2022年中考数学复习之小题狂练（解答题）：圆.pdf

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1、2022年 中 考 数 学 复 习 之 小 题 狂 练 450题（解 答 题）：圆（1 0题）一.解 答 题（共 10小 题）1.（2021思 明 区 校 级 二 模）如 图，四 边 形 A8CZ）内 接 于 O。，F 是 而 上 一 点，且 命=前,连 接 C F 并 延 长 交 A O 的 延 长 于 点 E,连 接 AC.（1）若/A B C=105,ZBAC=25,求 N E 的 度 数；（2）若 的 半 径 为 4,B.Z B=2 Z A D C,求 A C 的 长.2.（2021甘 肃 模 拟）如 图，在 Rt/XABC中，N4BC=90,以 A B 为 直 径 作。O,交 A C

2、 于 点。，点 E 是 A B 延 长 线 上 的 一 点.且（1）求 证：O E 与。相 切；（2）若 力 E=3t，/C=60,求 C 的 长.3.（2021 蒙 阴 县 模 拟）如 图，已 知 A B 是 0。的 直 径，C 是。上 的 点，过 点 C 作。的 切 线，交 A 8 的 延 长 线 上 于 点。，连 接 BC.（1）求 证：Z B C D=Z B A C；（2）若/。=30,B D=2,求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积.4.（2021大 庆）如 图，已 知 A B 是 0 0 的 直 径.8 c 是。0 的 弦，弦 E Q 垂 直 A B 于 点 F,交 8c 于 点

3、 G.过 点 C 作。的 切 线 交 E D 的 延 长 线 于 点 P(1)求 证：P C=P G；(2)判 断 PG2=POVE是 否 成 立？若 成 立，请 证 明 该 结 论;(3)若 G 为 BC 中 点，O G=J W，sinB=Y5,求。E 的 长.55.(2021贵 阳)如 图，在。中，4 c 为 O O 的 直 径，AB 为 的 弦，点 E 是 AC的 中 点，过 点 E 作 AB 的 垂 线，交 AB 于 点 交。于 点 M 分 别 连 接 EB,CN.(1)与 BE 的 数 量 关 系 是；(2)求 证：EB=CN：(3)若 AM=J,M 8=l,求 阴 影 部 分 图

4、形 的 面 积.6.(2021 内 江)如 图，A B 是。的 直 径，C、。是。上 两 点，且 BD=CD，过 点。的 直 线 OEJ_AC交 A C 的 延 长 线 于 点 E,交 AB 的 延 长 线 于 点 尸，连 结 A。、OE 交 于 点 G.(1)求 证：O E 是。的 切 线；(2)若 理 _上，。的 半 径 为 2,求 阴 影 部 分 的 面 积；AG 3(3)连 结 BE,在(2)的 条 件 下，求 BE 的 长.E7.（2021 镇 江）如 图 1,正 方 形 48CZ）的 边 长 为 4,点 尸 在 边 3 c 上，。经 过 A,B,P三 点.（1）若 B P=3,判

5、断 边 C D 所 在 直 线 与。的 位 置 关 系，并 说 明 理 由；（2）如 图 2,E 是 C C 的 中 点，。交 射 线 A E 于 点 Q,当 A尸 平 分 NEAB时，求 tanNEA P 的 值.8.如 图，半 圆 形 薄 铁 皮 的 直 径 48=8,点。为 圆 心，C 是 半 圆 上 一 动 点（不 与 A,B 重 合）,连 接 A C 并 延 长 到 点。，使 AC=C。，过 点。作 4 B 的 垂 线 O H 交 冠，CB,A B 于 点 E,F,H,连 接。C,记 8 随 点 C 的 移 动 而 变 化.（1）移 动 点 C,当 点“，。重 合 时，求 sin。的

6、 值；（2）当 9450 时，求 证：BH AH=DH FH；（3）当 9=45时，将 扇 形 0 4 c 剪 下 并 卷 成 一 个 圆 锥 的 侧 面，求 该 圆 锥 的 底 面 半 径 和 高.9.(2021绥 化)如 图，在 ABC中，A B=A C,以 A8 为 直 径 的。0 与 8C 相 交 于 点。，DEV A C,垂 足 为 E.(1)求 证：O E 是。0 的 切 线；(2)若 弦 M N 垂 直 于 AB,垂 足 为 G,旭，M N=M，求。0 的 半 径；AB 4(3)在(2)的 条 件 下，当/8AC=36 时，求 线 段 CE 的 长.10.(2021 黄 石)如

7、图，力、PB是 O O 的 切 线，A、B 是 切 点，A C 是。0 的 直 径，连 接。P,交。于 点。，交 A B 于 点 E.(1)求 证：BC/OP-.(2)若 E 恰 好 是。的 中 点，且 四 边 形 OAPB的 面 积 是 1 6,求 阴 影 部 分 的 面 积；2022年 中 考 数 学 复 习 之 小 题 狂 练 450题（解 答 题）：圆（10题）参 考 答 案 与 试 题 解 析 一.解 答 题（共 10小 题）1.（2021思 明 区 校 级 二 模）如 图，四 边 形 内 接 于。0,尸 是 向 上 一 点，且 而=前，连 接 C尸 并 延 长 交 A。的 延 长

8、于 点 E,连 接 AC.（1）若 NABC=105,NBAC=25,求 NE 的 度 数；（2）若。的 半 径 为 4,且 N B=2 N A C C,求 A C的 长.【考 点】圆 心 角、弧、弦 的 关 系；圆 周 角 定 理；圆 内 接 四 边 形 的 性 质.【专 题】圆 的 有 关 概 念 及 性 质：推 理 能 力.【分 析】（1）根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 求 出 NAOC的 度 数，由 圆 周 角 定 理 得 出 NOCE的 度 数，根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 即 可 得 出 结 论；（2）连 接 AO,C O,过。作 OaJ_AC于 根 据 圆

9、内 接 四 边 形 的 性 质 求 出 N ADC的 度 数，由 圆 周 角 定 理 得 出 NAOC的 度 数，求 出 NOAC=30,根 据 含 30。角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出。何，根 据 勾 股 定 理 求 出 A M,再 根 据 垂 径 定 理 求 出 AA/=CM=2加,再 求 出 答 案 即 可.【解 答】解：而 我：.ZDCF=ZBAC=25,/四 边 形 ABCD内 接 于 OO,A ZB+ZA D C=180,.,./4C=180-NB=75,又；ZADC=NDCE+NE,二 Z E=ZADC-ZDCE=50；(2),四 边 形 ABC。内 接 于 OO

10、,A Z B+Z A D C=180,V Z B=2Z A D C,：.ZB=nO,ZADC=60,连 接 0 4、OC,过 点。作 O M L A C于 点 M,VAC=AC.A ZAOD=2ZADC=120,Q=OC,OM_L4C,A AM=yAC N A M=6 0，AM=0A,sinNA0M=4X孚=2，/.AC=2AM=4V3.【点 评】本 题 考 查 了 圆 心 角、弧、弦 之 间 的 关 系，三 角 形 外 角 性 质，圆 周 角 定 理，直 角 三 角 形 的 性 质，等 腰 三 角 形 的 性 质，垂 径 定 理 等 知 识 点，能 熟 记 圆 内 接 四 边 形 的 对 角

11、 互 补 是 解 此 题 的 关 键.2.(2021甘 肃 模 拟)如 图，在 RtZABC中，/A 8 C=9 0,以 A B为 直 径 作。0,交 A C于 点。，点 E 是 A B延 长 线 上 的 一 点.且 N 8 O E=/A.(1)求 证：O E与。0 相 切；(2)若 O E=3遥，Z C=60,求 C 的 长.【考 点】含 3 0度 角 的 直 角 三 角 形；圆 周 角 定 理；直 线 与 圆 的 位 置 关 系；切 线 的 判 定 与 性质.【专 题】圆 的 有 关 概 念 及 性 质；运 算 能 力.【分 析】（1）要 证 明 Q E与 0 0 相 切，想 到 连 接

12、0 D,只 要 证 明 N O E=90 即 可，根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 可 得 乙 4。8=90,从 而 得 N A D O+/OOB=90,再 根 据 等 边 对 等 角 和 已 知 证 出 NB=/A D O 即 可 解 答；（2）根 据 已 知 可 得 N A=30,从 而 求 出 N QOB=60,进 而 得 OOB是 等 边 三 角 形，然 后 在 R tz DOE中，利 用 锐 角 三 角 函 数 求 出 0。的 长，最 后 在 RtZ CDB中 即 可 解 答.【解 答】（1）证 明：连 接。为。的 直 径，:.NADB=90,A ZAD O+ZO

13、D B=90Q,：0A=0D,：.Z A=Z 0 D A,：Z B D E=Z A,；.N 0 D A=NBDE,：.ZB D E+ZO D B=90a,即 N OD E=90,是 圆。的 半 径，.OE与 O O 相 切；(2)解：V ZAB C=90,Z C=60,A Z A=90-Z C=30,N QOB=2N A=60,OD=OB,.0 0 8 是 等 边 三 角 形,，OD=DB,在 RtZODE 中，DE=3。：.0 D=_ DE；_=3,tan60 v 3:,DB=0D=3,在 中，ZC=60,：C D=巩 哼 Stan60 v 3【点 评】本 题 考 查 了 切 线 的 判 定

14、 与 性 质，含 30度 角 的 直 角 三 角 形，直 线 和 圆 的 位 置 关 系,圆 周 角 定 理，根 据 题 目 的 已 知 条 件 并 结 合 图 形 添 加 适 当 的 辅 助 线 是 解 题 的 关 键.3.(2021 蒙 阴 县 模 拟)如 图，已 知 4 8 是。的 直 径，C 是。上 的 点，过 点 C 作。O 的 切 线，交 4 B的 延 长 线 上 于 点。，连 接 BC.(1)求 证：Z B C D=Z B A C；(2)若/。=30,B D=2,求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积.【考 点】圆 周 角 定 理；切 线 的 性 质；扇 形 面 积 的 计 算.

15、【专 题】与 圆 有 关 的 位 置 关 系；与 圆 有 关 的 计 算；推 理 能 力.【分 析】(1)连 接 OC,根 据 切 线 的 性 质 得 到 OC_LCD,根 据 圆 周 角 定 理 得 到 N4CB=90,根 据 余 角 的 性 质 得 到 N O C A=/8 C,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到/B A C=N O C A,于 是 得 到 N8C=/BAC；(2)设 的 半 径 为 r,得 至 ljA B=2 r,求 得 r=2,乙 4 0 c=120,B C=2,过 O作 O”L A C于 从 得 到 O/7=L B C=1,根 据 三 角 形 和 扇 形

16、的 面 积 公 式 即 可 得 到 结 论.2【解 答】(1)证 明：连 接。C,CC为。的 切 线，：.OCCD,：.ZBCD+ZOCB=90,.AB是 是。的 直 径，A ZACB=90,N OCA+N OC8=90,：.Z O C A=Z B C D,又=OC,：.Z B A C=Z O C A9：.Z B C D=Z B A C；(2)解：设 O O 的 半 径 为 八：.A B=2rfV Z D=30,ZO CD=90,：.O D=2r,N CO8=60,*r+2=2r,：.r=2,N A OC=120,BC=2,过。作 OJ_ A C于 H,：.AH=CH,：AO=OB,；.O”=

17、J L8C=1,2由 勾 股 定 理 可 知：4 c=2,5z A0C=X 2,/3 X 1=/，2，S 扇 形 OAC=I 兀 x 4=&,360 3阴 影 部 分 面 积 为 刍 r-,3【点 评】本 题 考 查 了 切 线 的 性 质，圆 周 角 定 理，扇 形 的 面 积，正 确 地 作 出 辅 助 线 是 解 题 的 关 键.4.（2021 大 庆）如 图，已 知 A B是。的 直 径.B C是。的 弦，弦 E Q垂 直 A B于 点 F,交 3 c 于 点 G.过 点 C 作。的 切 线 交 EZ）的 延 长 线 于 点 P（1）求 证：PC=PG；(2)判 断 PG2=PZPE是

18、 否 成 立？若 成 立，请 证 明 该 结 论;(3)若 G 为 B C 中 点，。6=遥，sinB=Y,求 Q E 的 长.5【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】圆 的 有 关 概 念 及 性 质；几 何 直 观；应 用 意 识.【分 析】(1)连 接。C,由 垂 径 定 理 可 知 NGFB=90,由 切 线 性 质 可 知 NOCP=90,通 过 导 角 得 到 NFGB=/PCG,Z P C G=Z P G C,即 可 证 明 PC=PG；(2)连 接 EC、C D,证 明 尸 CDS A P E C,再 由 PC=PG,即 可 证 明；(3)连 接 OG,E O,由 垂 径 定

19、 理 可 得 OG_LBC,在 RtABOG中，求 出。8=5,BG=2旄,再 证 明 尸 G8S/XG08,由 对 应 边 的 比 例 关 系 空 里,可 求 FB=4,O F=1,在 RtAOB GBEOF 中，求 出 EF=2捉，则【解 答】解：(1)连 接。C,OC=OB,；.NOCB=NOBC,：CP是。的 切 线，A ZOCP=90,.弦 E Q 垂 直 A8 于 点 F,A8 是。的 直 径，：.NGFB=90,:NFGB+NFBG=90,ZOCB+ZBCP=90,:.NFGB=NPCG,NF GB=NPGC,：.ZPCGZPGC,：.PC=PG；(2)如 图 1,连 接 EC、

20、CD,：EDAB,A B 是 圆。的 直 径，,窟=前,:/E C B=/B C D,；PG=PC,：4PCG=4PGC,:/C G P=NE+NECB,ZGCP=NPCD+/BCD,：NPCD=NE,:PCDS PEC,.PC=PD*,PE PC，：.PC2=PEPD,：PC=PG,；.PG2=PD，PE；(3)如 图 2,连 接 OG,EO,：G 为 8 c 中 点，OGA.BC,在 RtzBOG 中，OG=旄，$皿 8=返，5：OB=5,BG=2疾,GF VOB,；/B+/FGB=90,ZB+ZBOG=90,:/G O F=/F G B,:/FG Bs/G O B,GB FBOB GB

21、275-FB-=,5 275：.F B 4,：.O F=,在 Rtz EO/中，OF=1,EO=5,:.EF=2 近,:.ED=4 瓜B【点 评】本 题 是 圆 的 综 合 题，难 度 较 大，通 过 三 角 形 相 似，对 应 边 成 比 例 是 证 明（2）等 积 式 的 常 用 方 法，熟 练 应 用 垂 径 定 理，构 造 直 角 三 角 形 求 解 是 解 题 的 关 键.5.（2021贵 阳）如 图，在。中，A C 为。的 直 径，A B 为。的 弦，点 E 是 AC的 中 点，过 点 E 作 A B 的 垂 线，交 A B 于 点 例，交。0 于 点 N,分 别 连 接 EB,C

22、N.（1）E M 与 B E 的 数 量 关 系 是 B E=、Fj）EM；（2）求 证：EB=CN；（3）若 A M=,M B=1,求 阴 影 部 分 图 形 的 面 积.【考 点】全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质；扇 形 面 积 的 计 算.【专 题】等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形；圆 的 有 关 概 念 及 性 质；推 理 能 力.【分 析】（1）证 得 A B M E 是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 得 到 结 论；（2）根 据 点 E 是 余 的 中 点，得 出 NAOE=90,由 NEMB=90,证 得 N A B E=N B E N=45,得 到 金

23、=前，根 据 题 意 得 到 正=前，进 一 步 得 到 施=而；（3）先 解 直 角 三 角 形 得 到 NE4B=30,从 而 得 到 NEO8=60,证 得 E08是 等 边 三 角 形，则 0 E=8 E=&,然 后 证 得 OEBgZOCM然 后 根 据 扇 形 的 面 积 公 式 和 三 角 形 面 积 公 式 求 得 即 可.【解 答】解：（1）；A C 为 O O 的 直 径，点 E 是 立 的 中 点，A ZABE=45,：ABEN,:.丛 B M E 是 等 腰 直 角 三 角 形，:.BE=yEM,故 答 案 为 BE=M EM；（2）连 接 EO,是。的 直 径，E 是

24、 标 的 中 点，A ZAO=90,A ZABE=XxAOE=45,2Y E N L A B,垂 足 为 点 M,NEMB=90:.NABE=NBEN=45,A AE=BN点 E 是 金 的 中 点，AE=EC,.EC=BN./EC-BC=BN-BC.EB=CN；(3)连 接 AE,OB,ON,JEN L A B,垂 足 为 点 M,A ZAME=ZEMB=90,由（2）得 N A B E=N B EV=45,又,：B E=M,:.BE=版,.在 RtZ AEM 中，EM=1,A M=M，tan ZEAB=2,V3 3.N EA 8=30,NEAB=L NEOB,2；.N E OB=60,又；

25、OE=OB,.EOB是 等 边 三 角 形，O E=B E=近,又,窟=部：.BE=CN,:./OEB迫/OCN（SSS）,:.C N=B E=又 用 扇 形。口 一 60冗 X（仞 2 兀，SAOCN=CNX 返 C N=L x f x 近 360 3 2 2 2 2 2【点 评】本 题 考 查 了 扇 形 的 面 积，全 等 三 角 形 的 判 定 化 为 性 质，圆 周 角 定 理，解 直 角 三 角 形 以 及 等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质，作 出 辅 助 线 构 建 等 腰 三 角 形 是 解 题 的 关 键.6.（2021 内 江）如 图，A B是。的 直 径，C、。

26、是 O O 上 两 点，且 前=而，过 点。的 直线 DELAC 交 A C 的 延 长 线 于 点 E,交 A8 的 延 长 线 于 点 F,连 结 A。、0E 交 于 点 G.(1)求 证：D E 是。0 的 切 线；(2)若 理 _上，。的 半 径 为 2,求 阴 影 部 分 的 面 积;AG 3(3)连 结 BE,在(2)的 条 件 下，求 BE的 长.【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】与 圆 有 关 的 位 置 关 系：与 圆 有 关 的 计 算；运 算 能 力；推 理 能 力.【分 析】(1)根 据 同 圆 中 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 得 到 N C 4 O=

27、/O A B,根 据 等 边 对 等 角 得 到/D 4 B=N O D 4,则/C A C=N 0 D 4,即 可 判 定 0 AE,进 而 得 到 OQ_LDE,据 此 即 可 得 解；(2)连 接 BD,根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 AE=3,AD=2yf3,解 直 角 三 角 形 得 到 ND4B=30,则 NEAF=60,ZDOB=60,。尸=2,再 根 据 S 阴 影=S ADOF-S 南 形 DOB即 可 得 解；(3)过 点 E 作 E M L A B 于 点 M,连 接 B E,解 直 角 三 角 形 得 到 A M=1,2 2则 再 根 据 勾 股 定 理

28、 求 解 即 可.2【解 答】(1)证 明：如 图，连 接 BD=CD.:.NCAD=/D AB,：OA=OD,：.ZD A B ZO D A,：.ZCAD=ZODA,：.OD/AE,：DEAC,：.ODDE,是 G)0的 半 径，是。的 切 线；(2)解：JOD/AE,:.OGDsXEGA,DG_=OD,AG AE，7DG=_2,O O 的 半 径 为 2,AG 3.2=2,3 AE)：.AE=3,是。的 直 径，DE1AE,NAEO=N4DB=90,：ZCAD=ZDAB,：./XAED/XADB,AD-ABAD一 4=AEAD3AD p：.A D=2 在 RtZXACB 中，返 AB 2A

29、 Z DAB=30,：.ZEAF=60,/OB=60,Z F=30,.*OD=2,：.D F=?=,tan30 亚 35 m SDOi-S KDOB X 2X 2,/3-2_=2f-2 兀；2 360 3(3)如 图，过 点 E 作 EM_ LAB于 点 M,连 接 BE,在 RtZiAEM 中，A M=A E cos60=3 X 2=3,EM=A E sin60=2 1,2 2 2:.MB=AB-A M=4-3=立，2 2 _BE=YEM+M B2=J()、+(1)2=任,【点 评】此 题 是 圆 的 综 合 题，考 查 了 切 线 的 判 定 与 性 质、扇 形 的 面 积、相 似 三 角

30、 形 的 判 定 与 性 质、解 直 角 三 角 形，熟 练 掌 握 切 线 的 判 定 与 性 质、相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 并 证 明 O G O s E G A 求 出 A E 是 解 题 的 关 键.7.(2021 镇 江)如 图 1,正 方 形 A B CQ的 边 长 为 4,点 P 在 边 B C上，。经 过 A,B,P三 点.(1)若 B P=3,判 断 边 CD所 在 直 线 与。的 位 置 关 系，并 说 明 理 由；(2)如 图 2,E 是 CD的 中 点，。交 射 线 4 E 于 点。，当 A P平 分 N EA B时，求 tanNEA P 的 值.圆

31、周 角 定 理；直 线 与 圆 的 位 置 关 系；解 直 角 三 角 形.【专 题】圆 的 有 关 概 念 及 性 质；推 理 能 力.分 析（1）如 图 1中，连 接 A P,过 点 0 作 0/L A 8于 4,交 CD于 E.求 出 0 E 的 长,与 半 径 比 较，可 得 结 论.（2）如 图 2 中，延 长 A E交 B C的 延 长 线 于 7,连 接 P Q.利 用 面 积 法 求 出 B P,可 得 结 论.【解 答】解：（1）如 图 1 7 中，连 接 A P,过 点。作 0H L A 8于 H,交 C D于 E.四 边 形 4BCO是 正 方 形,：.AB=AD=4,Z

32、ABP=90,；.A P是 直 径,*,A P=VAB2+B P2=V42+32=5，：OHYAB,：.AH=BH,：OA=OP,AH=HB,；.OH=JLPB=3,2 2.四 边 形 AHED是 矩 形,J.OEVCE,EH=AD=4,：.OE=EH-0H=4-3=金,2 2OE=OP,二.直 线 c c 与。相 切.(2)如 图 2 中，延 长 A E交 BC的 延 长 线 于 T,连 接 PQ.图 2：ND=NECT=90,DE=EC,NAED=NTEC,：./XADE/XTCE(ASA),：.AD=CT=4,：.BT=BC+CT=4+4=S,V ZABT=90,A7=VAB2+B T2

33、=V42+82=4是 直 径，ZAQP=90a,；以 平 分 NE48,PQLAQ,PB1AB,：.PB=PQ,设 PB=PQ=x,*.*S&ABT=S 的 屋 M P T,.,.A x 4 X 8=A x 4 J 5 X x+ix 4 X x,2 2 2：.x=2娓-2,，tan/EAP=tan NB4B=m=2ZIzl.AB 2备 注：本 题 也 可 以 用 面 积 法，连 接 PQ,P E,设 在 RtZXPEQ 中，/=/+(275-4)2,在 RtZ PEC 中，P2=(4-x)2+22,则,+(2泥-4)2=(4-x)2+22,解 得 x=P8=2旄-2,，tan/EAP=tan

34、N=里=AB 2【点 评】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，正 方 形 的 性 质，解 直 角 三 角 形 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 利 用 参 数 构 建 方 程 解 决 问 题，属 于 中 考 常 考 题 型.8.如 图，半 圆 形 薄 铁 皮 的 直 径 48=8,点。为 圆 心，C 是 半 圆 上 一 动 点(不 与 A,B 重 合),连 接 A C 并 延 长 到 点。，使 AC=C,过 点。作 A B 的 垂 线 O H 交 涵，CB,42 于 点 E,F,H,连 接 O C,记 NABC=。，。随 点 C 的 移 动 而 变 化.(1)移 动

35、点 C,当 点 H,。重 合 时，求 sin。的 值；(2)当。45 时，求 证：BH-AH=DH-FH-,(3)当。=45时，将 扇 形 O A C 剪 下 并 卷 成 一 个 圆 锥 的 侧 面，求 该 圆 锥 的 底 面 半 径 和 高.【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】三 角 形；圆 的 有 关 概 念 及 性 质：应 用 意 识.【分 析】(1)当 点 H,。重 合 时，由 AC=C 知，0 C 是 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线，即 O C=L。，X OC=OA,B P O A=X A D,得 N A BC=30,即 可 得 sin。的 值；2 2(2)证 根 据

36、 线 段 比 例 关 系 即 可 证；(3)当 0=4 5 时，N 4OC=90,根 据 弧 长 公 式 求 出 弧 A C的 长 度，即 可 确 定 圆 锥 的 底 面 半 径，根 据 母 线 和 底 面 半 径 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 高.【解 答】解：(1)当 点 H,。重 合 时，如 图，连 接 OC,：A C=C。，;.o c 是 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线，OC=1A D,2又：OC=OA,即 OA=1A D,2Z D=30,又,.N Q+N D 4O=90,N A B C+/D 4O=90,A Z A B C=Z D=30,sin0=A；2(2)V Z

37、 D C B=Z D H B=ZACB=90,由(1)知 N A 8C=N,丛 BHFs/DCF/DHA,:.BH：D C：D H=H F：CF：HA,(3)当。=45 时，ZAOC=90,AC的 长=2 n AB=2Tt,4即 圆 锥 的 底 面 周 长 为 2ir,.圆 锥 的 底 面 半 径 r=1,2兀.圆 锥 的 母 线=0 4=4,.圆 锥 的 高 h=q AB2-r、2 _ 2=5/,即 圆 锥 的 底 面 半 径 和 高 分 别 为 1和 任.【点 评】本 题 主 要 考 查 圆 的 综 合 题，设 计 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定

38、 和 性 质，圆 心 角，圆 周 角，圆 的 周 长 及 圆 锥 的 高 等 等 知 识 点，熟 练 掌 握 圆 和 圆 锥 的 基 础 概 念 以 及 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 是 解 题 的 关 键.9.(2021 绥 化)如 图，在 A 8C中，A B=A C,以 A B为 直 径 的 与 8 c 相 交 于 点。，DEV A C,垂 足 为 E.(1)求 证：O E是。的 切 线；(2)若 弦 M N垂 直 于 A 8,垂 足 为 G,旭，M N=0,求。的 半 径；AB 4(3)在(2)的 条 件 下，当/8 A C=3 6 时，求 线 段 C E的 长.【考 点】

39、圆 的 综 合 题.【专 题】综 合 题；运 算 能 力；推 理 能 力.【分 析】(1)连 接。),先 判 断 出 N 0 B=/A C 8,进 而 得 出 0)A C,进 而 判 断 出 OEL O D,即 可 得 出 结 论；(2)连 接 0 M,先 求 出 M G=1,设。的 半 径 为 r,则 OM=r,AB=2r,进 而 求 出 2O G=l r,最 后 用 勾 股 定 理 求 解，即 可 得 出 结 论；2(3)作 N A B C的 平 分 线 交 A C于 凡 判 断 出 BC/S A ACB,得 出 比 例 式 求 成 B C=旄-1,连 接 A。，再 求 出 再 判 断 出

40、 OECS A O C,得 出 比 例 式 求 解，即 可 得 2出 结 论.【解 答】(1)证 明：如 图 1,连 接 O。，,:OB=OD,：.NOBD=NODB,ZABC=ZACB,：.ZODB=ZACB,OD/AC,CDEVAC,:.DELOD,是。的 半 径，.QE是。的 切 线；(2)解：如 图 2,连 接 0M,AB MN,且 AB 为。的 直 径，M N=g:.MG=L MN=县,2 2设。的 半 径 为 r,则 OM=r,AB=2r,AG 1=,AB 4.AG=A B=r,4 20G=0A-A G=2 r,2在 R t O G M 中，根 据 勾 股 定 理 得，OG2+MG

41、2=OA/2,(A r)2+(2Z5.)2=,，2 2即 O O 的 半 径 为 1:（3）如 图 3,作 N A B C 的 平 分 线 交 4 c 于 尸，在 ABC 中，AB=AC,ZBA C=36,.Z A B C=Z C=A（1800-ABAC=72,2N A 8F=Z CB F=A Z ABC=36=ZBAC,2:.AF=BF,设 A F=B F=x,在 8C厂 中，/C B F=3 6,Z C=72,A Z B F C=180-36-72=72=ZC,*BC=BF=x,由（2）知，。的 半 径 为 1,：.A B=A C=2,：.C F=A C-A F=2-xf9：Z C B F

42、=Z C A Bf/.zc=zc,:BCFS RACB,BC CF 而 F，x 2-x 二-，2 x.,M=遥-1 或 x=-旄-1（舍），：.BC=y%-1-连 接 AO,；A B 为 的 直 径，:.NADB=90，：AB=AC,：.CD=B C=,2 2,CDEVAC,A ZDEC=90=ZADC,v z c=z c,AADEC AADC,CE CD 二，,CD CA T.CE,2 荷 2:.CE=B一 立.A【点 评】此 题 是 圆 的 综 合 题，主 要 考 查 了 切 线 的 判 定，垂 径 定 理，勾 股 定 理，等 腰 三 角 形 的 性 质，相 似 三 角 形 的 判 定 和

43、 性 质，作 出 辅 助 线 构 造 直 角 三 角 形 或 相 似 三 角 形 是 解 本 题 的 关 键.10.(2021 黄 石)如 图，PA,P 8是 0 0 的 切 线，A、B 是 切 点，AC是。的 直 径，连 接。P,交。0 于 点。，交 A 8于 点(1)求 证：BC/OP-,(2)若 E 恰 好 是。的 中 点，且 四 边 形 OAPB的 面 积 是 1 6,求 阴 影 部 分 的 面 积:(3)若 sinN B A C=/且 4 9=2,求 切 线 办 的 长.【专 题】几 何 综 合 题；推 理 能 力.【分 析 1(1)证 明。PLAB,B C A B,可 得 结 论.

44、(2)设。E=m,用？的 代 数 式 表 示 AB,O P,构 建 方 程 求 出 优，求 出 04,AB,OE,再 根 据 S 阴=5 扇 形 O A B-S&A O B，求 解 即 可.(3)在 RtZ A0E 中，sinZ C A B=P=A,可 以 假 设。E=x,则 O A=OO=3x,DE=2x,A0 3A=V oA2-OE2=V(3x)2-x 2=2V 2 在 R tA 40E 中 根 据 构 建 方 程 求 出 x,再 证 明 sinN 4PE=sinN CA B=_ l=鲤，可 得 结 论.3 PA【解 答】(1)证 明：:雨，PB是。的 切 线，：.PA=PBf：OA=OB

45、,：.OP.LAB,AC是 直 径，/.ZABC=90,：.BCABfJ.BC/OP.(2)解：V OE=DE,ABA.OD.：.AO=ADf：OA=OD,：.AD=O A=O Df AO。是 等 边 三 角 形，NAO)=60,设 O E=z,则 O A=2 m,。尸=4?，四 边 形 OAPB的 面 积 是 1 6,.工。尸 乂 8=16愿，2J 工 义 4m X 2 7 3=1 6 y,2 机=2 或-2(舍 弃),：OE=2,A 3=4,OA=2m=4,?OD.LAB,*-AD=BD，ZAOD=ZBOD=6Q,ZAOB=2ZAOD=120,2 _S 阴=S ja OAB-SAAOB=1

46、20 兀 4_,工 义 X 2=.1 360 2 3(3)解：在 Rt/XAOE 中，s in/C A 8=&Z=工，A0 3；可 以 假 设 O E=x,则 OA=OD3x,DE 2x AE=E 中，4。2=42+。5，(2 7 3)2=(2心)2+)2,.x=l 或-1(舍 弃)，OE=1,OA=3,AE=2亚，：PA是 切 线，：.PALOA,4P=90,：.ZC A B+ZB A P=W,/A P O+/B 4E=90,：.ZC A B=ZAP O,.sin N A P E=sin/C 4 B=L=_ 3 PA.勿=3A E=6芯.【点 评】本 题 属 于 圆 综 合 题，考 查 了

47、切 线 长 定 理，垂 径 定 理，解 直 角 三 角 形，等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质，四 边 形 的 面 积 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 利 用 参 数 构 建 方 程 解 决 问 题,属 于 中 考 压 轴 题.考 点 卡 片 1.全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质(1)全 等 三 角 形 的 判 定 是 结 合 全 等 三 角 形 的 性 质 证 明 线 段 和 角 相 等 的 重 要 工 具.在 判 定 三 角 形 全 等 时，关 键 是 选 择 恰 当 的 判 定 条 件.(2)在 应 用 全 等 三 角 形 的 判 定 时，要 注 意 三 角

48、 形 间 的 公 共 边 和 公 共 角，必 要 时 添 加 适 当 辅 助 线 构 造 三 角 形.2.含 30度 角 的 直 角 三 角 形(1)含 30度 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质：在 直 角 三 角 形 中，30角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半.(2)此 结 论 是 由 等 边 三 角 形 的 性 质 推 出，体 现 了 直 角 三 角 形 的 性 质，它 在 解 直 角 三 角 形 的 相 关 问 题 中 常 用 来 求 边 的 长 度 和 角 的 度 数.(3)注 意：该 性 质 是 直 角 三 角 形 中 含 有 特 殊 度 数 的 角(30)

49、的 特 殊 定 理，非 直 角 三 角 形 或 一 般 直 角 三 角 形 不 能 应 用；应 用 时，要 注 意 找 准 30的 角 所 对 的 直 角 边，点 明 斜 边.3.正 方 形 的 性 质(1)正 方 形 的 定 义：有 一 组 邻 边 相 等 并 且 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 叫 做 正 方 形.(2)正 方 形 的 性 质 正 方 形 的 四 条 边 都 相 等，四 个 角 都 是 直 角；正 方 形 的 两 条 对 角 线 相 等，互 相 垂 直 平 分，并 且 每 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角；正 方 形 具 有 四 边 形、平 行 四

50、 边 形、矩 形、菱 形 的 一 切 性 质.两 条 对 角 线 将 正 方 形 分 成 四 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形，同 时，正 方 形 又 是 轴 对 称 图 形，有 四 条 对 称 轴.4.圆 心 角、弧、弦 的 关 系(1)定 理：在 同 圆 和 等 圆 中，相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等，所 对 的 弦 也 相 等.(2)推 论：在 同 圆 或 等 圆 中，如 果 两 个 圆 心 角、两 条 弧、两 条 弦 中 有 一 组 量 相 等，那 么 它 们 所 对 应 的 其 余 各 组 量 都 分 别 相 等.说 明：同 一 条 弦 对 应 两 条 弧，