2022年中考数学复习之挑战压轴题——圆（解答题）.pdf

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1、2022年 中 考 数 学 复 习 之 挑 战 压 轴 题(解 答 题)：圆(10题)一.解 答 题(共 10小 题)1.(2021 包 头 一 模)如 图，在 a A B C 中，A B=A C,以 AB 为 直 径 的 0 0 交 BC 于 点。，过 点。作 MN_LAC,垂 足 为 M,交 A B 的 延 长 线 于 点 M 过 点 B 作 8 G _ L M M 垂 足 为 G,连 接 CW.(1)求 证：直 线 M N 是。的 切 线；(2)求 证：B=A C,B G；(3)若 B N=O B,。0 的 半 径 为 1,求 tan/ANC的 值.2.(2022罗 湖 区 模 拟)在。

2、0 中，弦 C。平 分 圆 周 角/4C8,连 接 48,过 点。作。E 4B交 C8 的 延 长 线 于 点,图 I 图 2 图 3(1)求 证：O E 是。的 切 线；(2)若 tanNC48=L,且 B 是 C E 的 中 点，。0 的 直 径 是 丁 而，求 D E 的 长.3(3)P 是 弦 4 8 下 方 圆 上 的 一 个 动 点，连 接 A P 和 BP,过 点。作。尸 于 点”，请 探 究 点 P 在 运 动 的 过 程 中，一 的 比 值 是 否 改 变，若 改 变，请 说 明 理 由；若 不 变，请 直 接 写 出 比 值.AP+BP3.(2022雁 塔 区 校 级 二

3、模)问 题 提 出:(1)如 图 1,点 8、C 在。上 且 8 C=2,过 点。作 0 E L 8 C,交 B C 于 点 A,交。于 点 E,连 接 BE、C E,若/C B E=30,则 线 段 A E的 长 度 为.问 题 探 究：(2)如 图 2,在 ABC中，8 c=2,ZBAC=45,求 边 A C长 度 的 最 大 值；问 题 解 决：(3)如 图 3,某 城 市 拟 在 河 流 加、所 夹 半 岛 区 域 建 一 个 湿 地 公 园，公 园 的 周 长 由 亲 水 廊 桥 4 8、俞、C 和 绿 化 带 8 C四 部 分 构 成.其 中 8、C两 定 点 间 的 距 离 为

4、2000米.根 据 规 划 要 求，A、。两 点 间 的 距 离 为 600米，A、。两 点 到 直 线 8 C的 距 离 相 等，益 的 中 点 E 到 B C 的 距 离 比 点 A 到 B C 的 距 离 多 100加 米；若 修 建 时 需 保 证 与 N C 的 和 为 120度，请 判 断 这 个 湿 地 公 园 的 周 长 是 否 存 在 最 大 值？若 存 在，请 求 出 最 大 值.若 不 存 在,请 说 明 理 由.(结 果 保 留 n)图 1 图 24.(2022南 岗 区 模 拟)如 图，A B为。直 径，弦 C C交 A。于 E,连 接 B。、BC.(1)求 证：ZC

5、+ZABD=90；(2)若 NA8C=2NA8。，求 证：CB=BE；(3)在(2)的 条 件 下，连 接 AC,F、G 在 AC、BC上，且 C F=C G,连 接 EF、EG,NFEG=90,连 接 BF,ZCFB=ZCGE,BG=2y/1Q,求 BO 的 长.图 1图 2图 35.(2021 濮 阳 模 拟)如 图，A B 是。的 直 径，C 是 上 一 点，连 接 AC、BC,E 是 BC的 中 点，延 长。E 交。于 点 F,交 切 线 C D 于 点。.(1)已 知 AB=10,A C=6,求 CD 的 长；(2)当 星=时，四 边 形 AOFC是 菱 形；AB 当 空=时，四 边

6、 形 OBOC是 正 方 形.AB6.(2021 五 华 区 二 模)如 图 1,已 知 AC,为。的 两 条 直 径，连 接 A8,过 点。作 OE_LAB于 点 E,取 半 径 O C 的 中 点 F.连 接 E凡 设/。B=a.(1)如 图 2,若。的 半 径 为 3,a=30时.求 证：OEF是 等 腰 三 角 形.求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积.(2)在(1)的 条 件 下 试 确 定 经 过 点 A、B、F 三 点 的 圆 的 圆 心 位 置 和 半 径 大 小.(3)连 接。F,是 否 存 在 某 个 a 的 值，使 得 Q F 与 EF相 等？若 存 在，求 出 此 时

7、 cosa的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.7.(2021泉 州 模 拟)如 图 1,在。中，点 A 是 优 弧 B4C上 的 一 点，点/为 ABC的 内 心,连 接 4 并 延 长 交。于 点。，连 接。交 BC 于 点 E,连 接 B/.(1)求 证：0_LBC；(2)连 接。B,求 证：D B=D h(3)如 图 2,若 8c=24,tan/O8C=至-,当 B、0、/三 点 共 线 时，过 点。作 OG B/,交。于 点 G,求 O G 的 长.8.(2021 柳 南 区 校 级 模 拟)如 图，AB 是。的 直 径，点 C 是。上 一 点，过 点 C 作 弦 CCL A

8、B 于 E,点 尸 是 俞 上 一 点，A F 交 C O 于 点 H,过 点 尸 作 一 条 直 线 交 C。的 延 长 线 于 M,交 A8 的 延 长 线 于 G,HM=FM.(1)求 证：M G 是。的 切 线；(2)若 AC MG,试 探 究 HF,M F 之 间 的 关 系，并 说 明 理 由；(3)在(2)的 条 件 下，若 tanG=_l,A H=2,求。G 的 长.9.(2021 遵 义 二 模)新 定 义：有 一 组 邻 边 相 等 且 对 角 互 补 的 四 边 形 叫 做 等 补 四 边 形.如 图 1,在 四 边 形 ABC中，AD=CD,ZBAD+ZBCD=S0,则

9、 四 边 形 ABC。是 一 个 等 补 四 边 形.在 数 学 活 动 课 上，巧 巧 小 组 对 等 补 四 边 形 ABCQ进 一 步 探 究，发 现 8。平 分/ABC.(1)巧 巧 小 组 提 供 的 解 题 思 路 是：如 图 2,过 点。分 别 作。于 E,D F L B A 交 BA的 延 长 线 于 F,通 过 证 明 AOFg(?,得。尸=OE,再 根 据“角 的 内 部 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 的 点 在 角 的 平 分 线 上”得 到 B D 平 分 NABC.请 你 写 出 巧 巧 小 组 的 完 整 证 明 过 程;(2)如 图 3,在 平 面 直

10、角 坐 标 系 中，点 A、8 在 x 轴 上，以 AB 为 直 径 的 O M 交 y 轴 于 点 C、。，点 P 为 弧 BC 上 一 动 点(不 与 8、C 重 合)，求 证：四 边 形 ACPO始 终 是 一 个 等 补四 边 形；(3)在(2)的 条 件 下，如 图 4,已 知 A(-1,0),B(3,0),巧 巧 小 组 提 出 了 一 个 问 题：连 接 南，PC+PO与%的 比 值 是 否 会 随 着 点 P 的 移 动 而 变 化？若 不 变 化，请 求 出 其 比 值；若 变 化，请 说 明 理 由.图 1 图 2 图 3 图 410.(2021 花 都 区 一 模)已 知

11、，AB 是。的 直 径，A B=如,4c=BC.(1)求 弦 B C 的 长；(2)若 点。是 A B 下 方。上 的 动 点(不 与 点 4,8 重 合)，以 C O 为 边，作 正 方 形 C0EF,如 图 1所 示，若 是 O F 的 中 点，N 是 B C 的 中 点，求 证：线 段 M N 的 长 为 定 值;(3)如 图 2,点 P 是 动 点，且 AP=2,连 接 CP,PB,一 动 点。从 点 C 出 发，以 每 秒 2个 单 位 的 速 度 沿 线 段 CP 匀 速 运 动 到 点 P,再 以 每 秒 1个 单 位 的 速 度 沿 线 段 P B 匀 速 运 动 到 点 B,

12、到 达 点 B 后 停 止 运 动，求 点 Q 的 运 动 时 间/的 最 小 值.13图 1E图 22022年 中 考 数 学 复 习 之 挑 战 压 轴 题（解 答 题）：圆（10题）参 考 答 案 与 试 题 解 析 解 答 题（共 10小 题）1.（2021 包 头 一 模）如 图，在 中，A B=A C,以 AB 为 直 径 的 交 BC 于 点。，过 点。作 MNJ_AC,垂 足 为 交 A B 的 延 长 线 于 点 M 过 点 8 作 垂 足 为 G,连 接 CM.（1）求 证：直 线 M N 是 0 0 的 切 线；（2）求 证：BIJ2=AC-BG；（3）若 B N=O B

13、,。0 的 半 径 为 1,求 tan/ANC的 值.【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形；圆 的 有 关 概 念 及 性 质；与 圆 有 关 的 位 置 关 系：图 形 的 相 似；解 直 角 三 角 形 及 其 应 用；运 算 能 力；推 理 能 力.【分 析】（1）由 A 8 是 直 径 得 AO_L8C,又 A B=A C 得 N B A D=N C A D,由 0A=。得 Z O D A=Z B A D,进 而 可 推 出/OQM=90；（2）由 条 件 推 出 BO=C,C M=B G,由 CQMs/CAO,进 一 步 可 得 结 论；

14、（3）由 条 件 推 得/80。=60,进 而 N48C=60,可 得 A A B C 是 等 边 三 角 形，从 而 C O 1 A B,进 一 步 可 求 得 结 果.【解 答】证：（1）如 图 1,连 接 AO,OD,TAB是。的 直 径，NAOB=NACD=90,即 ADLBC,9：AB=AC,：.ZBAD=ZCAD,BD=CD,：OA=OD,：.ZODA=ZBAD.：.ZOAD=ZCAD,V/VM1AC,NAMN=90,：.ZDAC+ZADM=9Q,NOD4+NAQM=90,即 NOOM=90,OD1.MN,直 线 MN是 O O 的 切 线；(2)由(1)知，ZADC=90,BD=

15、CD,：.ZADC=ZDMC=90,:/ACD=NDCM,:丛 CMDsXCDA,.CD=CM,*AC CD，：.CD2=AC C M,.2=AC CM,在 3GO 和 MC 中，rZBGD=ZCMD=90 ZBDG=ZCDM，BD=CD.BGO丝 CDM(AAS),:.BG=CM,：.BD2=A C B G；由（1）NODN=9U,：O D=O B=B N=1,cos N Q O N=卫 上=工 ON 2A Z DON=60,：AB=AC,.ABC是 等 边 三 角 形，：OA=OB,：.C O A B,OC=AC cos60=遥,A tan N A N C=-=山.ON 2【点 评】本 题

16、 考 查 了 与 圆 有 关 位 置 和 性 质，等 边 三 角 形 判 定 和 性 质，解 直 角 三 角 形，图 形 相 似 和 全 等 等 知 识，解 决 问 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 图 形 的 性 质 及 图 形 的 特 殊 性.2.（2022罗 湖 区 模 拟）在 中，弦 C。平 分 圆 周 角 N A C B,连 接 A 2,过 点。作。E A8交 CB 的 延 长 线 于 点,图 1 图 2 图 3(1)求 证：O E 是。的 切 线；(2)若 tan/C4B=工，且 B 是 C E 的 中 点，0 0 的 直 径 是，而，求。E 的 长.3(3)P 是 弦 A 8

17、下 方 圆 上 的 一 个 动 点，连 接 AP 和 BP,过 点。作 于 点”，请 探 究 点 尸 在 运 动 的 过 程 中，上 一 的 比 值 是 否 改 变，若 改 变，请 说 明 理 由；若 不 变，请 直 接 写 出 比 值.AP+BP【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】转 化 思 想；构 造 法；与 圆 有 关 的 计 算；几 何 直 观；运 算 能 力；推 理 能 力；模 型 思 想.【分 析】(1)利 用 垂 径 定 理 即 可 证 得 结 论；(2)构 建 直 角 三 角 形，利 用 勾 股 定 理 求 出 线 段 长 度 即 可 求 解；(3)利 用 相 似 三 角

18、形，直 角 三 角 形，找 到 角 之 间 的 关 系，然 后 转 化 为 线 段 的 关 系 进 行 求 解.【解 答】证 明：(1)如 图 1,连 接 0。交 A8 于 点 F,连 接。A,OB,AD,图 1平 分 NACB,/ACD=NBCD,俞=俞,：.ZAOD=ZBOD,OA=OB,：.OD1AB,：AB/DE,：.ODLDE,是。的 切 线.解：（2）如 图 2,连 接。C,OD,0 E,过 点。作 OFJ_8 c 于 点 F,：OB=OC,OF LHC,：./C O F=N L/C O B=NCAB,2.tan Z。0/=tan Z CAB=A,OF 3设 CF=x,OF=3x,

19、:。的 直 径 是 2JOdOFi+CF2,2=(3x)2+7,2解 得：x=L2.,.CF=A,。尸=S,2 2：.B C=,是 CE的 中 点，：.BE=BC=1,：.EF=-,2：OE1=OF1+EF2,：.0序=(A)2+(旦)2=殁，2 2 4,：OD2+DE1=OE1,；=V 0E2-0 D2=柠 邛=&-(3)如 图 3,延 长 B P至。使 得 P Q=A P,连 接 AQ,0 C,连 接。8,B D,连 接 0。交 AB于 点 K,连 接 aK,VA,P,B,C 四 点 共 圆,/./A P Q=N A C 8,9AP=PQf：.Z Q=Z Q A Pf N Q=900-A

20、Z ACB,Q E是 O。的 切 线，：.0DLDE,*DE/ABf：.ODLAB,K 是 A 3的 中 点，；NBHD=90,V ZBKD=90,:B,K,H,。四 点 共 圆，/BHK=NODB,ZBOD=ZACB9 OB=OD,：.ZODB=90-A Z ACB,2：.Z O D B=Z Qf:NBHK=/Q,J.AQ/HK,BH=BK_ 1,BQ AB 2：BQ=BP+QP,QP=AP,：.BQ=BP+AP,BH=1BP+AP 2【点 评】本 题 考 查 了 勾 股 定 理，圆 内 接 四 边 形，垂 径 定 理 等 知 识 点，难 度 较 大，解 题 的 关 键 是 作 出 辅 助

21、线，属 于 中 考 压 轴 题.3.(2022雁 塔 区 校 级 二 模)问 题 提 出：(1)如 图 1,点 8、C 在。上 且 B C=2,过 点。作 0_L8C,交 8 C 于 点 4,交 O O 于 点 E,连 接 BE、C E,若/CBE=30,则 线 段 A E 的 长 度 为 退.3-问 题 探 究：(2)如 图 2,在 ABC中，BC=2,ZBAC=45,求 边 A C 长 度 的 最 大 值；问 题 解 决：(3)如 图 3,某 城 市 拟 在 河 流 2、所 夹 半 岛 区 域 建 一 个 湿 地 公 园，公 园 的 周 长 由 亲 水 廊 桥 AB、益、C Q 和 绿 化

22、 带 B C 四 部 分 构 成.其 中 8、C 两 定 点 间 的 距 离 为 2000米.根 据 规 划 要 求，A、。两 点 间 的 距 离 为 600米，4、。两 点 到 直 线 8 C 的 距 离 相 等，命 的 中 点 E 到 B C 的 距 离 比 点 A 到 B C 的 距 离 多 100愿 米；若 修 建 时 需 保 证 N B 与 N C 的 和 为 120度，请 判 断 这 个 湿 地 公 园 的 周 长 是 否 存 在 最 大 值？若 存 在，请 求 出 最 大 值.若 不 存 在,请 说 明 理 由.(结 果 保 留 n)图 1 图 2 图 3【考 点】圆 的 综 合

23、 题.【专 题】压 轴 题；构 造 法；推 理 能 力；模 型 思 想.【分 析】（1）利 用 角 度 关 系 直 接 求 解 即 可；（2）构 造 外 接 圆，圆 内 最 长 的 为 直 径，即 可 求 解；（3）关 键 在 于 构 造 出 两 个 外 接 圆，然 后 利 用 弦 的 长 度 和 角 度 关 系 将 相 关 量 表 示 出 来 即 可 求 解.【解 答】解：（1）BC=2,OELBC,：.AB=AC=,V ZCBE=30,.tanZCB=tan30=坐=近，_ AB 3.AE=恒.3（2）如 图 1,构 造 ABC的 外 接 圆。，连 接。8,0C,图 1.ZBOC=2ZBA

24、C=90,：OB=OC,.08=里=&,V2，0。的 直 径 为 2历，：A C 为 弦 长，：.AC22=300,2:俞 的 中 点 E 到 B C 的 距 离 比 点 A 到 B C 的 距 离 多 lOoJE米,.EF=100V3设。4=厂，则：OF=r-100V3.：AF2+OF2=O A1,.,.30()2+(/_ io。声)2=J,解 得：20073 sin Z AO F=-OF 2，/A O 尸=60,二/A 00=120,益 的 长 度 为.120200行=400行 冗 又,360 S-,JDG/AB,AD/BC,四 边 形 A B G D 为 平 行 四 边 形，：.DG=A

25、Bf Z D G C=Z B9 BG=AD,：.C G=B C-B G=1400,V Z B+Z C=120,A Z D G C+Z C=120,NG OC=60,当 D 到 C G 的 距 离 最 远 时，A8+OC=OG+OC 最 大，此 时 有 MCG,.O G=Z)C=C G=1400,此 时 周 长 最 大 为：BC+CD+AEH-AB=2000+2800+AX 21TX20073=48O O+222/L兀,3 3公 园 周 长 最 大 值 为 4800+4 蓊 九 米.3【点 评】本 题 考 查 了 圆 的 综 合 运 用，涉 及 垂 径 定 理，圆 周 角 定 理，还 有 平 行

26、 四 边 形 等 相 关 知 识 点，综 合 性 比 较 强，对 解 题 思 维 要 求 较 高，属 于 中 考 压 轴 题.4.(2022 南 岗 区 模 拟)如 图，A B为。0 直 径，弦 C D交 A O于 E,连 接 8 0、BC.(1)求 证：ZC+Z A B D=90；(2)若 N A B C=2N A B Z),求 证：CB=BE-,(3)在(2)的 条 件 下，连 接 AC,F、G 在 AC、8 c 上，且 C F=C G,连 接 EF、EG,NFEG=90,连 接 8尸，NCFB=NCGE,BG=2y/10,求 8。的 长.【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】作 图 题

27、；转 化 思 想；构 造 法；与 圆 有 关 的 计 算；空 间 观 念；几 何 直 观；推 理 能 力；模 型 思 想；创 新 意 识.【分 析】（1）连 接 A O,运 用 圆 周 角 定 理 即 可 求 证；（2）分 别 将 N 4&）和 N A 8C表 示 出 来，然 后 圆 周 角 定 理 表 示 出 N C E 8和 N C,即 可 求 证;（3）首 先 利 用 已 知 条 件 证 出 A E=A R 然 后 正 确 作 出 相 应 的 辅 助 线，利 用 转 换 的 思 想 将 边 与 边，角 与 角 之 间 的 关 系 表 示 出 来，再 利 用 正 切 定 理 求 解 即 可

28、.【解 答】证 明：（1）如 图 1,连 接 A D,而 二 而，A Z C=Z A,AZJ是 直 径，A ZAD B=90,NA+NABD=90,：.Z C+Z A B D=90.(2):/A B C=2/A B D,设 乙 48)=a,J ZA B C=2a,V ZA+ZABD=90,A Z A=90-a,A Z C=9 0-a,V Z C E B=180-Z A B C-Z C=180-2 a-(90-a)=90-a,：.Z C E B=Z C,:CB=BE.(3)如 图 2,延 长 在；使/K=8 F,连 接 8 K,延 长 EV、BC交 于 点、C,:NFEG=/FCG=9U,CF=

29、CG,四 边 形 EFCG对 角 互 补 且 邻 边 相 等，：NCEF=NCEG=45。,在 RtZAC8 中，CB=CE,NCEF=45,设 NABC=2B，则 ZBEC=ZBCE=90-p,ZAEF=180-45-(90-p)=45+0,V ZACB=90,ZACE=p,A ZAFE=450+0,NAFE=NAEF,:.AE=AF9再 设 N C B F=a,则 ZCFB=90-a,：NCGE=NCFB,：.ZCGE=90-a,V ZAF+ZCFE=180,ZCGE+ZCFE=180,/.ZAFE=ZCGE=90-a,:B F K=2 a,Z L=a,:FK=FB,NK=90-a,；.N

30、LBK=90,；BF=KF=LF,工 点、F为 K L中 点、，点、C 为 B L中 点、,再 设 C F=m,则 BK=2m,V ZBEK=ZBKE=90-a,：.BE=BK=2m,：.BC=2m9,:CG=CF=m,：.BG=CG=m,.,BG=2A/T0.=2A/10.：.BE=2m=4V10再 设 A F=A E=x,则 在 RtZWC中，有(2V W+X)2+(4V1O)2=(X+4VTO)2解 得 x=5/1U，：.AC=AF+CF=3 A/10tanZ CDB=tanZ CAB=A,tanZCBA,3 4；tanNBCZ)=3,在 8C中，如 图 3,过 点 8 作 BHLCZ)

31、于 点 H,设 8H=12&,则 CH=4k,DH=9k,BD=15k,BC=4/10 k，*：BC=4折，：.k=l,：.BD=15.L【点 评】本 题 考 查 了 圆 周 角 定 理，等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形 的 性 质 与 勾 股 定 理 等，涉 及 的 知 识 点 比 较 多，解 题 的 关 键 是 正 确 分 析 图 中 的 相 等 关 系 以 及 作 出 辅 助 线，通 过 角 度 的关 系 求 出 边 之 间 关 系，然 后 利 用 勾 股 定 理 以 及 正 切 定 理 进 行 求 解.5.(2021濮 阳 模 拟)如 图，A B 是。的 直 径，C 是。0

32、上 一 点，连 接 AC、BC,E 是 BC的 中 点，延 长 O E 交 于 点 F,交 切 线 CZ)于 点 Z).(1)已 知 48=10,A C=6,求 CO 的 长；(2)当 1 时，四 边 形 AOFC是 菱 形；AB-2 当 班=返 _ 时，四 边 形 OBOC是 正 方 形.AB 2 一【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】几 何 综 合 题；矩 形 菱 形 正 方 形；圆 的 有 关 概 念 及 性 质；图 形 的 相 似；运 算 能 力；推 理 能 力.【分 析】(1)连 接 O C,根 据 切 线 的 性 质 和 圆 周 角 定 理 可 以 证 明 A C B S A

33、O C D 可 得 空 _ 革，再 根 据 勾 股 定 理 求 出 BC,进 而 可 以 解 决 问 题；0C DC(2)连 接 CF,根 据 菱 形 的 性 质 即 可 解 决 问 题；连 接 BQ,根 据 正 方 形 的 性 质 即 可 解 决 问 题.【解 答】解：(1)如 图，连 接 OC,：.OCLCD,：AB 是。的 直 径,A ZACB=90,/A C B=/O C D,是 5 C 的 中 点，：.O E C B,：.A C/O D,：.Z C O D=Z A C O=/C A B,：.A C B s R O C D,AC BC 二 一，OC DC AB=10,AC=6,OC=5

34、,B C=VAB2-AC2=7102-62=8 6 8=.,5 DC:.DC=2 S L.3(2)当=时，四 边 形 AOFC是 菱 形，理 由 如 下:AB 2.ZACB=90,当 地=时，Z B=30,AB 2A Z A O C=6 0Q,.AOC是 等 边 三 角 形，：.A O=A C,由(1)知，A C/O D,：A C=O A=O F,四 边 形 AOFC是 菱 形；故 答 案 为：2 如 图，连 接 BD,当 班=迎 时，四 边 形 OBOC是 正 方 形，理 由 如 下：AB 2是 0 0 的 直 径，A ZACB=90,当=立 _时,ZABC=45,AB 2./A O C=N

35、 B O C=9 0,.CD切。于 点 C,J.OCVCD,：.ZD O C=90,：OB=OC,二 四 边 形 OBOC是 正 方 形.故 答 案 为：返 _.2【点 评】本 题 属 于 几 何 综 合 题，考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质，菱 形 的 性 质，正 方 形 的 性 质，圆 周 角 定 理，切 线 的 性 质，解 决 本 题 的 关 键 是 得 到 A C B s O C D6.(2021 五 华 区 二 模)如 图 1,已 知 AC,为。的 两 条 直 径，连 接 A 8,过 点。作 OE_LAB于 点 E,取 半 径 O C的 中 点 F.连 接 E凡

36、 设/CA B=a.(1)如 图 2,若。的 半 径 为 3,a=3 0 时.求 证：O E F是 等 腰 三 角 形.求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积.(2)在(1)的 条 件 下 试 确 定 经 过 点 4、B、/三 点 的 圆 的 圆 心 位 置 和 半 径 大 小.(3)连 接 O F,是 否 存 在 某 个 a 的 值，使 得。尸 与 E尸 相 等？若 存 在，求 出 此 时 c o s a的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.D图 1 图 2【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】与 圆 有 关 的 计 算；几 何 直 观；运 算 能 力.【分 析】(1)根 据 30。

37、所 对 的 直 角 边 是 斜 边 的 一 半，可 求 得 O E 等 于 O A 的 一 半，又 因 为 点 尸 是 O C 的 中 点，所 以 O F=O E；根 据 同 弧 对 于 的 圆 周 角 是 圆 心 角 的 一 半 可 得 N8OC=2NBAC=60,即 N A O B=180-Z B O C=120,然 后 根 据 S 弓 形=S 扇 形 AO5-S&4OB,S 阴 影=5 半 圆-S 弓 形，即 可 求 得 阴 影 部 分 的 面 积;(2)连 接 8 C,根 据(1)中 可 得 OCB是 等 边 三 角 形，又 因 为 点 F 是 半 径 O C 的 中 点,可 得 NA

38、FB=90,即 可 求 证 点 E 即 为 A、B、尸 三 点 的 圆 的 圆 心 位 置 以 及 可 以 求 得 其 半 径 大 小;(3)过 点 P 作 F G 1 A B 于 点 G,连 接 B F,求 得 a 的 值，即 可 求 得 cosa的 值.【解 答】解 证 明：.,0EL48,a=30，OE=OA=3,2 2；点 尸 是 半 径 0 C 的 中 点,.OF=OC=3,2 2：.OE=OF,.OEF是 等 腰 三 角 形:Z B A C 和 Z B O C 所 对 的 弧 都 是 BC,：.ZBOC=2ZBAC=60,；.乙 4。8=180-Z B O C=120,A E=J

39、A E=3 愿,OEAB,VS 弓 形=S 扃 形 AOB-SA4OB=3 TI-也 3,4S阴 影=S半 幽-S弓 彩=6十 时,；4(2)如 图，连 接 BC,：OEAB,：.A E=E B,即 点 E是 A 8的 中 点，由(1)知 NBOC=60,：OC=OB,.OCB是 等 边 三 角 形，点 尸 是 半 径 OC的 中 点，C.BFLAC,：.ZAFB=90Q,.点 E是 AB的 中 点，：.EF=AE=BE=AB,2，经 过 点 A、B、尸 三 点 的 圆 的 圆 心 是 点 E,半 径 AE=4O cos30=这 巨;_ 2(3)存 在，cosa=Y_.2过 点 F作 FGA.

40、AB于 点 G,连 接 BF,：FG/OE,AE AO-oEG OF:.AE=2EG=EB,；.F G是 EB的 垂 直 平 分 线,:.EF=FB,:DF=EF,：.DF=FB,*：DO=OB,:FOtBD,：.ZAOB=90,：OA=OB,：.A O B 是 等 腰 直 角 三 角 形，：.ZBAC=45,.cosa=?-.2【点 评】本 题 主 要 考 查 了 直 角 三 角 形 的 相 关 性 质，圆 周 角 和 圆 心 角 的 关 系，三 点 共 圆 的 特 点，以 及 锐 角 三 角 函 数 的 内 容，正 确 连 接 辅 助 线，熟 练 掌 握 以 上 知 识 点 是 解 决 问

41、 题 的 关 键.7.(2021泉 州 模 拟)如 图 1,在。中，点 A 是 优 弧 BAC上 的 一 点，点/为 AA B C 的 内 心,连 接 A/并 延 长 交。于 点。，连 接。交 BC 于 点 E,连 接 B/.(1)求 证：0_LBC；(2)连 接 求 证：DB=D1；(3)如 图 2,若 8c=24,tanZ O B C=_ L,当 8、0、/三 点 共 线 时，过 点。作。G B/,12图 1 图 2【考 点】圆 的 综 合 题.【专 题】几 何 综 合 题；推 理 能 力.【分 析】(1)证 明 砺=而，再 利 用 垂 径 定 理 可 得 结 论.(2)想 办 法 证 明

42、 即 可 解 决 问 题.(3)如 图 2 中，连 接 0 G,过 点 0 作 O”_LCG于”，解 直 角 三 角 形 求 出。,再 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 求 出 可 得 结 论.【解 答】(1)证 明：如 图 1中，/是 A8C的 内 心，:/B A D=/C A D,，加=而,J.ODLBC.(2)证 明：如 图 1中，连 接 8D/是 ABC的 内 心，：.Z B A I=Z C A If ZABI=ZCBLV ZDIB=ZBAI+ZABI,/D B I=/C B A/C B D,ZCBD=ZCAL：,4 D B I=/D IB,：.DB=D1.(3)解：如 图 2

43、中，连 接 O G,过 点。作 OHLOG于 H.VOD1BC,：.B E=E C=n,ta n N 0 8 E=-L=强，12 BEJ OE=5f:DG/OB,：.ZBOE=ZODHf:/B E O=/O H D=90,OB=OD,：./O B E/O D H(A4S),:.OE=DH=59：OH1DG,:,DH=HG=5,OG=10.图 1【点 评】本 题 属 于 圆 综 合 题，考 查 了 圆 周 角 定 理，垂 径 定 理，解 直 角 三 角 形，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，平 行 线 的 性 质 等 知 识，解 题 的 关 键 是 理 解 题 意，灵 活 运 用 三

44、角 形 的 内 心 的 性 质 解 决 问 题，属 于 中 考 压 轴 题.8.(2021 柳 南 区 校 级 模 拟)如 图，AB 是 的 直 径，点 C 是。上 一 点，过 点 C 作 弦 COL A 8 于 E,点 F 是 俞 上 一 点，A F 交 C D 于 点 H,过 点 F 作 一 条 直 线 交 的 延 长 线 于 M,交 的 延 长 线 于 G,HM=FM.(1)求 证：M G 是。的 切 线；(2)若 AC MG,试 探 究 H F,例 尸 之 间 的 关 系，并 说 明 理 由；(3)在(2)的 条 件 下，若 tanG=t A H=2,求 O G 的 长.【考 点】圆

45、的 综 合 题.【专 题】综 合 题；与 圆 有 关 的 位 置 关 系；与 圆 有 关 的 计 算；推 理 能 力；应 用 意 识.【分 析】(1)连 接 O F,由 N H 4E+/A H E=90可 得/0 布+NMFH=90,从 而 可 证 MG是。的 切 线；(2)连 接。尸，证 明 H F D sa H M F,可 得 HF2=HD HM,从 而 可 得 H=H D,FM；(3)连 接 OC、O F,设 CE=4/M,贝 ijAE=3m,AC=CH=5m,HE=m,Rt/XAEH 中 用 勾 股 定 理 列 方 程 求 出 m,再 在 R tA C O f中 求 出 半 径，最 后

46、 在 RtAOFG中 求 出 0G.【解 答】解：(1)证 明：连 接 O R 如 图：CD LAB,：.ZAEH=90,NHAE+NAHE=90,：OA=OF,HM=FM,：.4 HAE=ZOFA,NMFH=NMHF=NAHE,：.ZOFA+ZMFH=90,即 NO尸 M=90,：.OFMG,；.MG是。的 切 线；(2)HF2=HD F M,理 由 如 下:连 接 O F,如 图:MG,NHFM=NFAC,u：ZFAC=ZFDC,:./H FM=N FD C,又 4D H F=/FH M,:.HFDS HMF,.里 即 HF2=HD HM,H M HF；HM=FM,H尸 2=F M；(3)

47、连 接 OC、O F,如 图：:C M G,:/G=N E A C,:tanG=,3tan Z E A C=,3设 C E=4 m,则 A E=3机，A C=5机，；FM=MH,：.Z M F H=N M H F=/AHC,:NCHMG,：.Z M F H=Z C A Hf：.ZCAH=ZAHC,.CH=AC=5mr:.HE=CH-CE=m,RtZXAE/中，AE1+HE1=A H29 A H=29/.（3/w）2+/n2=22,解 得 或 6=-R JJL（舍 去），_ 5 5。七=4?=生 电,A E=3m=3/电,5 5 _设。半 径 为 h W J OE=O A-AE=r-,5RtZX

48、COE 中，。F+金:。.（r-3 V 1 0）2+（省 2=凡 解 得=包 叵，5 5 6：.0F=5-,6.MG是。的 切 线，：.NOFG=90,OFG 中，tanG=匹，3.sinG=A,即 曰!=_,5 OG 55V10.-6-4fOG 5：.OG=2 5V jO.24【点 评】本 题 考 查 圆 切 线 判 定、圆 中 的 相 似 三 角 形、圆 中 的 有 关 计 算 及 三 角 函 数 等 知 识,解 题 的 关 键 是 求 出 圆 的 半 径.9.（2021 遵 义 二 模）新 定 义：有 一 组 邻 边 相 等 且 对 角 互 补 的 四 边 形 叫 做 等 补 四 边 形

49、.如 图 1,在 四 边 形 4BC 中，AD=CD,ZBAD+ZBCD=S0a,则 四 边 形 ABC。是 一 个 等 补 四 边 形.在 数 学 活 动 课 上，巧 巧 小 组 对 等 补 四 边 形 A 8C D进 一 步 探 究，发 现 8 0 平 分/ABC.(1)巧 巧 小 组 提 供 的 解 题 思 路 是：如 图 2,过 点 D 分 别 作 DE BC于 E,D F L B A 交 BA的 延 长 线 于 F,通 过 证 明 AOF丝 M D F=D E,再 根 据“角 的 内 部 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 的 点 在 角 的 平 分 线 上”得 到 B D 平

50、分/ABC.请 你 写 出 巧 巧 小 组 的 完 整 证 明 过 程;(2)如 图 3,在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 A、8 在 x轴 上，以 A8 为 直 径 的 交 y 轴 于 点 C、。，点 P 为 弧 BC 上 一 动 点(不 与 B、C 重 合)，求 证：四 边 形 ACPZ)始 终 是 一 个 等 补 四 边 形；(3)在(2)的 条 件 下，如 图 4,已 知 A(-1,0),B(3,0),巧 巧 小 组 提 出 了 一 个 问 题:连 接 以，PC+PO与 出 的 比 值 是 否 会 随 着 点 尸 的 移 动 而 变 化？若 不 变 化，请 求 出 其 比 值；若