2022年八年级数学下《平行四边形的性质（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf

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1、八 年 级 数 学 下-专 题:1 8.1平 行 四 边 形 的 性 质(知 识 讲 解)【学 习 目 标】1.理 解 平 行 四 边 形 的 定 义,从 角、边、对 角 线 三 个 角 度 理 解 并 识 记 平 行 四 边 形 的 性 质 定 理；2.能 初 步 运 用 平 行 四 边 形 的 性 质 进 行 推 理 和 计 算,并 体 会 如 何 利 用 所 学 的 三 角 形 的 知 识 解 决 四 边 形 的 问 题.3.认 识 平 行 四 边 形 对 角 线 分 得 的 三 角 形 的 关 系 及 拓 展 关 系 3.灵 活 运 用 综 合 运 用 平 行 四 边 形 的 性 质

2、定 理 进 行 证 明 和 计 算.【要 点 梳 理】要 点 一、平 行 四 边 形 的 定 义 平 行 四 边 形 的 定 义:两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 叫 做 平 行 四 边 形.平 行 四 边 形 ABCD记 作“LI ABCD”，读 作“平 行 四 边 形 ABCD”.特 别 说 明：(1)平 行 四 边 形 的 基 本 元 素:边、角、对 角 线.相 邻 的 两 边 为 邻 边，有 四 对；(2)相 对 的 边 为 对 边，有 两 对；(3)相 邻 的 两 角 为 邻 角，有 四 对；(4)相 对 的 角 为 对 角，有 两 对；(5)对 角 线 有 两 条.要

3、 点 二、平 行 四 边 形 的 性 质 1.边 的 性 质:平 行 四 边 形 两 组 对 边 平 行 且 相 等；2.角 的 性 质:平 行 四 边 形 对 角 相 等，邻 角 互 补；3.对 角 线 性 质:平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分；4.平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形,对 角 线 的 交 点 为 对 称 中 心；特 别 说 明：(1)平 行 四 边 形 的 性 质 中 边 的 性 质 可 以 证 明 两 边 平 行 或 两 边 相 等;角 的 性 质 可 以 证 明 两 角 相 等 或 两 角 互 补;对 角 线 的 性 质 可 以 证 明 线

4、段 的 相 等 关 系 或 倍 半 关 系.(2)由 于 平 行 四 边 形 的 性 质 内 容 较 多,在 使 用 时 根 据 需 要 进 行 选 择.(3)利 用 对 角 线 互 相 平 分 可 解 决 对 角 线 或 边 的 取 值 范 围 的 问 题，在 解 答 时 应 联 系 三 角 形 三 边 的 不 等 关 系 来 解 决.要 点 三、平 行 线 间 的 距 离 1.两 条 平 行 线 间 的 距 离：(1)定 义:两 条 平 行 线 中，一 条 直 线 上 的 任 意 一 点 到 另 一 条 直 线 的 距 离,叫 做 这 两 条 平 行 线 间 的 距 离.注:距 离 是 指

5、 垂 线 段 的 长 度,是 正 值.(2)平 行 线 间 的 距 离 处 处 相 等 任 何 两 平 行 线 间 的 距 离 都 是 存 在 的、唯 一 的，都 是 夹 在 这 两 条 平 行 线 间 最 短 的 线 段 的 长 度.1第 1 页 共 16页两 条 平 行 线 间 的 任 何 两 条 平 行 线 段 都 是 相 等 的.2.平 行 四 边 形 的 面 积：1.平 行 四 边 形 的 面 积=底 义 高;等 底 等 高 的 平 行 四 边 形 面 积 相 等；2.平 行 四 边 形 对 角 线 分 得 的 四 个 三 角 形 面 积 相 等,如 图 S 2B=S BOC=S C

6、OD=S 4OD3.平 行 四 边 形 内 任 意 一 个 分 得 的 四 个 三 角 形 的 四 个 三 角 形 面 积 有 如 下 关 系:【典 型 例 题】类 型 一、利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 求 解 1.如 图，平 行 四 边 形 用 切 中,对 角 线 4 G 劭 相 交 于 点“血 4 c 止 3,止 5,求 切 的 长.【答 案】2拒【分 析】根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 BC=4。=5,AD=OCt 8=)勾 股 定 理 求 得/C,8。，进 而 求 得 3。解:.四 边 形/B C D是 平 行 四 边 形/.BC=AD=5,OA=OC=-AC

7、,OB=OD=-B D2 2丁 ABLAC,ABAC=90在 R/D48C中，AB=3,BC=5.4。=NBC?-AB?=打 一 3 2=42第 2 页 共 1 6页:.AO=-A C=22在 H/OZ80 中，AB=3,AO=2BO=ylAO2+AB2=+3?=V13BD=2BO=2屈 BD=2V13【点 拨】本 题 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质,勾 股 定 理,熟 练 掌 握 平 行 四 边 形 的 性 质 是 解 题 的 关 键.举 一 反 三：【变 式 1】如 图，在 口/B C D 中,对 角 线/C 与 8。相 交 于 点“B D 1 A D.求 的 长 度 及 口”8

8、8 的 面 积.【答 案】阳 的 长 为 3,徵 的 面 积 为 48.【分 析】直 接 利 用 勾 股 定 理 得 出 劭 的 长,再 由 平 行 四 边 形 的 性 质 即 可 得 出 答 案.解：切 小 10,49=8,.B A B2-A D2=V102-82=6.四 边 形 4比。是 平 行 四 边 形，二 陟 5 小 3,SCJABCIT X 8=48.故 如 的 长 为 3,口/腼 的 面 积 为 48.【点 拨】本 题 主 要 考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质 以 及 勾 股 定 理,正 确 得 出 切 的 长 是 解 题 关 键.【变 式 2】如 图，四 边 形”8

9、8 是 平 行 四 边 形.求：(1)/和 的 度 数；(2)和 8 c 的 长 度.3第 3 页 共 16页【答 案】（1）56,124。；（2）25,30【分 析】（D 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质：对 角 相 等、邻 角 互 补,结 合 已 知 条 件 即 可 得 到 相 关 答 案；（2）根 据 平 行 四 边 形 的 性 质：两 组 对 边 分 别 相 等,即 可 得 到 正 确 答 案.解：（1）四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 N A D C=N B,N B+NBCD=180。.N 8=56ZAD C=5 6 N8C=180-56=124（2）四 边 形/时

10、是 平 行 四 边 形.A B=D C,B C-AD.D C=25,A D-30.A B-25,B C-30【点 拨】本 题 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质，牢 记 相 关 知 识 点 灵 活 应 用 是 解 题 的 关 键.类 型 二、利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 证 明 C 2.如 图,四 边 形 题 是 平 行 四 边 形,E,产 是 对 角 线 4 c的 三 等 分 点,连 接 BE.DF.证 明 BE=DF.【分 析】由 题 意 易 得 AB=CD,AB/C D,A F C F,则 有/胡 代 进 而 问 题 可 求 证.证 明：四 边 形 腼 是 平 行 四 边

11、形，：.AB-CD,AB/CD,ABAE=ADCF,：E,厂 是 对 角 线 的 三 等 分 点，J.AECF,在 应 1和 物 中，AB=CD NBAE=NDCFAE=CF：./A B E C D F S A S)y第 4 页 共 1 6页 4【点 拨】本 题 生 要 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质 及 全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定,熟 练 掌 握 平 行 四 边 形 的 性 质 及 全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定 是 解 题 的 关 键.举 一 反 三：【变 式 1】如 图，口 侬 的 对 角 线 切 相 交 于 点。点 点 尸 在 线 段 劭 上，且 D

12、E=BF.求 证:延 成【分 析】首 先 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 推 出 AD=CB,AD/BC,得 到 从 而 证 明/以 且 得 到 折/。次 即 可 证 明 结 论.证 明：四 边 形 4?切 是 平 行 四 边 形，：.AD=CB,AD/BC,：.4ADE=4CBF,在 和 沂 中，AD=CB 乙 4DE=NCBFDE=BF:.ADE&XCBFlSAS,：.AAEDACFB,：.AE/CF.【点 拨】本 题 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质，以 及 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 等,掌 握 平 行 四 边 形 的 基 本 性 质，准 确 证 明 全

13、等 三 角 形 并 利 用 其 性 质 是 解 题 关 键.【变 式 2】如 图，四 边 形 侬 为 平 行 四 边 形,仞 的 平 分 线 AF交 切 于 点 E,交 死 的 延 长 线 于 点 尸.点 E恰 是 5 的 中 点.求 证：四 此 发 BE1AF.5第 5 页 共 1 6 页【分 析】（1）由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AD/BC,得 出 N g/a 况 则 可 证 明/电 FCE（ASA）;（2）由 平 行 四 边 形 的 性 质 证 出 AB=BF,由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 AE=FE,由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 出 结 论.

14、证 明：（1）：四 边 形 65 为 平 行 四 边 形，C.AD/BC,：2 g E C F,:E 为 由 的 中 点，:.E g EC,在/51和 中，N D=NECF ED=ECNAED=NFEC 力 加 力 用 万（力 S4）;（2）,四 边 形 力 鳍 为 平 行 四 边 形，:AB=CD,AD BC,：.AFAD=/AFB,又 Y AF平 分/BAD,：.AFAD=/FAB.：./AFB=/FAB.：.AB=BF,/ADE/FCE,：.AE=FEf：.BELAF.【点 拨】本 题 主 要 考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定，角 平

15、 分 线 的 定 义,等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定,熟 知 相 关 知 识 是 解 题 的 关 键.类 型 三、坐 标 系 中 的 平 行 四 边 形 0 3.在 直 角 坐 标 系 中，我 们 把 横、纵 坐 标 都 为 整 数 的 点 称 为 整 点，记 顶 点 都 是 整 点 的 平 行 四 边 形 为 整 点 平 行 四 边 形.如 图，已 知 整 点（2,2）,醺 3,4）,请 在 所 给 网 格 区 域（含 边 界）上 按 要 求 画 以 A,B,C,。为 顶 点 的 整 点 平 行 四 边 形.6第 6 页 共 16页半；(2)在 图 2 中 画 出 点 C,。，使

16、 点 C 的 横、纵 坐 标 之 积 等 于 点。的 横、纵 坐 标 之 积 的 一 半.分 析】(1)利 用 数 形 结 合 的 思 想 以 及 题 目 要 求 作 出 图 形 即 可.(2)利 用 数 形 结 合 的 思 想 以 及 题 目 要 求 作 出 图 形 即 可.解：(1)如 图 即 为 所 作；八 yA D图(2)【点 拨】本 题 考 查 作 图-复 杂 作 图,平 行 四 边 形 的 性 质 等 知 识,解 题 的 关 键 是 学 会 利 用 数 形 结 合 的 思 想 解 决 问 题,属 于 中 考 常 考 题 型.举 一 反 三：【变 式 1】如 图,如?是 平 行 四

17、边 形,4=4,四=5,点 力 的 坐 标 为(-2,0),求 点 7第 7 页 共 1 6页B、C、，的 坐 标.【答 案】5(3,0)、C(5,2(0,2石)【分 析】根 据=5,4-2,0)即 可 求 得 点 8,勾 股 定 理 求 得 D 即 可 求 得 点。，再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 C 点 坐 标.解:4?是 平 行 四 边 形，CZ)x 轴，CD=5,由 题 意 可 得，%=2,4 8=90。，.OD=J/-O/2=2 G,即 0(0,273)/(-2,0)，/8=5，8(3,0)，.(0,273)CD=AB=5 C D/x C(5,2 6)，.8(3,

18、0)C(5,2。(0,2【点 拨】此 题 考 查 J 坐 标 与 图 形，涉 及 了 勾 股 定 理、平 行 四 边 形 的 性 质，解 题 的 关 键 是 掌 握 并 灵 活 运 用 相 关 性 质 进 行 求 解.【变 式 2】如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知(，a)，8 S，*C(-2,0),其 中“为 满 足 关 系 式 ja 3+(b+4)=0(1)求 a，“的 值；(2)在 第 三 象 限 是 否 存 在 一 点(T，)，使 四 边 形 N C P 的 面 积 是 三 角 形 A B C 面 积 的 8第 8 页 共 1 6页2 倍,若 存 在,求 出 点 尸 的

19、 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理 由；(3)点。是 坐 标 平 面 内 的 点，若 点 与 4 B C 三 点 构 成 平 行 四 边 形，请 直 接 写 出 符 合 条 件 的 点。的 坐 标.【答 案】。=3力=4；存 在,P(T-6)；点 的 坐 标 为(2,0)(-6,0)(-2,6)【分 析】(1)由 两 个 非 负 数 的 和 为 零，则 这 两 个 数 都 为 零 这 一 规 律 列 方 程 即 可 求 出 a、b的 值；(2)存 在 符 合 条 件 的 点 P,作 区 L46于 点 E,作 小 L x 轴 于 点 F,先 求 出 46C的 面 积,再 用 含 勿 的 代

20、 数 式 表 示 四 边 形 4 C W 的 面 积,且 根 据 四 边 形 的 面 积 是 三 角 形/I况 面 积 的 32 倍 列 方 程,求 出 w 的 值,得 到 点 的 坐 标；(3)点 与 从 B、三 点 构 成 平 行 四 边 形，可 按 照 以/G a 为 邻 边 或 以 4?、为 邻 边 或 以 AC,欧 为 邻 边 分 类 讨 论,分 别 求 出 点 的 坐 标.解：解：；4 2()，3+4)2 20,又 疝。+(6+4)2=0.67-3=0 口 6+4=0,a=3,b=4.(2)存 在,如 图 1,作 于 点 作/KLx轴 于 点 F,则/砥”90,由(1)得,0(0,

21、3),6(-4,3),轴，：./OCE=/BEg9Q：.血 x 轴，9第 9 页 共 16页(-2,0),(-2,3),:AB=4,您=3,06=2,/S2AB(=2 AB。CE=2 X 4 X 3=6,3S pqjijg AC PO=S A O C A S P O C,且 S 四 边 形 ACPCT 2 S ABC A-l,/n)在 第 二 象 限,i i 3/.2 X 2 X 3+2 X 2(-)=2 X6,解 得,必=-6,(3)如 图 2,平 行 四 边 形 ABCD以 AB.6 r为 邻 边，了 轴，CD/AB,.点。在 x 轴 上，且 5=4 Q 4,，X0=-2+4=2,.（2,

22、0）;如 图 3,平 行 四 边 形 ABDC以 AB、为 邻 边,则 点 在 x 轴 上,且 CD=AB=4,x产-2-4=-6,6,0）;如 图 4,作 比 L A B 于 点、E,延 长 四 到 点，使%=；连 结 AD,BD,第 1 0页 共 1 6页 10D由(1)和(2)得,6(-4,3),(-2,3),轴，：.AE=BE,二 四 边 形 是 平 行 四 边 形，,:DE=CE=&:.C M S.(-2,6),综 上 所 述,点 D的 坐 标 是(2,0)或(-6,0)或(-2,6).【点 拨】此 题 重 点 考 查 平 面 直 角 坐 标 系 的 有 关 知 识、两 个 非 负

23、数 的 和 为 零，则 这 两 个 数 都 为 零 在 求 值 问 题 中 的 应 用、平 行 四 边 形 的 有 关 知 识 以 及 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 求 面 积、求 点 的 坐 标 等 知 识 与 方 法,此 题 难 度 不 大，但 综 合 性 较 强,是 很 好 的 练 习 题.类 型 四、平 行 四 边 形 中 面 积 问 题 4.如 图，尸 是 面 积 为 S 的 口 被/内 任 意 一 点，如 果 9 的 面 积 为 S,阳 C 的 面 积 为 s,那 么 S i+=(用 含 S的 代 数 式 表 示)【答 案】2【分 析】根 据 题 意，作 出 合 适 的 辅

24、助 线，然 后 根 据 图 形 和 平 行 四 边 形 的 面 积、三 角 形 的 面 积,即 可 得 到 s 和、&之 间 的 关 系,本 题 得 以 解 决.解:过 点 作 EF1AD交 于 点 E,交 6c于 点 AII第 11页 共 16页AEDB F C.四 边 形 4时 是 平 行 四 边 形，：.AD=BC,4 D PE B O PF：.S-BCEF,2，即 2,:E2 PE+PF,AD=BC、4 D PE B C PF BC*(PE+PF)B O E F _ S，S+$=2 2 2 2 2,S故 答 案 为：5.【点 拨】本 题 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质、三 角

25、形 的 面 积，解 答 本 题 的 关 键 是 明 确 题 意，利 用 数 形 结 合 的 思 想 解 答.举 一 反 三：【变 式 1】如 图，直 线 的 过 口 Z 8 C D的 中 心 点。，交 力。于 点 也，交 BC于 点 N,己 知【答 案】1【分 析】证 明 加 侬 八 侬 得 到 SA M/=SA；V 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 S阴 影=1 c4 I 由 此 求 出 答 案.解：.四 边 形/阅 9是 平 行 四 边 形，/.A D H BC,O B=O D,：./柳 唳/A 砌,?4M 0F/N 0B,:.MOgXNQB,12第 1 2页 共 1 6页S

26、，例 疗 SAW#,A O M+S BON=S A O D=a b c d=1 s 阴 影=4，故 答 案 为：1.【点 拨】此 题 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质，熟 记 全 等 三 角 形 的 判 定 是 解 题 的 关 键.【变 式 2】如 图，点。是 平 行 四 边 形 被 力 的 对 称 中 心,即 是 过 点。的 任 意 一 条 直 线,它 将 平 行 四 边 形 分 成 两 部 分,四 边 形 的 F和 四 边 形 皿 的 面 积 分 别 记 为&S,那 么 瓯 金 之 间 的 关 系 为 S S.（填“”或“=或）【答 案】=

27、【分 析】根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 和 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 即 可 得 到 结 论.解：.四 边 形 18是 平 行 四 边 形，：.AD/BC,:./EDW/FBO,点。是 口 力 成 力 的 对 称 中 心，：.OB-ODy在 与 版 中 ZEDO=ZFBO OD=OB4 D 0 E=4 B 0 F%侬 H。（力 弘），SD E亍 SXBFC*SAAB S RCD改*S 二 星.故 答 案 为:二.【点 拨】此 题 主 要 考 查 了 中 心 对 称，平 行 四 边 形 的 性 质 以 及 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质,熟 练 掌 握 全

28、 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 是 解 题 的 关 键.类 型 五、平 行 四 边 形 性 质 的 应 用 C 5.如 图，U/8C L中，点 在 上，且 NE=E C,试 分 别 在 下 列 两 个 图 中 按 要 求 13第 1 3页 共 1 6页使 用 无 刻 度 直 尺 画 图.(保 留 作 图 痕 迹)(1)在 图 1 中，画 出 N D A E 的 平 分 线;(2)在 图 2 中，画 出 4 E C 的 平 分 线,并 说 明 理 由.【分 析】(1)依 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 以 及 平 行 线 的 性 质，即 可 得 到 4C平 分 N 区;(2)依 据

29、 平 行 四 边 形 的 性 质 以 及 全 等 三 角 形 的 性 质，即 可 得 到 平 分/45C.解：(1)如 图 所 示,连 接 AC,则/C平 分 图 1(2)如 图 所 示,连 接 AC,BD,交 于 点 0,连 接 E0,则 平 分 N4C.图 2理 由：；四 边 形 465 是 平 行 四 边 形，且 AC,初 交 于 点 0,：.AO=CO,又,：A 舁 CE,OE=OE：.XAOE&XCOE：.AAEOAOEC:.E0平 分 乙 AEC.【点 拨】本 题 主 要 考 查 了 复 杂 作 图,解 决 此 类 题 目 的 关 键 是 熟 悉 基 本 几 何 图 形 的 性 质

30、，结 合 几 何 图 形 的 基 本 性 质 把 复 杂 作 图 拆 解 成 基 本 作 图，逐 步 操 作.举 一 反 三：【变 式 1】如 图，已 知 点 B 是 乙&N 边/N 上 一 点.求 作:平 行 四 边 形/8CZ),使 点。在 射 线 上，且 4 8。=90。.14第 14页 共 16页M【分 析】过 点 6 作 BDLAN交 加 于 点 D,分 别 以 B,为 圆 心,AD,相 为 半 径 作 弧，两 弧 交 于 点 C,连 接 BC,CD,四 边 形 4%勿 即 为 所 求.【点 拨】本 题 考 查 作 图-复 杂 作 图，平 行 四 边 形 的 判 定 等 知 识，作

31、出 用 U 4 Y是 解 本 题 的 关 键.【变 式 2】在 图 1,图 2 中，点 E 是“8 8 边 上 的 中 点,请 仅 用 无 刻 度 直 尺 按 要 求 画 图，(保 留 作 图 痕 迹)(1)在 图 1 中，以 8 c 为 边 作 三 角 形,使 其 面 积 等 于 口/8 C D 的 面 积；(2)在 图 2 中，以 BE,为 邻 边 作 四 边 形，使 其 面 积 等 于 口 N 8C D面 积 的 一 半.【分 析】(1)连 接 应 并 延 长，交 BA的 延 长 线 于 点 P,根 据 匚/P E DCE(ASA)可 得 S；PBC=ABCD-连 接 平 行 四 边 形

32、 的 对 角 线,交 于 点 0,可 得 BO=DO,再 连 接 加 并 延 长，交 6 c于 点 F,根 据 归 W I O O f S/),可 得 E 0=F 0)连 接 D F,即 可 得 到 平 行 四 边 形 应 加 面 积 等 于 口 B C D面 积 的 一 半.解：(1)连 接 团 并 延 长,交 BA的 延 长 线 于 点 P,V N P E即 为 所 求 的 以 为 边 所 作 的 三 角 形；15第 1 5页 共 1 6页2022年 八 年 级 数 学 下 平 行 四 边 形 的 性 质(知 识 讲 解)专 项 练 习 题(2)连 接 平 行 四 边 形 的 对 角 线,交 于 点 0,连 接 0并 延 长,交 BC千 点、F,连 接/?/；平 行 四 边 形 阳 叨 就 是 以 BE,为 邻 边 所 求 作 的 四 边 形.【点 拨】本 题 考 查 尺 规 作 图，涉 及 平 行 四 边 形 的 性 质、全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质、平 行 线 的 性 质 等 知 识,是 重 要 考 点,难 度 较 易，掌 握 相 关 知 识 是 解 题 关 键.第 1 6页 共 1 6页 16