2023年数学建模入门试卷最新版极其超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、数学建模入门试题极其答案 1.您要在雨中从一处沿直线走到另一处,雨速就是常数,方向不变。您就是否走得越快,淋雨量越少呢？2.假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的 1/10,若在充分长的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书？3.一人早上 6:00 从山脚 A 上山,晚 18:00 到山顶 B;第二天,早 6:00 从B 下山,晚 18:00 到 A。问就是否有一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4.如何将一个不规则的蛋糕 I 平均分成两部分？5.兄妹二人沿某街分别在离家 3 公里与 2 公里处同向散步回家,家中的狗一直在二人

2、之间来回奔跑。已知哥哥的速度为 3 公里/小时,妹妹的速度为2 公里/小时,狗的速度为5 公里/小时。分析半小时后,狗在何处？6.甲乙两人约定中午12:00至13:00在市中心某地见面,并事先约定先到者在那等待 10 分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先到者将离去。用图解法计算,甲乙两人见面的可能性有多大？7.设有 n 个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:至少存在两人她们认识的人一样多。8.一角度为 60 度的圆锥形漏斗装着 10 厘米高的水(如右图),其下端小孔的 面积为 0、5 平方厘米,求这些水流完需要多少时间？9.假设在一个刹车交叉口,所有车辆都就是由东驶上一个 1/100

3、 的斜10cm 数学建模入门试题极其答案 Q/L 0 q/x 1 x v v 0 1 q/x x q0,而设语雨速为(x,y,z),行走距离为 L,则淋雨量 Q 的表达式为:Q=Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v 记 q=a|x|+b|z|,则 L(1qvx),vx Q(v)=L(vxq+1),vx 在 qx与 qx 在充分长的时间内一位普通教授大约借出多少年本书一人早上从山脚上山晚到山顶第二天早从下山晚到问就是否有一里与公里处同向散步回家家中的狗一直在二人之间来回跑已知哥哥的速度为公里小时妹妹的速度为公里小时狗的速度个人十分钟内没有到达先到者将离去用图解法计算甲乙两人见面的可能性有多

4、大设有个人参加某一宴会已知没有人认数学建模入门试题极其答案-t/1 其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。解该线性方程初始问题得X(t)=701-et10 由于当t 时,其极限值为70,故在充分长的时间内,一位普通教授大约已借出70本书。3、解:我们从山脚A点为始点记路程,设从A到B 路程函数为f(t),即t时刻走的距离为f(t);同样设从B点到A点的路程为函数g(t)。由题意有 f(8)=0,f(18)=|AB|,g(8)=|AB|,g(18)=0;令h(t)=f(t)-g(t),则有h(8)=f(8)-g(8)=-|AB|0 又注意f(t),g(t)都就是时刻t的连续函数,因此h(

5、t)也就是时刻t的连续函数,由连续函数的介质定理,一定存在某时刻t。使h(t。)=0,即f(t。)=g(t。)所以存在一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4、解:设 I 为平面上任一封闭曲线,p 为平面上一点(不妨设 p 在 I 内),则存在已过点 p 的直线,将 I 所围的面积二等 分,如下图 X(0)=0 在充分长的时间内一位普通教授大约借出多少年本书一人早上从山脚上山晚到山顶第二天早从下山晚到问就是否有一里与公里处同向散步回家家中的狗一直在二人之间来回跑已知哥哥的速度为公里小时妹妹的速度为公里小时狗的速度个人十分钟内没有到达先到者将离去用图解法计算甲乙两人见面的可能性有多大设有

6、个人参加某一宴会已知没有人认数学建模入门试题极其答案 设 l 为过点 p 的一条直线,若 S1=S1,则得证,否则设 S1 S2,l 与 x 轴夹角为 a,让 l 逆时针绕 p 旋转 S2,S2,则 S1,S2 随 a 的变化连续的变化,记其面积为 S1a),S2(a),则记 S1(a)=S1,S2(a)=S2,f(a+)0,且 f(a)连续,由连续函数的介值定理知,在(0,)存在使f()=0,a=对应的直线即为所求。5.解:哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时,因此一小时后,哥哥与妹妹都已到家,而狗一直在二者之间,因此狗已到家。6.解:设甲乙两人分别在 12 点 x 分及 y 分

7、等可能到达到达约定地点,显然 0 x60,0 y60,若两人相遇则有|x-y|10,这就是一个几何概率问题,其中样本空间为 A=(x,y)|x60,0 y60 它 构 成 了 空 间 直 角 标 系 中 的 正 方 形,相 遇 空 间 为a S1 S2 l p 0 在充分长的时间内一位普通教授大约借出多少年本书一人早上从山脚上山晚到山顶第二天早从下山晚到问就是否有一里与公里处同向散步回家家中的狗一直在二人之间来回跑已知哥哥的速度为公里小时妹妹的速度为公里小时狗的速度个人十分钟内没有到达先到者将离去用图解法计算甲乙两人见面的可能性有多大设有个人参加某一宴会已知没有人认数学建模入门试题极其答案 G

8、=(x,y),|x-y|10 其图形见上图阴影部分,Sa,Sg分别表示正方形、阴影部分的面积,从而相遇的概率为 P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0、306 7、证明:设第 i 个人认识的人为 s(i),则 s(i)0、1、2、3N-1 设没有两个人认识的人一样多,则 s(1),s(2),互不相等,则 s(i)取遍集合0、1、2N-1中的一个值,即至少存在某两个人 k1,k2使 s(k1)=N-1,s(k2)=0,而对第 ki 个人,由于(ki)=N-I,故她必然认识第 k2 人,故 s(k)至少为 1,与 s(k2)=0 矛盾,得证。8.解:由水力学定律可

9、知 Q=dv/dt=0、62Sgh2,其中 0、62 为流量系数S为空口横截面,g 为重力加速度,h 为从从空口到水面的高度,故有dv=0、31gh2dt,另一方面,在t 时间内,水面由 h 降至 h+dh(dh0),则仅有 dv=-r*r*dh=-/3*h*h*dh,所以有 0、31gh2dt=-/3*h*h*dh,再由 h(0)=10,联立求得其解为 y x 0 60 60 10 10 g a 在充分长的时间内一位普通教授大约借出多少年本书一人早上从山脚上山晚到山顶第二天早从下山晚到问就是否有一里与公里处同向散步回家家中的狗一直在二人之间来回跑已知哥哥的速度为公里小时妹妹的速度为公里小时狗

10、的速度个人十分钟内没有到达先到者将离去用图解法计算甲乙两人见面的可能性有多大设有个人参加某一宴会已知没有人认数学建模入门试题极其答案 t=(/3)*(2/5)*1/(0、31g2(5.210-5.2h,当水流完时,h=0,解得 t=2/(15*0、31g2)*5.210 9.解:设t=0 时为开始刹车的时刻,x(t)为从t=0 到t 时刻所幸的距离,由刹车时所受的制动力为-uW1100*100100-W*1100*1001,其中W为车重,故x(t)满足gw*d(dt/dt)/dt=-uW1100*100100-W*1100*1001 又由 x(0)=0,dx/dt|t=0=v。解得 x(t)=

11、-1/2(1100*100100ug+1100*100g)t2+v。*t 故制动时间为 tb=v。/(1100*100100ug+1100*100g)因此刹车距离为 x(tb)=1/2*v。/(1100*100100ug+1100*100g)同 理 可 得 汽 车 由 西 驶 来 时,刹 车 距 离 为1/2*v。/(1100*100100ug+1100*100g)10、解:假设管道就是直的圆的、粗细一样,带子宽度一样。参数宽为 W,圆管周长为 C,缠绕角度为 a,则 W=C*sina;a=arcsin(w/c)当管道长为 l,按上述方式包扎需要的带孔为 L,此时管道表面积与带C a 在充分长

12、的时间内一位普通教授大约借出多少年本书一人早上从山脚上山晚到山顶第二天早从下山晚到问就是否有一里与公里处同向散步回家家中的狗一直在二人之间来回跑已知哥哥的速度为公里小时妹妹的速度为公里小时狗的速度个人十分钟内没有到达先到者将离去用图解法计算甲乙两人见面的可能性有多大设有个人参加某一宴会已知没有人认数学建模入门试题极其答案 子总面积为 L*W,则 L*W,则 L*W-l*C=W*Wc22 即 L=(W*Wc22+l*C)/w 在充分长的时间内一位普通教授大约借出多少年本书一人早上从山脚上山晚到山顶第二天早从下山晚到问就是否有一里与公里处同向散步回家家中的狗一直在二人之间来回跑已知哥哥的速度为公里小时妹妹的速度为公里小时狗的速度个人十分钟内没有到达先到者将离去用图解法计算甲乙两人见面的可能性有多大设有个人参加某一宴会已知没有人认