AB延长线于点 Q，由矩形的性质得出DMA=MAQ，由折叠性质得出DMA=AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出MAQ=AMQ，证出 MQ=AQ，设 NQ=x，则 AQ=MQ=1+x，证出ANQ=90，在 Rt ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出 ABN的面积【详解】解：延长 MN 交 AB延长线于点 Q，四边形 ABCD是矩形，ABDC，DMA=MAQ，由折叠性

18、质得：ANMADM，DMA=AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，MAQ=AMQ，MQ=AQ，设 NQ=x，则 AQ=MQ=1+x，ANM=90，ANQ=90，在 Rt ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，（x+1）2=42+x2，解得：x=7.5，NQ=7.5，AQ=8.5，AB=5，AQ=8.5，S NAB=S NAQ=ANNQ=47.5=；故选：D【点睛】本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键 4D 解析：D【解析】【分析】根据题意设 t 秒时，直线将四边形 ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2

19、t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有 AP=BQ 或 CQ=PD，计算即可求出 t 值.【详解】根据题意设 t 秒时，直线将四边形 ABCD截出一个平行四边形 则 AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t 要使构成平行四边形 则：AP=BQ 或 CQ=PD 进而可得：62tt 或29tt 解得2t 或3t 故选 D.【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.5C 解析：C【分析】通过证AEO CFO可判断；利用矩形的性质证OCB是正三角形，可得；因OBMB，得到 错误；通过证EOBFCB得到 EB=FB，从而证 【详解】四边形

20、ABCD是矩形 ABDC,AO=OC AEO=CFO,EAO=FCO AEO CFO(AAS)AE=FC，正确 四边形 ABCD是矩形 OC=OB BOC=60 OCB是正三角形，OB=OC FO=FC FB是线段 OC的垂直平分线，正确 BMOC，OMB 是直角三角形，OBBM EOBCMB是错误的，即 错误 四边形 ABCD是矩形 EBDF，AB=DC AE=FC EB=DF 四边形 EBFD是平行四边形 AEO CFO，OF=FC，AE=EO=OF=FC OBC是正三角形，BOC=60=BCO，BC=BO FCO=30，FOC=30 FOB=30+60=90 EOB=90=FCB EOB

21、 FCB(SAS)EB=FB 平行四边形 EBFD是菱形，正确 故选：C【点睛】本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明AOE COF和证明BOC是正三角形 6A 解析：A【分析】根据平行四边形的性质得到6ABCD，8ADBC，求出BE、BF、EF，根据()BFECHE ASA得出2CH，2 3EH，根据三角形的面积公式求DFH的面积，即可求出答案【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，8ADBC，/ABCD，6ABCD，E为BC中点，4BECE，60B ，EFAB，30FEB，2BF，由勾股定理得：2 3EF，/ABCD，BECH，在BFE和CHE中，BECHBECEBEFCEH，()BFE

22、CHE ASA，2 3EFEH，2CHBF，111622 32 316 3222DHFSDH FHDCCHFEHE，18 32DEFDHFSS 故选：A【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键 7D 解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断和，然后作辅助线，推出 OD=OF，得出四边形BEDF是平行四边形，求出 BM=DM 即可判断和，最后根据 AE=CF，即可判断.【详解】四边形 ABCD是平行四边形,ABDC，AB=DC,BAC=ADC

23、,在ABE和DFC中 BACADCABAFCEDC ABEDFC（SAS）,BE=DF,故正确.ABEDFC,AEB=DFC,BEF=DFE,BEDF,故正确.根据已知的条件不能推 AB=DE，故错误.连接 BD交 AC于 O，过 D作 DMAC 于 M，过 B作 BNAC 于 N,四边形 ABCD 是平行四边形,DO=BO，OA=OC,AE=CF,OE=OF,四边形 BEDF是平行四边形,故正确.BNAC，DMAC,BNO=DMO=90,在BNO和DMO 中 BNO=DMOBON=DOMOB=OD ADEABEBNO DMO（AAS）BN=DM11S=AEDM，S=AEBN22 ADEABE

24、S=S,故正确.AE=CF,AE+EF=CF+EF,AF=CE,故正确.故答案是 D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.8C 解析：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ACBD，AOOC，EOOF，再求出 BOOD，证明四边形 ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长 AE，根据菱形的对角线互相平分求出 OE，然后利用勾股定理列式求出 AO，再求出 AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解【详解】解：如图，连接 AC交 BD于点 O，四边形 AECF是菱形，ACBD，AOOC，EOOF，又点 E

25、、F为线段 BD的两个三等分点，BEFD，BOOD，AOOC，四边形 ABCD为平行四边形，ACBD，四边形 ABCD为菱形；四边形 AECF为菱形，且周长为 20，AE 5，BD24，点 E、F为线段 BD的两个三等分点，EF 8，OE12EF 128 4，由勾股定理得，AO22AEOE22543，AC2AO23 6，S四边形ABCD12BDAC 1224672；故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键 9B 解析：B【分析】连接 CF，证明ADF CEF，得到EDF是等

26、腰直角三角形；根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形 CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；当 DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出 DF的最小值，进行计算即可；根据ADF CEF，得到 S四边形CEFD=SAFC；由的结论进行计算即可【详解】连接 CF，ABC是等腰直角三角形，且 F是 AB边上的中点，FCB=A=B=45，CF=AF=FB，AD=CE，ADF CEF，EF=DF，AFD=CFE，AFD+CFD=90，CFE+CFD=EFD=90，EDF是等腰直角三角形，正确；当 D、E分别为 AC、BC中点，即 DF、EF分别为 RtAFC和 RtBFC斜边上的中线，C

27、D=DF=12AC，FE=EC=12BC，CD=DF=FE=EC，四边形 CDFE是菱形，又C=90，四边形 CDFE是正方形，错误；由于DEF是等腰直角三角形，因此当 DE最小时，DF也最小，当 DFAC时，DE最小，此时 EF=DF=12BC=4 DE=2222444 2DFEF，错误；ADF CEF，SCEF=SADF，S四边形CEFD=SAFC，四边形 CDFE的面积保持不变，正确；由可知当 DE最小时，DF也最小，DF的最小值是 4，则 DE的最小值为4 2，当CEF面积最大时，此时DEF的面积最小 此时 SCEF=S四边形CEFD-SDEF=SAFC-SDEF=16-8=8，正确；

28、综上，正确的是：，故选：B【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键 10D 解析：D【分析】由勾股定理可求 BE的长，由折叠的性质可得 CEEF 2，BECF，FHCH，由面积法可求CH4 55，由勾股定理可求 EH的长，由三角形中位线定理可求 DF2EH 4 55【详解】解：如图，连接 CF，交 BE于 H，在正方形 ABCD中，AB4，E是 CD的中点，BCCD4，CE DE2，BCD90，BE221642 5BCCE，将 BCE沿 BE翻折至 BFE，CE EF

29、 2，BECF，FH CH，S BCE12BECH12BCCE，CH4 55，EH=22162 5455CECH，CE DE，FHCH，DF2EH 4 55，故选：D【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键 二、填空题 112【分析】过 B点作 HE的平行线交 AC于 O 点，延长 EG交 AB于 I点，得到 BO=2HE，其中 O 点在线段 AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出 BO的长即可求解【详解】解：过 B点作 HE的平行线交 AC于 O 点，延长 EG交 AB于 I点，如下图所示：H是 BG的中点，且 BO与 HE平行，HE

30、为BOG的中位线，且 BO=2HE，故要使得 HE最短，只需要 BO最短即可，当 E点位于 C点时，则 O 点与 C点重合，当 E点位于 D点时，则 O 点与 A点重合，故 E点在 CD上运动时，O 点在 AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当 BOAC时，此时 BO最短，四边形 ABCD是正方形，BOC为等腰直角三角形，且 BC=4，、42 222BCBO,122HEBO，故答案为：2【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的 HE线段长转移到线段 BO上 124 3或 4 【解析】分析：当 AEF为直角三角形时

31、，存在两种情况：当AEF=90时，如图 1，根据对称的性质和平行线可得：AC=AE=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2AB=8，最后利用勾股定理可得 AB的长；当AFE=90时，如图 2，证明 ABC是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4 详解：当 AEF为直角三角形时，存在两种情况：当AEF=90时，如图 1，.ABC 与 ABC关于 BC所在直线对称，AC=AC=4，ACB=ACB，点 D，E分别为 AC，BC的中点，D、E是 ABC的中位线，DEAB，CDE=MAN=90，CDE=AEF，ACAE，ACB=AEC，ACB=AEC，AC=AE=4，Rt ACB中，E是斜边 BC的

32、中点，BC=2AE=8，由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，AB=2284=4 3；当AFE=90时，如图 2，.ADF=A=DFB=90，ABF=90，ABC 与 ABC关于 BC所在直线对称，ABC=CBA=45，ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4；.综上所述，AB的长为 43或 4；故答案为 43或 4.点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题 13【分析】由矩形的性质可得 AB=CD，AD=BC，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得F=FA

33、D=45，可得 AD=DF=BC，可判断；通过证明DCGBEG，可得BGE=DGC，BG=DG，即可判断；过点 G 作 GHCD于 H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求 BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=12x，DG=GB=5 22x，由三角形面积公式可求解，可判断【详解】解：四边形 ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AC=BD，AE平分BAD，BAE=DAE=45，F=FAD，AD=DF，BC=DF，故正确；EAB=BEA=45，AB=BE=CD，CEF=AEB=45，ECF=90，CEF是等腰直角三角形，点 G

34、 为 EF的中点，CG=EG，FCG=45，CGAG，BEG=DCG=135，在DCG和BEG中，=BE CDBEGDCGCG EG，DCGBEG（SAS）BGE=DGC，BG=DG，BGE AEB，DGC=BGE 45，CGF=90，DGF135，故错误；BGE=DGC，BGE+DGA=DGC+DGA，CGA=DGB=90，BGDG，故正确；过点 G 作 GHCD于 H，34ABAD，设 AD=4x=DF，AB=3x，CF=CE=x，BD=22=5ABADx，CFG，GBD是等腰直角三角形，HG=CH=FH=12x，DG=GB=5 22x，SDGF=12DFHG=x2，SBDG=12DGGB

35、=254x2，254BDGFDGSS，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键 144 2【分析】作 P 点关于线段 AE的对称点P，根据轴对称将DQPQ转换成DP，然后当DPAC 的时候DP 是最小的，得到DP 长，最后求出正方形边长 DC【详解】AE是DAC的角平分线，P 点关于线段 AE的对称点一定在线段 AC上，记为P 由轴对称可以得到PQP Q，DQPQDQP QDP，如图，当DPAC 的时候DP 是最小的，也就是DQPQ取最小值 4，4DP ，由正方形的性质

36、P是 AC的中点，且DPP C，在Rt DCP 中，222244324 2DCDPP C 故答案是：4 2 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQPQ取最小值的状态，并将它转换成DP 去求解 158个【分析】作点 F关于 BC的对称点 M，连接 FM 交 BC于点 N，连接 EM，交 BC于点 H，可得点 H到点 E和点 F的距离之和最小，可求最小值，即可求解【详解】如图，作点 F关于 BC的对称点 M，连接 FM 交 BC于点 N，连接 EM，交 BC于点 H，点 E，F将对角线 AC三等分，且 AC6，EC 4，FC2AE，点 M 与点 F关于 BC对称，CFCM

37、2，ACB BCM45，ACM90，EM2222EC+CM=4+2=2 5，则在线段 BC存在点 H到点 E和点 F的距离之和最小为2 55，在点 H右侧，当点 P 与点 C重合时，则 PEPF426，点 P 在 CH上时，2 5PEPF6，在点 H左侧，当点 P 与点 B重合时，FNBC，ABC 90，FNAB，CFNCAB，FNCNCF1=ABCBCA3，ABBC22AC3 2，FN13AB2，CN13BC2，BNBCCN22，BF 22FN+BN=2+8=10，ABBC，CFAE，BAE BCF，ABE CBF（SAS），BEBF10，PEPF2 10，点 P 在 BH上时，2 5PEP

38、F2 10，在线段 BC上点 H的左右两边各有一个点 P 使 PEPF5，同理在线段 AB，AD，CD上都存在两个点使 PEPF5 即共有 8 个点 P 满足 PEPF5，故答案为 8 【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在 BC上找到点 H，使点 H到点 E和点 F的距离之和最小是本题的关键 16(1)(2)(4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由 ASA证明AEF DMF，得出 EF=MF，AEF=M，由直角三角形斜边上的中线性质得出 CF=12EM=EF，由等腰三角形的性质得出FEC=ECF，得出(2)正确；证出 SEFC=SCFM，由 MCBE，得

39、出 SBEC2SEFC，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论【详解】(1)F是 AD的中点，AF=FD，在 ABCD中，AD=2AB，AF=FD=CD=AB，DFC=DCF，ADBC，DFC=FCB，BCD+D=180，DCF=BCF，DCF=12BCD，DCF+12D=90，故(1)正确；(2)延长 EF，交 CD延长线于 M，如图所示：四边形 ABCD是平行四边形，ABCD，A=MDF，F为 AD中点，AF=FD，在AEF和DMF中，AFDMAFDFAFEDFM ，AEF DMF(ASA)，EF=MF，AEF=M，CE AB，AEC=90，AEC=EC

40、D=90，FM=EF，CF=12EM=EF，FEC=ECF，AEF+ECF=AEF+FEC=AEC=90，故(2)正确；(3)EF=FM，SEFC=SCFM，MCBE，SBEC2SEFC，故(3)错误；(4)B=80，BCE=90-80=10，ABCD，BCD=180-80=100，BCF=12BCD=50，FEC=ECF=50-10=40，AEF=90-40=50，故(4)正确 故答案为：(1)(2)(4)【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明AEF DMF是解题关键 1719【

41、分析】先根据菱形的性质可得 OC垂直平分 BD，从而可得DPBP，再根据两点之间线段最短可得EPBP的最小值为 DE，然后利用等边三角形的判定与性质求出点 D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得【详解】如图，连接 BP、DP、EP、DE、BD，过点 D作DAOB于点 A，(2 3,0)B，2 3OB，四边形 ABCD是菱形，OC垂直平分 BD，2 3OBOD，点 P 是对角线 OC上的点，DP BP，EPBPEPDP，由两点之间线段最短可知，EPDP的最小值为 DE，即EPBP的最小值为 DE，,60OBODDOB，BOD是等边三角形，DAOB，132OAOB，2222(2 3)(3)3

42、ADODOA，(3,3)D，又(0,1)E，22(30)(31)19DE，即EPBP的最小值为19，故答案为：19 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EPBP的最小值为 DE是解题关键 1865【分析】先由正方形的性质得到ABF的角度，从而得到AEB的大小，再证AEB AED，得到AED的大小【详解】四边形 ABCD是正方形 ACB=ACD=BAC=CAD=45，ABC=90，AB=AD FBC=20，ABF=70 在ABE中，AEB=65 在ABE与ADE中 45ABADBAEEADAEAE ABEADE AED=AEB

43、=65 故答案为：65【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出AEB的大小.192或14【分析】利用当 AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又 AE平分BAD，由此可以推出所以BAE=DAE，则 DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而 EF=CF+DE-DC，由此可以求出 EF长；同理可得：当 AD=10cm,AB=6cm时，可以求出 EF长【详解】解：如图 1，当 AB=10cm,AD=6cm AE平分BAD BAE=DAE，又ADCB EAB=DEA，DAE=AED，则 AD=DE=6cm 同理可得：CF=

44、CB=6cm EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图 2，当 AD=10cm,AB=6cm,AE平分BAD，BAE=DAE 又ADCB EAB=DEA，DAE=AED则 AD=DE=10cm 同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案为：2 或 14.图 1 图 2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论 20【分析】根据三角形中位线定理得到 EF 12AB，EF AB，根据直角三角形的性质得到 DF12AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断【详解

45、】E，F分别是 BC，AC的中点，EF 12AB，EF AB，ADC 90，CAD 45，ACD 45，BAC ACD，ABCD，EF CD，故正确；ADC 90，F是 AC的中点，DFCF=12AC，AB=AC，EF 12AB，EF DF，故正确；CAD=ACD=45，点 F是 AC中点，ACD是等腰直角三角形，DFAC，FDC=45，DFC=90，EF/AB，EFC=BAC=45，FEC=B=67.5，EFD=EFC+DFC=135，FED FDE 22.5，FDC 45，CDE=FDC-FDE=22.5，FDE=CDE，DE平分FDC，故正确；ABAC，CAB 45，BACB 67.5，

46、DEC FEC FED 45，故错误；ACD是等腰直角三角形，AC2=2CD2，AC=2CD，AB=AC，AB2CD，故正确；故答案为：【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 三、解答题 21（1）见解析；（2）11【分析】（1）根据题意先证明四边形 ABCD是平行四边形，再由 AB=AD可得平行四边形 ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出 OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出 OE=12AC，在Rt ACE应用勾股定理即可解答【详解】（1）证明：ABC

47、D，OABDCA，AC为DAB的平分线，OABDAC，DCADAC，CDADAB，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，ADAB，ABCD是菱形；（2）四边形ABCD是菱形 AOCO CEAB 90AEC 26ACOE 在Rt ACE中，2211CEACAE 故答案为（2）11【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键 22（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）3 266【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2只要证明 GA=GC，四边形 EGFC是矩形，推出 GE=CF，在RtGFC中，利用勾股定

48、理即可证明；（2）作 BNAG于 N，在 BN上截取一点 M，使得 AM=BM设 AN=x易证 AM=BM=2x，MN=3x，在 RtABN中，根据 AB2=AN2+BN2，可得 1=x2+（2x+3x）2，解得x=624，推出 BN=624，再根据 BG=BNcos30即可解决问题.【详解】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2 理由：连接 CG 四边形 ABCD是正方形，A、C关于对角线 BD对称，点 G 在 BD上，GA=GC，GEDC于点 E，GFBC于点 F，GEC=ECF=CFG=90，四边形 EGFC是矩形，CF=GE，在 RtGFC中，CG2=GF2+CF2，AG2=GF2+G

49、E2（2）作 BNAG于 N，在 BN上截取一点 M，使得 AM=BM设 AN=x AGF=105，FBG=FGB=ABG=45，AGB=60，GBN=30，ABM=MAB=15，AMN=30，AM=BM=2x，MN=3x，在 RtABN中，AB2=AN2+BN2，1=x2+（2x+3x）2，解得 x=624，BN=624，BG=BNcos30=3 266 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形 30 度的性质 23(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角ECF得到 CE=CF，再由正方形 ABCD进一步得到 BE=DF，最后

50、证明ABE ADF即可求解；(2)MN 是AEF的中位线，得到 AE=2MN，又 M 是直角三角形 ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的 AE=AF即可得到 MN=MD；由DMFDAF+ADM，FMNFAE，DAF BAE，ADMDAF BAE，由此得到DMNBAD 90；(3)连接 AE，同(1)中方法证明ABE ADF，进而得到 AE=AF，此时 MN 是AEF中位线，MD 是直角ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解【详解】解：(1)证明：如图 1 中，四边形 ABCD是正方形 ABADBCCD，BADF 90，CEF是等腰直角三角形，C90，CE CF，BCC