2023年高考数学理一轮复习精品讲义第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第9讲函数的应用.pdf

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1、 第 9 讲 函数的应用【2013 年高考会这样考】1考查二次函数模型的建立及最值问题 2考查分段函数模型的建立及最值问题 3考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题【复习指导】函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题 基础梳理 1常见的函数模型及性质(1)几类函数模型 一次函数模型：ykxb(k0)二次函数模型：yax2bxc(a0)指数函数型模型：yabxc(b0，b1)对数函数型模型：ymlogaxn(a0，a1)幂函数型模型：yaxnb.(2)三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)

2、ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0 时，有 logaxxnax 一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4

3、)复原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论 双基自测 1(人教 A版教材习题改编)从 1999 年 11 月 1 日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为 20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人 2011 年 6 月 1 日存入假设干万元人民币，年利率为 2%，到 2012 年 6 月 1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元，则该存款人的本金介于()A34 万元 B45 万元 C56 万元 D23 万元 解析 设存入的本金为 x，则 x2%20%138.64，x34 660.答案 A 2(2012新乡月考)某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y3 00

4、020 x0.1x2(0 x240，xN*)，假设每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100 台 B120 台 C150 台 D180 台 解析 设利润为 f(x)(万元)，则 f(x)25x(3 00020 x0.1x2)0.1x25x3 0000，x150.答案 C 3有一批材料可以围成 200 米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()A1 000 米 2 B2 000 米 2 C2 500 米 2 D3 000 米 2 解析 设三个面积相等的矩

5、形的长、宽分别为 x 米、y 米，如图，则 4x3y200，又矩形场地的面积 S3xy3xx(2004x)4(x25)22 500，当 x25 时，Smax2 500.答案 C 4(2011湖北)里氏震级 M 的计算公式为：Mlg Alg A0，其中 A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的_倍 解析 由 lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为 6 级因为标准地震的振幅为 0.001，设 9 级地震最

6、大振幅为 A9，则 lg A9lg 0.0019 解得 A9106，同理 5 级地震最大振幅 A5102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍 答案 6 10 000 5(2012东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文 已知加密为 yax2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，假设接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_ 解析 依题意 yax2 中，当 x3 时，y6，故 6a32，解得 a2.所以加密为 y2x2，因此，当 y

7、14 时，由 142x2，解得 x4.答案 4 考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用【例 1】?(2011武汉调研)在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)3 000 x20 x2，C(x)500 x4 000(xN*)现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台(1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差 审题视点 列出函数解析式，根据函数性质求最值 解(1)由题意，得 x1,100，且 xN*.P(x)R

8、(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20 x22 500 x 4 000)2 48040 x.(2)P(x)20274 125，当 x62 或 x63 时，P(x)取得最大值 74 120 元；因为 MP(x)2 48040 x 是减函数，所以当 x1 时，MP(x)取得最大值 2 440 元 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元.二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注

9、意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解【训练 1】经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；(2)求日销售额 S的最大值 解(1)根据题意，得 S (2)当 1t30，tN 时，S(t20)26 400，当 t20 时，S 的最大值为 6 400；当 31t50，tN 时，S90t9 0

10、00 为减函数，当 t31 时，S 的最大值为 6 210.6 2106 400，当 t20 时，日销售额 S 有最大值 6 400.考向二 指数函数模型的应用 【例 2】?某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如下图的曲线(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？审题视点 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长 解(1)设 y 当 t1 时，由 y4 得 k

11、4，由 1a4 得a3.则 y(2)由 y0.25 得或 解得t5，因此服药一次后治疗有效的时间是 5小时 可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解【训练 2】某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；(2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将到达 120 万人(精确到 1 年)；(4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.01291

12、.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)解(1)1 年后该城市人口总数为 y1001001.2%100(11.2%)2 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x 年后该城市人口总数为 y100(11.2%)x.(2)10 年后，人口总数为 100(11.2%)10112.7(万人)(3)设 x 年后该城市人口将到达 120 万人，即

13、100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年)(4)由 100(1x%)20120，得(1x%)201.2，两边取对数得 20lg(1x%)lg 1.20.079，所以 lg(1x%)0.003 95，所以 1x%1.009，得 x0.9，即年自然增长率应该控制在 0.9%.考向三 函数 yx模型的应用【例 3】?(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消消耗用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：

14、C(x)(0 x10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消消耗用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)到达最小，并求最小值 审题视点 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件 解(1)由已知条件 C(0)8 则 k40，因此 f(x)6x20C(x)6x(0 x10)(2)f(x)6x1010 2 1070(万元)，当且仅当 6x10即 x5 时等号成立 所以当隔热层为 5 cm 时，总费用 f(x)到达最小值，最小值为 70 万元 求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于 yx(a0)类

15、型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性【训练 3】某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解 设温室的左侧边长为 x m，则后侧边长为 m.蔬菜种植面积 y(x4)8082(4x400)x2 80，y808280648(m)2.当且仅当 x，即 x40，此时20 m，y 最大648(m2)当矩形温室的左侧边长为 40 m，后侧边长为 20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为

16、 648 m2.标准解答 5应用题中的函数建模问题(【问题研究】解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型，因此，首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误：,?1?列函数关系式时，会出现由于理不清楚各个量之间的关系，而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误；,?2?列出解析式，在求最优解的过程中，由于方法使用不当而出现求解上的错误.,【解决方案】?1?阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字表达，理解表达部分所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.,?2?根据所给模型，列出函数关系式.根据已知条件

17、和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,?3?利用数学的方法将得到的常规函数问题?即数学模型?予以解答，并求得结果.,?4?将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.)【例如】?(此题总分值 12 分)(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度到达 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时研究说明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函

18、数(1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式；(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以到达最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)首先求函数 v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解 解答示范(1)由题意：当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb，再由已知，得解得 故函数 v(x)的表达式为 v(x)(4 分)(2)依题意并由(1)可得 f(x)(6 分)当 0 x20 时，f(x)为增函数，故当 x20 时，其最大值为 60201 200；(7 分)当 20 x200 时，f(x)x(200 x)2，当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立 所以，当 x100 时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.(10 分)综上，当 x100 时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约为 3 333 辆/小时(12 分)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再比较大小另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可通过函数的单调性求解最值