2022年全国甲卷高考理科数学试卷及答案解析.pdf
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1、2022年 全 国 甲 卷 高 考 理 科 数 学 试 卷 一、选 择 题:本 题 共 1 2小 题,每 小 题 5 分,共 6 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.(5 分)若 z=-l+百 八 则-=5=()ZZ-1A.-1+扬 B.-1-0 C.-D.-A-2 Z lj-3 3 3 32.(5 分)某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果,随 机 抽 取 10位 社 区 居 民,让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份
2、垃 圾 分 类 知 识 问 卷,这 10位 社 区 居 民 在 讲 座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 图:则()A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差 3.(5 分)设 全 集 U=-2,-1,0,1,2,3,集 合/=-1,2,8=x/-4
3、x+3=0,贝 U C u(/U 8)=()A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,04.(5 分)如 图,网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图,网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 多 面 体 的 体 积 为()第 1 页 共 2 6 页A.8 B.12 C.16 D.205.(5 分)函 数 y=(3、-3一、)cosx在 区 间-2 L,2 L 的 图 像 大 致 为()2 2第 2 页 共 2 6 页6.(5分)当 x=l 时,函 数/(x)=。什 旦 取 得 最 大 值-2,则,(2)-()XA.-1 B.-A C.A D.12 2
4、7.(5 分)在 长 方 体”C-/i8iCiOi中,已 知 81。与 平 面/BCD和 平 面 44向 8 所 成 的 角 均 为 30,则()A.AB=2ADB.力 8 与 平 面/Bi。所 成 的 角 为 30C.ACCBD.囱。与 平 面 881cle所 成 的 角 为 458.(5 分)沈 括 的 梦 溪 笔 谈 是 中 国 古 代 科 技 史 上 的 杰 作,其 中 收 录 了 计 算 圆 弧 长 度 的“会 圆 术”.如 图,窟 是 以。为 圆 心,0 4 为 半 径 的 圆 弧,C 是 Z 8 的 中 点,。在 窟 上,CD,48.“会 圆 术”给 出 澈 勺 弧 长 的 近
5、似 值 s的 计 算 公 式:s=”+型 一.当 勿=2,ZAOB0A9.(5 分)甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等,侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2 m 侧 面 积 分 别 为 SS田 V田 甲 和 S 乙,体 积 分 别 为 人 和 匕.若 _=2,则=()S乙 V乙 A.遥 B.2V2 C.710 D.0.2 210.(5 分)椭 圆 C:三 _+2_=1(。60)的 左 顶 点 为/,点 P,。均 在 C 上,且 关 于 y轴 对 称.若 直 线 4P,/。的 斜 率 之 积 为 工,则 C 的 离 心 率 为()4A.近 B.亚 C.A D.A2 2
6、2 3第 3 页 共 2 6 页11.(5 分)设 函 数/(x)=sin(3X+等)在 区 间(0,n)恰 有 三 个 极 值 点、两 个 零 点,则 3 的 取 值 范 围 是()A.芭 迫)B.芭 玛 C.(里,当 D.(生,里 3 6 3 6 6 3 6 6二、填 空 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 2 0分。13.(5 分)设 向 量 之,芯 的 夹 角 的 余 弦 值 为 工,且 由=1,值=3,则(2+b)*b=.3214.(5 分)若 双 曲 线/-三-=1(%0)的 渐 近 线 与 圆-4 3=0 相 切,则?=.m15.(5 分)从 正 方 体 的 8
7、个 顶 点 中 任 选 4 个,则 这 4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.16.(5 分)己 知/BC 中,点。在 边 8C 上,/。8=120,/0=2,C D=2 B D.当 星 AB得 最 小 值 时,B D=.三、解 答 题:共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 2 1题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、2 3题 为 选 考 题,考 生 根 据 要 求 作 答。(一)必 考 题:共 6 0分。2S17.(12分)记 S”为 数 列 a”的 前 项 和.已 知 巴+=2即+1
8、.n(1)证 明:斯 是 等 差 数 列;(2)若 44,7,49成 等 比 数 列,求 S 的 最 小 值.第 4 页 共 2 6 页18.(12 分)在 四 棱 锥 尸-NBCO 中,W 底 面 4BCQ,CD/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,D P=M.(1)证 明:BDLPA-,(2)求 与 平 面 以 8 所 成 的 角 的 正 弦 值.第 5 页 共 2 6 页19.(12分)甲、乙 两 个 学 校 进 行 体 育 比 赛,比 赛 共 设 三 个 项 目,每 个 项 目 胜 方 得 10分,负 方 得 0 分,没 有 平 局.三 个 项 目 比 赛 结 束 后,总 得 分 高
9、 的 学 校 获 得 冠 军.已 知 甲 学 校 在 三 个 项 目 中 获 胜 的 概 率 分 别 为 0.5,0.4,0.8,各 项 目 的 比 赛 结 果 相 互 独 立.(1)求 甲 学 校 获 得 冠 军 的 概 率;(2)用 X 表 示 乙 学 校 的 总 得 分,求 X 的 分 布 列 与 期 望.第 6 页 共 2 6 页20.(12分)设 抛 物 线 C:y2=2px(p0)的 焦 点 为 凡 点。(p,0),过 尸 的 直 线 交 C 于 M,N 两 点.当 直 线 垂 直 于 x 轴 时,MF=3.(1)求 C 的 方 程:(2)设 直 线 A/,N与 C 的 另 一 个
10、 交 点 分 别 为/,B,记 直 线 MN,的 倾 斜 角 分 别 为 a,p.当 a-0取 得 最 大 值 时,求 直 线 4 8 的 方 程.第 7 页 共 2 6 页21.(12 分)已 知 函 数/(x)lnx+x-a.x(1)若/(x)N O,求。的 取 值 范 围;(2)证 明:若/(X)有 两 个 零 点 XI,X2,则 X1X21.第 8 页 共 2 6 页(二)选 考 题:共 10分。请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。选 修 4-4:坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)=2+t22.(1
11、0分)在 直 角 坐 标 系 式。v 中,曲 线 Ci的 参 数 方 程 为(x=6(f为 参 数),曲 线,y=Vt=2+sC2的 参 数 方 程 为 X 一 打(S为 参 数).Ly=-V s(1)写 出 Ci的 普 通 方 程;(2)以 坐 标 原 点 为 极 点,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,曲 线 C3的 极 坐 标 方 程 为 2cos。-sin0=0,求 C3与 Ci交 点 的 直 角 坐 标,及 C3与 C2交 点 的 直 角 坐 标.第 9 页 共 2 6 页 选 修 4-5:不 等 式 选 讲(10分)23.已 知 a,b,c 均 为 正 数,且/
12、+必+42=3,证 明:(1)a+b+2cW3;(2)若 b=2c,则 工+工 2 3.a c第 1 0 页 共 2 6 页2022年 全 国 甲 卷 高 考 理 科 数 学 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题:本 题 共 12小 题,每 小 题 5分,共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.(5 分)若 2=-1+旧 3 则 一=(z z-1A.-1+V3Z B.-1-我 i)C.-D.-A-2Zlj-3 3 3 3【解 答】解:.;=7+后,A z-=|z|2=(V(-1)2+(V3)2)2=4
13、则 二 二&.j K l pzz-1 4-1 3 3故 选:C.2.(5 分)某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果,随 机 抽 取 10位 社 区 居 民,让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷,这 10位 社 则()A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正
14、确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差【解 答】解:对 于 4 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 从 小 到 大 为:第 1 1 页 共 2 6 页60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 为:(70%+75%)=72.5%,故/错 误:对 于 8,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 为:工(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=
15、89.5%85%,故 8 正 10确;对 于 C,由 图 形 知 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 分 散,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 集 中,讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 大 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差,故 D 错 误;对 于。,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为:100%-80%=20%,讲 座 前 正 确 率 的 极 差 为:95%-60%=35%,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 小 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差,故。错 误.故 选:B.3.(
16、5 分)设 全 集。=-2,-1,0,1,2,3,集 合 Z=-1,2,B=xx2-4x+3=0,则 Cu(4U8)=()A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0【解 答】解::B=X|X2-4 X+3=0=1,3,A=-I,2,:.AUB=-1,1,2,3,又 U=-2,-1,0,1,2,3,ACu(/U8)=-2,0.故 选:D.4.(5分)如 图,网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图,网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,则 该 多 面 体 的 体 积 为()第 1 2 页 共 2 6 页【解 答】解:由 多 面 体 的 三 视 图 得 该
17、多 面 体 是 一 正 四 棱 柱 4 8 8-m BiCiOi,四 棱 柱 的 底 面 是 直 角 梯 形 N8CD,如 图,AB=4,AD=2,M=2,M _ L 平 面/8 m.该 多 面 体 的 体 积 为:=/(4+2)X 2X2=12。故 选:B.5.(5分)函 数 y=(3X-3F)cosx在 区 间-?L,工 的 图 像 大 致 为()2 2第 1 3 页 共 2 6 页可 知/(-x)=(3*-3,)cos(-x)=-(3X-3 x)cosx=-f(x),函 数 是 奇 函 数,排 除 80;当 x=l 时;/(I)=(3-3!cosl0,排 除 C故 选:A.6.(5分)当
18、 x=l 时,函 数/(x)=H x+且 取 得 最 大 值-2,则/(2)=()XA.-1 B.-A C.A D.12 2【解 答】解:由 题 意/(I)=b=-2,则/(x)=alnx-X则/co=9 _ 山 2,YA x 2 x2.当 X=1 时 函 数 取 得 最 值,可 得 X=1 也 是 函 数 的 一 个 极 值 点,(1)=a+2=0,即 a=-2.易 得 函 数 在(0,1)上 单 调 递 增,在(1,+8)上 单 调 递 减,故 x=l 处,函 数 取 得 极 大 值,也 是 最 大 值,则/(2)=,X/2.=.22 2故 选:B.7.(5 分)在 长 方 体-3 81c
19、mi中,已 知 与 平 面 N2CZ)和 平 面 所 成 的 角 均 为 30,则()A.AB=2ADB.N8 与 平 面 481。所 成 的 角 为 30C.ACCBD.与 平 面 831cle所 成 的 角 为 45【解 答】解:如 图 所 示,连 接 力 0,BD,不 妨 令 力 小=1,第 1 4 页 共 2 6 页在 长 方 体/8C。中,力。J_面 44/18,BBL ABCD,所 以 N 8 0 8 和/。8区 分 别 为 BD与 平 面 A B C D 和 平 面/小 5山 所 成 的 角,即/田。8=/。8=30,所 以 在 RtZ88i 中,88i=44i=l,BD=VE,
20、BD=2在 RtZ/OBi 中,DBi=2,AD=1,AB=百,所 以 A B=H 叫=历 AC=V3故 选 项 4 C 错 误,由 图 易 知,在 平 面 力 81。上 的 射 影 在/以 上,所 以 为 A B 与 平 面 ABCD所 成 的 角,BB 1 1 x/o在 RtZX/88i 中,sin/B AB 二 二 方,1 A B!V3 3故 选 项 8 错 误,如 图,连 接 5iC,则 BiD在 平 面 881cle上 的 射 影 为 BC,所 以 NDBiC为 BD与 平 面 8 8 C C 所 成 的 角,在 RtZSOBC 中,B C=&=O C,所 以/D B IC=45,第
21、 1 5 页 共 2 6 页所 以 选 项。正 确,故 选:D.8.(5 分)沈 括 的 梦 溪 笔 谈 是 中 国 古 代 科 技 史 上 的 杰 作,其 中 收 录 了 计 算 圆 弧 长 度 的“会 圆 术”.如 图,窟 是 以。为 圆 心,为 半 径 的 圆 弧,C是 的 中 点,。在 窟 上,CD.“会 圆 术”给 出 众 的 弧 长 的 近 似 值 s 的 计 算 公 式:s=/8+型 当。=2,ZAOB0A=60 时,s=()A 11-3 B c 9-3 D 9-4遥 2 2-2-2-【解 答】解:,;OA=OB=2,4 0 8=6 0,:.AB=2,是 Z 8 的 中 点,。在
22、 窟 上,CD LAB,延 长。C 可 得。在。C 上,C D=O D-OC=2-V 3.4A CD2=(2-)2=,J-4a=*4 仆 OA 2 2 2故 选:B.9.(5 分)甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等,侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2TT,侧 面 积 分 别 为 S甲 和 S乙,体 积 分 别 为 八,和/乙.若 里=2,则 里=()S乙 吃 A.娓 B.272 C.VTO D.5历 4【解 答】解:如 图,第 1 6 页 共 2 6 页甲,乙 两 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 刚 好 拼 成 一 个 圆,设 圆 的 半 径(即 圆 锥 母 线
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