2023年高考数学总复习第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数.pdf

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1、第四章三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的秘念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考向预测考情分析：任意角三南函数的定义及应用是高考考查的热点，题型以选择题或填空题为主.学科素养：通过弧度制及三角函数定义的应用考查数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养.积 累 必 备 知 识 基础落实赢得良好开端一、必记3 个知识点1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.、八来(按旋转方向不同分为_、_、_-(2)分类I按终边位置不同分为 和轴线角.

2、(3)终边相同的角：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合5=为?=a+&-360。，k&Z.提醒I终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.弧度记作rad.(2)公式 提醒I利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.3.任意角的三角函数角 a 的弧度数公式|a|=X 弧长用/表示)r角度与弧度的换算1=rad 1 rad=_180弧长公式弧长/=_扇形面积公式s=_=_三角函数正弦余弦正切定义设 a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么二、必明3个常用结

3、论1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义（推广）_ 叫做a的正弦，记作s i n a_ 叫做a的余弦，记作c o s a_ 叫做a的正切,记作t a n aI各象II限符III号IV口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线(M 味/有向线段_ 为正弦线有向线段_为余弦线Wr有向线段_为正切线设 P（x,y）是 角。终边上异于顶点的任一点，其到原点。的距离为r,则 s i n a=$c o s a=-x,t a n Q=jy（z x/,0八、）.3.象限角与轴线角（1）象限角al2A-irvav”ir+多 fceZ)T

4、第 二 象 限 角)a l r+/V凌 V2AF+K,让Z第1象 限 角)a2kTr+T.a2kTr+Y，ZcGZ(第 四 象 限 角)(!2A:iT+a0 B.cos 2a0 D.sin 2a0提 升 关 键 能 力 考点突破掌握类题通法考 点 一 象限角及终边相同的角 基础性1.与角一学冬边相同的角是（）6A.-B.C.-D.-6 6 3 32.集合a|kn+W a k n +1,k e ZT中的角所表示的范围（阴影部分）是（）3.2022.赤峰二中检测 若 角 a 的终边与240。角的终边相同，则角卷的终边所在象限是A.第二或第四象限B.第二或第三象限C.第一或第四象限D.第三或第四象限

5、4.若角a的终边在直线y=-x上，则角a的取值集合为()A.a|a =2kir-k G z jB.a|a =2 k n +弓，k G z jC.a a =k n-4，k 6 z jD.a|a =kiT-k 6 z j反思感悟1 .表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一 3 6 0。3 6 0。范围内的角a和人 写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角a,夕再加上3 6 0。的整数倍，即得区间角集合.2 .象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转

6、化法：先将已知角化为k 3 6 0 o+a(T W a 3 6 0。，e Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3 .求1 或 向(”6 N*)所在象限的方法(1)将 6的范围用不等式(含有Z)表示.(2)两边同除以或乘以几(3)对左进行讨论，得到9 或“0(6 N*)所在的象限.n 提醒 注 意 顺转减，逆转加”的应用，如角a 的终边逆时针旋转1 8 0。可得角a+1 8 0。的终边，类推可知a+k l 8(T(k e z)表示终边落在角a 的终边所在直线上的角.考 点 二 弧长公式与扇 形 面 积 公 式 综合性 例 1 已知一扇形的圆心角

7、为a,半径为R,弧长为/.(1)若 a=6 0。，R=1 0 c m,求扇形的弧长/；(2)已知扇形的周长为1 0 c m,面积是4 cm 2,求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为2 0 c m,当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形的面积最大？听课笔记：一题多变(变条件)若 例 1(3)中 将“若 扇 形 周 长 为 20 c m ，改为 若扇形的周长是一定值C(C 0)”，其它不变，求解？反 思 感 悟 弧 长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式/=|如,扇形的面积公式是S=ja|/(其中/是扇形的弧长,a 是扇形的圆心角).(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三

8、个量中的任意两个量.I提醒I运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制.【对点训练】1.2022扬州市测试刖图，曲线段A 8 是一段半径为R 的圆弧，若圆弧的长度为等,则 A,8 两点间的距离为()A.R B.V2R C.V3/?D.2R2.已知一扇形的弧长为千，面积为年，则其半径，=_，圆心角6=_993.外堤岸AB 2022湖南永州市高三模拟 如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A,B 间的距离为30或 米，则该月牙潭的面积为 平方米.考点三任意角三角函数的定义及应用

9、 应用性角 度 1三角函数的定义 例 2 (1)2022宁夏高三模拟 已知角a 终边经过点P(1,2),则 cosa=()A.-B.C.D.-2 2 5 5(2)2022广东广州市高三模拟 己知第二象限角6 的终边上有两点4-1,a),Bb,2),且 cos(9+3sin 9=0,贝!|3ab=()A.-7 B.-5 C.5 D.7听课笔记：反思感悟三角函数定义应用策略(1)已知角a 的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解.(2)已知角a 终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(3)已知角a 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的

10、坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解.(4)已知角a 的某三角函数值(含参数)或角a 终边上一点P 的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值.(5)已知角a 的终边所在的直线方程或南a 的大小，根据三南函数的定义可求角a 终边上某特定点的坐标.角度2三角函数值符号的判断 例 3 (1)2022昆明市盘龙月考 若贝ij 是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)已知a 为第二象限角，则 短 与+更 亘 生 的 值 是()Vl-cos2 a cosaA.3 B.-3 C.1 D.-1 2听课笔记：反 思 感 悟 三角函数值符号的判

11、断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.角度3三角函数线的应用 例 4 函数 y=l g(2si nx-l)+，l -2 c os x 的定义域为.听课笔记：反 思 感 悟 应 用 三角函数线解决问题的思路三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负.【对点训练】1.已知角a的终边在直线y=x上，如果c osa c osx 成立的x的 取 值 范 围 为.第四章三角函数、解三角形第一节任意

12、角和弧度制及任意角的三角函数积累必备知识、1.(1)端 点(2)正 角 负 角 零 角 象 限 角2.半 径 长(.)。|a|r i l r|a|r23.y x!正正正正负负负负正负正负M P OM A TX三、1.答案：(1)义(2)X 义(4)V (5)X2.解析：-870。=-2X 360。150。，-870。和一 150。的终边相同，所以一870。的终边在第三象限.答案：C3.解析：由已知得，於0 且-整 一；=一：，解得，=一；.V(8m)2+32 5 2答案：A4.解析：因为a为第三象限角，所以si n a 0,c os a 0,所以包四半+兽 吃sm a|c osa|t a n

13、a|=-l-(-l)+l =l.答案：15.解析：单位圆的半径r=l,200。的弧度数是2 0 0 X=等，由弧度数的定义得等=I 匕 匕 1、),10n 厂 11 1 IOTT、,1 S i rP 所以/=可，s 扇 形=2 =5 丁 1=可.答案：125 里6.解析：方法一 是第四象限角，J ；+2 E a v 2E,k Z,；一兀+4%兀 2。4攵 兀，k G Z,，角 2 a 的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，入苗20 0,c os 2 a 可正、可负、可零.方法二 是第四象限角，A si n a 0,/.si n 2a=2si n a c os 0.答案：D提升关键能力考点一1.

14、解析：因为与角一三终边相同的角是一E+2 E 伙G Z),当k=1 时一工+2航=卅.6 6 6 6答案：B2.解析：当k=2(e z)时，2fm+-a 2 n n+-,此时a表 示 的 范 围 与 表 示 的4 2 4 2范围相同；当 攵=2+1(Z)时，2 兀+7r+2W a W 2 兀+兀+工，此 时a表示的范围与兀+4 2表示的范围相同.4 2答案：c3.解析：由题意。=七360。+240。，所以=卜180。+120。，G Z,当女为偶数时，在第二象限，当为奇数时，:在第四象限.答 案:A4.解析：由图知，角 a的取值集合为：a|a =2k n+手，k e z U a|a =2k n-

15、：,k G z j=a|a =(2k +l)n-：,k E z ju a|a =2k i r ,k 6 Z=a|a =k u ,k G z j.答案：D考点二例 1 解析：(1)。=60=r a d所以/=Q-R=2X 10=加(c m).(2)由题意得，2R+Ra =10,.衿 R2=4,解得 R j(舍 去)或-1(a =8 (a =-.故扇形的圆心角为去(3)由已知，得/+2R=20,所以扇形的面积 5=?=32027?)/?=10/?-/?2=(/?-5)2+25,所以当R=5时，S 取得最大值25,此时/=10,a=2.一题多变解析：扇 形 周 长C=2 R+l=2 R+a R,所

16、以 R=捻，所 以S=|/?2|a-()=C2a 1 C2 1 C2-T-T7T7=-4 2 4+4a+a2 2-+4+a 16当且仅当a 2=4,即 a=2 时，扇形面积有最大值16对点训练1.解析：设通所对的圆心角为a,则由题意，得 a R=g R,所以a=g,所以A B=2 Rsi n -=2/?si n =2 R 足=6 区2 3 2答 案:c2.解析：因为扇形的弧长 为 拳 所以面积器=罟X r,解得r=2.由扇形的弧长为与=2=2 氏 解得答案：23.AO解析：如图是内堤岸圆弧所在圆，由题意。4=08=30,AB=30底，所以OAJ_OB,弦AB上方弓形面积为$2=三 口 X302

17、2X30X30=225兀450,4 2所以所求面积为S=X(15&产 一$2=225兀一(225n-450)=450.答案：450考点三例 2解析：由三角函数定义cosa=2 =一V(-l)2+22 5(2)由 cos 9+3sin 0=0 得：tan=c osG 3由三角函数定义知：tan 9=a=：=一三，解得：a=-9/?=-6,，3-b=1+6=7.b 3 3答案：(1)D(2)D例 3解析：(1)因为sin 26=2sin Ocos/：0,又 cos，0,cos a 0 rn c v 1如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知,解集为2ku+-x 2kix+,(k G Z),6

18、 6,2kn+x 2kir+詈，(k 6 Z)取交集可得原函数的定义域为(2kn+,2kn+y),(jteZ)答案：2kir+p 2kn+景），（AWZ）对点训练1.解析：二X如图，由题意知，角 a的终边在第二象限，在其上任取一点P（x,y）,则 y=-x,由三角函数的定义得叫三一=T答案：一 12.解析：由 n）得 c osO v O,所以 r=y/x2+y2=V 9 c os2 0+16 c os2 0=-5 c os0,所以 si n a=Y=一 士，t a n a=-r 5 x 3如图所示，找出在（0,2兀）内，使 si n x=c osx 的 x 值，si n -=c os；=si n =c os-4 4 2 4 4=一 日.根 据 三角函 数 线 的 变 化规 律 标 出 满 足 题 中 条 件 的 角 Y）-答 案:（H T）