新高考数学你真的掌握了吗——立体几何与概率统计.pdf

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1、目录第1章空间证明和计算.11.1几何法.11.1.1平行与垂直.111.2线线角.61.1.3线面角.91.1.4二面角.111.1.5点到面的距离.161.2向量法.181.21常规建系.201.2.2非常规建系.281.2.3向量支架模型.33第1章变式参考答案.35第2章空间模型.432.1点线面的位置关系.442.11线线关系.,4421.2线面关系与面面关系.4522四面体.492.2.1补形（）.4922.2顶点在底面的射影.532.23四面体的构成.552.3最值问题（）.562.4翻折问题（）.632.5翻折问题（二）.6826截面问题.732.7反射问题.81第2章变式参考

2、答案.93第3章球.1013.1球的截面.101翱高为缝学r呻吨蕊凸剧褪丫酷?立体几何与概率统计埔32外接球.3.2.1球心确定（）.3.2.2补形（二）.3.2.3球心确定（二）.3.2.4球心确定（三）.3.2.5截体法.32.6最值问题（二）.3.3内切球.第3章变式参考答案.第4章统计.4.1抽样.4.2数字特征.4.3统计图表.4.3.1频率分布.4.3.2数字特征.44回归直线.44.1线性回归方程.4.4.2非线性回归方程.第4章变式参考答案.第5章排列组合.5.1排列数与组合数.5.2分类与分步.5.3排列组合数学模型.5.3.1特殊分析.5.3.2重复问题.5.3.3定序问题

3、.5.3.4差异分组.5.3.5无差异分组.,5.3.6排除法.5.a7相邻与不相邻.5.3.8染色问题.5.4二项式定理.54.1二项式定理的通项公式.5.4.2二项式系数之和与系数之和.第5章变式参考答案.104.。104.106。.110.117.126.128.。135.143.。.。.147.。.147.150.156.156.。.。.。.158.165.166.174.176.。181.181.182.183.。.184.187.190.191.193.。.。.195.。.197.201.。.。205.205,.206.209p0枷上 片蹿 第6章概率.,6.1随机事件的概率.6.

4、2古典概型.6.3几何概型.6.4独立性.6.5条件概率.6.6离散型随机变量及其数字特征.6.6.1随机变量的基本概念与性质.6.6.2随机变量的数字特征.6.6.3数字特征的本质.6.6.4数字特征的应用.6.7常见三大分布.6.7.1二项分布.6.72超几何分布.6.73正态分布.6.8决策型问题.6.8.1以概率为依据.,.。.215.215.。.216。.。.222.228。.234.。.236.236.238.242.247.248.248,.,250归.。.。253.257。.258.261.263.265.268pGp6.8.2以期望为依据.6.8.3递推型概率问题6.84独立

5、性检验.第6章变式参考答案.pG勒（第丁董第章空间证明和计算-呻啼唾雹吨诞涎“延、也己地唾几何法11几何法就是利用空间中点、线、面的基本概念对空间关系的逻辑论证要求我们具有定的空间想象能力和逻辑推理能力但由于空间向量法的引入让很多同学抛弃了几何法从而也使同学们失去了立体几何空间想象能力的培养过程这当然是命题专家所不想看到的所以最近几年的高考题尤其是选择题和填空题加强了对这方面能力的考查因此需要同学们具有很强的空间想象能力和逻辑推理能力平行与垂直1.1.1在空间中平行关系主要包含线线平行、线面平行以及面面平行在证明问题中考查的重点是线面平行和面面平行其做法通常是转化为线线平行【知识点1.1】线面

6、平行与面面平行的判定定理（1）平面外条直线与此平面内的条直线平行则该直线与此平面平行（2）一个平面内的两条相交直线都与另个平面平行则这两个平面平行【例1.1】（2019全国I理18（I）如图11所示直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形AA14AB2乙BAD60。）EMIV分别是BCBB1A1D的中点证明:MV平面C1DED1D（饥B沃）MBA1A1JJCC二二L4AB图12B图11解析如图2所示连接MEB1o因为ME分别为凸BBC的中点所以ME垒B1C。1又因为为A1D的中点）所以D回A1D。由题设可知B1C上A1D故ME上IVD即四翱葛考绎学姆冯?立体u口J与概率统计边形MVDE为平

7、行四边形因此MIVED又因为M亿平面EDC1EDc平面EDC1所以综-一一一-一o合（DO可得M平面EDC1证明线面平行常用的手段是构造平行四边形而平行四边形的构造大多是借助三角形的中位线因此同学们需要特别留意题干中或明显、或隐晦的有关中点的信息【例1.2】（2018天津理17（I）如图13所示ADBC且AD2BCADLCDEGAD且EGADCDFG且CD2FGDG上平面ABCDDADCDG2若M为CF的中点lV为EG的中点求证:MV平面CDEGFGFV一一一一一一夕卜己EEM三CCBAA图13图14【解析】如图14所示过点F作FHDC垂足为H分别取EDCH的中点为SK连接VSMKSK因为VS

8、分别为EGED的中点所以S上1DGMK分别为FCCH的中点2所以MK么1FH又GD上FH所以S上MK即四边形VSKM为平行四边形）故MSK2一又因为f亿王面ED9KC预EDq综合o可得M平面EDo.【例1.3】（2013江苏16（I）如图15所示在三棱锥SABC中ASAB过A作AF上SB垂足为F）点EG分别是棱SASC的中点求证:平面EFG平面ABC【解析】因为ASAB且AF上SB所以F为SB的中点又因为EG分别是棱SASC的中点所以EFAB-EGAC又因为ABc平面ABCEF亿平面ABC所以综-一、尸o合o可知里王匹旦S4Cc平面ABCEG亿r面ABg一廷o所以综合可知EG平面ABCo又因为

9、哩旦乌旦二旦）所以综合o可知平面EFG平o面ABCbCAB图15嚏镶瓣螺繁瓣撼撼毯i:寸;第章旱护蹿翻疆很多问题反其道而行之即已知线面平行或者面面平行证明线线平行对于这类题型）同学们往往需要掌握线面平行或者面面平行的性质定理【知识点1.2】线面平行与面面平行的性质定理（1）条直线与个平面平行则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线平行（3）如果两个平面平行,那么其中个平面内的任意条直线与另个平面平行下面我们通过例子来说明线面平行的性质定理面面平行的性质定理类似【例1.4】（2014安徽文19（I）如图16所示四棱锥P-ABCD的底

10、面是边长为8的正方形点GEFH分别是棱PBABCDPC上共面的四点BC平面GEFH证明:GHEF【解析】因为BC平面GEFHBCc平面PB且巴于面PBC平回GEFHGg所以综合O可知GHBC。-又因为GH亿平面ABCD所以综合可知GH平面ABCD、注意到王面ABCD顽GEFHEF故结合可得OHEF.PC4儿回目证明线面平行时若构造平行四边形比较复杂则可以通过构造面面平行来证线面平行【例1.5】（2018天津理17（I）如图17所示ADBC且AD2BCAD上CDEGAD且EGADCDFG且CD2FDG上平面ABCDDADCDG2若M为CF的中点为EG的中点求证M平面CDE【解析】如图17所示取G

11、D的中点H连接HMH因为VHM分别是GEGDFC的中点所以有VHED-MHCD又因为EDc平面CDEVH亿平面CDE所以一一一o综合可得H平面CDE;因为CDc平面CDE一oMH亿平面CDE所以综合可得MH平面CDE又因、巴o为JH哩Hq所以综合O可知预MM平面CD弓.o又因为MVc平面MVH所以综合OO可知MV平面CDE。-oGFECA图17酗豺高考绦学泌J坞?立体几何与率统计概【变式1.5.1】（2014北京理17（I）如图18所示正方形AMDE的边长为2BC分别为AMMD的中点在五棱锥P-ABCDE中F为棱PE的中点平面ABF与棱PDPC分别交于点GH求证:ABFGP匪G剪二DCABM图

12、18【变式1.5.2】（2018江苏理15（I）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AA1ABAB1上B1C1求证:AB平面A1B1C在空间中垂直关系主要包含了线线垂直、线面垂直以及面面垂直而线面垂直与面面垂直都需要先证明线线垂直【知识点1.3】线面垂直与面面垂直的判定定理（1）条直线与个平面内的两条相交直线都垂直则该直线与此平面垂直（2）个平面过另一个平面的条垂线则这两个平面垂直。以上两个知识点分别是判定线面垂直与面面垂直的依据。【例1.6】（2018全国理20（I）如图1-9所示在三棱锥PABC中ABBC2PAPBPCAC4,O为AC的中点证明:PO上平面ABCPP4C4CR图19B图

13、110【解析】在等边APC中因为O为AC的中点所以乙旦士9且四二兰国.连接BO如图110所示在等腰三角形ABC中因为ABBC2AC4所以BO上AC且BO2在嚏鳃章建直膛明燕赡POB中埋二么结合）可得PB2PO2BO2即坦旦士g互。又由4旦旦9旦二9所以结合c）可知PO平面ABC证明线面垂直问题严格按照判定定理基本上都可以得到证明但我们也经常看到考查线线垂直证明的背后就是在证明线面垂直,具体见下例:【例1.7】（2011新课标理18（I）如图111所示四棱锥P-ABCD中底面ABCD为平行四边形么DAB60AB2ADPD底面ABCD证明:PALBD【解析】因为乙DAB60。AB2AD在ABD中由

14、余弦定理可得BD习AD从而可得BD2AD2AB2故BD上AD又PD止底面ABCDBDc底面ABCD可得旦旦士旦旦因为d旦写旦二旦所以结合可知BD上o平面PAD故PA儿BD卫么且卫夕）卜!入卫工卫-人上卫CAB图111接下来我们来看面面垂直的证明这类问题绝大多数情形也是在证明线面垂直如下例:【例1.8】（2016江苏理16（）如图112所示在直三棱柱ABC-A1B1C1中DE分别为ABBC的中点点F在侧棱B1B上且B1D上A1FA1C1LA1B1求证:平面B1DE平面A1C1F【解析】因为AA1上A1C1A1C1上A1B1A1B1AA1A1皂）所以由o可知c1上迅ABBA.因为B1DC囤ABBA

15、所以由可得A1C1上B1D因为B1D上A1F且A1C1A1FA1-oo所以结合O可知B1D上平面A1C1F又因为B1Dc平面B1DE飞飞o所以结合O可知平面B1DE上平面A1C1F。qAB1FBAD图112从例1.8的解析可知）要证明面面垂直必须先证明线面垂直再说明面面垂直但在面面垂直问题中如果条件中给出面面垂直那么需要用到面面垂直的性质定理。【知识点14】线面垂直与面面垂直的性质定理:（1）垂直于同个平面的两条直线平行（2）若两个平面垂直则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直勤翱高考墨学丫吗7立体几间与概率统计箭桩ABCD所在的平面与半圆平面BMC。【例1.9】（2018全国理19（I）如

16、图113所示边长为2的正方形弧6D所在平面垂直M是6D上异于CD的点证明:平面AMD上【解析】因为正方形ABCD所在的平面与半圆弧6D所在的平面垂直交线为CD且BC上CD所以BC垂直于平面DMC因此匹三么又因为旦4土494旦卫匹二9所以综合）可知PM垂直于平面MBCo因为DMC平面AMQ所以结合可知平面AMD上平面AC图113BMC。【变式1.9.1】（2019全国理19（I）图114是由矩形ADEBRtABC和菱形BFGC组成的个平面图形其中AB1BEBF2乙FBC60。将其沿ABBC折起使得BE与BF重合连结DG如图115所示证明:图115中的AGD四点共面且平面ABC上平面BCGEDAD

17、GE（乃E舅ACFG图114B图115【变式1.9.2】（2017全国I理18（I）如图1-16所示在四棱锥PABCD中ABCD且乙BAP乙CDP90。证明:平面PAB上平面PADPCAB图1161.1.2线线角线线角般都是两异面直线所形成的角何为异面直线呢?通俗地讲就是不同在任何个平面内的两条直线既然不在个平面内那么如何找出这两条异面直线所成的角呢?平移!但需要特别注意的是教材中规定异面直线所成的角只能为锐角或直角噬.第!熏窒间证明租蹦舅【例1.1O】（2018全国文9）在正方体ABCDA1B1C1D1中）E为棱CC1的中点则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）2O亚2D亚A.业2B业2D

18、【解析】如图117所示因为ABCD所以异面直线AE与CD所成的角为乙EAB设AB2因为E为棱CC1的中点所以厘c-lEE佣因此酗B器夸敬选C.（】凰A16一f直接平移条直线就可以得到异面直线所成的角是我们所期望的但有时需要将两条异面直线同时平移当然平移并不是随意的往往都是寻找线段的中点利用三角形的中位线性质来形成异面直线的夹角如下例:A2B图117【例1.11】（2015浙江理13）如图118所示三棱锥A-BCD中ABACBDCD3ADBC2点M分别是AD,BC的中点则异面直线A,CM所成的角的余弦值是。【解析】如图119所示在等腰三角形ABC中由AB3BV1和勾股定理可得AV2AB2B2,即

19、A2同理可得CM2面AABDDBCC图119图118要求异面直线AVCM所成角的余弦值首先需要作出它们的夹角连接D取DV的中点E连接MECE由三角形的中位线可知乙EMC为异面直线AIVCM所成的角或其补角然后我们需要求出EMC的各边边长其中EM1A在等腰三角形BCD中由2DC3CV1和勾股定理可得D2DC2-CV2即DV2因此ECVE2CV25在MEC中由余弦定理可得MC2EM2CE282-3叮cos乙EMC归丙么2.MC.ME叮可则异面直线ANCM所成角的余弦值是盲故填亩.绝大多数异面直线的夹角可以通过平移来实现平移法的基本步骤总结如下勤豺高为缝学葛考墨孝冯罚立您n何与概率统讨【方法总结L1

20、】平移法求异面直线所成角的基本步骤:第步:根据平行定义作平行线（大多数是中位线）作出异面直线所成的角第二步:用解三角形求出角如果求出的角是锐角或直角）则它就是要求的角）如果求出的角是钝角则它的补角才是要求的角。通过中位线或平行四边形作平行直线是平移法最常用的手段但并不唯比如下面的高考题就是通过面面平行的性质定理对直线进行平移【例1.12】（2016全国I文理11）平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A平面CB1D1平面ABCDm平面ABB1A1冗则门所成角的正弦值为（）B匹O四A.业1D-2232【分析】本题如果试着寻找和则会掉入命题人设的陷饼只要深刻理解到异面直线所形成的夹角等于它们

21、平行线所形成的夹角则问题就会迎刃而解。对本题而言）我们需要利用面面平行的性质定理即如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线平行【解析】如图12（）所示设平面CB1D1平面ABCD么平面ABCD平面A1B1C1D1h又平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D12o所以综合O可得B1D1又因为平面ABCD几一、尸o平面CB1D1所以综合可得综合可、得B1D1同理可得CD1则冗所成的角即为B1D1与CD1所成的角由于D1B1C为等边三角形）所以加,所成的角为60。故选AD1Cl、M峦夕、打-夕夕CBA图120【变式1.12.1】（2012大纲文16）已知正方体ABCDA1B1C1D1的中点

22、那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为中EF分别为BB1CC1【变式1.12.2】（2011大纲文15）已知正万体ABCD-A1B1C1D1中E为C1D1的中点则异面直线AE与BC所成角的余弦值为。噬空间湿酿捶蹿什0第章1L3线面角线面角指的是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角通常是解由斜线段、垂线段和斜线在平面内的射影所组成的直角三角形垂线段是其中最重要的元素与异面直线类似敦材中规定线面角的取值范闹为0苦;其中线面角为0表示直线平行于平面或直线在平面内【例1.13】（2013大纲文11）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AA12AB则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）AB鱼O

23、四D123333【解析】不妨设AB1）则AA12要求CD与平D（l面BDC1所成角关键在于过点C作面BDC1的垂线垂足落在面BDC1的具体位置是需要确定的如图121所示不妨取BD的中点设为O则匹士旦旦连接C1O因为BDC1为等腰三角形故BD上OC1因为OCOC1O所以综合O可知BD平面OCC1。作CE上OC1垂足为点E综合可知CE上、平面BDC1根据题意可知乙CDE为CD与平面BDC1所成的角因为oEC与oCC柑似可得蛊器-解得oE23,则鼠m么oDE-器-;故选A.B1!A1C4B图121线面角常常会出现在解答题中虽然找出线面角尤为重要但作为解答题的书写过程也不能被忽视具体见下面的例子:【例

24、1.14】（2019浙江19）如图122所示已知三棱柱ABCA1B1C1平面A1ACC1上平面ABC乙ABC90乙BAC30。A1AA1CAEF分别是ACA1B1的中点（I）证明:EF上BC;（）求EF与平面A1BC所成角的余弦值A1A1CG144B图123因为A1AA1C且E为AC的中点所以A1E上AC又B图122【解析】（I）如图123所示连接A1E）勤一夕于汁虾D翱禹为墨学握丫遥2立体几间与概率统讨因为平面A1ACC1儿平面ABCA1Ec平面A1ACC1平面A1ACC1平面ABCAC所以综合丁一O可得A1E上平面ABC则A1E上BC又因为A1FAB乙ABC90。所以BC上A1F且-一oA

25、1EA1FA1A1Ec平面A1EFA1Fc平面A1EF因此综合OO可知BC上平面A1EF故、oEF上BC（）取BC的中点为M连接EMMF则EMFA1为平行四边形因为A1E上平面ABC故A1E上EM所以EMFA1为矩形由于EF上BC所以BC上平面EMFA1）则平面A1BC上平面EMFA1故EF在平面A1BC上的射影在直线A1M上连接A1M交EF于点O则乙EOM是直线EF与平面A1BC所成的角或其补角如图123所示设AC2则在直角A1EM中A1E5EM罕可得AM罕阔毗oE-oM-罕战由余弦定啊知cos乙MOEOM2OE2-EM232.OM.OE5因此EF与平面Bo所成闹的余弦值为:.从例1.13可

26、知求线面角可以转化为求斜线段长与垂线段长但有些题在直接求点面距离或者高的时候是非常困难的因此又常常采用三棱锥等体积法来求高如下例:【例1.15】（2010全国文8）已知三棱锥S-ABC中底面ABC为边长等于2的等边三角形SA底面ABCSA3那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）B匝A卫3O亚D4444【解析】如图124所示过点A作AO上平面SBC垂足为O连接BO则么ABO为直线AB与平面SBC所成的角设AOh因为S-ABC的体积为赡-MsS侗刘乙丙B41而sBc面.SsBc又因为SBSC回面干5百T习,所以图124cos么CSBSC2SB2-BC211!2.SC.SB13sin乙CSB哑

27、SsBc2习13得丽3sBc选故蛔所以hsin乙ABOSSBC煎其P吨呻n第章窒间证明秘fi霉【变式1.15.1】（2018全国I理18（）如图125所示四边形ABCD为正方形EF分别为ADBC的中点以DF为折痕把DFC折起使点C到达点P的位置且PF上BF平面PEF平面ABFD求DP与平面ABFD所成角的正弦值。P-了CE乙FAB图125【变式1.15.2】（2017浙江理19（）如图126所示已知四棱锥PABCDPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形BCADCD上AD）PCAD2DC2CBE为PD的中点求直线CE与平面PBC所成角的正弦值PEADBC图1261.1.4二面角首先本小节内容对文科

28、生不作要求然后对理科生来说二面角问题是空间角问题中出题频率最高的考查模式大致有两类:类是求二面角的大小（或其正弦值、余弦值、正切值）;另类是已知二面角的大小）求相关的量或者参数值（如体积、长度、直线与平面所成角等）【知识点1.5】以二面角的棱上任意点为顶点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线则两条射线所成角为二面角的平面角与二面角相关的个概念是平面角即两个相交平面所形成的夹角教材中就规定:两平面的夹角的范围是0晋.注意二面角是由两个半平面构成的角且夹角的范围是0厕。【例1.16】（2019全国卷理19）图127是由矩形ABEDRtABC和菱形BFGC组成的个平面图形其中AB1BEBF2乙FBC6

29、0。将其沿ABBC折起使得BE与BF重合连结D如图128所示互勤让统率鳃回贴体皿夯广吼呜丫学绎考高新（I）证明:平面ABC平面BCGE;（）求图128中的二面角B-CGA的大小DGADE（F）E厕ACGF图127B图128【解析】（I）如图127所示因为d旦士且旦哩士旦9将图127翻折到图128时垂直保持不变且旦旦卫且旦二旦所o以综合可知AB上平面BCGE又因为ABc平面ABC、一兰巴GAB（图129所以综合O可知平面ABC上平面BCGE（）如图129所示在平面BCGE内过点C作CG的垂线交BE于H因为四边形BFGC是菱形且乙EBC60。所以乙BCH120。90。30。因此旦且士旦旦且H是BE

30、的中点。取AD的中点Q连接QH由得QH上BE故综合可得BE上平面QHC因为GCBE所以GC上平面QHC得GC上QC）即乙HCQ就是我们要找的二面角的平面角在RtQHC中QH-ABlHCB旷-调QcH器-夸所以二面角B-CGA的大小是30只有少数高考题能像例1.16一样直接在棱上作垂线就能得到可求解的二面角多数高考题都是用三垂线法找二面角【知识点1.6】三垂线定理及逆定理:如图130所示若斜线OB在平面上的射影为ABc则AB会OB上!O图130图131所示二面角的平面角为锐角图132所示二面角的平面角为钝角。用三垂线找平面角的过程如下缠直）!霞撼日日蔗碟!舔一筐慰第毫E印凸和（1）如图133或图

31、134所示在平面上找点A作AB上垂足为B;（2）过点B作BC上垂足为C;（3）连接AC则么ACB为二面角-的平面角（见图133）或-的平面角的补角（见图134）陶图132图131图133图134【例1.17】（2018北京理16）如图135所示在三棱柱ABCA1B1C1中CC1上平面ABCDEFG分别为AA1ACA1C1）BB1的中点ABBC5）ACAA12求二面角BCDC1的余弦值。【解析】因为A1A上平面ABC所以AA1上BE。又因为ABBC且E为AC中点所以旦旦9即BE上平面ACC1A1.过E作EH上DC垂足为H则乙EHB就是所求二面角的平面角的补角如图l36所示.注意到囱CHDCA因此

32、器器即EHADCE1;CD而且B圆A踩蛔,-2B挝窗H,鲁3敞二面霜鹰cDC的余镐值沟cos乙EHB皿皿:BH21qA1A1B1B】。DDGGAAB曰图135图136二勤、丁旧统率概与回几呻矗甲。噎丫踌丁握墨考离翻【例1.18】（2010全国I理19）如图137所示直三棱柱ABC-A1B1C1中）ACBCAA1ABD为BB1的中点设异面直线AB1与CD的夹角为45求二面角A1-AC1B1的正切值【解析】如图138所示取AB的中点为G连接GC）GD因为ACBC所以CG上平面AA1B1B即旦旦士旦旦又因为D为BB1中点所以DGAB1故乙CDG为异面直线AB1与CD所成的角即些旦旦二丝不妨设AB2则

33、AB12回故综合可知CGD是等腰直角三角形即CG-DGAB-,可推得AC-CG粤AG掣-侗.qqCCMDMDB BBBG G4AA1A1图137作B1M上A1C1M为垂足因为图138所以综合可得B1M上平面平面AA1C1C底面A1B1C1上苹AA1C1C又作MV上AC1为垂足连接B1可知乙B1VM为二面角A1-AC1B1的平面角首先在A1B1C1中由等面积法可得A1B1.CG26s-古八!BM-古ABCGBM-A13:然后在B1C1M中可得C1MB1CfB1M2亚.3最后由了c1v与CM判相似由州似比川得摆器,又网为AC1Alo:半则tNM-器故三面角AqB1的CG2A1O27故M正切值为求二

34、面角还有种方法垂面法【知识点1.7】作与棱垂直的平面该垂面与二面角两半平面相交则交线所成的角为二面角的平面角。【例1.19】（2018全国理19（）如图139所示边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧6D所在平面垂直M是6D上异于CD的点当三棱锥MABC体积最大时求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值【解析】如图140所示因为ABC的面积为定值所以当M位于弧6D的中点时体积最大此时MDMC。不妨设DCAB的中点分别为OE所以4旦土旦9匹士旦9瞳,）罐0瓣!墩辩慧毯窒间i第章综合可知pc上乎面Mo且。因为ABcD所以AB上平面MoE又ABc平面ABcD所以综合可得王面MA鸟平面MO旦综合

35、平面MDC上平面MO旦而王面MA旦吐凹MOEM旦巴-o平面MAB平面MOEM弓所以综合O可知乙EMO为所求二面角的平面角。岂oMMD二D二C刁刁:jCA4BEB图140图139因为王面ABC吧平面MC9于面ABCD玉面MCq二旦旦4旦土匹所以综合O可知oAD上平面MCD即AD上DM又因为ADOE2DM在RtADM中AM22226在RtMAE中MEAM2-AE26丁5所以sin乙EMO旦旦兰ME5厂-255【变式1.19.1】（2019全国理17）如图141所示长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形点E在棱AA1上BE上EC1（I）证明:BE平面EB1C1;（）若AEA1E求二面

36、角B-ECC1的正弦值D1OA1 ECD D DBA图141勤翱高为缝学立体则闸与概率统计呜?【变式L19.2】（2016浙江理17（）如图142所示三棱台ABC-DEF中已知平面BCFEL平面ABC三ACB90。BEEFFC1BC2AC3（I）求证:BF上平面ACFD;（II）求二面角B-ADF的平面角的余弦值FCAB图142到面的距离占0001.1.5前面几节处理的都是夹角问题本节我们学习距离问题高考中的距离问题以点到平面的距离为主而且它往往与体积问题结合在起【例1.2O】（2014新课标文7）正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2）侧棱长为5D为BC中点则三棱锥A-B1DC1的体积为

37、（）。B.iD亚2O1A.32【解析】如图143所示由于三棱柱为正三棱柱可知A1底面为等边三角形。因为D为BC中点所以AD上BC1Cl故AD上平面B1DC1首先SB1Dc1255;然后点A到B1D的距离为AD2罕5.故-ADs-侗侗-1故选C.CB1B图143不是所有的锥体的体积都可以直接求出来遇到体积不好求的题型该怎么办呢?转化!【例1.21】（2013安徽文18）如图144所示四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形么BAD60。已知PBPD2PA6（I）证明:PCBD;（）若E为pA的中点求三棱锥P-BCE的体积。PPCCAAB图145B图144幢直;罐第章【解析】（I）连接BDAC交于

38、O点如图145所示因为PBPD所以乙旦士旦旦。又因为四边形ABCD为菱形所以旦旦土g且业旦旦二9综合可得BD上平面PAC又因为oPCc平面PAC所以BD上PC（）由第（I）问可知DB上平面PAC且平面PAC与平面PEC重合因此DB止平面PEC故此时可以将求三棱锥P-BCE的体积转化为求三棱锥BPEC的体积即1IPBEcVbpEcJ.SpEc.OB（11.1）接下来只需求PEC的面积和BO即可。因为在RtAOB中有AB2,乙BAO30。BO1（1.1.2）在RtPOB中可求得POPB2DO面习。又因为E为PA的中点所以111s-豆s可可POAO-2（LL3）将式（LL2）和式（LL3）代入式（1

39、Ll）可得二棱锥PBCE的体积为苛.诚如例1.21的解析那样直接求三棱锥的体积有困难需把三棱锥旋转寻找合适的顶点和底面来求体积此种求三棱锥体积的方法称为等体积法它在求锥体体积和点到平面距离的问题中往往起到事半功倍的效果【例1.22】如图146所示在直三棱柱ABC-A1B1C1中EF分别为A1C1）BC的中点C1F上ABABBCAA12（I）证明:C1F平面ABE;（）求三棱锥EABC1的体积【解析】（I）如图147所示设D为边AB的中点连接EDFD因为DF分别为ABBC的中点所以DF么1AC.又因为Eol结Ac所以Do即四边形E为平行四边形因2此C1FED又因为DEc平面ABEC1F亿平面AB

40、E所以C1F平面ABEB】BlAEA1Eqq八卢产产歪AAC【图146图147勤吼。吗丫渗盂握参赣考高翱立体几何与概率统计（）由第（I）问可知1（1.1.4）VbABC11ABEVFABEVhABF】.IbABC即问题转化为求E到平面ABC的距离和ABC的面积首先因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱所以E到平面ABC的距离为AA12然后在直三棱柱ABC-A1B1C1中CC1上AB因为C1F上AB所以AB上平面BCC1B1即AB上BC故ABC的面积为1s-ABBo-22-2（皿5）将式和式（11.5）代入到式（1.1.4）可得三棱锥E-ABC1的体积为1112-可汁AA1S-,:223【变式

41、1.22.1】（2015全国I文18）如图148所示四边形ABCD为菱形G为AC与BD交点BE上平面ABCD（I）求证:平面ACE上平面BED;（）若乙AEG-120.阅上Ec棱锥阿AoD的体积为乎求该三棱锥的侧面积.EACI图148【变式L22.2】（2016全国文19）如图149所示四棱锥PABCD中PA上平面ABCDADBCABADAC3PABC4M为线段AD上点AM2MDV为PC的中点（I）证明:MV平面PAB;p（）求四面体V-BCM的体积DBC图149法1.2向几何法的特点是计算量较小但是思维难度大接下来引入的向量法是通过建立空间直角坐标系将几何问题转化为代数问题其特点是计算量较大

42、思维难度较小需要强调的是向量法对文科生不作酶辩撼撼睡赣磷蹦n革蜘盈b跟日忽（F要求理科生必须掌握【知识点1.8】（1）线线角:设直线b的方向向量分别为b若两直线的夹角为0则.b冗司）冗（吕日c圃cus“0巴b匡u】.（2）线面角:设平面的法向量为门直线的方向向量为直线与平面所成的角为0则,-湍0;（3）二面角:设二面角-的大小为0平面的法向量为m平面的法向量为）则7707】0巨0冗cos0Cos（m）m.70与线线角或线面角不同的是二面角的取值范围为0冗因此其余弦值可正可负但是如果题中要求的是二面角的正弦值则此时无需判断其余弦值的符号又或者我们很容易观察出二面角是锐角或者钝角则此时也可以判断其

43、余弦值的符号现在的问题是如果既不是求二面角的正弦值又不容易观察出二面角是锐角还是钝角。怎么办呢?借助于向量的夹角!令二面角-（-为0两平面的法向量的夹角（m）为帜（1）如果两个法向量都指向二面角的内部如图150所示或都指向二面角的外部如图151所示此时二面角都为冗;7yl7l图151尸图（2）若其中个法向量指向二面角的内部另个指向二面角的外部如图152和图153所示此时二面角为帜帜0720呵凹尸图图152二面角和向量夹角的关系我们找到了但是新的问题又来了我们该怎么判断向量是指向平面的内勤翱高为缝学一?立体凡何与概率统计部还是外部呢?在上任取点A在上任取点B且B任如果涵0那么m定指向二面角的内部

44、如图154所示;如果耐0,那么m定指向二面角的外部如图155所示A7yl77l图154尸尸】上图【知识点1.9】（1）点到平面的距离:设A为空间中点B为平面上点且70为平面的涵们法向量则A到平面的距离（2）异面直线的距离:设AB和CD为空间中的异面直线且涵（）,而0则AB和耐CD的距离（,l利用向量法需要建立正确的空间直角坐标系并且会求相关点的坐标若几何体中存在两两垂直且交于点的三条直线如长方体、正方体这是我们最理想的几何体因为我们可以很容易建立空间直角坐标系常规建系1.2.1无论是几何法还是向量法几何体存在两两垂直且交于点的三条棱是最理想的【例1.23】（2020全国理19）如图156所示在

45、长方体ABCD-A1B1C1D1中点EF分别在棱DD1BB1上且2DEED1BF2FB1。若AB2AD1AA13求二面角A-EFA1的正弦值【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中以C1为原点分别以C1D1C1B1和C1C所在直线为仍轴、9轴和z轴建立如图157所示的空间直角坐标系因为AB2AD1AA132DEED1BF2FB1所以A（213）E（202）F（011）A1（210）则而（211）耐（0-11）一A1E（012）设平面AEF的个法向量为,o1（z191z1）则-2仍1U1-z10-91-z10罐区!廖.镊撼翻蕊BCBDADEFE么FB1B1p篮1D1A1图156阁157取z1

46、1解得911）z1-1得到1（11-1）设平面A1EF的个法向量为2（仍2!2z2）则取z21解得924）z22得到7Z2（142）故COS（17O2）设二面角AEFA1为0则sm0罕,即二面角AEFA的正弦值为埋【变式1.23.1】（2018全国理9）在长方体中ABCDA1B1C1D1中ABAA15则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）5B亚6O亚5D四A12BC1,如果几何体存在互相垂直的三条棱但是它们不交于点那么我们可以将它们平移到某顶点如下例勤计统率概与间几体卫甲吗丫譬丁狐缴罐去勺越高翱【例1.24】（2019北京理16改编）如图158所示在四棱锥P-ABCD中）PA上平面ABC

47、DdD儿cD,川DEC尸A-AD-CD-2Bc-3E为PD的巾点F在PO上目黑G佳PE上器-;判断直线AG趁否在平面AEF内说明埋由.【分析】判断直线AG是否在平面AEF内可以转化为求直线AG与平面AEF所成的角是否为0。【解析】根据题意可知PAAD和CD三条直线两两垂直但不交于点这时可以过A点作CD的平行线此时我们以点A为坐标原点所作的平行线为r轴AD和AP所在的直线分别为9轴和z轴,建立如图159所示的空间直角坐标系P9DBCBC护山图158图159易知（000）,P（00,2）C（220）D（020）B（210）曲可-而可得点殉坐标为（;）由丙而可得点标为（01l）庙器-;.侧而;歹百可

48、得点G的坐标为（;:）所以硒（;）耐-（;,苛）丽-（0!卜设平面AEF的法向量为m（泌）9z）则惠必仍丁票p巨令91解得z1奶1则m（11-1）设直线AG与平面AEF所成的角为0则sin0又因为点A巳平面AEF所以直线AG在平面AEF内如果几何体不存在三条棱两两垂直但是存在侧棱垂直于底面那么我们需要在底面上找到两条互相垂直的直线作为仍轴和9轴而垂直于底面的侧棱作为z轴【例1.25】（2016全国理19（）如图160所示四棱锥P-ABCD中PA上底面ABCDADBCABADAC3PABC4M为线段AD上点AM2MDV为PC的中点求直线A与平面PMV所成角的正弦值嚏-微信公众号-新课标试卷-江苏

49、高考群：699414599章空第【分析】本例中存在侧棱PA垂直于底面但是底面并没有互相垂直的棱因此需要在底面构造出两两垂直的直线因为底面中三角形ABC是等腰三角形故考虑取BC中点E此时AEBC【解析】因为ABAC所以取BC的中点为E连结AE可知AE上BC。又因为ADBC所以AEAD且AEAB2-BE25故我们以A为坐标原点AEAD和AP所在的直线分别为z轴、9轴和z轴建立如图161所示的空间直角坐标系由题意知P（004）M（020）C（520）（亨）测（芋哩）丽川鳃）,可（享,剪）耐P9DBBCZ图160图161设平面PMIV的法向量为（腿队z）;由丽上n;丽上可得票口擎f二藻令z1解得92z

50、0可得（0）21）设直线AV与平面PMV所成角为0则砸劝丽耐吕sin0即直线A与平面PMv所戚馏的正弦憾为等【例1.26】（2019全国I理18）如图162所示直四棱柱ABCDA1B1C1DAA14AB2乙BAD60。EM分别是BCBB1A1D的中点求二面角的正弦值的底面是菱形A-MA1zDlD1A队厉qGBA了.、厂延延CC万pA3AZB图162图163勤计统率概与间凡唾电尸眨、冗扩产上咀矽皿为穴呛丫哆子噬剁墨瓣上玄勺扣丸寻高卫蔚【解析】因为底面ABCD是菱形且么BAD60。可知CDBD。又BECE所以DE上BC以D为坐标原点）分别以DA）DE和DD1所在的直线为z轴、9轴和z轴建立如图16