2022届福建省普通高中高三最后一卷数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高 考 数 学 模 拟 试 卷 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上，写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题

2、 5分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 函 数/（x）=e i+x 2 的 零 点 为 山，若 存 在 实 数“使 d a+3=0 且|机 一 区 1,则 实 数 的 取 值 范 围 是（）71 7 一 A.2,4 B.2,-C.-,3 D.2,32.刘 徽（约 公 元 225年-295年），魏 晋 期 间 伟 大 的 数 学 家，中 国 古 典 数 学 理 论 的 奠 基 人 之 一 他 在 割 圆 术 中 提 出 的，“割 之 弥 细，所 失 弥 少，割 之 又 割，以 至 于 不 可 割，则 与 圆

3、周 合 体 而 无 所 失 矣”，这 可 视 为 中 国 古 代 极 限 观 念 的 佳 作，割 圆 术 的 核 心 思 想 是 将 一 个 圆 的 内 接 正 边 形 等 分 成 个 等 腰 三 角 形（如 图 所 示），当 变 得 很 大 时，这 个 等 腰 三 角 形 的 面 积 之 和 近 似 等 于 圆 的 面 积，运 用 割 圆 术 的 思 想，得 到 sin2 的 近 似 值 为（）A.B.-C.D.90 180 270 3603.已 知 单 位 向 量 a，坂 的 夹 角 为 z，若 向 量?=2a，=4a-Ab 且/_!_，则=（）A.2 B.2 C.4 D.64.已 知 正

4、 项 等 比 数 列,的 前”项 和 为 S“，且 7s2=4S一 则 公 比 4 的 值 为（）A.1 B.1 或 1 C.2 D.2 2 225.已 知 片，鸟 是 双 曲 线 C:二-丁=1（。0）的 两 个 焦 点，过 点 耳 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 C 相 交 于 A,8 两 点,CT若=则 A AB居 的 内 切 圆 的 半 径 为（）6.若|函|=1,|砺|=6，O A O B=0 点 C 在 AB 上，且 NAOC=30，设 阮=加 函+。百(九 G R),tn则 一 的 值 为()nA.-B.3 C.D.3 37.幻 方 最 早 起 源 于 我 国，由 正 整

5、 数 1,2,3.2这 2个 数 填 入 X”方 格 中，使 得 每 行、每 列、每 条 对 角 线 上 的 数 的 和 相 等，这 个 正 方 形 数 阵 就 叫 阶 幻 方.定 义/()为 阶 幻 方 对 角 线 上 所 有 数 的 和，如/(3)=15,则/(10)=()E M 10.已 知 命 题：VxeR,%2-x+1 2X 则 下 列 命 题 中 为 真 命 题 的 是()A.55 B.500 C.505 D.50508,宁 波 古 圣 王 阳 明 的 传 习 录 专 门 讲 过 易 经 八 卦 图，下 图 是 易 经 八 卦 图(含 乾、坤、每 一 卦 由 三 根 线 组 成(“

6、一”表 示 一 根 阳 线，“”表 示 一 根 阴 线).从 八 卦 中 任 取 两 卦,线 的 概 率 为()/丙 午 丁 那 那 5 3 3 5A.B.C.D.14 14 28 289.已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数/(力 满 足/(x+2)=/(-x),且 在 区 间。,2 上 是 减 函 数,=ln2,b=(j;c=log|2,则/(。)，/(方)，/(c)的 大 小 关 系 为()A./(a)/(c)B./()/()/(/?)C./()/()/(c)D./(c)/(a)/(Z?)巽、震、坎、离、艮、兑 八 卦),这 两 卦 的 六 根 线 中 恰 有 四 根 阴 令c.A

7、.，入 q B.-P 人 q D.-P 八 f11.我 国 古 代 有 着 辉 煌 的 数 学 研 究 成 果，其 中 的 周 髀 算 经、九 章 算 术、海 岛 算 经、孙 子 算 经、缉 古 算 经,有 丰 富 多 彩 的 内 容，是 了 解 我 国 古 代 数 学 的 重 要 文 献.这 5 部 专 著 中 有 3 部 产 生 于 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期.某 中 学 拟 从 这 5 部 专 著 中 选 择 2 部 作 为“数 学 文 化”校 本 课 程 学 习 内 容，则 所 选 2 部 专 著 中 至 少 有 一 部 是 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期 专 著 的 概 率 为(

8、)3 7 4 9A.B C.D 5 10 5 1012.若 函 数/(x)的 图 象 如 图 所 示，贝 l/(x)的 解 析 式 可 能 是()A-/(x)=B.f(-)C.f(x)=D.x)=二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O D Z 中 的 坐 标 分 别 是 A(0,0,右)，B(G,0,0),C(0,l,0),逐)，则 该 四 面 体 的 外 接 球 的 体 积 为.14.平 面 向 量&与 5 的 夹 角 为 合 同=1，忖=1，贝 中 2 2同=.15.在 AA B C中

9、，2AB=3AC,A O 是 N 5 4 C 的 角 平 分 线，设 A D=/AC,则 实 数?的 取 值 范 围 是.16.某 学 校 高 一、高 二、高 三 年 级 的 学 生 人 数 之 比 为 5:5:4,现 按 年 级 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 若 干 人，若 抽 取 的 高 三 年 级 为 12人，则 抽 取 的 样 本 容 量 为 _ 人.三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(12分)在 如 图 所 示 的 几 何 体 中，四 边 形 ABC。为 矩 形，Yffi Yffi ABCD,EF/

10、AB,ZBAF=90,AD=2,A B=A F=2 E F=2,点 尸 在 棱 O 尸 上.(1)若 尸 是。尸 的 中 点，求 异 面 直 线 5 E 与 C P 所 成 角 的 余 弦 值;(2)若 二 面 角 O-A P-C 的 正 弦 值 为 求 尸 尸 的 长 度.318.(1 2分)小 丽 在 同 一 城 市 开 的 2 家 店 铺 各 有 2 名 员 工.节 假 日 期 间 的 某 一 天，每 名 员 工 休 假 的 概 率 都 是 上，且 是 否 2休 假 互 不 影 响，若 一 家 店 铺 的 员 工 全 部 休 假，而 另 一 家 无 人 休 假，则 调 剂 1人 到 该

11、店 维 持 营 业，否 则 该 店 就 停 业.(1)求 发 生 调 剂 现 象 的 概 率；(2)设 营 业 店 铺 数 为 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.19.(1 2分)如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，底 面 A 3C。为 矩 形，侧 面 P 4 3,底 面，为 棱 A B的 中 点，E为 棱。C 上 任 意 一 点，且 不 与。点、。点 重 合.AB=2,A D=PA=1,PH=11-(1)求 证：平 面 A P E J_平 面 ABC。；(2)是 否 存 在 点 E 使 得 平 面 A P E与 平 面 P/C 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 逅

12、？若 存 在，求 出 点 E 的 位 置；若 不 存 在，请 3说 明 理 由.20.(1 2分)某 工 厂 的 机 器 上 有 一 种 易 损 元 件 A,这 种 元 件 在 使 用 过 程 中 发 生 损 坏 时，需 要 送 维 修 处 维 修.工 厂 规 定 当 日 损 坏 的 元 件 A 在 次 日 早 上 8：3 0 之 前 送 到 维 修 处，并 要 求 维 修 人 员 当 日 必 须 完 成 所 有 损 坏 元 件 A 的 维 修 工 作.每 个 工 人 独 立 维 修 A 元 件 需 要 时 间 相 同.维 修 处 记 录 了 某 月 从 1 日 到 2 0日 每 天 维 修

13、元 件 4 的 个 数，具 体 数 据 如 下 表：从 这 2 0天 中 随 机 选 取 一 天，随 机 变 量 X表 示 在 维 修 处 该 天 元 件 A 的 维 修 个 数.日 期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 1 0 日 元 件 A个 数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12日 期 1 1 日 1 2 日 1 3 日 1 4 日 1 5 日 1 6 日 1 7 日 1 8 日 1 9 日 2 0 日 元 件 A个 数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24(I)求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望;（H

14、）若 a,beN*，且 d a=6,求 尸（a X 0）和 圆。2：（%+1）2+：/=2,倾 斜 角 为 45。的 直 线 4过 抛 物 线 G 的 焦 点，且 4与 圆 G 相 切.（1）求 P的 值；（2）动 点 M 在 抛 物 线 G 的 准 线 上，动 点 A在 G 上，若 G 在 A 点 处 的 切 线 交 轴 于 点 8,设 丽=加+砺.求 证 点 N 在 定 直 线 上，并 求 该 定 直 线 的 方 程.22.（10分）如 图，湖 中 有 一 个 半 径 为 1千 米 的 圆 形 小 岛，岸 边 点 A 与 小 岛 圆 心 C 相 距 3千 米，为 方 便 游 人 到 小 岛

15、 观 光,从 点 A 向 小 岛 建 三 段 栈 道 AB,BD,BE,湖 面 上 的 点 B 在 线 段 A C 上，且 8D,3E均 与 圆 C 相 切，切 点 分 别 为 O,其 中 栈 道 A3,BD,BE和 小 岛 在 同 一 个 平 面 上.沿 圆 C 的 优 弧（圆 C 上 实 线 部 分）上 再 修 建 栈 道 记 NCB。为 仇（1）用。表 示 栈 道 的 总 长 度/（。），并 确 定 sin0 的 取 值 范 围;（2）求 当。为 何 值 时，栈 道 总 长 度 最 短.参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分。在 每 小 题

16、给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.D【解 析】易 知/（X）单 调 递 增，由/（I）=0 可 得 唯 一 零 点 机=1，通 过 已 知 可 求 得 0 W 4 2,则 问 题 转 化 为 使 方 程ri 4工 2以 一。+3=。在 区 间 0,2 上 有 解，化 简 可 得。=%+1+(石-2,借 助 对 号 函 数 即 可 解 得 实 数 a 的 取 值 范 围.【详 解】易 知 函 数/(x)=eT+x-2 单 调 递 增 且 有 惟 一 的 零 点 为 m=1,所 以|1 一 区 1,.()2,问 题 转 化 为：使 方 程%2 分

17、一 a+3=0 在 区 间 0,2 上 有 解，即 a=(Z)T(x+l)+4=%+1+/_ 一 2L J x+x+x+在 区 间 0,2 上 有 解，而 根 据“对 勾 函 数”可 知 函 数 丫=+1+-2 在 区 间 0,2 的 值 域 为 2,31,；.2a3.故 选 D.【点 睛】本 题 考 查 了 函 数 的 零 点 问 题，考 查 了 方 程 有 解 问 题，分 离 参 数 法 及 构 造 函 数 法 的 应 用，考 查 了 利 用“对 勾 函 数 求 参 数 取 值 范 围 问 题，难 度 较 难.2.A【解 析】36()。1 360设 圆 的 半 径 为 八,每 个 等 腰

18、三 角 形 的 顶 角 为 旦-，则 每 个 等 腰 三 角 形 的 面 积 为 彳/Sin，由 割 圆 术 可 得 圆 的 面 积 为 n 2 n7兀 广=n-1 r 2 si n-36-0-，整*理 p一 可 得 3s i.n-3-6-0-=2，当%=18()、时 即 可 为 所 求.2 n n n【详 解】由 割 圆 术 可 知 当 变 得 很 大 时，这 个 等 腰 三 角 形 的 面 积 之 和 近 似 等 于 圆 的 面 积，360设 圆 的 半 径 为 r，每 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 为 2一,n1 360所 以 每 个 等 腰 三 角 形 的 面 积 为 一 产 s

19、in-,2 nmi”间 的 赤 切 以 2 1 2.360.360 2万 所 以 圆 的 面 积 为 万 广=一/sin-，即 sin-=,2 n n n所 以 当=180 时，可 得 s i n=sin2=2=,180 180 90故 选:A【点 睛】本 题 考 查 三 角 形 面 积 公 式 的 应 用,考 查 阅 读 分 析 能 力.3.C【解 析】根 据 说 _L 5 列 方 程，由 此 求 得 无 的 值，进 而 求 得;.【详 解】由 于 根 J,，所 以 加=(),即 2a.(4a-痛)8a-2Aa-=8-22-cos=8+V22 0,4解 得 2-=-4/2.所 以=4a+40

20、 B所 以=448 32=4.【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 向 量 垂 直 的 表 示，考 查 向 量 数 量 积 的 运 算，考 查 向 量 模 的 求 法，属 于 基 础 题.4.C【解 析】由 7s2=454可 得 3(4+4)=4 3+%),故 可 求 4的 值.【详 解】因 为 7s2=4S4,所 以 3(4+02)=4(54-82)=4 3+4)，3 6故/=w，因 4 为 正 项 等 比 数 列，故 q 0,所 以 q=半，故 选 C.【点 睛】一 般 地，如 果,为 等 比 数 列，S”为 其 前 项 和，则 有 性 质：(1)若 m,n,p,qwN*,n+n=p+q,

21、则(2)公 比 时，则 有 S“=A+8q,其 中 A 8 为 常 数 且 A+3=()；(3)Sn,S2 n-Sn,S3 n-S2l-为 等 比 数 列(S“H0)且 公 比 为 q.5.B【解 析】设 左 焦 点 片 的 坐 标，由 A3 的 弦 长 可 得 a 的 值，进 而 可 得 双 曲 线 的 方 程，及 左 右 焦 点 的 坐 标，进 而 求 出 三 角 形 ABB的 面 积，再 由 三 角 形 被 内 切 圆 的 圆 心 分 割 3个 三 角 形 的 面 积 之 和 可 得 内 切 圆 的 半 径.【详 解】0 F由 双 曲 线 的 方 程 可 设 左 焦 点 耳（-c,0）,

22、由 题 意 可 得 A B=y/2,a由 8=1,可 得=p2 9r2所 以 双 曲 线 的 方 程 为：-y2=l2所 以 耳（一 百,0）,曰 百,0）,所 以 s.AB；A B F B=；-6 2#,=屈 三 角 形 ABF2的 周 长 为。=4 3+4 6+3 6=4 3+（24+4 6）+（24+3 4）=44+2他=4夜+2行=6百 设 内 切 圆 的 半 径 为 r,所 以 三 角 形 的 面 积 5=。/=.6 0=3五 厂，2 2所 以=而，解 得 r=走，3故 选：B【点 睛】本 题 考 查 求 双 曲 线 的 方 程 和 双 曲 线 的 性 质 及 三 角 形 的 面 积

23、 的 求 法，内 切 圆 的 半 径 与 三 角 形 长 周 长 的 一 半 之 积 等 于 三 角 形 的 面 积 可 得 半 径 的 应 用，属 于 中 档 题.6.B【解 析】利 用 向 量 的 数 量 积 运 算 即 可 算 出.【详 解】解：-.-ZAOC=30cos=2O C OA _ V3 R RmOA+nOB-O A 6一|加 幅+网 词 2m|oX|4-nOB-OA 6%研+2 向 赤+/同 同 2.阿=1,幽=G,OA OBQm _ Gy/m2+3/72 2.,.m2=9/又 在 A B 上/.m 0 n07=3n故 选：B【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 向 量 的

24、基 本 运 算 的 应 用，向 量 的 基 本 定 理 的 应 用 及 向 量 共 线 定 理 等 知 识 的 综 合 应 用.7.C【解 析】因 为 幻 方 的 每 行、每 列、每 条 对 角 线 上 的 数 的 和 相 等，可 得/()=1+十 _ 十 七,即 得 解.n【详 解】因 为 幻 方 的 每 行、每 列、每 条 对 角 线 上 的 数 的 和 相 等，所 以 阶 幻 方 对 角 线 上 数 的 和/()就 等 于 每 行(或 每 列)的 数 的 和，又“阶 幻 方 有”行(或 列)，因 此，/1()=-,n1+2+3+99+100于 是/(10)=-=伍=二 505.故 选：C

25、【点 睛】本 题 考 查 了 数 阵 问 题，考 查 了 学 生 逻 辑 推 理，数 学 运 算 的 能 力，属 于 中 档 题.8.B【解 析】根 据 古 典 概 型 的 概 率 求 法，先 得 到 从 八 卦 中 任 取 两 卦 基 本 事 件 的 总 数，再 找 出 这 两 卦 的 六 根 线 中 恰 有 四 根 阴 线 的 基 本事 件 数，代 入 公 式 求 解.【详 解】从 八 卦 中 任 取 两 卦 基 本 事 件 的 总 数=28种，这 两 卦 的 六 根 线 中 恰 有 四 根 阴 线 的 基 本 事 件 数 有 6种，分 别 是(巽，坤)，(兑，坤)，(离，坤)，(震，艮)

26、，(震，坎)，(坎，艮)，所 以 这 两 卦 的 六 根 线 中 恰 有 四 根 阴 线 的 概 率 是=5=旨.故 选：B【点 睛】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 的 概 率，还 考 查 了 运 算 求 解 的 能 力，属 于 基 础 题.9.C【解 析】可 设 根 据/(X)在 R 上 为 偶 函 数 及/(X+2)=/(x)便 可 得 到：/(x)=/(-x)=/(-%+2),可 设 再，X2G 0,1,且 玉，根 据/(x)在 口，2上 是 减 函 数 便 可 得 出/(x)/()，从 而 得 出/(x)在 0 上 单 调 递 增，再 根 据 对 数 的 运 算 得 到。、b、

27、。的 大 小 关 系，从 而 得 到 了(。),/(力),/(c)的 大 小 关 系.【详 解】解：因 为 l n l l n 2 l n e,即 0。马+2；v/(X)在 1,2上 是 减 函 数；*f(一 玉+2)v f(一 4+2)；/(X)在 0,1上 是 增 函 数；所 以/S)=/(2)=.0),/(，)=/(1)=/(1)/(*)/()/(c)故 选：C【点 睛】考 查 偶 函 数 的 定 义，减 函 数 及 增 函 数 的 定 义，根 据 单 调 性 定 义 判 断 一 个 函 数 单 调 性 的 方 法 和 过 程：设 通 过 条 件 比 较/(X。与/()，函 数 的 单

28、调 性 的 应 用，属 于 中 档 题.10.B【解 析】根 据/0,可 知 命 题 P 的 真 假，然 后 对 K 取 值，可 得 命 题 夕 的 真 假，最 后 根 据 真 值 表，可 得 结 果.【详 解】对 命 题：可 知=(-1-4 0故 命 题 P 为 假 命 题 命 题 q：取 x=3,可 知 32 23所 以 m xeR,%2 T故 命 题 Q为 真 命 题 所 以-72人 9 为 真 命 题 故 选：B【点 睛】本 题 主 要 考 查 对 命 题 真 假 的 判 断 以 及 真 值 表 的 应 用，识 记 真 值 表，属 基 础 题.11.D【解 析】利 用 列 举 法，从

29、这 5 部 专 著 中 选 择 2 部 作 为“数 学 文 化”校 本 课 程 学 习 内 容，基 本 事 件 有 10种 情 况，所 选 2 部 专 著 中 至 少 有 一 部 是 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期 专 著 的 基 本 事 件 有 9 种 情 况，由 古 典 概 型 概 率 公 式 可 得 结 果.【详 解】周 髀 算 经、九 章 算 术、海 岛 算 经、孙 子 算 经、缉 古 算 经，这 5 部 专 著 中 有 3 部 产 生 于 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期.记 这 5 部 专 著 分 别 为 a,c,d,e,其 中 仇 c 产 生 于 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期.从

30、 这 5 部 专 著 中 选 择 2 部 作 为“数 学 文 化”校 本 课 程 学 习 内 容，基 本 事 件 有 血 ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共 10种 情 况，所 选 2 部 专 著 中 至 少 有 一 部 是 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期 专 著 的 基 本 事 件 有 aG/,a e,机、，加/,%,c、d,c e,共 9 种 情 况，所 以 所 选 2 部 专 著 中 至2 9少 有 一 部 是 汉、魏、晋、南 北 朝 时 期 专 著 的 概 率 为 故 选 D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 概 率 公 式 的 应 用，属 于 基

31、 础 题，利 用 古 典 概 型 概 率 公 式 求 概 率 时，找 准 基 本 事 件 个 数 是 解 题 的 关 键，基 本 事 件 的 探 求 方 法 有（1）枚 举 法：适 合 给 定 的 基 本 事 件 个 数 较 少 且 易 一 一 列 举 出 的；（2）树 状 图 法：适 合 于 较 为 复 杂 的 问 题 中 的 基 本 事 件 的 探 求.在 找 基 本 事 件 个 数 时，一 定 要 按 顺 序 逐 个 写 出：先（A，4），（A，斗）.（4，&）,再（4,耳），（4，g）.（&,纥）依 次（4,4）（4 也）.（怎 纥）这 样 才 能 避 免 多 写、漏 写 现 象 的

32、发 生.12.A【解 析】由 函 数 性 质，结 合 特 殊 值 验 证，通 过 排 除 法 求 得 结 果.【详 解】对 于 选 项 B,龙）=三 上 为 奇 函 数 可 判 断 B 错 误；x 一 V-对 于 选 项 C,当 X 1时，/a）=七 二 o 河 判 断 c 错 误；对 于 选 项 D,7（x）=与=+4,可 知 函 数 在 第 一 象 限 的 图 象 无 增 区 间，故 D 错 误；X X X故 选:A.【点 睛】本 题 考 查 已 知 函 数 的 图 象 判 断 解 析 式 问 题，通 过 函 数 性 质 及 特 殊 值 利 用 排 除 法 是 解 决 本 题 的 关 键，

33、难 度 一 般.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。,9 万 13.2【解 析】将 四 面 体 补 充 为 长 宽 高 分 别 为 石,1,逐 的 长 方 体，体 对 角 线 即 为 外 接 球 的 直 径，从 而 得 解.【详 解】采 用 补 体 法，由 空 间 点 坐 标 可 知，该 四 面 体 的 四 个 顶 点 在 一 个 长 方 体 上，该 长 方 体 的 长 宽 高 分 别 为 百,1,石，长 方 体 的 外 接 球 即 为 该 四 面 体 的 外 接 球，外 接 球 的 直 径 即 为 长 方 体 的 体 对 角 线 后 7币=3,所 以 球

34、半 径 为 体 积 为 4 3 9万 7 tr.3 2【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 四 面 体 外 接 球 的 常 用 求 法：补 体 法，通 过 补 体 得 到 长 方 体 的 外 接 球 从 而 得 解，属 于 基 础 题.14.V13【解 析】由 平 面 向 量 模 的 计 算 公 式，直 接 计 算 即 可.【详 解】TT因 为 平 面 向 量 d 与 5 的 夹 角 为 一，所 以 不 5=0,2所 以 N 2司=小 9同 2+4归 一 12ab=岳；故 答 案 为 历【点 睛】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 模 的 计 算，只 需 先 求 出 向 量 的 数 量 积

35、，进 而 即 可 求 出 结 果，属 于 基 础 题 型.【解 析】设 AB=3r,AC=2r,/BAD=Z C A D=a，由 5A MD+SACAD=SA B A C,用 面 积 公 式 表 示 面 积 可 得 到 m=6 cos a,5利 用 即 得 解.【详 解】设 AB=3r,A C=2r,/B A D=4 C A D=a,由 SBAD+S aC A D=S a B A C 得：-3t-2mt sin a+工 2入 2mt sin a=工 3/2/sin 2a,2 2 2化 简 得 m=9cosa,由 于 a e(0,9,故 机 故 答 案 为：【点 睛】本 题 考 查 了 解 三

36、角 形 综 合，考 查 了 学 生 转 化 划 归，综 合 分 析，数 学 运 算 能 力，属 于 中 档 题.16.42【解 析】根 据 分 层 抽 样 的 定 义 建 立 比 例 关 系 即 可 得 到 结 论.【详 解】设 抽 取 的 样 本 为“，4 5+5+4则 由 题 意 得 一=-,解 得”=4 2.12 n故 答 案 为：42【点 睛】本 题 考 查 了 分 层 抽 样 的 知 识，算 出 抽 样 比 是 解 题 的 关 键，属 于 基 础 题.三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(1)(2)夜.15【解

37、析】(1)以 A 为 原 点，为 x 轴，A O为 y 轴，A F为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 丽=(-1,0,2),CP=(-2,-1,1),计 算 夹 角 得 到 答 案.(2)设 碎=丸 前，0 7 0,计 算 产(0,22,2-2；.),计 算 平 面 APC的 法 向 量”=(1,-1,-平 面 4。产 2 2 A的 法 向 量 沅=(1,0,0),根 据 夹 角 公 式 计 算 得 到 答 案.【详 解】(1)：BAF=90,：.AF1.AB,又 平 面 A5EFJL平 面 A B C D,且 平 面 A B E/S平 面 ABCD=AB,平 面 A 5C Z

38、),又 四 边 形 ABC。为 矩 形，二 以 A 为 原 点，A 5为 了 轴，为 y 轴，4尸 为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，：A D=2,A B=A F=2 E F=2,P 是。尸 的 中 点，：.B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),B E=(-1,0,2),C P=(-2,-1,1),设 异 面 直 线 B E与 C P所 成 角 的 平 面 角 为 0,B E C P 4 2 回 贝!cosff=.,1=；=7=,BECP V 5-V 6 15异 面 直 线 B E 与 C P 所 成 角 的 余 弦 值 为 独 0.15(2)A

39、(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),设 尸(a,b,c),TP/CFD 0=2x,C=2-2A,：.P(0,22,2-2；.),A A=(0,22,2-22),A C=(2，2,0),设 平 面 A P C 的 法 向 量 五=(x,y,z),则 n A P=2/ly+(2-2 2)z=0,_ _.7，取 x=L 得 亢=(1,-1it-A C=2x+2y=0心 平 面 A O 尸 的 法 向 量 历=(1,0,0),V 二 面 角 D-A P-C 的 正 弦 值 为 旦,二|cos I解 得/=；,.尸(0,1,1),PF 的 长 度|PF|=(0-0)2+

40、(1-0)2+(1 2)2=0.【点 睛】本 题 考 查 了 异 面 直 线 夹 角，根 据 二 面 角 求 长 度，意 在 考 查 学 生 的 空 间 想 象 能 力 和 计 算 能 力.18.(1)1-813-8【解 析】(1)根 据 题 意 设 出 事 件，列 出 概 率，运 用 公 式 求 解；(2)由 题 得，X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,根 据(1)和 变 量 对 应 的 事 件，可 得 变 量 对 应 的 概 率，即 可 得 分 布 列 和 期 望 值.【详 解】(1)记 2 家 小 店 分 别 为 A,B,A 店 有，人 休 假 记 为 事 件 A,(j=0,

41、1,2),B 店 有 i 人,休 假 记 为 事 件 4(j=0,贝！!P(4)=尸(B)=C；1,2),发 生 调 剂 现 象 的 概 率 为 P.一,P(A2)=P(B2所 以 尸=P(A A)+P(4BO)1 1 1 1=x|X=4 4 4 4 8答：发 生 调 剂 现 象 的 概 率 为:.O(2)依 题 意，X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2.则 P(X=0)=P(A遇)=；x；=116,1 1 1 1 1=-X|-X-=一,4 2 2 4 4尸(X=2)=1 P(X=O)P(X=l)=l；：:P(X=I)=P(AIB2)+P(A2BI)所 以 X 的 分 布 表 为:X

42、 0 1 2P1记 _41 116所 以 E(X)=2 XU+1X+0 XL=)16 4 16 8【点 睛】本 题 是 一 道 考 查 概 率 和 期 望 的 常 考 题 型.19.(1)证 明 见 解 析(2)存 在，E 为。中 点【解 析】(D 证 明”_ 1 _面 4。，即 证 明 平 面 平 面 A B C O；(2)以 A 为 坐 标 原 点，而 为 x 轴 正 方 向，丽 为 了 轴c 町 勺 1 1+221 瓜 1正 方 向，而 为 z轴 正 方 向,建 立 空 间 直 角 坐 标 系.利 用 向 量 方 法 得 cos 6=上 昌=,1=；,解 得 力=版 卜 同 行，4储+1

43、 3 2所 以 E 为。中 点.【详 解】(1)由 于“为 A B 中 点，2又 P H=0，故 PH?=Ap2+A H 2，所 以 BAH为 直 角 三 角 形 且 NP4/=90,即 Q4_LAB.又 因 为 P A u 面 B 4 B,面 Q4B面 A3CD=A B,面 B 钻，面 ABCO,故 APJ_ 面 ABCO,又 P 4 u 面 Q 4 E，所 以 面 PAE_L面 A3CD.(2)由(1)知 A P L 面 ABC。，又 四 边 形 ABC。为 矩 形，则 AP,AD,A B 两 两 垂 直.以 A 为 坐 标 原 点，而 为 x 轴 正 方 向，而 为)轴 正 方 向，而

44、为 二 轴 正 方 向，建 立 空 间 直 角 坐 标 系.则 A(0,0,0),P(0,0,l),”(0,0),C(l,2,0),设 E(l,2/l,0),2 G(0,1),则 丽=(0,0,1),通=(1,2X,0),PH=(0,1,-1),77C=(1,1,0),设 平 面 A P E 的 法 向 量 为?=(x,y,z),-A P=0(z=0则 有，,令 x=-2 2,贝 i y=l,m-A E=Q x+2/ly=0则 平 面 A P E 的 一 个 法 向 量 为 鬲=(24l,0),同 理 可 得 平 面 P H C 的 一 个 法 向 量 为 点=(-1,1,1),设 平 面 A

45、 P E 与 平 面 P H C 所 成 角 为 9,八 同 可|1+22|V6 1则 由 题 意 可 得 cos6=占 高=/J=,解 得 2=:,网 同 G W+1 3 2所 以 点 E 为。中 点.【点 睛】本 题 主 要 考 查 空 间 几 何 位 置 关 系 的 证 明，考 查 空 间 二 面 角 的 应 用，意 在 考 查 学 生 对 这 些 知 识 的 理 解 掌 握 水 平.320.(I)分 布 列 见 解 析，E(X)=15；(II)-;(ID)至 少 增 加 2人.【解 析】(I)求 出 X 的 所 有 可 能 取 值 为 9,12,15,18,24,求 出 概 率，得 到

46、 X 的 分 布 列，然 后 求 解 期 望 即 可.(U)当 P 取 到 最 大 值 时，求 出 a,b 的 可 能 值，然 后 求 解 P CaXb)的 最 大 值 即 可.(HI)利 用 前 两 问 的 结 果，判 断 至 少 增 加 2人.【详 解】(I)X 的 取 值 为：9,12,15,18,24；3 5 7p(X=9)=,P(X=12)=,P(X=15)=,7 20 v 7 20 v 7 202 3P(X=18)=-,P(X=2 4)=-,X 的 分 布 列 为：X 9 12 15 18 24P3205207202203203 5 7 2 3故 X 的 数 学 期 望 E(X)=

47、9 X+12X+15X+18X-+24X 3=15；V 20 20 20 20 20(II)当 尸 伍*立)取 到 最 大 值 时，a=9“力 的 值 可 能 为：以 15减 a=12 减 a=18。=24经 计 算 P(9 X 15)=,P(12 X 18)=匕,P(18 X 24)=上,所 以 P(aWX)的 最 大 值 为 15弓=:3.20 4(HI)至 少 增 加 2人.【点 睛】本 题 考 查 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列，离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差，属 于 中 等 题.21.(1)p=6；(2)点 N 在 定 直 线 y=3上.【解 析】

48、(1)设 出 直 线 4的 方 程 为 y=x+5,由 直 线 和 圆 相 切 的 条 件：d=r,解 得，；(2)设 出 M(加，-3),运 用 导 数 求 得 切 线 的 斜 率，求 得 A 为 切 点 的 切 线 方 程，再 由 向 量 的 坐 标 表 示，可 得 N 在 定 直 线 上；【详 解】解：(1)依 题 意 设 直 线 4的 方 程 为 y=x+由 已 知 得：圆 C2：(x+l)2+y2=2 的 圆 心 C2(-l,0),半 径 厂=/5,因 为 直 线 4 与 圆 G 相 切，,1+所 以 圆 心 到 直 线 4：y=X+与 的 距 离 d=2=五,即=解 得 P=6或。

49、=一 2(舍 去).所 以 p=6；(2)依 题 意 设 加(租,-3),由(1)知 抛 物 线 C 方 程 为 f=i2y,所 以 y=,所 以 y=J,设 A U，%),则 以 A 为 切 点 的 切 线/,的 斜 率 为 k=1，12 o 6所 以 切 线/，的 方 程 为 y=)+y.6令 X=0,y=-：X|2+y=-：xl2y|+y=-y,即/，交 轴 于 3 点 坐 标 为(0,-y),6 6所 以 MA=(J C,-tn,yx+3),MB=+3),MN=MA+MB=(不 一 2机,6),/.ON=0M+MN=(xt设 N 点 坐 标 为(xy),则 y=3,所 以 点 N 在

50、定 直 线 y=3上.【点 睛】本 题 考 查 抛 物 线 的 方 程 和 性 质，直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 判 断，考 查 直 线 方 程 和 圆 方 程 的 运 用，以 及 切 线 方 程 的 求 法，考 查 化 简 整 理 的 运 算 能 力，属 于 综 合 题.22.(1)“。)=3-一 二+二+乃+26,sinOw(2)当 6=工 时，栈 道 总 长 度 最 短.smd tan，L3/3【解 析】(1)连 8,CE,由 切 线 长 定 理 知：8E=6O=半 B C=-=-,AB=A C-B C=3一 一 2 0,tan 3 tan 3 sin 0 sin 6 sin