2023年高考数学专题2数列的题型与方法文科精品讲义苏教版.pdf

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1、2019-2020年高考数学专题 2：数列的题型与方法（文科）教案苏教版一、考点回顾1数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。2判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若1(1)()nkaandank d，则为等差数列；若，则为等比数列；中项公式法：验证都成立。3在等差数列中,有关 Sn的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当,d0 时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组

2、求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。5数列的综合应用：函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6注意事项：证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。注意一些特殊数列的求和方法。注意与之间关系的转化。如：=，=数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路解综合题

3、的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力知识网络111111(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaq naaa qaad naandnn nSaanadaaaamnpq两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1

4、)(1)11(1)()nnnnmpqaa qaqqqqSnaqa aa amnpq等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题 1.（山东省滨州市xx 年高三第三次复习质量检测）已知等比数列分别是某等差数列的第5 项、第 3项、第 2 项，且（）求；（）设，求数列解析：（I）依题意032),(32244342aaaaaaa即03213131qaqaqa21101322qqqq或（II）nbnnn72log)21(64log7212nnnnTbnn)13(2)

5、76(,6|,71时当2)7)(6(212)7)(71(,1|,778nnnnTTbnn时当)7(212)7)(6()7(2)13(nnnnnnTn点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例题 2.（xx 年湖南省长郡中学第二次月考）设数列的前n 项和为 Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为 q 的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）试比较的大小，并证明你的结论.解析：（）是各项均为正数的等比数列.当 n=1 时，a1=1，当212,(1).nnnnnaSSqq时。（）当n=1 时，2132111312(1)2(1)()0.24aaaSS qqSqq

6、当1112112)1(2)1()1(2,2nnnnnnqqSqqSqqSaaan时当 q=1 时，.2,0)1(123nnnaaaq当.2,0)1(123nnnaaaq当.2,0)1(123nnnaaaq综上可知：当 n=1 时，当;2,1,212nnnaaaqn则若时若;2,1012nnnaaaq则若点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。个个考点二：求数列的通项与求和例题 3.（xx 年 5 月湖北省十一校）.已知数列中各项为：12、1122、111222、（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n 项之和 Sn.解析：先要通过观察，找出所给的一列

7、数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）12(101)10(101)99nnnna记：A=,则 A=为整数=A(A+1)，得证(2)21121010999nnnaQ2422112(101010)(101010)999nnnSn2211(1011 10198210)891nnn点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题 4.(云南省 xx 年第一次高中毕业生复习统一检测)已知是数列 的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设,3,2,1(21naabnnn）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（II）

8、设loglog1,32212nnnnnCCTbC为数列的前 n 项和，求.解析：（I）),2(24,2411naSaSnnnn两式相减：),2(4411naaannn*),(2)2(2,2)(42,2),2)(41111121111Nnbaabaaaaabaabnaaannnnnnnnnnnnnnnn是以 2 为公比的等比数列，,325,523,24,2112121121baaaaaaab而（II）个,)1(12log2log1loglog11222212nnCCnnnn而.111)111()4131()3121()211(nnnTn点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数

9、列的通项，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系例题 5.（xx 年 5 月莆田四中）已知为锐角，且，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列 an 的首项.求函数的表达式；求证：；求证：),2(21111111*21Nnnaaan解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：1)12(1)12(2tan1tan22tan22又为锐角都大于0 nnnnnnnaaaaaaa111)1(111211322121111111111111nnnaaaaaaaaa,又21111

10、11121naaa点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题6.（东城区xx年检测）已知数列满足,2143.1,211*1nnnnnxaxNnxx设且且.2)12(322123212nnnnaanaaaT（）求的表达式；（）求；（）若)()12(131*2NnnnQn，试比较的大小，并说明理由.解析：（I）12123121)21()21()21(1)()()(nnnnxxxxxxxx)21(1)21(1当时上式也成立，).(213132*1Nnxnn（）.212141214311nnnnxannnnaanaaaT21232122)

11、12(3212243221221)12(21321221nnnn2212543221221)12(2132122121nnnnnT，得221232221221212123nnnnT.2122161612122112114123222222nnnnnnnT.2131912132191912222nnnnnnT（）由（）可得又当;9,9)12(,42,1222nnnQTnn时当;9,25)12(,162,2222nnnQTnn时当.)12()()11(2,32221022nCCCCnnnnnnnn时综上所述，当.9,3;9,2,122QnTnQnTnnn时当时点评：比较大小的常见的办法是做差，但关

12、键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。例题 7.（xx 年 5 月 xx 浙江省五校）已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（）（）（）若则当n2 时,.解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解:()先用数学归纳法证明,.（1）当 n=1 时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k 时,结论成立,即.则当 n=k+1 时,因为 0 x1 时,1()1011xfxxx,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.又 f(x)在上连续,所以 f(0)f()f(1),即 0.故当 n=k+1

13、时,结论也成立.即对于一切正整数都成立.又由,得1ln 1ln(1)0nnnnnnaaaaaa,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)=,0 xg(0)=0.因为,所以,即0,从而()因为 ,所以,所以1211211!2nnnnnnbbbbbnbbbL ,由()知:,所以=31212121222nnnaaaaa aaaaLL,因为,n 2,所以 0，a120，a7a3a7=2，a3=6，从而得a1=10，d=2，S20=180 7【答案】B 解析：f（n+1）f（n）=1921)19()20(221)2()3(121)1()2(ffffff相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（

14、20）=95+f（1）=978【答案】B 解析：（a2+a5）（a1+a4）=（a2a1）+（a5a4）=2d（a3+a6）（a2+a5）=（a3a2）+（a6a5）=2d依次类推9【答案】D 解析：设三边为则222aaqaqaaqaqaqaqa，即222101010qqqqqq得1515221515,22qqRqq或，即10【答案】D 解析：1 由1(21)0nnaank,恒成立,有,得。11【答案】B 解析：21211212112112121(21)22(21)21223(21)131(21)2nnnnnnnnnnaanaaaaSnnbbbbbbTnnn。12【答案】D解析：设，则有bmq

15、qbmbqbqb11,0,。当时，而，；当时，即，而，则，故。13【答案】6 解析：由已知得=+，是以=1 为首项，公差d=的等差数列=1+（n1），an=，n=614【答案】110 解析：S100S10=a11+a12+a100=45（a11+a100）=45（a1+a110）=90a1+a110=2S110=（a1+a110）110=110 15【答案】5 解析：21=，n=516【答案】解析：=2)(212)(212)(2)(211211211211bbaabbaa=17解：（1）定义域为：（2）.)1(),(2111nnnnSSSfS又.1,01nnnSSS).2(12)1(.,1.2

16、21211nnnnSSanSnSSaSnnnnnn为等差数列而a1=1符合上式，故（3）)12()12(153131121nncccn)121121()5131()311(21nn18解：1）当 n2 时，)1(1)1(111nnnnnaaaaaaSSa整理得所以 an 是公比为a 的等比数列.（4 分）（2）|lg|lg|lganaaaaabnnnnnn当 a=2 时，,2lg22)1(.2222,2lg)2.222(1322nnnnnnnTnT两式相减，得2lg2)1(1 2,2lg)22.222(132nnnnnnTnT化简整理，得（9 分）因为 1a 0，所以：当n 为偶数时，当 n

17、为奇数时，所以，如果存在满足条件的正整数m，则 m一定是偶数.*2222222|,|lg)1)(1(2Nkaaakaabbkkk其中当,921372aa时，所以,271.0|lg)1(22222aaaaak又因为所以当.,2712108222bbbbbkkk即时，当2468222,27bbbbbbkkk即时，故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n 都有19解：（）)2(0,11nSSSSSannnnnn291.11111SSSnn又为首项，1 为公差的等差数列.（）由（）知，2211)1()1(291nnSn当,)213)(211(4,21nnSSannnn时.)2()213)(211(4)

18、1(92nnnnan由，解得，而故所求n的集合为 6.20解：（I）.0,54aaan且为等差数列154176543217)(3SaaSaaaaaaSS；2542654326)(2SaaSaaaaSS；.;4435435SSSaaSS又对任意.,8*,恒成立等式nnkSSnNn（II）推广：设等差数列的前n项和为Sn，若存在正整数k，使则对任意.,2*,2恒成立等式且nnkSSknNn设的公差为.0)12(2,0,11dkaaadkk.11122)1()2(2)2(2)2(2)2)(212212()2(2)12(nnkSdnnnandadnndkdnnkdnnkdnkdknkdnkaS故推广后

19、的结论正确.21解：（1）由知解得：同理得（2）由知构成以为首项以2 为公比的等比数列；为所求通项公式（3）nnaLLaaaS321)12()12()12()12(321nLLnLLn)2222(32122解：（1）设的公差为d，由题意得：12512511251212127()(4)2721200nadaaaa aadadandddn-111111121T12233nnnnTbbbTQn1得两式相减得：b，b1111211,233333nnnnnbbbn2即是以为公比，以为首项的等比数列。b3（2）1(21)23nnnnca bn111111(21)2(21)28()(1)333nnnnncc

20、nnn（四）创新试题1.在直角坐标平面上有一点列),(,),(),(222111nnnyxPyxPyxP，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：nnkkkkkk13221111.2.设数列 an 的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式 3tSn(2t+3)Sn 1=3t(t0,n=2,3,4)(1)求证数列 an 是等比数列；(2)设数列 an 的公比为f(t)，作数列 bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列 bn 的通项b

21、n；(3)求和b1b2b2b3+b3b4+b2n 1b2nb2nb2n+1创新试题答案1解：（1）23)1()1(25nnxn1353533,(,3)4424nnnyxnPnn（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：,4512)232(2nnxay把代入上式，得，的方程为：1)32(22nxnxy。，)321121(21)32)(12(111nnnnkknnnnkkkkkk13221111)321121()9171()7151(21nn=641101)32151(21nn2解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得 3t(1+a2)(2t+3)=3ta2=又 3tSn(2t+3)Sn

22、1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=3t 得3tan(2t+3)an 1=0 ,n=2,3,4,所以 an 是一个首项为1 公比为的等比数列；(2)由f(t)=,得bn=f()=+bn1可见 bn 是一个首项为1，公差为的等差数列于是bn=1+(n 1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n 是首项分别为1 和，公差均为的等差数列，于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n 1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)=(b2+b4+b2n)=n(+)=(2n2+3n)四、复习建议1“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算

23、中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果2归纳猜想证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义3解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题4数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解