2023年高考数学一轮复习：空间向量与立体几何 检测试卷含答案解析.pdf

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1、2023年高考数学一轮复习单元测评卷空间向量与立体几何一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .如图，某圆锥S。的轴截面SAC是等边三角形，点8 是底面圆周上的一点，且N B O C=60,点M 是 SA的中点，则异面直线A8与CM所成角的余弦值是（）2.已知MN是正方体内切球的一条直径，点 P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2,则 两 丽 的取值范围为（）A.0,4B.0,2C.1,4D.，23.如图，正方体中，M 是 的 中 点，贝 U （A.直线MB与直线BQ相交，直线M B u平面ABGB.直线MB与直线R C 平

2、行，直线M B 平面B Q C.直线MB与直线A Q 垂直，直线MB/平面片RCD.直线MB与直线AC异面，直线上出，平面4。a 片4.如图，正方体A 8C-A G R 的棱长为1,P 为A 4 的中点，拉在侧面上，若D.M 1 CP,则ABCN面积的最小值为（）45.己知正四面体ABCD的棱长为1,0是该正四面体外接球球心，且A O =xAB+yAC+zAD,x,y,zeR,则x+y+z=6.在棱长为4 的正方体ABCD-A.BiCiD!中，点 E、F 分别在棱A A i和 A B 上，且 CiELEF,则|AF|的最大值为（）7.在一个正方体ABCO-A M G R中，尸为正方形A A G

3、 R 四边上的动点，。为底面正方形 A8CD的中心，M,N 分 别 为 中 点，点。为平面A8CZ）内一点，线 段。与0P互相平分，则满足 两=2两 的 实 数 义的值有A.0 个B.1个C.2 个D.3 个8.已知三棱锥4-B C D 中，底面5 c。为等边三角形，AB=AC=4）=3,BC=2有，点 E为C。的中点，点 F 为BE的中点.若点、N 是空间中的两动点，且 丝=黑=2,=2,M F NF则 丽.德=A.3 B.4 C.6 D.8二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分

4、9.已知正方体A 8CD-A 5 C Q 的棱长为4,点是棱A R 的中点，点 P 在面A3CD内（包含边界），且M P =2 ,贝 U（）A.点P 的轨迹的长度为2万B.存在p,使得M P1R CC.直 线 与 平 面 B D D 4所成角的正弦值最大为竽D.沿 线 段 的 轨 迹 将 正 方 体 切 割 成 两 部 分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为88+2（6-1）1 0.已知棱长为。的正方体ABCO-A8。中，M 是 B C 的中点，点尸在正方体的表面上运动，且总满足M P L M C,则下列结论中正确的是（）A.点尸的轨迹中包含AA的中点B.点P 的轨迹与侧面AAQ。的交

5、线长为叵4c.的 最 大 值 为 叵4D.直线CG与直线所成角的余弦值的最大值为当1 1.如图，在正方体A 8C O-A 4 C Q 中，惧=3,点 M N 分别在棱AB和 上 运 动（不含端点），若R M L MN,下列命题正确的是（)A.MN VA.MB.MN_L平面)|MCC.线段BN长度的最大值为；D.三棱锥G-A R M体积不变1 2.如图，正方体ABCQ-AAGA中,点E为棱。的中点，点P是线段G。上的动点,AA=2,则下列选项正确的是（）A.直 线 与8遂是异面直线B.三 棱 锥 的 体 积 为1C.过点C作平面AEq的垂线，与平面4 4 G o交与点Q,若 用=3彳，则。CAP

6、D.点P到平面AE用的距离是一个常数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知球。是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN为球。的一条直径，点户为正八面体表面上的一个动点，则 相.雨 的 取 值 范 围 是.14.在底面是正方形的四棱锥尸-ABCD中，B4_L底面ABC。，点E为棱尸8的中点，点F在棱A上，平面CE户 与 外 交于点K,且R4=AB=3,AF=2,则四棱锥K-ABCD的外接球的表面积为一.15.四棱锥P-ABCD中，PA_L平面45CD,ZBAD=90,PA=AB=BC=-AD=,2B C D AD,已知。是四边形A B C。内部一点，且二

7、面角Q-P D-A的平面角大小为,若动4点Q的轨迹将A 8 C O分成面积为SS2(S,/3)设异面直线A 8与C M所成角为 氏则8也1 C O S阿同=但*3 /I/3+9./9+3 42.【答 案】B【解 析】设正方体内切球的球心为。，则QM=QN=1,P M P N =(P d+O M y(Pd+ON=Pd2+P d(O M +dN+O M O N,因 为M N是正方体内切球的一条直径，所 以oM +0而=6，瑞.湍=-i,所 以 两 西=用2-1，又 点P在正方体表面上运动，所 以 当尸为正方体顶点时，I的I最 大，且最大值为6;当尸为内切球与正方体的切点时，I丽I最 小，且最小为1

8、;所 以0 4所2-1 4 2，所 以PM-PN的取值范围为0,2,3.【答案】C【解析】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2,则8(2,2,0),M(l,0,l),4(2,2,2),(0,0,2),C(0,2,0),(0,0,0),A(2,0,0),入(2,0,2),C,(0,2,2),所 以 荻=0,2,-1),玩=(0,2,2),瓦瓦=(2,2,0),所以定历与方C不平行，故直线MB与直线R C不平行，即B错*L J俣；函=(2,0,2),所以 而 叵.西=2 xl+0*2 +(-l)x 2 =0,所 以 砺 工 可，设面4 R C的法向量为-,.D,C-2y-2z=0.*.n

9、=(x,y,z),即 ”，令x=l,则y=-l,z=-l，所以 =(1,-1,一1)，所以、7 l/t-D.B,=2x+2y=0、标=以1 +2、(-1)+(-a(-1)=0,因为例8 0平面8,所以加8平面4)。如 正 确；因为Z)A=(1,0,0),标.砺=1，故 而 与 丽 不 垂直，故D错误;因为BD C BM=B ,所以不相交，故A错 误;故选：C4 .【答案】B【解析】过 河 作“G,平面ABC D,垂足为G；作G H L B C 十点H ,连接以。为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则。(0,0,0),c(o,i,o),A(I,0,0),A(0,0,1)，5(1,1,0)设M

10、(l,a,。)，则 丽=(l,a,h-l),C户1 CP.丽 屈=l-a +g(b-l)=；-a +g =0:.b=2a-:.CH=-a,MG =1a-：.MH=(1-a)2+(2 a-l)2=yl5a2-6a+2：.S湫乂=g B C .MH=；4 5a2-6a+23 1当 a =1时，(5 片 6。+2)=5 .【答案】A【解析】如图设A/，平面B C D,球心。在 A b上，山正四面体的性质可得：三角形8 C Q 是2正三角形，B F=-x3=，在直角三角形尸 0 8中,3O B2=O F2+B F2=O A2=（专 一AO）?+（曰 产=A 0 =咚,3 _ _ _ _,_._,_,_

11、A O =-AFf A F=A B+B F A F =A D+D F A F =A C +C F，因为尸为重心，因此4而+1+而=6,则3而=而+/+而因 此 而=；(通+恁+而)，因此x=y =z=；,3则x+y+z=故选A.6.【答案】B【解析】以 AB,AD,A A i所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 Ci(4,4,4),设 E(0,0,z),ze0,4,F(x,0,0),x0,4 ,则|A F|=x.鬲=（4,4,4-z）,EF=（X，0,-z）.因为 CiEJ_EF,所 以 星 前=0,即：z2+4x-4z=0,x=z-z2.4当 z=2 时，x 取得最大值为

12、1.|AF|的最大值为1.故选B.7.【答案】C【解析】因为线段。与 O尸互相平分，所以四点O,Q,P,Q 共面，且四边形。功为平行四边形.若尸在线段Ci。上时,。一定在线段ON上运动，只有当P为 G A 的中点时，。与点何重合，此时工=1,符合题意.若尸在线段C i S 与线段8 4 上时，在平面A 8 C。找不到符合条件Q；在 P在线段94上时，点。在直线0 M上运动，只有当尸为线段A4的中点时，点。与点M 重:合,此时2=0 符合题意，所以符合条件的7值有两个8.【答案】B【解析】建立直角坐标系如图所示，A B =A C =A D =3,底面B C D 为等边三角形，且B C =2 6.

13、所以0 口=2 A 0=逐 2(-6,-1,0),D(0,2,0),C(G，-1,0),点E为CD的中点，所以E (立，；，0)点尸为B E 的中点，F2 2(-3，二，0),设 M(x,y,z),=空=2,所以X2 +/+Z2=I,所以点M 在以4 4 MF NF（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2,所以M N为球的直径，砧.标=（而+而）（而+丽）=（而+时）（而-两）=AO2-O M2=5-1=4.9.【答案】AD【解析】对于选项A：结合已知条件，过M作垂足为N,如下图所示:由已知条件和正方体性质易知，MV=4,且必VJL平面A8CD,因为N P u平面

14、4 3 C D,所以M NLNP,又因为MP=2布,所以NP=）M产-M N。=2,故点P的轨迹是以A D的中点N为圆心，半径为2的一个半圆,从而点P的轨迹的长度为方x2万x2=2;r,故A正确;对于选项B：以。为坐标原点，DA,CC和。R为x、丁和z轴建立空间直角坐标系，如下图:由已知条件可知，(2,0,4),4(4,0,4),C(0,4,0),N(2,0,0),不妨设 P(x0,%,0)，且(/1+方=-xe0,4且 e0,2,因为玲 =(-4,4,-4)，加=(%-2,%,-4)，所以 痴=-4(%-%)+24，假设存在存在P,使得MP_LAC，故泰.薪 =-4(%-%)+24=0,即x

15、0-%=6,即x0=%+6 e 6,8,这与x。e 0,4矛盾，从而假设不成立，故 B 错误；对于选项C：连接A C,易知A C,平面&冉，因为44,0,0）,所 以/=（_4,4,0）为平面8以）4的一个法向量，设直线MP与平面8。蜴 所成角为3,故SE”侬型业”。+,2二%,+2）,MPAC 27（x0-2）-+y0-+16 20不妨令飞=2+2cosp%=2 s in g,其中勿e0,从而为一%+2=2sinQ-2cos夕=2&sin（Q-?）/2,当且仅当efg 即 展 与 时，+2 最大值2 0，从而sin 0-（y0-x0+2）的最大值 为 手,即直线M尸与平面8。乌4 所成角的正

16、弦值最大 为 手，故 C 错误；对于选项D：由题意可知，挖去的部分为一个底面半径为2,高为4 的半圆锥，则半圆锥的侧面为：2 剩余面积为4 x 4-g x 万X2?=16-2万，正方体其余四个面的面积为4x4x4=64,故剩余部分儿何体的表面积为88+2（6-1）万，故 D 正确.10.【答案】BCD【解析】如图，取 的 中 点 E,分别取A A,玛8 上靠近4,的四等分点F,G,连接EM,EF,FG,MG,易知尸G且 E 0 =F G,所以E,M,F,G 四点共面.连接GC,因为旅 2=图 一+（方=得，=+/=4，GC2=（T+/=等，因此MG2+M C 2=G C 所以M G L M C

17、,易知所以M C L平面MEFG,即点P 的轨迹为四边形MEFG（不含点M）,易知点尸的轨迹与侧面相Q D 的交线为EF,由EF不过A A,的中点，所以A选项错误又 EF=M G =典,8选项正确;4根据点P的轨迹可知，当P与尸重合时，最大，易知尸G，平面B8CC,则F G _ L M G,连接时尸，所以用尸=I 2 5 a 2 V 2 1.a +=-V 1 6 4故C选项正确;由于点尸的轨迹为四边形M E F G （不含点M）,所以直线CG与直线叱所成的最小角就是直线C C,与平面MEEG所成的角，又向 量 出 与平面M E F G的法向 量 两 的夹角等于GCM,a且s i n NCC =

18、*=夸，所以直线C C,与平面M E F G所成角的余弦值为半,即直线C G与直线M P所成角的余弦值的最大值等于半，故。选项正确.故选：B C D1 1.【答案】A C D【解析 1在正方体中，以点。为原点，射线。A,D C,。口分别为x,y,Z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图:4(3,0,3),0,(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),设 M(3,y,0),N(3,3,z),y,z e(0,3),加=(3,y,-3),丽=(0,3-y,z),而 A _ L MN_ 1则 DM MN =j(3-y)-3 z =0=z=-y(3-y),对于 A 选项：=(0,y,-3),则 森

19、 丽=y(3-y)3 z=0=丽J _丽，MN 1 A M ,A正确；对 于 B 选项：G W =(3,y-3,0),西丽=(y-3)(3-y)=-(3-y)2 c 0 ,即 C M 与 MN不垂直，从而MN与平面。例C不垂直，B不正确；对于C选项：丽=(0,0,z),则线段BN长度|B N|=z =-(y-；)2+m t,当且仅当y =；时取“=”,C正确;对于D选项：不论点M如何移动，点 M 到平面A。的距离均为3,而%一取科=_&*,0).由题意可知 A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),/.DP=(-2,0,1),DQ=(-2,b,0).AD=(2,0,0).uuu设

20、平 面APD的 法 向 量 为|=(X yH z i),平 面PDQ的法向量为=(x2,y2,Z2)n.n.-DP=0 fn,-DP=04=0 n2 DQ=0即1-2XI+Z|=0 1-2X,+Z2=02%,=0 一2+切2=0uui 7令 yi=0 得勺=(0,1,0),令 Z2=2 得 乙=(1，j，2).二 面 角Q-P D-A的平面角大小 为 2u uu Z I 1 y/2.,.C O S =|-|-|=2即J 4=冬 解 得b=|反S a ADQ=A Q.A Q=gx2 x /=/5 .I 2 3 2S 梯 形 ABCD-SA ADQ-X(1+2)X1-7 5 =-5/5 .V S|

21、(0,0,0),4(0,2,0),5(2,2,0),C(2,0,0),R(0,0,2),A(0,2,2),4(2,2,2),c (2,0,2),口(0,0,2),设 M(2,a,2-a),N(2-a,2,2-a),则 丽=(-&2-凡0),丽=(0,0,2),所 以 丽 丽=0即44fL M N,故正确.平面A B CQ的法向量 为 丽=(。,0,2),因为AA LMN且M No平面44G所以M N 平面4田。12，故正确.当M与C1重合时，MN与AG相交，故错.平面B DC,的法向量为而=(2,-2,-2),函=(0,0,2),故B 1到到平面8OG的距离为d =2x j=速，故正确.2 V

22、 3 3若点M,N分别为线段/修，8。的中点，则 由 线 确 定 的 平 面 为A C S,它是等边三角形，所以正确.综上，正确命题的序号为.1 7.【答案】（1）证明见解析；（2）-3；3【解析】（1）A BUBC,。为AC的中点，BD A C,直三棱柱 ABC-A4G 中，面月 CCA 1面 A B C,3 u 面 A B C,面 A C C|An面 A B C =A C,8。_ L 面 A C C；A,又 ）G u 面 A C CtA,即 BD DC1,由题设易知：=A D =C D =CCt-1 ,故4。=。=逝，又A C =AG=2,4。2 +。2=AC：,则 A。LOG，又 4Oc

23、 3D=r）,D C,，平面A B O.（2）过。作D z _ L A C,由（1）可构建以。为原点，D C.而、&为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：，由题意：0(0,0,0),C,(1,0,1),B,(0,1,1),5(0,1,0),=(0,1,1),父=(1,0,1),丽=(0,1,0),显 然,记=(1,0,0)是面B O B 1的一个法向量,(r)R ft=v+z=(),令x=i,则 3=(i,DC】-n=x+z=0，co s=q=!广=g,由图知：钝二面角8-。耳-G的余弦值为-立.mn 1 x7 3 3 31 8.【答案】（1 证明见解析：（2）/l =g.【解析】（

24、1）因为/5 4 C =9 0。，所以A C _ L A 8,又因为AAL平面A B C,A C u 平面ABC,所以A A A C,又 A A n A 8 =A,所以 A C _ L 平面 ABBM，所以又因为4 g=/22+22=2 夜，B Bt=/（4-2）2+22=2 及，所以 AB2=A B：+B8：,所以又 AqnAC=A,所以 B q _ L 平面 A 8 C；（2）以A为坐标原点，A B,A C,A A 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图所示:因为 A B =A C =4，A 4 =A4=AG=2,所以 A(0,0,0),3(4,0,0),C(0,4,0)，G(0,2

25、,2),因 为 =A C C f(冗 w 0,1 ),所以。(0,4 2 2,2/1),设平面A B Q一个法向量为4 =(X 1,y,zJ,设平面C 8。一个法向量为“旦 丽=(4,0,0),通=(0,4 2 4 2 4),丽=(4,T,0),丽=(0,2 4 2 2),因为,笺，:所以I：；n n，令所以 1=(0 4 2 2),AD nt=0 (2-2)+2 z,=0 CH 1，=()f x,y,=0 .又因为 2 所 以-无 令 =i,所以%,CDn,=0 y2-z2=0所以C O S =患 尚=厂，一(几 0,1 ),网 网 存 2+(-2)又因为二面角C-即-A的余弦值为-叵，1

26、5所 以厂2 2-2 5 1 3/,、，=一 工，所以解得力=：(2=3 舍 去)，-5/22+(2-2)1 5 2 2综上可知：A=1.1 9.【答案】证明见解析；1 0 苗.【解析】(1)证明：因为C是以4 B 为直径的圆。上异于A,8的点，.3C L AC,又平面P A C L 平面A B C,且平面P A C 0平面A B C =AC,B Cu 平面ABC,B C J平面 P AC.(2)由E,F 分别是P C,P B的中点，.。防，又 E F u 平面 AE F,B Cu 平面 AE F,平面 AE F,又 B Cu 平面A B C,平面E B 4 c 平面A B C =/,.8 C

27、 7.以 C为坐标原点，CA,C B 所在直线分别为x轴，.y 轴，过 C口垂直于平面A B C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 42,0,0),8(0,4,0),2 1,0,扬，,彳/0,到，也,2,爸，_ (3 fj，A E=,5 O j-2-,EF=(0,2,0),v BC/Z，可设Q(2,y,0),平面AE 尸的一个法向量为/n =(x,y,z),-D 人 Y D Z则 华 丽=_彳+亍=0,取 z=5 得正=(1,0,加，EF 玩=2 y =0I UUD IT II /U l i n i i y i p g.m /j又 丽=(1,y,-扬，则卜。s(P Q,叫闻目=再了，(0

28、.工直线P。与平面A E F 所成角的取值范围为(0,7.2 0.【答案】(1)证明见解析；(2)9近兀.【解析】(1)证明：延长A。交B C 于点D.因为SO L平面A B C,所 以/4。即为直线E 4 与底面A B C 所成的角,从而t a n/E 4O =XZ,所 以 变=正.2 A 0 2因为A O =2,则0 E =应，SA=4,A B =SO =2#）.以点。为坐标原点，与C B 平行的直线为x 轴，。所在直线为y 轴，O S 所在立线为z 轴,建立空间直角坐标系。-孙z,则 0（0,0,0）、A（0,-2,0）,B（4,1,0）、4-后 1,0）、E（）,0,，所 以 前=卜

29、2 6,（）,（）,B =（-,-l,2）,通=（0,2,夜），设平面E B C的法向量为n=（x,y,z）,由 卜 丝=0 得=O ,取 z =,则 y =&x =0,即百=（0,6 1）,n-B E=0-4 3 x-y+j2z=0 7所 以 荏=亚 小 即 荏 宿，所以AE _ L 平面E B C；（2）由题意知三棱锥E-A B C 为正三棱锥，设其外接球的球心为。（0,0,。，由。4=彘，得 炉）=1-2 闽，解得.=_ 曰，所 以 外 接 球 的 半 径 3-*）=，所以外接球的体积V 乃 乎=9 岳.2 1.【答案】（1）证明见解析；（2）-巫；（3）存在，3=15 P G 3【解析

30、】（I）因为四棱柱A B 8-A B CA 是正四棱柱，所以抽，平面ABC。，B D 1 A C,因为8 u平面A B CD,所以A41 _ L 8。,因为A A DA C=A,所 以 平 面 A A C,因为ACU平面AAC,所以BOAC.（2）如图，以。为原点建立空间直角坐标系。-孙z,则 A（2,0,4）,C（0,2,0）,A（0,0,4）,0（0,0,0）,B（2,2,0）,C,（0,2,4）,丽=（2,0,0）,求=（O,2,T）,丽=（2,2,0）,因为BO _ L 平面A A C,所 以 丽=（2,2,0）是平面A41c的法向量，设 平 面 的 法 向 量 3=（与,M，4）,则

31、n%-D取A.3=0 即2x =0-令【I,则 y=2,一 =（0,2,1）,I K-DB n 4 V 1 0故C s 3 ）=丽=而&=可，因为二面角A-A C-R是钝二面角，所以二面角A-A C-R的余弦值为-乎.（3）设尸（七,月*2）为线段CG匕 一点，CP =XP C,z 0,因为。尸=（9,%-2 心），P CX=（-X j,2-y2,4-z2）,C P X P Q ,所以（孙一2,2 2）=4（-巧,2-%,4-2 2）,则工 2 =，2=2,设平面P BD 的法向量加=（玉，必，Z 3），则m D P=0m -D B=0即c 4/1 八2%-i-z R =0 3 1+4 3,令

32、%=1，则机=2+2%=0若平面A C R _ L 平面则而G=0,即2 詈=0,解得2 =1,2 4 3故当黑=g 时，平面A C R 1平面尸8。.2 2【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.【解析】解 析(1)证明：取 A G的中点H,连接P H,HC.在堑堵A B C-A B C中，四边形3 C G 与为平行四边形，所以 4G BC 且 4 G=8 C.在AZ J.C,中，p,“分别为A g，A G的中点，所以 P H/8 C 且=因为N为 8c的中点，所以N C =；8 C,从而 NC=P 且 NC/PH,所以四边形P H C N为平行四边形，于是PN/CH.因为CHu 平面A G。，尸 N 所以 1=(3,1+22,2-22).由题意得|cos m,|=|2-22|19+(1+2/)2+(2-22)2=三，解得2=j,故点P 不在线段A区上.