圆锥曲线（女生版）.pdf

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1、编者：孙斌编者：孙斌策划编辑：孙斌策划编辑：孙斌封面设计：孙斌封面设计：孙斌-1 1-前言前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂结论。本书筛选了结论。本书筛选了 2010-20182010-2018 年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生编者尽可能的将本书

2、压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非主，部分内容借鉴了网上公开

3、的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。致讲解，请同学们依据课本自行完善。由于本书是编者一人收集整理完成，如有疏漏与错误，还请包涵与指正。由于本书是编者一人收集整理完成，如有疏漏与错误，还请包涵与指正。-2 2-目录目录第一章第一章 题目信息转化为坐标表达题目信息转化为坐标表达/4/41.1 距离公式与弦长公式/51.2 题目核心条件转化为坐标/101.3 转化为坐标后，怎么处理/16第二章第二章 获得点的坐标解决问题获得点

4、的坐标解决问题/23/232.1 通过表示点的坐标解决问题/242.2 怎么获取点的坐标/262.3 设点与设直线结合起来/37第三章第三章 定点定值定点定值/41/413.1 什么样的直线过定点/423.2 怎么解决直线过定点/433.3 圆过定点与定值举例/48第四章优化计算第四章优化计算/50/504.1 反设直线/514.2 简化运算的技巧/53第五章第五章 面积与最值面积与最值/56/565.1 三角形的面积表达/575.2 求最值之变量化一/635.3 求最值之均值不等式/645.4 求最值之借助导数/68第六章第六章 切线切线/70/70-3 3-第七章第七章 轨迹方程轨迹方程/

5、77/77第八章第八章 借助几何分析解决问题借助几何分析解决问题/82/82第九章第九章 探索类问题探索类问题/98/98第十章第十章 对称问题对称问题/104/104第十一章第十一章 弦中点与点差法弦中点与点差法/109/109-4 4-第一章第一章 题目信息转化为坐标表达题目信息转化为坐标表达总思路：总思路：题目中核题目中核心信息心信息可使用韦可使用韦达定理的达定理的形式形式坐标表达坐标表达式式联立直线联立直线与曲线与曲线例：例：过定点求证且交于与直线抛物线AB,42OBOABAlxy).,(),(,2211yxByxAmkxyAB为：设直线OBOA 044212221yyyy02121y

6、yxx1621yy044422mykyxymkxy联立)0,4()4(4416421直线过代入到直线方程xkkkxykmkmyy首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：0)(2)(1222222222222bmaxkmaxkabmkxybyax联立得拿椭圆来说：-5 5-22222221222221)(,2kabbmaxxkabkmaxx而韦达定理可以观察到：第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的mkba,22这些参数有关。而我们题目中往往会要求我们求这些参数或者参数的范围。第二，题目中核心条件往往可以转化为与2121,yyxx有关的坐标形

7、式。总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们第一章的所有题的总思路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最后使用韦达定理。1.11.1 距离公式与弦长公式距离公式与弦长公式一，距离公式一，距离公式假设假设),(),(BBAAyxByxA，则，则BA,之间的距离：之间的距离：BAABBAABBABAyykxxkyyxxAB2222111)()(，1.1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率共计三个量即可表示距

8、离。共计三个量即可表示距离。2.2.如果如果 A A 与与 B B 是曲线上的两个点，那么上述式子称之为是曲线上的两个点，那么上述式子称之为弦长公式。弦长公式。3.3.弦长公式是万用的弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点只要是直线与曲线有两个交点 A,B.A,B.都可以用上述式子计算弦长。都可以用上述式子计算弦长。我们看下面两个例子：,21522两点与该椭圆相交于的直线且过点，斜率为的右焦点为例：椭圆BAlFFyxFBFA求息坐标化：解析：第一步：题目信),F(yxByx02),(),(A2211因为设-6 6-2211122xxxkFAFAFA所以2211222xxxkFBFBFB所

9、以4)(25225212121xxxxxxFBFA得与椭圆第二步：联立所得直线152222yxxy.2140,75211501540-2121212xxxxxx其中第三步：使用韦达定理4)(222121xxxxFBFA学会使用方法，答案略。的距离公式？使用关于的距离公式，我们能否于思考：解答使用的是关yxBFBABAFAAByyykFByyykFA211,21122答：2122yyyyFBFABA所以.0.,.,0:化，使得距离公式大幅简坐标为可以留心有没有纵这给我们的经验就是：保留去联立时只需要消得非常简洁距离公式的话，结果变的使用关于点的纵坐标是由于这里我们观察到yxyF的垂两点，与椭圆交

10、于的直线过右焦点江苏】知椭圆【ABBAlyx,F,12201522kABPCP,CABx，求已知于点和直平分线交2,2),1(),2,2(),(),(A21212211xkyAByyxxCAByxByx为设直线的中点为思路：设kkABPCPC1，所以因为22)1(122)1(112122122xxkxxkxxkPCCPPC-7 7-2122122111xxkxxkxxkABBA程了使用韦达定理代换的过与接下来的任务就是联立),1(1222xkyyx1k答案：对距离公式的理解：对距离公式的理解：不需要求解不需要求解 P P 点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐

11、标以及斜率即可。及斜率即可。二二.抛物线中的弦长公式抛物线中的弦长公式两点，的直线与抛物线交于过焦点已知抛物线BAFppxy,),0(22，那么设),(),(2211yxByxA2 221pxBFpxAFpxxBFAFAB21两点，的直线与抛物线交于过焦点已知抛物线BAFppyx,),0(22，那么设),(),(2211yxByxApyyAB21同理：注意：注意：1.1.如果直线过焦点如果直线过焦点 F F，则不必使用弦长公式，而是使用，则不必使用弦长公式，而是使用更快捷的焦半径公式。更快捷的焦半径公式。2.2.不要盲目使用不要盲目使用，直线不过焦点的话直线不过焦点的话，我们还是得乖乖我们还是

12、得乖乖的使用万能的弦长公式。的使用万能的弦长公式。ABBAxylM，求其中直线的斜率为两点交于与抛物线作直线例：过1,4)0,2(2ABBAxylM求其中直线的斜率为两点交于与抛物线作直线例：过点,1,4)0,1(2.,)0,1(4:2两点交于的直线与曲线，已知过点例：已知曲线BACxyC.111BFAF求证：-8 8-)0(1:4:20152222221babxayCFyxC也是椭圆的焦点湖南文】已知抛物线【2121,62CBAClFCC两点，与相交于与的直线过点的公共弦长为与的一个焦点，.,同向与两点，且相交于BDACDC;)1(2的方程求C.,)2(的斜率求直线若lBDAC).(等量加等

13、量，和相等帮忙，即提示：代数不行几何来CDABBDAC462189)1(22kxy）；（答案：建议记住的内容建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的你会发现节约大量运算时间的)：两点交于与直线设椭圆BAmkxybyax,12222二次项系数二次项系数则)(41)(4122222222222222mbakkabmkabbakAB.2的系数与椭圆联立后二次项系数指的是直线x三三.圆的弦长公式。圆的弦长公式。理与勾股定理来求解：圆的弦长可借助垂径定-9 9-.,ECDABOABABOERO交于点与直径的弦，为圆其中的半径为如图，圆222,dRABdOE则.的距离公式时，需要使用点到直线计算dBAa

14、yxCyax,4)()1(02)2014(22相交于的圆与圆心为已知直线重庆_aABC为等边三角形，则实数两点，且所以圆心到直线的所以等边，且圆的半径为思路：结合图像：.2.2ABABC.3距离为12202),1(2aadyaxa的距离到直线又圆心15431222aaa，解得所以两点，交于与直线焦点为陕西文】椭圆【BAmxylFFyx21:),(13420142122.,435,21的方程求直线两点，且满足为直径的圆交于与以lCDABDCFF-1010-满足点的左右焦点分别为天津文】椭圆【),(.,)0(12011212222baPFFbabyax212FFPF;)1(求椭圆的离心率相交与圆两

15、点，若直线与椭圆相交于设直线16)3()1(,)2(2222yxPFBAPF.,85,求椭圆的方程两点，且于ABMNNM1.21.2 题目核心条件怎么转化为坐标题目核心条件怎么转化为坐标圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关，那么具体如何转化为坐标表达，圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关，那么具体如何转化为坐标表达，下面举出常见的案例（缺失部分自己请同学们自行查阅回顾下面举出常见的案例（缺失部分自己请同学们自行查阅回顾）：的坐标表达式关于将下列问题换为为原点与某曲线相交，设已知直线21212211,),0,2(),(),(yyxxOMyxByxAAB怎么办？问：遇到OBOA.1答：002121yy

16、xxOBOA又答：怎么办？问：遇到MBMA.2答：怎么办？问：遇到MBAM2.3答：4.问：遇到怎么办？,MBMA 22222121)2()2(yxyx答：又答：三点共线，怎么办？问：MBA,.5-1111-222211xyxykkMBMA答：为锐角怎么办？问：遇到AMB.60MBMA答：共线，怎么办？与问：遇到MBOA.7答：BMAMABM2.8上，在直线问：答：01120112212ykyk（弦长公式）倍的面积的的面积等于2.9BOMAOM答：212 yy BMOAMO.1002202211xyxykkBMAM答：MAB的中垂线过点.1122222121)2()2(yxyxBMAM答：.1

17、000的方程等号成立代入直线，则的中点为又答：取ABMkkMABMMAB为直径的圆上在以点ABM.120MBMA答：为直径的圆内在以点ABM.130MBMA答：顶点为临边的平行四边形的是以OBOAM,.14答：TBTAyxByxAT三点共线，则),(),(),0,1(.15221121yy答：-1212-,cos,sin),(),(.1621212211xxAByyABAByxByxA，则的倾斜角为直线设ACACAIABABAIABCI的内心，则是若.1718.的垂心，则为若ABCH答：)3,3(),(),(),(.19321321332211yyyxxxABCyxCyxByxA的重心坐标则设

18、ONOQOQOMONQOQMyQxNM正切值相等轴上在点轴上在点,.20处的切线方程在),(2.21112yxApxypxpxyy11答：处的切线方程在),(2.22112yxApyx pypyxx11或答：求导数写切线方程AMBBCMBACMA求相切于点与圆相切于点与圆,.23也可尝试正切入手，半径答：,21MCsinAMBAMCAMCOAAMAMOAOMAOM中，.24BAMABMBMAMABsin,.25则中，设)(cos.26数量积与投影OBOBOAAOBOA可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表

19、示、三点共线共线、直线方程直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达，像垂直像垂直、平行平行、向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，可以把角度转化为长度表达可以把角度转化为长度表达.有时候还需要借助几何分析有时候还需要借助几何分析:如初中三角函数定义，如初中三角函数定义，-1313-相似三角形，圆的相关几何定理，平行四边形的性质等。相似三角形，圆的相关几何定理，平行四边形的性质等。轴正半轴的交点，若是椭圆于两点，于交椭圆例：已知直线yBNMyxl,805

20、422_的方程为焦点，则直线的重心恰好为椭圆的右lBMN交于与圆的直线且斜率为新课标文】已知过点【1)3()2(:)1,0(201522yxClkA.,两点NM的取值范围求k)1(MNOONOM为坐标原点，求其中若,12)2(是两点，圆于交的直线过点】已知抛物线全国【MBAClxyC,)0,2(,2:320172.为直径的圆以线段AB上；在圆证明：坐标原点MO)1(.),2,4()2(的方程与圆求直线过点设圆MlPM-1414-两点，判断点交椭圆于设直线福建理】已知椭圆【BAmyxyx,1,124201522.)0,49(为直径的圆的位置关系与以线段ABG)0(1201122222221bab

21、yaxCbbyxC：经过椭圆：物线江西文】如图，已知抛【.的两个焦点;)1(2的离心率求椭圆C121,),3()2(CQMNyCCNMbQ的重心在抛物线轴上的两个交点，若不在与为又设.21的方程和上，求CC可以使用韦达定理哟呵立后得到的二次方程也提示：抛物线与椭圆联-1515-焦点的顶点分别为陕西】如图，椭圆【,)0(1:201021212222BBAAbabyaxC.2,7,221122111121FBFBBABASSBAFF为的方程；求椭圆C)1(两点的直线，点，与椭圆相交于垂直相交于是与为过原点的直线设BAPnln,)2(成立，使得是否存在上述直线0.1OBOAlOP-1616-,)0,

22、1(,4:)2010(2AClKFxyC相交于与的直线过点的焦点为已知抛物线全国改.DxAB轴的对称点为关于两点，点上；在直线证明：点BDF)1(),(),(),(112211yxDyxByxAmkxyl则，的方程为思路：设直线11.,1122xyxykkDBFBDFFDFB即证三点共线即证明上在直线要证1.31.3 转化为坐标以后，怎么换算为可以使用韦达定理的形式转化为坐标以后，怎么换算为可以使用韦达定理的形式通过上一讲最后我们发现：题目信息如果能直接化为含有21212121,yyyyxxxx的，当然最好，直接联立代韦达定理即可。但如果转换结果为例如：的，怎么办？，2121221122212

23、13,222)1)(1(yyxxxyxyxxxx这一讲我们来解决这个问题：方向一：代换方向一：代换用直线方程代换掉式子中的21,yy再化简：mkxymkxy2211,用曲线代换掉式子中的21,yy再化简，如：22212122pxypxy我们看两个简单的例子：-1717-的方程求直线若设与抛物线交于直线例：抛物线ABkktyxAByxyxAABxyBMAM,81),1,2(M2:),(B),(,22112,)1)(1(212121212211做代换）（这里是直线提示：ABtytyyyxyxykkBMAM,16-,42处的切线斜率之积为处的切线与在抛物线在上有两个点例：BABAxy 三点共线求证：

24、MBAM,),1,0(),(),(2211yxByxA解析：反证法思路：设2222112211B4,4,11xyxyxyxykkMMA因为要证三点共线，先证14141421222121xxxxxx化简约去公因式得要证所以先证.,8,8A,84212由题意得证点的斜率为在点的斜率为在求导得对xBxxyxy很多证明题可以通过反证法入手！很多证明题可以通过反证法入手！总之总之，代换桥梁有两个代换桥梁有两个：要么用直线代换要么用直线代换，要么要么用曲线代换用曲线代换。甚至是椭圆也可以参与代换甚至是椭圆也可以参与代换，比如比如:),(),(,21,14221122yxByxAkxyyx直线与椭圆交点为直

25、线为例：椭圆.)1,0(),1,0(的取值范围，求设MANBkkNM.)1()1(1221的取值范围，解析：即求yyxx接使用韦达定理么？，代换完之后，方便直代换掉请读者动手实践用直线21,yy,),1(1式凑得该式子椭圆中可以用平方差公，这时观察到有我们尝试用椭圆来代换y-1818-那么就有代换的可能性。尝试如下：)1)(1(44414112121212121yyxyxyx可以使用韦达定理即会发现原式去代换掉21211)1)(1(4),1(xxyyy方向二：凑配方向二：凑配21221221214)()(xxxxxxxx答：怎么办？例：遇到例：怎么办？遇到2221xx答：怎么办？例：遇到21x

26、x 21212212)(xxxxxx答：?)3)(3(21怎么办例：遇到xx答：kxxyy2121例：遇到怎么办？例：遇到22222121)1()1(yxyx)2()2)(212121211221yykxxxxyyyyxx即答：平方差公式变形为252)(25212,22121221212221122121xxxxxxxxxxxxxxxx答：凑配倒数关系：怎么办？常见案例：遇到线的方程。，求抛物向量点轴交于两点，与交于与例：直线MAMBMxBApxyxy2,212，则，解析：设)0,1(M),(),(2221yxByxA25212),1(2),1(2211212121122yyyyyyxxyxy

27、xMAMB-1919-通分变形得252)(252)(212212121221212221yyyyyyyyyyyyyy.0222122ppyyxpxyxy得，消去与联立2922522,222121pppyypyy代入得，xy292所以抛物线方程为.1020132yx 福建理】已知抛物线【OCNOCMNMlCC与若点与抛物线交于不同的两作直线，过点设点,)10,0()2(.14的方程，求直线：的面积之比为l.2)0,1(4),(2013倍距离的的距离是它到点：到直线陕西文】已知动点【Nxlyx的方程；的轨迹求动点CM)1(.,)3,0()2(的斜率的中点，求直线是两点，若交于与轨迹的直线过点mPB

28、ABACmP且离心率为经过点圆陕西文】如图，已知椭【),1,0()0(1:20152222AbabyaxE-2020-.22的方程；求椭圆E)1(),(,),1,1()2(AQPEk均异于点交于不同的两点的直线与椭圆且斜率为经过点2:AQAPkk证明.44:,)2017(2的横坐标之和为与上两点，为曲线设全国文BAxyCBA的斜率；求直线AB)1(求直线平行，且处的切线与直线在上一点，为曲线设,)2(BMAMABMCCM.的方程AB-2121-CFFbabyaxC的直线与椭圆过点的左焦点为辽宁理】设椭圆【,)0(1:20102222FBAFlBA260,，的倾斜角为两点，直线相交于点求椭圆的离

29、心率；)1(.,415)2(的方程求椭圆如果CAB 为底以两点与椭圆交于的直线斜率为北京文】已知椭圆【ABBAlyx,1,1412201122)2,3(P边作等腰三角形，顶点.)2(的面积求PAB轴且与，过点离心率的左焦点为天津】设椭圆【xFFbabyax33,)0(120132222334的线段长为垂直的直线被椭圆截得求椭圆的方程；)1(两点，的直线与椭圆交于且斜率为，过点分别为椭圆的左右顶点设DCkFBA,)2(-2222-.,8的值求若kCBADDBAC斜率的左，右焦点，过分别是椭圆全国】设【1222221)0(1:,2010FbabyaxEFF.,122成等差数列两点，且相交于与的直线

30、为BFABAFBAEl的离心率；求E)1(.,)1,0()2(的方程求满足设点EPBPAP文】全国【12018设抛物线22C yx：，点(2,0)A，(2,0)B，过点A的直线l与C交于M，N两点.（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN.-2323-第二章 获得点的坐标解决问题总思路：用尽可能少的字母表示出所有点的坐标来解题总思路：用尽可能少的字母表示出所有点的坐标来解题。.,),(0000来表示所有的点坐标围绕设主动点为yxyx来表示所有点的坐标围绕设直线的斜率为kk,.,),)(,(212,12211再结合第一章思路表达所有的点都由有时需要设出yyxxyxyx-

31、2424-2.12.1 通过表示点的坐标来解决问题通过表示点的坐标来解决问题我们在第一章讲了题目信息转化为坐标，然后直线与曲线联立用韦达定理的思路。但是有些题并不太适用这一方法，而是通过表示出每个点的坐标来解决。下面给出两个个例子体会一下这种做法的好处：下面给出两个个例子体会一下这种做法的好处：.)1,0(12的距离的最小值到点上的动点：求例MPxy),(,2002002xxPxxPxyP从而则纵坐标为横坐标为所以设上在解析：因为求最值即可所以这样变量只有一个,)1(,2202020 xxPMx.,)1,1(2的最小值两点，求的直线与坐标轴交于：过例ABBA),0,11(),1,0(,1)1(

32、kBkAxky则解析：设直线为找最值即可那么,)11()1(222kkAB通过上述题，我们尝试提出两个思路：通过上述题，我们尝试提出两个思路：思路思路 1 1：设动点的坐标；：设动点的坐标；思路思路 2 2：设动直线的斜率设动直线的斜率，然后直线与其他曲然后直线与其他曲线联立获得交点；线联立获得交点；也就是说：做题的第一步可以尝试设主动点也就是说：做题的第一步可以尝试设主动点的坐标或者设动直线的方程的坐标或者设动直线的方程原则上：原则上：1 1：字母尽量保证少：字母尽量保证少2 2：可以多预设一个字母可以多预设一个字母，但多设的字母要最但多设的字母要最终代换为已知字母。有时候为了计算过程简终代

33、换为已知字母。有时候为了计算过程简洁，暂时不必急着代换掉洁，暂时不必急着代换掉.比如下面的四个例子：比如下面的四个例子：这种思路的关键：这种思路的关键：所有点的坐标都尽量由所有点的坐标都尽量由一个字母表示。一个字母表示。这样无论是长度，还是直这样无论是长度，还是直线的方程，还是交点，都可以围绕所设的线的方程，还是交点，都可以围绕所设的这个字母写出来。这个字母写出来。-2525-,12上的点如：直线yx),12(00yy 可设为可以设为上的点如：抛物线,22pxy)2,2(),2(2020ptptypy或是设为)2,2(2,),2(),1(tBtnBAOnBtA点坐标可以设为那么三点共线且例：设

34、的交点切线与处的切线方程为：在切点例：1,22),(400002xyyxxyxyx)22,1(00yx 为上一点是圆】已知点新课标【22201722 yxP,设点Q在直线3x 上，且1OP PQ .证明：过点P且垂直于OQ的直线l过点)0,1(),3(),(00tQyxP解析：设点00002020000033311)()3-(1yxyxyxtyytxxOQOP由.)33,3(00yxQ所以00003333,yxtOQyx的斜率展开来写，如直线绕这样所有的量都可以围0000)(333yxxxyyl按照点斜式可以写为：直线.,01得证代入得将yx我们在做题中经常会忽略一个等式：点),(00yx在曲

35、线0),(yxf上，满足曲线方程0),(00yxf-2626-2.22.2 怎么获取点的坐标？怎么获取点的坐标？既然表示点的坐标来解题有很多好处，那么问题来了：怎么获得点的坐标呢？既然表示点的坐标来解题有很多好处，那么问题来了：怎么获得点的坐标呢？如何保证变量尽可能少？如何保证变量尽可能少？下面给出一些想法与模型：下面给出一些想法与模型：想法：先设出主动点，与主动点有存在等量关系的那些点，可以用主动点的坐想法：先设出主动点，与主动点有存在等量关系的那些点，可以用主动点的坐标表达出标表达出.想法：可以联立直线方程得到点的坐标想法：可以联立直线方程得到点的坐标.的坐标求轴交于作切线，与上，过在抛物

36、线例：已知PPyAxyyxA,),(200202000002,0),(2xxyyxxxxyy得令解：切线方程。则关于原点对称的点为为椭圆上一点，点例：已知),(,),(0000yxBBAyxA的坐标求例：已知MMBAMByxA,2),1,0(),(00)1,0(2),(),(00yxyyxxyxM则解：设yyyxxx22,200即：)32,3(32,30000yxMyyxx即解得：轴的交点与试表示出直线例：点yPQQyxP),0,2(),(00)22,0(),2(2:0000 xyyxxyyPQ轴交于与解：直线).2,2(,202,),2(),1(tBtntnOBOAnBtA点设为从而那么且例

37、：设的坐为坐标原点，点点的方程为安徽文】设椭圆【AObabyaxE),0(120152222的斜率直线上，满足在线段点的坐标为点标为OMMABMABMbBa,2),0(),0,(.105为-2727-的离心率；求E)1(.),0()2(ABMNACNbC的中点，证明为线段的坐标为设点的为抛物线上，：的三个顶点都在抛物线浙江文】已知【CFyxCABP420142.3FMPFABM的中点，为焦点，点的坐标；求点若MPF,3)1(记抛物线的焦半径公式提示：这里你可能会忘长度的最小值。，求线段上，且椭圆在上，点在直线为原点，若点设：北京文】已知椭圆【ABOBOACyAOyxB2,42C201422-2

38、828-H.CON,)0(2:,)0(:20162于点并延长交连接的对称点为于关于点交抛物线轴于点交全国文】直线【NPMPppxyCMyttyl;ONOH)1(求.)2(明理由是否有其他公共点？说与抛物线以外，直线除CMHH轴交与直线是椭圆上一点，设北京理】已知椭圆【yPABAPyx),1,0(),0,2(,14201622.,为定值求证：轴交于点与直线于点BMANNxPBM练：,A B分别是椭圆2222:10 xyCabab的左右顶点，F为其右焦点，2是,AFFB的等差中项，3是,AFFB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于,A B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F

39、作直线FQAP，并交直线l于点Q。证明：,Q P B三点共线-2929-在点轴的交点为与准线的焦点为福建文】如图，抛物线【CAxlFxyE.,4:20132NMlCCOCE,交于不同的两点与准线为半径作圆，设圆为圆心，上，以抛物线;,2)1(MNC求的纵坐标为若点.)2(2的半径，求圆若CANAMAF想法二：什么时候适合设斜率来解题呢？想法二：什么时候适合设斜率来解题呢？).23,3(3)0,2(2kxkxkxy的交点为；与轴的交点为与例：直线.的式子表达出通过含有他点的坐标都比较容易启示：设出直线后，其k下面给出第一个模型下面给出第一个模型“知一求二知一求二”模型：模型：已知直线与曲线相交于

40、两点，已知其中一点的确切坐标，可以通过联立，使用已知直线与曲线相交于两点，已知其中一点的确切坐标，可以通过联立，使用韦达定理表示出另一个点的坐标韦达定理表示出另一个点的坐标.设直线为两点，其中直线与椭圆交于已知椭圆例：如图),1,0(,14,22ABAyx方法如下：的式子表达出的坐标可以用含有那么,1kBkxy-3030-11422kxyyx和联立08)41(22kxxk得1,0),(),(112211yxyxByxA，显然设22221418,418kkxkkxx即根据韦达定理有1418222kkyx 代入直线方程有讲解得的)1418,418(22kkkkB点的坐标这样这种模型有时候往往伴随着

41、大量的运算，但不失为一种解决办法这种模型有时候往往伴随着大量的运算，但不失为一种解决办法例：已知椭圆C：22143xyFE、是椭圆C上的两个动点，点)231(，A是椭圆上的一个定点如果直线AFAE、的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解：设过点)231(，A的直线方程为：23)1(xmy124323)1(22yxxmy22233+4+4(32)4()1202mxmm xm（）-3131-设方程的两根为1x、Ax，则1xAx1x1x2234()12234mm分别用“k”“k”替换“m”2234()12234Ekxk34312422kkk，32EEykxk34296622kk

42、k，Fx34312422kkk，Fy34296622kkk所以直线EF的斜率FEEFFEyykxx=21)3124()3124()2966()2966(2222kkkkkkkk即直线EF的斜率为定值，其值为12和部分抛物由上半椭圆陕西理】如图，曲线【)0,0(1:201422221ybabxayCC.23,)0(112122的离心率为其中的公共点为连接而成，：线CBACCyxyC的值求ba,)1(的方程求直线，若分别交于点与的直线过点lAQAPQPCClB,)2(21-3232-的直线交椭的左顶点，斜率为是椭圆文】已知点全国【)0(134:2201622kkyxEA.,NAMAENMAE上，在

43、两点，点于圆的面积时，求当AMNANAM)1(232)2(kANAM时，证明当)0,2(,14201022ABAlyx已知与椭圆交于不同的两点设直线天津理】已知椭圆【的值求的垂直平分线上，且在线段点00,4),0(yQBQAAByQ.55,)0(120152222离心率为左焦点为的上顶点为天津文】已知椭圆【FBbabyax的斜率求BF)1(.),()2(QBPBBPPBF的直线与椭圆交于点且垂直于过点异于点与椭圆交于点设直线MQPMMyPQ,轴交于点与直线-3333-的值求.21,)0(120172222离心率为右顶点为的左焦点为天津理】设椭圆【AFbabyax.21)0(22的距离为到抛物线

44、准线的焦点，是抛物线已知lFppxyA的方程；求椭圆的方程和抛物线)1(轴相与直线异于与椭圆相交于轴对称，直线关于上两点设xBQABBAPxQPl),(,)2(.26.的方程，求直线的面积为若交于点APAPDDBbabyaxFF的左右焦点，顶点分别是椭圆江苏】如图，在【)0(1,2014222221点轴的垂线交椭圆于另一作过点并延长交椭圆于点连接的坐标为xAABFb,),0(2.,1CFC 连接-3434-求椭圆的方程；且的坐标为若点,2),31,34()1(2BFC.,)2(1的值求椭圆离心率若eABCF),(,159201122mtTFBAyx设过点右焦点为的左右顶点为江苏】如图，已知椭圆

45、【.0,0,0),(),(,212211yymyxNyxMTBTA其中与椭圆分别交于点的直线的轨迹；求点满足设动点PPBPFP,4)1(22的坐标；求点设Txx,31,2)2(21.,9)3(轴上的一定点必过求证：直线设xMNt-3535-轴，椭圆与的离心率为的椭圆四川文】过点【xbabyaxC23)0(1)1,0(20112222,),0,(),0,(PxDlCaBaA轴交于点并与与椭圆交于另一点的直线过点交于两点.QBDAC交于点与直线直线的长；段过椭圆右焦点时，求线当直线CDl)1(.)2(为定值时，求证：异于点当点OQOPBP下面再给一个常用模型：下面再给一个常用模型：模型：过原点的直

46、线，与曲线联立，可以联立解出交点模型：过原点的直线，与曲线联立，可以联立解出交点.如下模型：如下模型：.,1222两点椭圆于直线交于与直线：如图，已知椭圆：BAkxyyx)212,212)212,212(2222kkkkkk与（-3636-)212)(1(222kkOA出此时使用距离公式可算有相同的的长轴为短轴，且与以椭圆：陕西】已知椭圆【112221,142012CCCyxC.离心率的方程；求椭圆2)1(C.,2,)2(21的方程求直线上，和分别在椭圆为坐标原点，点设ABOAOBCCBAO),0(2)0(2,201422221121pxpyEpxpyE：和：已知两条抛物线安徽理】如图【,12

47、122121121BEElAAEElllO分别交于与两点，分别交于与和的两条直线过原点.2两点B2211)1(BABA证明：-3737-2.32.3 把设点与设直线结合起来把设点与设直线结合起来有些题是既要设点有些题是既要设点，又要设直线又要设直线。常见设出两个曲线上点常见设出两个曲线上点),(),(2211yxyx的坐标的坐标，以及这两个点所在直线的方程以及这两个点所在直线的方程.然后然后其它我们需要求的点其它我们需要求的点，要围绕这两个点的坐要围绕这两个点的坐标表达出标表达出.下面给出一个非常经典的例子：下面给出一个非常经典的例子：与椭圆交于的直线过其焦点点四川理】椭圆上有两顶【lFBA)

48、1,0(),0,1(),0,1(2011.,QBDACPxDC交于点与直线直线轴交于点两点，并与的方程；时，求直线当lCD223)1(.,)2(为定值两点时，求证：异于当点OQOPBAP轴的交点，所以与是直线的坐标，其中问，我们要找到的是解析：第xlPQP,)2(.)0,1(,1来表示了，绕，这样所有的点都要围的坐标为则为尝试设直线kkPkxyl的方程与直线线的交点，所以要写出直与直线点，它是直线对于BDACBDACQ与曲线的两个交点，正好是直线，注意到点的坐标并联立，首先要获得lDCDC,：所以设),(),(2211yxDyxC.)1(1,)1(12211的方程为直线的方程为：那么直线xxy

49、yBDxxyyAC.1),()0,1(点的横坐标即可，只需要联立解出由于QxkyxkOQOPQQQ.运算量较大的，得是可以联立使用解出来，编者在这里尝试了一下kxx技巧也被与式相除，这种处理计算技巧，就是把式答案给出了一个经典的-3838-很多模拟题竞相模仿：章节中提到处理方式：，这里编者曾经在前面得：即联立消去)1()1(112112xyxyxxy)1(212112121121212121xyxyxyx利用曲线方程代换，由)1)(1(2)1()1(2)1()1(11)1(212121212121121xxyyxyyxyxyxyxxx有代换掉.,1111kxkkxx解得使用韦达定理代换有：.去

50、设点多未知量，所以不建议个动点的坐标会增加很最后提一下：尝试设某本题综合度高，计算量大，思维跨度高，运算技巧要求强，但其中的想法与运本题综合度高，计算量大，思维跨度高，运算技巧要求强，但其中的想法与运算技巧十分值得我们去总结：算技巧十分值得我们去总结：或者说的交点横坐标为定值，与直线比如要证：直线)1(1)1(12211xxyyxxyy31212)1()1(1122112xyxyxxx明上，我们可以转化为证线要证它们的交点在定直,)21,0(),1,1(,20172NMlPxy点与抛物线交于不同的两作直线过点北京理】抛物线【.,为原点其中交于点轴的垂线分别与直线作过点OBAONOPxM的中点为